Sviluppo di modelli analitico-numerici per la simulazione di trasmissioni CVT con cinghie trapezoidali

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SCUOLA DI INGEGNERIA

Dipartimento di Ingegneria Civile e Industriale

Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria dei Veicoli

Tesi

Sviluppo di modelli analitico-numerici

per la simulazione di trasmissioni CVT

con cinghia trapezoidale

Candidato: Docenti: ...Luca

Luca Ticciati Prof. Francesco Frendo

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Indice

1 Introduzione 3

1.1 potenzialit`a del mercato dei CVT . . . 3

1.2 Il sistema CVT a pulegge espandibili . . . 4

1.3 Geometria e composizione della cinghia . . . 5

1.4 Regioni di funzionamento nel piano Win-Wout . . . 7

1.5 Obiettivi della tesi . . . 8

2 Stato dell’arte 10 2.1 Trattazione classica semplificata . . . 10

2.2 Trattazione secondo Gerbert . . . 12

2.2.1 ipotesi . . . 12

2.2.2 Equazioni del modello . . . 12

2.2.3 Deformazione longitudinale . . . 15

2.2.4 Deformazione trasversale . . . 15

2.2.5 Condizioni di strisciamento . . . 16

2.2.6 Risultati ottenuti . . . 17

2.3 Calcolo approssimato . . . 18

3 Analisi del pretensionamento 19 3.1 Caratteristiche elastiche della cinghia . . . 20

3.2 modellazione del contatto cinghia-puleggia . . . 21

3.3 Modello di pretensionamento . . . 22

3.3.1 ipotesi del modello . . . 22

3.4 Risultati ottenuti . . . 25

4 Modello dinamico stazionario 28 4.1 modello semplificato: velocit`a di scorrimento costante . . . 28

4.2 ipotesi . . . 28

4.2.1 Brush Model . . . 29

4.3 Risoluzione analitica . . . 31

4.3.1 soluzione nell’arco di adesione . . . 32

4.3.2 Soluzione nell’arco di strisciamento . . . 33

4.3.3 Metodo iterativo su Vb . . . 35

4.4 Caso con rigidezza della cinghia finita . . . 36

4.4.1 Equazione di continuit`a . . . 36

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Indice

4.5 Confronto con il modello classico Coulombiano . . . 39

4.5.1 andamenti di tensione nell’arco di contatto della puleggia motrice . . . 39

4.5.2 andamenti di tensione nell’arco di contatto della puleggia condotta . . . 40

4.6 Sviluppo del modello dinamico con incuneamento della cinghia . . . 42

4.6.1 Considerazioni preliminari . . . 42

4.6.2 Analisi della fase di ingaggio . . . 44

4.6.3 Fase di adesione . . . 45

4.6.4 Determinazione delle costanti elastiche ks ,kp e kr . . . 46

4.6.5 Fase di strisciamento . . . 48

4.7 Analisi dei risultati . . . 50

4.7.1 soluzione nel contatto con la puleggia motrice . . . 50

4.7.2 soluzione nel contatto con la puleggia condotta . . . 52

5 Analisi delle perdite 54 5.1 perdite esterne . . . 54

5.1.1 perdite per strisciamento circonferenziale . . . 54

5.1.2 Perdite per strisciamento radiale . . . 55

5.2 Perdite interne alla cinghia . . . 56

5.2.1 perdite per isteresi . . . 56

5.3 Utilizzo del modello dinamico per il calcolo delle perdite . . . 61

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1. Introduzione

1 Introduzione

1.1 potenzialit`

a del mercato dei CVT

Il cambio a variazione continua o CVT( continuosly variable trasmission) costi-tuisce una soluzione tecnica ormai universalmente utilizzata nella trazione degli scooter sia di bassa che di media cilindrata ed il numero stimato di veicoli ad oggi circolanti che sfruttano questo sistema arriva a 25.6 106 unità, il che eviden-zia l’impatto economico globale che ne deriva. Analizzando le prospettive future, nell’arco di alcune decadi è ragionevole supporre che nei paesi più industrializ-zati avvenga una pressochè totale adozione della trazione elettrica sia per auto che per scooter data la maggior efficienza energetica e la possibilità di recupera-re parte dell’energia cinetica del veicolo durante la frecupera-renata. Lo scenario di una società globale in cui la trazione avvenga integralmente tramite elettricià è però utopistica, in quanto questo passaggio implica una rioganizzazione strutturale di tutto il sistema di distribuzione dell’energia, che rappresenta un obiettivo oltre-modo difficile da ottenere anche per quei paesi, come l’Italia, dove lo sviluppo tecnologico è molto avanzato. Per quanto riguarda la maggioranza della popola-zione mondiale che vive in paesi in via di sviluppo, non è ragionevole ipotizzare che avvenga lo stesso tipo di cambiamento, o almeno con la stessa rapidità temporale. Per effetto della globalizzazione, le aziende hanno esteso il concetto di mercato da locale a globale,e sempre più spesso la produzione viene suddivisa in funzione delle richieste di un particolare tipo di mercato . Da questa sintetica analisi si intuisce che la tecnologia del CVT continuerà ad esistere nei paesi industrializzati per almeno alcune decadi, mentre nei paesi in via di sviluppo probabilmente ad oggi non è stimabile il tempo di decadenza di questa tecnologia che quindi rappre-senterà sicuramente un importante settore produttivo nell’industria della trazione nel prossimo futuro. Per questo motivo è ancora acceso l’interesse delle aziende produttrici nel migliorare gli strumenti di progettazione a loro disposizione, al fine di ridurre i tempi e quindi i costi di produzione, limitando la sperimentazione alle prove strettamente necessarie. A causa della complessità del problema, i risultati ottenuti dalla fase di sperimentazione sono sempre stati la parte più rilevante nel-la fase di progetto di un CVT, in quanto disponibili in letteratura solo modelli o estremamente semplificati ,adatti a una analisi grossolana e qualitativa i, o modelli estremamente complessi sia dal punto di vista della formulazione matematica che della simulazione numerica, che rendevano difficile andare ad analizzare diverse soluzioni costruttive.

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1. Introduzione

1.2 Il sistema CVT a pulegge espandibili

Figura 1.1: Esploso di CVT per motoscooter

Il sistema di trasmissione per motoscooter `e composto da quattro pulegge, due delle quali fisse e le altre mobili assialmente, il tutto collegato da una cinghia in gomma trapezoidale.

La puleggia mobile dal lato motore è azionata da rulli centrifughi che generano una spinta assiale crescente al crescere della velocità di rotazione, ed è proprio grazie a questo accorgimento che è possibile far variare in modo continuo il raggio di avvolgimento della cinghia sia lato motore che lato ruota, garantendo quindi di conseguenza anche un rapporto di trasmissione variabile.

Il rapporto di trasmissione garantito varia in un range non molto ampio a cavallo dell’unità , perciò , considerando che generalmente questa trasmissione è accoppia-ta con un motore 2T che puo’ superare i 5000 rpm, è necessario mettere sull’albero condotto un riduttore di velocità. Siano Rm e Rc il raggio della puleggia motrice e condotta, allora: τ = Rm Rc (1.1) τmin = 1 τmax = Rmin Rmax ' 1 (1.2)

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1. Introduzione

Figura 1.2: Shema delle differenti condizioni geometriche di funzionamento di un CVT

In figura 1.2 viene mostrato unso schema semplificato del funzionamento del CVT, e sono state messe in evidenza le due situazioni limite corrispondenti al rapporto di trasmissione minimo a sinistra e massimo a destra.

1.3 Geometria e composizione della cinghia

La cinghia è sicuramente l’elemento più importante della trasmissione ed anche il più sensibile ad usura per strisciamento.

Tale componente garantisce la trasmissione del momento tra la puleggia motrice e quella condotta, e quindi il tipo e l’entit`a delle interazioni che essa ha con le pulegge, dipendono fortemente dalle caratteristiche costrutteve di essa.

Come mostrato nel dettaglio di fig 1.3 tutte le cinghie per CVT presentano denti, anche se non hanno funzione attiva di trasmissione di forza ,che avviene integral-mente tramite azioni di attrito. Tali risalti sono necessari per ridurre la rigidezza flessionale della cinghia al fine di facilitare il passaggio da zone a curvatura molto diversa migliorando il comportamento dinamico del sistema.

