Esercizi vari sulle funzioni razionali fratte

Liceo “Falchi” Montopoli in Val d’Arno - Classe 5a_{I - Francesco Daddi - 30 gennaio 2010}

Esercizi sullo studio di una funzione razionale fratta

Esercizio 1. _{Determina il dominio della funzione f (x) =} x

2_{+ 4} x2

− 5 x + 4 . Esercizio 2. _{Studia la disequazione} 1 − x

2 4 − x >0 .

Esercizio 3. _{Trova gli zeri della funzione f (x) =} 3 x − x 2

− 2 x2

− 9 .

Esercizio 4. _{Determina gli asintoti verticali della funzione f (x) =} 2 + 3 x 2 x2

− 50 . Esercizio 5. _{Determina l’asintoto obliquo della funzione f (x) =} 2 x

2_{+ x − 5} x+ 2 . Esercizio 6. _{Determina l’asintoto orizzontale della funzione f (x) =} 2 x

2_{+ 6 x − 4} x − 4 x2_{+ 3} . Esercizio 7. _{Determina l’intersezione della funzione f (x) =} 3 x

2_{+ x − 6}

x − 2 con l’asse y .

Esercizio 8. _{Quale potrebbe essere l’espressione analitica della funzione il cui grafico `e riportato nella} figura? Scrivi anche l’equazione dell’asintoto obliquo.

Esercizio 9. _{Studia la funzione} x

2_{+ 6 x + 9}

x .

Esercizio 10. _{Studia la funzione} 2 x 2

− 3 x − 2 x2

− 5 x + 4 .

Liceo “Falchi” Montopoli in Val d’Arno - Classe 5a_{I - Francesco Daddi - 30 gennaio 2010}

Soluzione degli esercizi del 30 gennaio 2010

Esercizio 1. _{Df = {x 6= 1 ∧ x 6= 4} Esercizio 2.} 1 − x

2

4 − x >0 ⇒ {−1 < x < 1} ∪ {x > 4}

Esercizio 3. _{x1= 1 ; x2= 2 .} Esercizio 4. _{Gli asintoti verticali hanno equazione x = −5 e x = 5 .} Esercizio 5. _{L’asintoto obliquo ha equazione y = 2 x − 3 . Esercizio 6. L’asintoto orizz. ha equaz. y = −}1

2.

Esercizio 7. _{L’intersezione con l’asse y si trova ponendo x = 0: f (0) =} 3·02+0−6

0−2 = −6−2 = 3 ; il punto

di intersezione `e P (0 ; 3) . Esercizio 8. _{La funzione ha equazione f (x) =} x2+2

x−2. L’asintoto obliquo (era

disegnato nel grafico) ha equazione y = x + 2 . Esercizio 9. _{Ecco il grafico della funzione} x2+6x+9

x :

Esercizio 10. _{Ecco il grafico della funzione} 2x2−3 x−2 x2_{−5 x+4} :

FrancescoDaddiͲEsercizi5IͲ18febbraio2010

Liceo“Falchi”MontopoliinVald’Arno

1. Determinareildominiodellafunzione

2 2 4 16 1 ) ( x x x f  

.



2. Determinare gli asintoti verticali e l’asintoto orizzontale della funzione

5 6 2 3 ) ( 2 2     x x x x x f

_.

3. Determinal’asintotoobliquodellafunzione

x x x x f    5 2 2 ) ( 2

.

4. Direselafunzione

° ¯ ° ® ­ !  d  1 1 1 1 3 ) ( 2 x se x x se x x f

_{ècontinua.}

5. Chetipodidiscontinuitàpresentalafunzione

° ¯ ° ® ­  !   d  2 2 2 1 ) ( x se x x se x x f

_?

6. Determinaglieventualipuntididiscontinuitàdellafunzione

° ° ° ° ¯ °° ° ° ® ­ !          3 1 3 1 2 1 3 1 1 ) ( x se x x se x x se x se x x f

_

7. Determinaglieventualipuntididiscontinuitàdellafunzione

° ° ° ° ° ° ¯ ° ° ° ° ° ° ® ­ !            4 5 25 4 2 4 2 1 2 2 2 3 1 3 3 2 ) ( x se x x se x se x x se x se x se x x x f

_

Soluzionedegliesercizidel18febbraio2010ͲClasse5iͲProf.FrancescoDaddi

1. IldominiodellafunzioneèDf

^

xz2šxz2

`

.

2. Gliasintotiverticalisonox 1_ex 5_{.L’asintotoorizzontaleè}y 1. 3. L’asintotoobliquohaequazioney x 7.

4. Lafunzioneècontinua;infattiabbiamo

_lim

( )

_lim

( ) (1) 2

1 1 _o o f x f x f x x .

5. La funzione presenta una discontinuità di prima specie in x 2_{; infatti risulta }

_lim

( ) 3

2  o x f x  , 0 ) (

lim

2  o x f x ;ilsaltoèparia3. 