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1. Introduzione

Figura 1.3: Dettaglio geometria della cinghia

In fig 1.4 `e mostrato un dettaglio della sezione trasversale della cinghia, essa presenta una matrice gommosa in cui sono immerse delle fibre di rinforzo in kevlar che sono caratterizzate da una elevata rigidezza assiale, mentre la rigidezza della parte gommosa `e assai inferiore.

I fianchi della cinghia sono inclinati di una angolo β che permette alla cinghia di esercitare delle azioni assiali sulle pulegge, dalle quali dipende il movimento che caratterizza il funzionamento del CVT nella fase di cambiata.

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1. Introduzione

1.4 Regioni di funzionamento nel piano Win-Wout

Risulta utile rappresentare le regioni di funzionamento del Cvt nel piano Win-Wout, per evidenziarne il comportamento durante un ciclo composto da una acce-lerazione da fermo fino a velocit`a massima e una decelerazione da velocit`a massima a zero.

Figura 1.5: curva di funzionamento di un CVT

Con riferimento a figura 1.5 il punto A corrisponde al minimo del motore e non c’è contatto tra le ganasce della frizione centrifuga e il tamburo; il contatto inizia in B e si manifesta come un contatto con strisciamento fino al punto C dove la velocità angolare della puleggia condotta uguaglia la velocità angolare dell’albero di uscita.

Il tratto CD è rettilineo e corrisponde al rapporto di trasmissione della prima mar-cia, cioè alla condizione di funzionamento in cui il raggio di avvolgimento della puleggia motrice è minimo ed è massimo quello della puleggia condotta. Nel trat-to DE si ha il vero e proprio funzionamentrat-to del CVT in quantrat-to è qui che avviene la cambiata con variazione continua; alla velocità di rotazione corrispondente al punto D la forza assiale esercitata dai rulli centrifughi supera quella delle molle di contrasto e inizia quindi il movimento assiale delle pulegge che termina in E dove

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1. Introduzione

si raggiunge il rapporto di trasmissione massimo. Durante la fase di azionamento del CVT la velocità di rotazione del motore rimane pressochè costante, mentre la velocità di rotazione della ruota cresce,quindi il tratto DE risulta orizzontale. Se si continua ad accelerare la curva di funzionamento si mantiene rettilinea e quindi il rapporto di trasmissione rimane invariato.

Una volta raggiunta la velocità massima si inizia la curva di rilascio andando a diminuire progressivamente la velocità del mezzo. Si nota che in questa fase, la curva di funzionamento non ricalca quella precedentemente illustrata, in partico-lare è evidenziato che il movimento assiale delle pulegge non inizia in E ma in G garantendo quindi un campo di funzionamento a rapporto di trasmissione costan-te più ampio. Questo accorgimento progettuale si ottiene grazie a un dispositivo montato su lato ruota , noto come asservitore di coppia, il cui funzionamento non verrà analizzato in dettaglio, ma è importante sottolineare che la sua funzione principale è quella di ritardare lo scorrimento assiale delle pulegge in fase di de-celerazione, in modo da evitare che il reiterato azionamento del CVT comporti una precoce usura della cinghia. Infine, dal punto G si ritorna al punto A per-correndo un tratto con contatto strisciante dei ceppi della frizione fino a H e poi si ritorna alla condizione di minimo con frizione aperta. Nel presente lavoro si è posta l’attenzione sui tratti CD e GF corrispondenti quindi al funzionamento con frizione chiusa nelle condizioni di rapporto di trasmissione massimo e minimo, che rappresentano le condizioni un cui il CVT lavora per la maggioranza dei cicli.

1.5 Obiettivi della tesi

Questo lavoro di tesi è nato dall’esigenza di capire più a fondo come i parametri di progetto della cinghia influiscono sul comportamento del CVT in regime stazio-nario, con particolare attenzione alle interazioni locali tra cinghia e pulegge la cui conoscenza dettagliata permette di stimare più accuratamente:

la durata della cinghia stessa la pretensione statica effettiva

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1. Introduzione

I parametri di progetto che vanno a influire sul comportamento della trasmi-sione sono:

Rigidezza assiale

Angolo di inclinazione dei fianchi della cinghia Raggio di avvolgimento

materiale

coefficente di attrito

Ognuna di queste variabili di progetto determina il comportamento del CVT e quindi risulta comodo esplicitare tali effetti al fine di eseguire, in fase preliminare, un confronto rapido tra varie architetture. Per questo si cerca si sviluppare un modello con un grado di complessità adeguato ad ottenere risultati quantitativi affidabili e allo stesso tempo permettere una buona flessibilità nel simulare rapi-damente condizioni operative diverse, quindi, un obiettivo importante è quello di scrivere delle equazioni che siano risolvibili in forma chiusa ,in modo da esplicitare le varie dipendenze senza ricorrere al calcolatore. La conoscenza esplicita di tali di-pendenze va ad incrementare il know-how di una azienda permettendo di ridurre le prove sperimentali al numero minimo possibile. In sintesi ciò che si vuole ottenere è una descrizione matematica del contatto tra cinghia e puleggia che permetta di ottenere risultati in forma analitica o numerica, e con un grado di complessità non eccessivo in modo da ridurre i tempi di calcolo. Ottenere questo tipo di risultato comporta:

una riduzione del numero di prove sperimentali necessarie un confronto rapido fra architetture diverse

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2. Stato dell’arte

2 Stato dell’arte

In questo capitolo sono passati in rassegna i principali modelli utilizzati per il cal-colo di trasmissioni a cinghia trapezoidale. Tali lavori riguardano lo sviluppo di modelli analitici e la conduzione di prove e studi sperimentali presenti in lettera-tura sulle trasmissioni in questione. Nell’esporre i lavori presenti in letteralettera-tura, particolare attenzione sar`a posta nell’analisi delle ipotesi sostenute, delle equazioni analitiche del modello e dei risultati ottenibili.

2.1 Trattazione classica semplificata

Figura 2.1: Schematizzazione di una trasmissione a cinghia

Nella trattazione pi`u semplificata delle trasmissioni a cinghia trapezioidale si considera la cinghia come se fosse piatta e il coefficiente di attrito equivalente dipende dall’inclinazione dei fianchi.

µ0 = µ sinβ (2.1) Fmin = µ sinβFr= µ 0 Fr (2.2)

L’effetto dell’inclinazione dei fianchi viene quindi trattato come un aumento del coefficiente di attrito su una cinghia piatta, e quindi il problema viene ricondotto ad uno pi`u semplice, in cui l’incuneamento della cinghia viene trascurato.

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Dato che per ipotesi il raggio di avvolgimento rimane invariato, le caratte-ristiche geometriche della trasmissione sono ottenibili facilmente rtramite calcoli elementari. L = 2(AB + BC + CD) (2.3) AB = d1 2( π 2 − α) (2.4) BC = a cos α (2.5) CD = d2 2( π 2 + α) (2.6) sin α = d2− d1 2a (2.7)

La presenza di una coppia trasmessa C implica che le tensioni nei due rami siano diverse, e quindi necessariamente si deve considerare l’effetto delle forze tan-genziali dovute all’attrito lungo tutto l’arco di contatto. Nel caso in questione viene supposto che l’attrito dinamico tra cinghia e puleggia avvenga esclusivamen-te nella paresclusivamen-te finale del contatto e inesclusivamen-teressi un arco angolare tanto più grande quanto più è elevata la coppia trasmessa; mentre nella prima parte del contatto non agiscono forze tangenziali.

Per risolvere questo semplice problema si utilizza la legge di Eulero analoga a quel-la utilizzata per il calcolo dei freni a nastro, che permette ti risalire all’andamento della tensione nell’arco di contatto.

T1 = 2C d1 eµ0φ eµ0_φ − 1+ qv 2 _(2.8) T2 = 2C d2 1 eµ0_φ − 1+ qv 2 (2.9)

Dove phi è l’arco di strisciamento e q è la densità di massa lineica. La tensione della cinghia e di conseguenza la pressione di contatto, risultano essere costanti nella prima parte del contatto e hanno un andamento esponeziale nella seconda parte.

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2.2 Trattazione secondo Gerbert

G. Gerbert propose una nuova teoria in cui si considera il moto radiale e cir-conferenziale della cinghia nella gola della puleggia, e basato sulle deformazioni longitudinali e trasversali della cinghia. Il modello ottenuto necessita la conoscen-za delle proprietà elastiche della cinghia per descriverne la caratteristica forza – deformazione. La differenza fondamentale tra una cinghia piatta e una trapezoda-le, è la possibilità di quest’ultima di muoversi nella direzione radiale. La cinghia, sottoposta a deformazioni trasversali dovute alla pressione esplicata dal contatto sui fianchi, si restringe diminuendo il suo spessore e per riempire la gola della pu-leggia deve possedere un movimento radiale. In più la variazione di tensione della cinghia lungo l’arco di contatto causa deformazioni longitudinali. Il movimento longitudinale e radiale della cinghia fa s`ı che la direzione della forza d’attrito formi un angolo di scorrimento g rispetto alla direzione radiale (fig. 2.2), mentre per la teoria delle cinghie piatte la forza d’attrito è sempre circonferenziale.

2.2.1 ipotesi

Le ipotesi che Gerbert assume sono:

Si considera la cinghia come un nastro privo di spessore coincidente con le fibre di rinforzo

Il coefficiente di attrito `e costante

La cinghia `e priva di massa e quindi si trascurano le forze di inerzia e la dinamica del sistema

la cinghia `e priva di rigidezza flessionale

2.2.2 Equazioni del modello

Con riferimento alla figura 2.2 rappresentante le forze agenti su un elemento infinitesimo ds di cinghia, i seguenti simboli sono utilizzati:

F tensione della cinghia;

p forza di compressione laterale tra cinghia e puleggia per unit`a di lunghezza; r,φ coordinate polari;

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s coordinata lungo la cinghia;

β semiangolo di apertura della puleggia;

βssemiangolo di apertura pulegge misurato in un piano inclinato di g rispetto

al raggio;

g angolo tra il raggio e la velocit`a di slittamento nel piano di rotazione; q angolo tra la direzione della cinghia e la tangente alla puleggia; m coefficiente d’attrito;

r raggio di curvatura della cinghia;

O centro della puleggia su cui l’elemento `e avvolto;

Q centro di curvatura dell’elemento di cinghia; Altri simboli utilizzati nella trattazione sono:

w velocit`a angolare pulegge motrice e condotta (considerando stesso raggio d’avvolgimento);

c rigidezza longitudinale della cinghia (N); e deformazione longitudinale;

vs velocit`a di slittamento;

vb velocit`a della cinghia in condizioni di esercizio;

V velocit`a della cinghia scarica;

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Figura 2.2: Elemento infinitesimo di cinghia

Si scrivono le equazioni d’equilibrio nella direzione longitudinale e perpendi-colare all’elemento di cinghia (quest’ultima inclinata di q rispetto alla direzione radiale). Introducendo il raggio di curvatura ds

dψ

dF

ds = 2p[− sin β sin θ + µ cos βssin(θ + γ)] (2.10) F

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2.2.3 Deformazione longitudinale

La cinghia si comporta come una molla lineare, per cui si ha:

F = c (2.12)

In questo caso ,poich`e la rigidezza delle fibre di rinforzo `e molto maggiore, si trascura la deformazione longitudinale indotta dalla deformazione trasversale della cinghia.

2.2.4 Deformazione trasversale

La deformazione trasversale è un aspetto tipico delle trasmissioni con cinghia tra-pezioidale e se ne tiene di conto tramite il modello Penalty, secondo il quale ogni elemento infinitesimo di cinghia riceve una”penalità” cioè una forza proporzionale alla compenetrazione fittizia con la puleggia.

x = 2Pz k1 + F ρk1 − F k2 (2.13) La penetrazione radiale `e quindi calcolabile tramite la somma di tre componenti, esplicitati nell’equazione 2.13. La forza trasversale pz induce una riduzione del-lo spessore della cinghia, la quale subisce uno spostamento radiale per riempire la gola della puleggia; la tensione F provoca una deformazione longitudinale, che contribuisce al restringimento ulteriore dello spessore della cinghia, e dunque un corrispondente spostamento radiale; la forza F/r crea una compressione in direzio-ne X (fig. 2.3), inducendo una deformaziodirezio-ne trasversale (diventa pi`u spessa), che causa uno spostamento radiale opposto a quello dovuto alle altre due forze.

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2.2.5 Condizioni di strisciamento

Figura 2.4: Componenti di velocit`a di un elemento di cinghia

In questa trattazione si tiene conto che la velocit`a di un elemento di cinghia non ha soltanto componenti tangenziali ma anche radiali, `e quindi utile introdurre l’angolo γ per misurare il rapporto tra lo scorrimento che avviene in senso radiale e circonferenziale.

La velocità di slittamento vs è la differenza vettoriale tra la velocità della puleggia

di modulo rω e la velocit`a vb della cinghia; elaborando le relazioni per la velocit`a

di scorrimento circonferenziale e radiale, si ottiene la seguente equazione:

tan γ =

cos θ − rω vb

sin θ (2.14)

La cinghia è soggetta a deformazioni longitudinali variabili lungo l’arco di contatto, che implicano una velocità variabile secondo la seguente relazione di continuità.

vb = V (1 − ) (2.15)

Considerando la (2.14) si ottiene la seguente condizione di slittamento:

tan γ =

cos θ − rω V (1 − )

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2.2.6 Risultati ottenuti

Il problema analizzato da Gerbert risulta composto da un sistema di equazioni dif-ferenziali e algebriche accoppiate, la cui risoluzione implica la conoscenza di un set di condizioni iniziali, ovvero si deve imporre il valore di alcune grandezze in punti arbitrari dell’arco di contatto. La risoluzione `e stata effettuata integrando nume-ricamente sulla puleggia motrice e su quella condotta, utilizzando un algoritmo di Runge-Kutta di ordine 4 e imponendo vari tipi di condizioni iniziali.

Figura 2.5: Spostamento radiale puleggia condotta

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In fig 2.5 e fig. 2.6 sono rappresentati rispettivamente l’andamento dello spo-stamento radiale e della tensione della cinghia nell’arco di contatto della puleggia condotta. Viene mostrata la soluzione per diversi valori della condizione iniziale su θ per evidenziare la marcata dipendenza da essa. Poichè per valori non molto diversi della condizione iniziale si ottiene una soluzione che varia molto da un caso all’altro, la soluzione del problema non è stabile e quindi , nonostante le equazioni scritte rappresentino un problema matematicamente chiuso, è estramamente dif-ficile assegnare condizioni iniziali che generino una soluzione compatibile con la realtà.

2.3 Calcolo approssimato

Il costruttore giapponese MITSTUBISHI BELTING LTD ha proposto un metodo approssimato per valutare la pressione sul fianco agente sulla cinghia. Questo metodo si basa sul calcolo di un fattore detto LT cos`ı definito:

LT = Cm R

1 Ac

(2.17) Ac `e l’area della superficie laterale del fianco della cinghia proiettata sul piano di

rotazione della puleggia. La pressione laterale sul fianco `e pari a:

p = kLT (2.18)

Dove k `e una costante di proporzionalit`a opportuna. Un calcolo di verifica di prima approssimazione della cinghia deve soddisfare le condizioni:

T1 < Tmax,amm (2.19)

p < pmax,amm (2.20)

I valori di tensione e pressione ammissibili ,con gli opportuni coefficienti di sicurezza, sono consigliati dai fornitori delle cinghie e derivano dall’esperienza.

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3. Analisi del pretensionamento

3 Analisi del pretensionamento

La fase di pretensionamento è estremamente importante nella messa a punto di una trasmissione a cinghia poichè è da essa che dipende la capacità di trasmettere più o meno coppia. Per questo motivo è necessario sviluppare un modello matematico che permetta di valutare la tensione effettiva della cinghia e usare tale dato in ingresso a un modello dinamico. Nel caso in cui la cinghia sia piatta, l’analisi di questa fase è banale dato che non è presente il fenomeno dell’incuneamento, e quindi la tensione della cinghia sarà proporzionale alla deformazione teorica imposta.