6. La funzione presenta una discontinuità di prima specie in

1 

x _{: si ha }

_lim

( ) 2

1  o x f x  , 1 ) (

lim

1  o x f x

  per cui il salto è paria1.Ancheinx 3_sihauna discontinuità di prima specie:

5 ) (

lim

3 o x f x ,

_lim

( ) 4 3 o x f x e anchequiilsaltoèparia1.     

7. La funzione presenta una discontinuità di seconda specie in  x 3_{ in quanto}

risulta f   o ) (

lim

3 x f x . In 2

x _{ si ha una discontinuità}

diprimaspecie:

_lim

( ) 1 2 o x f x ,

_lim

( ) 3 2 o x f x  (il salto è 2). In x 4_{ la funzione presenta} una discontinuità di terza specie in quanto

5 ) ( ) (

_lim

lim

4 4 _o  o x f x f x x  ma f(4) 2z5. Osserviamo che si tratta di una discontinuità eliminabile in quanto è possibile ridefinire

EsercizisullefunzioniͲClasse5iͲProf.FrancescoDaddi(25/02/2010)

1. Studiarelaseguentefunzione: 6 4 ) ( ₂ 2    x x x x f _. 2. Studiarelaseguentefunzione: 4 1 ) ( 2    x x x x f _. 3. Studiareglieventualipuntididiscontinuitàdellaseguentefunzione: ° ° ¯ °° ® ­  !    1 1 2 ) ( 2 _{se x} x x se x x f _ 4. Studiareglieventualipuntididiscontinuitàdellaseguentefunzione: ° ° ° ¯ ° ° ° ® ­  !     1 1 3 1 2 ) ( 2 x se x x se x se x x f _ 5. Studiareglieventualipuntididiscontinuitàdellaseguentefunzione: ° ° ° ¯ ° ° ° ® ­  !     1 1 1 1 2 ) ( 2 x se x x se x se x x f _ 6. Studiareglieventualipuntididiscontinuitàdellaseguentefunzione:



° ° ° ° ° ¯ °° ° ° ° ® ­ !  d     4 1 4 2 1 2 3 2 2 1 ) ( x se x x se x x se x se x x f _ 7. Facendoriferimentoallafiguraafiancoindicare una possibile espressione analitica della funzione. 8. Calcolareilseguentelimite: 3 2

lim

3    o x x x . 9. Calcolareilseguentelimite: 1 3 2 2

lim

1     o x x x . 10. Calcolareilseguentelimite: 6 3 2 2

lim

_o  x _x_ x x . 11. Calcolareilseguentelimite: 24 2 1 2 2 3 4

lim

_{ } _  o x x x x x .

Soluzionedeglieserciziassegnatiil25febbraio2010

Prof.FrancescoDaddi

1. Nella figura a fianco è rappresentato il grafico della funzione 6 4 ) ( ₂ 2    x x x x f . La funzione non ha zeri. Si osservi inoltre che la funzione ha i seguenti asintoti verticali:

2 

x _ex 3_{;hainoltreun} asintoto orizzontale, di equazione y 1_{. La funzione}

interseca l’asintoto orizzontale nelpuntoA(10;1).



2. Nella figura a fianco è rappresentato il grafico della

funzione

4

1

)

(

2







x

x

x

x

f

_.

Si osservi che la funzione ha un asintoto verticale di equazionex 4_{eunasintoto} obliquo di equazione

3  x y _.  



3. La funzione presenta una discontinuità di terza specie in  x 1_{  in quanto il limite sinistro e il} limitedestrosonofinitiecoincidono ¸ ¹ · ¨ © §   _o  o 1 ) ( ) (

_lim

lim

1 1 x f x f x x ,malafunzionenonèdefinitain 1  x .

4. La funzione presenta una discontinuità di terza specie in  x 1_{  in quanto il limite sinistro e il} limitedestrosonofinitiecoincidono ¸ ¹ · ¨ © §   _o  o 1 ) ( ) (

_lim

lim

1 1 x f x f x x ,maf(1) 3z1_.

5. Lafunzioneècontinuainx 1_{inquantosiha}

_lim

( )

_lim

( ) ( 1) 1

1 1    _o  o f x f x f x x (inquestocaso coincidonoillimitesinistro,illimitedestroeilvaloredellafunzioneinx 1_). 6. Lafunzionepresentaunadiscontinuitàdisecondaspecieinx 2_inquanto f  o ) (

lim

2 x f x .

La funzione presenta inoltre una discontinuità di prima specie in x 4_{ in quanto risulta}

3 ) (

lim

4   o x f x e

_lim

( ) 3 4 o x f x :sihaunsaltoparia6. 7. Unapossibileespressioneanaliticadellafunzioneè

1

2

)

(

₂ 2



x

x

x

f

_. 8.

_

f



 o

3

2

lim

3

x

x

x  9.

_

f



  o

1

3

2

2 1

lim

_x

x

x  10.

_

_

f



 o

6

3

2 2

lim

_x

x

_x

x  11.

_

_

f





  o

2

24

1

2 2 3 4

lim

x

_x

_x

x

x