Nel caso di trasmissioni CVT il problema è notevolmente più complesso perchè si deve necessariamente tenere in conto l’incuneamento per calcolare la tensione effettiva della cinghia una volta assestata a una certa quota radiale. In letteratura si trovano modelli sia analitici che numerici per risolvere questo problema e in tutti si considera valida l’ipotesi di raggio costante sull’arco di contatto. In questo lavoro di tesi si propone un modello numerico per calcolare la tensione prescinden-do dall’ipotesi di costanza del raggio di avvolgimento, andanprescinden-do eventualmente a verificare tale ipotesi una volta nota la soluzione. La maggior variazione del raggio di avvolgimento si ha in ingresso e in uscita dalle pulegge,mentre nella restante parte dell’arco di contatto il raggio varia molto poco; dunque l’ipotesi di costanza del raggio di avvolgimento risulta valida solo se l’estensione dalla zona di ingresso e di uscita è piccola rispetto all’intero arco di contatto.

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3.1 Caratteristiche elastiche della cinghia

La cinghia risulta un elemento eterogeneo costituito da materiali diversi, rispetti-vamente le fibre di rinforzo e la matrice gommosa in cui esse sono immerse. Poichè il modulo elastico dei due materiali è assai diverso è necessario introdurre un mo-dulo elastico equivalente della cinghia come media pesata sulla frazione volumica dei materiali costituenti.

Dette AgEg e ArEr le rigidezze estensionali dei due materiali, si puo’ scrivere:

E = AgEg+ ArEr Ag + Ar

(3.1)

A = Ag+ Ar (3.2)

A `e l’area equivalente di una cinghia a sezione costante (quindi senza denti) , ed `e quindi la media tra la sezione massima e min ima della cinghia.

A = αAmax+ Amin

2 (3.3)

α ∈ [0, 0.2] (3.4)

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3.2 modellazione del contatto cinghia-puleggia

Il contatto tra la cinghia e le pulegge viene modellato tramite il modello Penalty analogo a quello utilizzato nella trattazione secondo Gerbert. Nel caso specifico l’Impact Function cerca di incorporare le relazioni costitutive dei materiali in con-tatto aggiungendo alle molle non lineari, degli elementi smorzanti. Tra i fianchi della cinghia e la gola della puleggia `e come se fossero interposte delle molle e smorzatori che, per la simmetria, sono identiche su entrambi i fianchi. La simme-tria comporta che alla fine il modello del contatto sia ricondotto allo schema di figura 3.3

Figura 3.3: Contatto tra un elemento di cinghia e pulegge

Detto s lo spostamento radiale della cinghia e ˙s la sua derivata, si puo’ espri-mere la forza di contatto FN nel modo seguente:

FN = Kcsr+ Ccs˙r (3.5)

Kc e Cc sono le caratteristiche elastiche e smorzanti equivalenti alla somma dei

contatti sui due fianchi, e vengono introdotti al fine di riportare le equazioni sulla coordinata radiale.

Si deve per`o porre attenzione al fatto che , nonostante queste equazioni permettano di risolvere matematicamente il problema, la pressione di contatto non `e radiale ma agisce sui fianchi inclinati della puleggia.

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3.3 Modello di pretensionamento

In questa sezione sono spiegate le equazioni e le ipotesi del modello di pretensio-namento sviluppato

3.3.1 ipotesi del modello

Forza di contatto in direzione radiale ricavabile dal modello penalty Attrito agente solo radialmente

raggio di avvolgimento variabile

Cinghia discretizzata in N elementi di massa m N Rigidezza flessionale nulla

Le ipotesi permettono di trattare il problema in modo discreto, considerando che all’aumentare del numero di elementi la soluzione tende a coincidere con quella ricavabile dal modello continuo. Da ci`o segue che anche i parametri di rigidezza e smorzamento sono relativi ad ogni singolo elemento, e quindi il problema diventa la risoluzione di un sistema di 2N equazioni differenziali accoppiate.

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Ogni elemento di cinghia ha due gradi di libert`a nel piano e interagisce con l’elemento precedente, l’elemento successivo e con le pulegge.

Sia lb la lunghezza della cinghia e N il numero di elementi; allora si avr`a che ogni

elemento di cinghia dl sar`a lungo lb

N e avr`a massa mb

N .La rigidezza delle molle che collegano gli elementi di cinghia risultano:

K = EA dl =

EAN lb

(3.6)

La costante di smorzamento `e invece indipendente dal numero di elementi; infatti se lo smorzamento critico della cinghia `e Cb,cr=2

√ Kbmb si ha: Ccr = 2 √ Km = 2 r N Kb mb N = Cb,cr (3.7)

Per questo, poich`e lo smorzamento effettivo `e una frazione dello smorzamento critico, tale costante si ricava direttamente dall’intera cinghia e non dipende dalla discretizzazione.

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Figura 3.6: Equilibrio elemento i-esimo

In fig 3.6 `e rappresentato il diagramma di corpo libero dell’elemento i-esimo della cinghia, dove Ti,i−1e Ti,i+1sono le forze che gli elementi adiacenti all’elemento

i-esimo esercitano su di esso e Fr,i `e la forza di contatto tra l’elemento i-esimo e la

puleggia.

~

Ti,i−1+ ~Ti,i+1+ ~Fr,i = m

d2_~_r i

dt2 (3.8)

~

Ti,i−1 = K(~ri−1− ~ri) + C( ˙~ri−1− ˙~ri) ·

(~ri−1− ~ri)

||~ri−1− ~ri||2

(~ri−1− ~ri) (3.9)

~

Ti,i+1 = K(~ri+1− ~ri) + C( ˙~ri+1− ˙~ri) ·

(~ri+1− ~ri) ||~ri+1− ~ri||2 (~ri+1− ~ri) (3.10) ~ Fr,i =            (−Kp(ri− Rm) − Cp( ˙ri)) ˆri...se||(ri− Rm)|| < 0 (−Kp(||~ri− ~d|| − Rc) − Cp( ˙ri)) · ~ri− ~d ||~ri− ~d|| ...se||(~ri− ~d|| − Rc) < 0 0...altrimenti (3.11) La forza di contatto `e definita a tratti, per distinguere il caso in cui un elemento appartiene alla puleggia motrice o alla puleggie condotta o a nessuna delle due. Questo serve per implementare un modello unico per il sistema completo, e nel caso specifico, permette di trattare la fase di incuneamento di quegli elementi di bordo che possono passare da essere esterni a essere interni al contatto durante la fase di pretensionamento.

(26)

La risoluzione di questo sistema di equazioni differenziali necessita la conoscen-za di un set di condizioni iniziali sulla posizione degli elementi all’istante t=0 e sulla loro velocit`a nel piano. In questo caso si impone che, inizialmente, gli ele-menti siano disposti sul percorso teorico della cinghia, avente una tensione iniziale teorica T0, e velocit`a nulla.

La tensione T0 `e un dato di ingresso del problema e rappresnta la tensione che

avrebbe la cinghia dopo il tensionamento se il contatto con le pulegge fosse infini-tamente rigido, e quindi `e ricavabile dalla differenza tra la lunghezza della cinghia indeformata lb e la lunghezza l della cinghia dopo l’avvicinamento assiale delle

semipulegge. T0 = EA l − lb lb (3.12) in definitiva si ha:          ~

Ti,i−1+ ~Ti,i+1+ ~Fr,i = m

d2_~_r i dt2 ~r(0) = ~rbelt ˙ ~r(0) = ~0 (3.13)

Il contributo della forza di attrito `e contenuto in ~Fr,i in quanto si considera

che gli elementi di cinghia si trovino in condizione limite di strisciamento durante tutta la fase di simulazione, e che per semplicit`a la forza di attrito coulombiano sia sempre radialmente uscente. L’introduzione di questa ipotesi serve per garantire una soluzione numerica stabile ed `e giustificata dal fatto che non interessa l’anda-mento della soluzione nel transitorio ma solo la condizione di equilibrio, in cui la forza di attrito si puo’ ragionevolmente pensare diretta in senso radiale uscente.

3.4 Risultati ottenuti

Una volta che `e imposta la geometria della trasmissione `e possibile costruire ite-rativamente delle curve che legano la tensione di assestamento a quella teorica in assenza di penetrazione radiale. Nel caso mostrato in fig 3.7 sono rappresentate due curve relative a due diversi valori di rigidezza assiale della cinghia: quindi noto che sia il valore di tensione necessario a garantire le prestazioni richieste alla

(27)

Figura 3.7: Legame tra la tensione teorica T0 e la tensione effettivamente

ottenuta Tf per due diversi valori di rigidezza assiale EA

Figura 3.8: dettaglio elementi

In Fig 3.8 `e stato riportato un dettaglio di cinghia ingrandito al fine di mostrare la posizione in cui gli elementi si stabilizzano al termine della simulazione, mentre in Fig 3.9 viene rappresntata la coordinata radiale di ogni singolo elemento prima e dopo la simulazione.

(28)

Figura 3.9: distanza dal centro della puleggia degli elementi ,prima e dopo la simulazione

raggio di avvolgimento costante risulta verificata finch`e non diventano significativi gli effetti della rigidezza flessionale della cinghia, ovvero per piccoli raggi e bassi valori di tensione.In questo lavoro non si `e indagato sugli effetti della rigidezza flessionale, e se ne rimanda lo studio a lavori futuri.

(29)

4. Modello dinamico stazionario

4 Modello dinamico stazionario

Lo studio della dinamica della trasmissione ha come fine di esplicitare le interazioni tra la cinghia e le pulegge durante il moto con una coppia applicata. Per fare ciò non risulta agevole impostare il problema in modo totalmente generale, in quanto, come visto nella trattazione secondo Gerbert, la risoluzione è assai onerosa e puo’ dare problemi di instabilità, che rendono di fatto inutilizzabile il modello per fini pratici. Al fine di semplificare la trattazione, si modella inizialmente la cinghia come se fosse piatta e coincidente con le fibre di rinforzo, poi successivamente si va ad introdurre l’effetto dell’incuneamento radiale.

4.1 modello semplificato: velocit`

a di scorrimento costante

Nel processo che porta all’elaborazione del modello finale, si parte introducendo il caso semplificato in cui si assume che la cinghia abbia rigidezza assiale infinita. Questa ipotesi semplifica il problema, in quanto si trascura la variazione di velocit`a assiale della cinghia

4.2 ipotesi

Considerando il caso di rapporto di trasmissione unitario, le ipotesi che permettono di sviluppare il modello semplificato sono:

la tensione puo’ variare anche in assenza di strisciamento coefficiente di attrito statico µs = 1.2µd

Ta+ Tb = 2T0+ 2q(ωR)2

(Ta− Tb)R = M

La prima ipotesi implica che la cinghia, deformandosi, genera una variazione di tensione anche in condizioni di adesione, e quindi la condizione di strisciamento avverr`a solo dopo che l’elemento di cinghia si sar`a deformato senza movimento relativo tra le superfici di contatto.

La terza e la quarta ipotesi sono comunemente utilizzate, e garantiscono che una volta noti il momento motore la velocit`a angolare ed il raggio della puleggia, siano note anche le tensioni nel ramo teso e in quello lasco. La costante q rappresenta la massa lineica della cinghia, ed il termine 2q(ωR)2 _`_{e il contributo della forza di}

(30)

4.2.1 Brush Model

Il Brush model o modello a spazzola, è comunemente usato per analizzare il con-tatto tra lo pneumatico e l’asfalto, e assume che il materiale del battistrada si comporti come un letto di setole, e la forza tangenziale legata allo scorrimento relativo puo’ essere trattata come la forza che una setola deformata esercita. La setola della spazzola è l’elemento che genera questo tipo di interazione,in quan-to altro non è che una trave con una estremità solidale allo pneumatico, e l’altra in contatto con il terreno. Si suppone inoltre un legame lineare tra la forza esercitata dalla setola e lo spostamento relativo tra punta e radice.

τs = kss (4.1)

Figura 4.1: Zone di adesione e strisciamento,e dettaglio di una selola deformata

Questo tipo di approccio puo’ evidentemente essere usato anche per il contatto cinghia-puleggia, ma con una differenza sostanziale: Il campo di pressione non è noto a priori ma è incognito e varia in funzione della coppia trasmessa. In Fig 4.2 viene rappresentata una schematizzazione del modello a spazzola della cinghia nel contatto con la puleggia motrice, il caso della puleggia condotta è analogo ma con la differenza che la velocità della cinghia è superiore a quella del perimetro esterno della puleggia.

Una volta noto il momento motore Mm applicato alla puleggia motrice e il valore

della tensione statica T0, si possono facilmente ricavare le tensioni nei due rami:

Ta = T0+ Mm 2Rm + q(ωmR)2...Tb = T0− Mm 2Rm + q(ωmR)2 (4.2)

(31)

Figura 4.2: Modello a spazzola applicato alla puleggia condotta

Tali valori di tensione saranno le condizioni al contorno che la soluzione finale del problema dovr`a rispettare.

La velocit`a di rotazione della puleggia motrice ωm si assume come dato di

partenza noto, quindi l’unica variabile del problema `e la velocit`a della cinghia Vb

che in questo caso risulta costante dato che la cinghia `e assialmente infinitamente rigida.

La soluzione si trova imponendo la tensione iniziale per α = 0 pari a Tae iterando

(32)

Per quanto riguarda la puleggia condotta ,il procedimento iterativo è legger-mente diverso, infatti una volta nota la soluzione sull’arco di contatto della puleg-gia motrice, è nota la velocità della cinghia Vb, che è la stessa anche sull’arco di

contatto della puleggia condotta.

Quello che cambia quindi `e che in questo caso si va ad iterare sulla velocit`a an-golare della puleggia condotta, arrestandosi quando la distribuzione sull’arco di contatto genera una tensione in uscita che converge al valore di Ta noto a priori.

Il problema con cinghia piatta risulta quindi chiuso, ottenendo come risultato la variazione di tensione della cinghia, la distribuzione della pressione di contatto, le zone di strisciamento e adesione e la differenza di velocit`a angolare tra le due pulegge.

La soluzione tuttavia non tiene conto dell’incuneamento e del fatto che la forza di attrito non ha direzione circonferenziale, ma una parte di essa agisce in senso radiale. sar`a quindi introdotto in seguito un metodo per estendere i risultati ottenuti con cinghia piana al caso generale con movimento radiale della cinghia.

4.3 Risoluzione analitica

Siano:

ks la costante elastica della setola in

N mm2

Vb la velocit`a della cinghia

mm s

ωmla velocit`a angolare della p. motrice [

rad s ] ωcla velocit`a angolare della p. condotta [

rad s ] µ il coefficiente di attrito

mb la massa della cinghia [kg]

lb la lunghezza della cinghia [mm]

β l’angolo di inclinazione dei fianchi [rad] αm l’arco di contatto della p.motrice [rad]

αc l’arco di contatto della p.condotta [rad]

(33)

Rc il raggio della p. condotta [mm]

Vs velocit`a di scorrimento[

mm s ] 4.3.1 soluzione nell’arco di adesione Si analizza prima il caso della puleggia motrice:

Vs = ωmRm− Vb (4.3)

Lo spostamento relativo tra radice e punta della setola `e calcolabile tramite integrazione della Vs nel tempo:

s = Z t 0 Vsdt = Vst = Vsα ωm (4.4) Dove α `e la ccordinata angolare con origine nel punto in cui la cinghia entra in contatto con la puleggia.

τ = kss = ks

Vsα

ωm

(4.5) Segue la determinazione dell’andamento di tensione nell’arco di contatto in cui c’`e adesione: T (α) = Ta− Z α 0 τ (α)Rmdα = Ta− ksVsRm 2ωm α2 (4.6)

Dal modello classico di cinghia piatta si ottiene la pressione di contatto PN che

agisce sulla puleggia:

PN =

T − qV2 b

Rm

(4.7) Dove q `e la massa per unit`a di lunghezza della cinghia pari a mb

lb

Una volta nota la pressione di contatto in funzione della coordinata angolare, `e possibile calcolare per quale valore di α avviene il passaggio da adesione a strisciamento. τmax= µPN = µTa Rm −ksVs 2ωm α2− µqV 2 b Rm (4.8) A = ksVs 2ωm (4.9) B = µ Rm (Ta− qVb2) (4.10)

(34)

Il limite di attrito `e rappresentato da una parabola in funzione di α, la cui inter-sezione con l’eq.4.6 determina la coordinata angolare αs dopo la quale ha luogo lo

strisciamento. αs =⇒ τ = τmax (4.12) − Aα2_{+ B = K} s Vsα ωm (4.13) In questo caso l’equazione puo’ essere risolta in forma chiusa, ricavando:

αs= −ksVs ωm + r (ksVs ωm )2 _{+ 4AB} 2B (4.14)

Figura 4.3: Determinazione grafica dell’angolo in cui inizia lo scorrimento, con ωm = 150

rad

s , T0 = 500N, Cm = 30N m, Rm = 40mm

4.3.2 Soluzione nell’arco di strisciamento

Una volta determinato αs le equazioni del modello cambiano, in quanto si deve

(35)

4. Modello dinamico stazionario α > αs =⇒ τ = µpN(α) (4.15)    dT dα = −µpNRm T (αs) = Tαs (4.16)

L’andamento della tensione nell’arco di strisciamento risulta quindi:

T = (Tαs − qV

2 b )e

−µ(α−αs)_{+ qV}2

b (4.17)

A questo punto `e possibile calcolare il valore della tensione in uscita relativa al caso con velocit`a della cinghia Vb di primo tentativo, se tale valore risulta

sufficien-temente vicino al valore Tb la soluzione `e definitiva, altrimenti si va ad aggiornare

il valore di Vb = Vb0 e a iterare fino a convergenza.

Figura 4.4: Andamento della tensione in funzione dell’angolo, con ωm =

150rad

s , T0 = 500N, Cm = 30N m, Rm = 40mm.In blu la parte in cui c’`e adesione, i rosso la parte con strisciamento

(36)

4.3.3 Metodo iterativo su Vb

Trattando il caso della puleggia motrice, si ha che la velocità della cinghia deve essere necessariamente inferiore alla velocità periferica della puleggia affinchè si abbia trasmissione di coppia.

Si considera quindi che la Vb reale sia compresa in un intervallo il cui estremo

inferiore coincide con la velocit`a periferica della puleggia e l’estremo superiore cor-risponde al valore di Vb per cui si ha strisciamento globale. Verificando che esiste

un solo valore di Vb tale per cui parteno da Ta si ottiene Tb all’uscita, non resta

che definire il metodo iterativo necessario per convergere alla soluzione.

Vb1 = ωmRm (4.18)

Vb2 = (ωm+ δω)Rm (4.19)

Si usa un algoritmo di bisezione per convergere alla soluzione, poichè, nonostante la relativa lentezza, è molto più robusto rispetto ad altri metodi come quello di Newton-Raphson.

La funzione da azzerare `e:

f (Vb) = Tb− Tout(Vb) (4.20)

Vb `e compresa nell’intervallo I = [Vb1, Vb2] , quindi, seguendo la logica della

bise-zione, al primo passo si ha:

Vb =

Vb1 + Vb2

2 (4.21)

se f (Vb)f (Vb1) < 0 allora il nuovo intervallo diventa I0 = [Vb1, Vb], altrimenti

I0 = [Vb, Vb2]

Si itera seguendo questa logica finch`e l’errore non risulta inferiore a una certa soglia fissata.

= Tb− Tout(Vb) Tb

(37)

4.4 Caso con rigidezza della cinghia finita

4.4.1 Equazione di continuit`a

Figura 4.5: Segmento di cinghia

Dall’equazione di continuità applicata ad un tratto di cinghia, si puo’ ricavare la velocità puntuale della cinghia in funzione della tensione e della velocità v0 che per

la puleggia moitrice coincide con la velocità del ramo teso. Introducendo questa relazione, la velocità di scorrimento non sarà più una costante ma dipenderà da α.

4l0 = T0 EAl (4.23) 4l = T EAl (4.24) l0 v0 = l1 v1 =⇒ 1 v0 (l + T0 EAl) = 1 v1 (l + T1 EAl) (4.25) v1 = v0 EA + T1 EA + T0 (4.26)

Risulta quindi utile definire uno scorrimento relativo SR analogamente a quanto viene fatto nella trattazione degli pneumatici.

SCORRIMENTO PERCENTUALE

SR(α) = ωmRm− vs(α) ωmRm

(38)

4. Modello dinamico stazionario 4.4.2 equazioni modificate puleggia motrice s(α) = Z α 0 Vsdt = Z t 0 (ωmRm− v0 EA + T EA + Ta )dα ωm (4.28) T (α) = Ta− Z α 0 kss(α)Rmdα (4.29) Si fa un cambio di variabile: dt = dα ω                  ds dα = Rm− v0(EA + T ) ωm(EA + Ta) d2_T dα2 = −ksRm ds dα T (0) = Ta T0(0) = 0 (4.30)

Il sistema di equazioni differenziali puo’ essere ricondotto alla soluzione di una sola equazione differenziale del secondo ordine:

                     d2_T dα2 + ksRm(Rm− v0(EA + T ) ωm(EA + Ta) ) = 0 T (0) = Ta T0(0) = 0 (4.31)

integrando l’eq 4.31 si ottengono gli andamenti di τ (α) e T (α): sia d2 ₌ ksRv0 ωm(EA + Ta) e C = ksRm( EAv0 ωm(EA + Ta) − Rm) T (α) = 1 2(Ta+ C d2)[e αd_{+ e}−αd ] − C d2 (4.32)

(39)

Figura 4.6: Grafico degli andamenti teorici delle τ (α)calcolati con rigidezza finita e infinita

(40)

4.5 Confronto con il modello classico Coulombiano

Come gi`a sottolineato nella parte introduttiva, la soluzione classica del problema della trasmissione a cinghia prevede una zona di adesione iniziale in cui la tensione rimane costante, seguita da una zona di strisciamento all’interno della quale avvie-ne il passagio da Ta a Tb. Nonostante sia un approccio estremamente semplificato

al problema, risulta utile per il calcolo di massima di una trasmissione, quindi `e necessario indagare quando i risultati cos`ı ottenuti sono comparabili con quelli del modello proposto in questo lavoro di tesi.

4.5.1 andamenti di tensione nell’arco di contatto della puleggia motrice

Figura 4.8: confronto tra l’andamento di tensione previsto dal modello classi-co (linea tratteggiata) e quello risultande dal brush model, per due diversi valori di coppia trasmessa (15 Nm a sx , 20 Nm a dx)

In questo caso si nota che i due modelli prevedono andamenti significativamente diversi nella maggior parte dell’arco di contatto, ciò è giustificato dal fatto che nel modello classico la cinghia deve sempre strisciare nella parte finale del contatto, questo in realtà non accade per valori bassi di coppia trasmessa in cui si puo’ avere una completa adesione.

(41)

Figura 4.9: confronto tra l’andamento di tensione previsto dal modello classi-co (linea tratteggiata) e quello risultande dal brush model, per due diversi valori di coppia trasmessa (25 Nm a sx , 30 Nm a dx)

Per valori più elevati della coppia trasmessa gli andamenti di tensione secondo i due modelli tendono a coincidere, quindi è ragionevole pensare che il modello classico sia attendibile per valutare le massime prestazioni della trasmissione ma che cada in difetto per valori medio-bassi di coppia in cui gioca un ruolo prevalente l’elasticità del materiale, che comporta una tensione variabile anche nella zona di adesione.

4.5.2 andamenti di tensione nell’arco di contatto della puleggia con-dotta

Per quanto riguarda la trattazione della puleggia condotta , le conclusioni finali sono le stesse derivate dall’analisi della puleggia motrice, per`o `e necessario porre attenzione all’andamento della pressione nell’arco di contatto.

Poichè nella puleggia condotta la tensione deve aumentare passando da un valore minimo a uno massimo, anche la pressione di contatto cresce in maniera analoga, e questo comporta che la tensione limite di strisciamento aumenta all’aumentare di α. Questa fatto implica che, rispetto alla puleggia motrice, la zona di adesione è sempre preponderante, finchè non si raggiungono elevati valori di coppia per i quali si ha uno strisciamento pressochè integrale.

(42)

Figura 4.10: confronto andamenti di tensione nella p. condotta (15 Nm a sx , 20 Nm a dx)

Figura 4.11: confronto andamenti di tensione nella p. condotta (25 Nm a sx , 30 Nm a dx)

Sia i grafici relativi alla puleggia motrice che a quella condotta sono stati rica-vati con una tensione statica T0 = 600N , velocit`a angolare costante di 3000 rpm e

rapporto di tramissione unitario. Il modello qui proposto non `e adatto a descrivere il transitorio, ma `e possibile analizzare diverse condizioni operative stazionarie per diversi rapporti di trasmissione.

(43)

4.6 Sviluppo del modello dinamico con incuneamento della

cinghia

Il modello sviluppato per cinghie piatte puo’ essre generalizzato a cinghie trape-zioidali introducendo l’effetto dovuto all’incuneamento radiale della cinghia. Per semplicit`a di trattazione si considerano separatamente il moto radiale e circonfe-renziale della cinghia. In questo caso, oltre alle zone di adesione e strisciamento, `e necessario calcolare anche le zone di ingresso e uscita dove avviene rispetivamente l’ingaggio e il disingaggio.

4.6.1 Considerazioni preliminari

Figura 4.12: sezione trasversale della cinghia prima e dopo l’incuneamento

s = δr

cos β (4.33)

p = δr sin β (4.34)

Quando la cinghia si incunea , l’equilibrio radiale di ogni singolo elemento `e bi-lanciato in parte da azioni di pressione normali ai fianchi e in parte da azioni tangenziali. Nella zona in cui si verifica il contatto con adesione, sia le azioni tangenziali che le azioni normali nascomo a causa della deformazione elastica del materiale.

(44)

Per questo motivo si introducono delle costanti elastiche kp e kr al fine di

modellare il contatto separando i due diversi contributi.

pN = kpp = (kpsin β)δr (4.35)

τ = krs =

kr

cos βδr (4.36)

Si puo’ analizzare il problema nella sola coordinata radiale riportando le rigi-dezze kp e kr in direzione radiale, ovvero introducendo due diverse costanti k0pe k

0 r,

che legano rispettivamente le componenti radiali di τ e pN all’incuneamento δr

Figura 4.13: carateristiche elastiche riportate in senso radiale

pN,r = pNsinβ = (kpsin2β)δr (4.37) k_p0 = kp(sinβ)2 (4.38) τr = τ cos β = kr cos βδr cos β (4.39) k0_r = kr (4.40)

(45)

4.6.2 Analisi della fase di ingaggio

La fase iniziale di ingaggio viene trattata separatamente rispetto al resto del pro-blema e l’estensione angolare dell’arco di contatto in cui avviene si considera teo-ricamente nullo.

Viene ipotizzato che l’elemento di cinghia che entra nell’arco di contatto sia sot-toposto a un moto esclusivamente radiale fino al raggiungimento della quota in cui si ha equilibrio. In questa fase la pressione depende dalla penetrazione radia-le analogamente a quanto precedentemente detto, mentre la tensione tangenziaradia-le è direttamente legata alla PN e al coefficiente di attrito, poichè la cinghia è in

condizioni di strisciamento. Ta− qv2

R = pN sin β + µpNcos β = kpp(sin β + µ cos β) (4.41) δr0 = Ta− qv2 Rk0 p(1 + µ tan β) (4.42)

δr0 `e il valore dell’incuneamento iniziale derivante dall’equilibrio radiale di un

elemento di cinghia sottoposto a una tensione pari a quella di ingresso nell’arco di contatto (ovvero Ta per la p. motrice, Tb per quella condotta).

In tale condizione di assestamento, la τr vale µpN e quindi la molla di costante kr

sar`a deformata in modo che la forza elastica sia uguale a µpN

krs0 = µpN = µkpδr0sin β (4.43) s0 = µ kp kr p = µkp kr δr0 sin β (4.44)

L’analisi della fase di ingaggio `e necessaria per calcolare s0, infatti, a differenza

del caso con cinghia piatta, la tensione τ ha sia una componente radiale τr che

circonferenziale τc, e nel punto di inizio dell’arco di adesione la τr `e legata alla

deformazione iniziale s0, la cui conoscenza risulta quindi necessaria per risolvere il

(46)

4.6.3 Fase di adesione

L’estensione della zona di adesione dipende dal valore di coppia trasmessa e dal livello di pretensionamento. Il punto in cui finisce `e determinato dalla condizione in cui la tensione tangenziale complessiva (radiale pi`u circonferenziale) uguaglia il limite di attrito .

p τ2

c + τr2 = µpN (4.45)

Finch`e non si raggiunge questo valore, l’andamento della tensione T (α) risulta indipendente da PN, e calcolabile con lo stesso modello utilizzato per la cinghia

piatta.

La PN dipende dall’incuneamento δr(α), quindi la risoluzione del problema

coin-cide con la conoscenza del campo di spostamento radiale.

(T (α) − qv2₎ R = k 0 pδr(α) + kr(s0+ δr(α) − δr0 cos β ) cos β (4.46) δr(α) = T (α) − qv2 R + kr(δr0− s0cos β) k0 p+ kr (4.47) δr(α) = 1 2(Ta+ C d2)[e αd_{+ e}−αd_{] −} C d2 − qv 2 R + kr(δr0− s0cos β) k0 p+ kr (4.48)

In questa equazione (scritta per la puleggia motrice) si eplicita la dipendenza dell’incuneamento dall’elasticit`a della cinghia stessa, modellata tramite le costanti Ks ,kp e kr.

L’unica incognita rimane v0, ovvero la velocit`a in corrispondenza del ramo teso

se si tratta la puleggia motrice. Questa andr`a quindi successivamente iterata per convergere alla soluzione globale del problema.

(47)

4.6.4 Determinazione delle costanti elastiche ks ,kp e kr

Figura 4.14: Modello geometrico di un dente con vincolo ”bonded” sulle superfici di contatto

Figura 4.15: Deformata del dente sottoposto a una forza assiale di 10 N

kssld= F =⇒ ks =

F sld

(4.49) ld lunghezza dente

(48)

Figura 4.16: Sezione trasversale di un dente sottoposto a un carico di volume Viene applicato un carico di volume in due diverse condizioni di vincolo: 1. ”BONDED”

2. ”FRICTIONLESS”

alle quali corrispondono due diversi valori di incuneamento ,rispettivamente δ1

e δ2 con δ1 < δ2 k_p0 = F δ2 (4.50) kr = k0p (δ2− δ1) δ1 (4.51)

In mancanza di prove sperimentali da effettuare,le costanti possono essere deter-minate utilizzando software agli elementi finiti. Viene utilizzato un modello FEM per stimare ks, utilizzando un vincolo di tipo BONDED per le superfici di contatto

e andando ad imporre una forza assiale F alle fibre di rinforzo. Una volta noto lo spostamento delle fibre si puo’ facilmente stimare ks (eq 4.49). mentre per

calco-lare k0_p e k_r0 si utilizza lo stesso modello ma si va ad imporre un carico di volume trasversale alla cinghia e si misura lo spostamento del baricentro della sezione (δ1,

(49)

4.6.5 Fase di strisciamento

Durante la fase di strisciamento, che interessa la parte finale del contatto, la cin-ghia `e sottoposta ad azioni di attrito di tipo coulombiano il cui modulo dipende dalla pressione normale ai fianchi e quindi dall’incuneamento. Nonostante sia noto il modulo della forza di attrito una volta noto l’incuneamento, risulta incognito il verso, il quale dipende dal rapporto tra la velocit`a radiale e circonferenziale della cinghia. A tal fine si introduce un angolo γ analogo all’angolo di deriva utilizzato nella trattazione degli pneumatici:

vs,R = − dR dt = − ∂R ∂α dα dt = − ∂R ∂αω (4.52) vs,C ' v0 EA + T EA + Ta − ωR (4.53) tan γ = vs,R vs,C ' ∂R ∂αω ωR − v0 EA + T EA + Ta (4.54)

Figura 4.17: Definizione grafica dell’angolo di scorrimento γ

Nel definire vs,C si fa una approssimazione trascurando la differenza tra la

velo-cit`a assoluta della cinghia vb e la sua proiezione in senso circonferenziale vbcos γ0;

dove γ0 `e l’angolo compreso tra la retta tangente alla circonferenza esterna della puleggia e la direzione del vettore ~vb, il quale `e sicuramente molto piccolo.

vb ' vbcos γ0 (4.55)

(50)

cur-4. Modello dinamico stazionario

La forza di attrito ha la stessa direzione della ~vs, agendo in parte in senso

ra-diale e in parte in senso circonferenziale. Per semplicit`a di notazione di definiscono:

µr = µ sin γ (4.56)

µc= µ cos γ (4.57)

Quindi la soluzione nell’arco di strisciamento puo’ essere trovata mettendo a sistema le seguenti equazioni:

EQUILIBRIO RADIALE (T (α) − qv2)

R = 2pN(α) sin β + 2(µ sin γ)pN(α) cos β (4.58) EQUILIBRIO CIRCONFERENZIALE dT (α) dα = 2(µ cos γ)RpN(α) (4.59) DEFINIZIONE DI γ tan γ = ∂R ∂αω ωR − v0 EA + T (α) EA + Ta (4.60)

Riorganizzando le equazioni si ottiene:                            dT (α) dα = µcRkpsin βδr(α) ∂r(α) ∂α = (ωR − v0 EA + T (α) EA + Ta )tan γ ω δr(α) = T (α) − qv 2 Rk0 p(1 + µr tan β) (4.61)

Questo set di equazioni `e stato risolto numericamente utilizzando il software Matlab, in quanto risulta impossibile risolverlo in forma chiusa.

(51)

4.7 Analisi dei risultati

A differenza del caso con cinghia piatta, introducendo l’effetto dell’incuneamento si ottengono risultati sensibilmente diversi per la puleggia motrice e condotta. Infatti, per quanto riguarda la puleggia condotta, la condizione di inizio striscia-mento risente molto dell’incuneastriscia-mento iniziale il quale garantisce una maggiore estensione dela zona di adesione della cinghia. Anche nel contatto con la puleggia condotta si risente dell’incuneamento iniziale, ma questo è molto minore rispetto a quello che si manifesta nella puleggia motrice poichè è dovuto all’effetto della tensione del ramo lasco.

4.7.1 soluzione nel contatto con la puleggia motrice

(a) T0=450N C=15 Nm

(b) T0=450N C=25 Nm

Figura 4.18: Confronto tra τ e τmax a sx, andamento della T (α) a dx, per due

(52)

Figura 4.19: Andamento dei vari contributi della tensione tangenziale In fig. 4.19 viene evidenziata separatamente la componente radiale e circonfe-renziale della τ e si vede come in questo caso la componente radiale risulta massima alla fine della fase di ingaggio (ovvero all’inizio della zona di adesione) e tende gra-dualmente a diminuire a causa della diminuzione della T che provoca una riduzione dell’incuneamento dela cinghia.

La componente circonferenziale ha un andamento analogo a quello ricavato per cinghie piatte, e quindi l’effetto complessivo `e dato dalla somma vettoriale dei due contributi finch`e risulta verificata la condizione di non strisciamento.

L’estensione delle aree di adesione e strisciamento, oltre che dalla coppia trasmessa e dal coefficiente di attrito, dipendono anche dal rapporto tra kp e kr: al crescere

di tale rapporto aumenta l’estensione dell’arco di adesione poich`e l’equilibrio ra-diale viene bilanciato prevalentemente da azioni di pressione il che determina un allontanamento della condizione di strisciamento.

(53)

4.7.2 soluzione nel contatto con la puleggia condotta

(a) T0=450N C=15 Nm

(b) T0=450N C=25 Nm

Figura 4.20: Confronto tra τ e τmax a sx, andamento della T (α) a dx, per due

diversi valori di coppia applicata.

In fig 4.21 si nota che anche la componente radiale della tensione di attrito cre-sce all’aumentare di α e quindi la condizione di inizio strisciamento viene raggiunta prima rispetto alla puleggia motrice, in cui la componente radiale della tensione di attrito tende a diminuire con il crescere di α.

(54)

Figura 4.21: Andamento dei vari contributi della tensione tangenziale

Figura 4.22: (Cm=40.1 Nm , Gear Ratio=0.46 , ω=6500rpm)

In fig 4.22 si confronta il modello proposto con il modello ADAMS e risulta che, ad eccezione dei picchi iniziali dovuti a fenomeni dinamici di impatto, i due andamenti non defferiscono sensibilmente. Il valore di tensione medio calcolato con Adams nel ramo teso e in quello lasco differiscono di qualche permille da quelli ricavati dal modello proposto.

(55)

5. Analisi delle perdite

5 Analisi delle perdite

Le perdite in una trasmissione a cinghia non sono facilmente computabili poichè dipendono da innumerevoli fattori la cui conoscenza non è affatto scontata. Qui verranno sfruttati i risultati ottenuti dal modello a spazzola per sviluppare un mo-dello che stimi con sufficiente accuratezza l’entità delle perdite energetiche. Esse possono essere suddivise in:

Perdite interne al materiale – Perdite per isteresi Perdite Esterne

– Perdite per strisciamento circonferenziale – Perdite per strisciamento radiale

5.1 perdite esterne

Parlando di perdite esterne si intendono tutti i flussi di energia generati dallo sfre-gamento dalle superfici di contatto della cinghia con le pulegge. Questa tipologia di perdita avviene quando viene raggiunto il limite di attrito in alcune zone del-l’arco di contatto, e di conseguenza si genera un moto relativo tra le superfici di contatto responsabile della perdita energetica.

Per comodit`a di trattazione, si considera separatamente il contributo delle perdite conseguenti allo strisciamento radiale e circonferenziale, anche se la natura fisica del fenomeno `e naturalmente la stessa.

5.1.1 perdite per strisciamento circonferenziale

Siano θm e θc rispettivamente gli archi angolari su cui viene raggiunto il limite di

attrito, ovvero:

τ = µpN (5.1)

Integrando su tali zone la potenza per unità di lunghezza, calcolabile dal pro-dotto della velocità relativa di strisciamento per la forza circonferenziale per unità di lunghezza, si ottiene l’entità della perdita considerata.

(56)

5. Analisi delle perdite Wm,c = Z Θm µ cos γmpNrm(αm)vsm(αm) dαm (5.3) Wc,c = Z Θc µ cos γcpNrc(αc)vsc(αc) dαc (5.4)

5.1.2 Perdite per strisciamento radiale

Lo strisciamento in senso radiale `e una tipologia di perdita peculiare delle cinghie trapezioidali che giustifica il minor rendimento rispetto a una trasmissione con cin-ghia piatta. Nella zona di ingaggio e disingaggio avviene una repentina variazione del raggio di avvolgimento e risulta quindi ragionevole considerare γ = 90°. Questa ipotesi implica che in tali zone la componente di attrito in senso circonferenziale `e trascurabile rispetto a quella radiale.

Nella restante parte dell’arco di contatto, lo strisciamento in senso radiale avviene in quelle zone in cui si raggiunge il limite di attrito e in questo caso γ `e minore di 90°

Siano come prima θm e θc gli archi angolari su cui viene superato il limite di

attrito nelle due pulegge, allora si ha: Wm,r = Z Θm µ sin γmpNr(αm)vs,R(αm) dαm (5.5) Wc,r = Z Θc µ sin γcpNrc(αc)vs,R(αc) dαc (5.6)

Per quanto riguarda invece le zone di ingaggio-disingaggio, si utilizza un ap-proccio leggermente diverso. Come già detto γ è da considerarsi costante e pa-ri a 90°, quindi puo’essere portato fuori dall’integrale.Si andrà quindi a intega-re in senso radiale la forza di attrito per calcolaintega-re il lavoro necessario per por-tare un elemento di cinghia dalla condizione di (P, r) = (0, R0) alla condizione

(P, r) = (Pmax, r(Pmax)).

Dato il modello penalty di esponente e per il calcolo della penetrazione radiale, si ha:

pN = kδrb (5.7)

(57)

5. Analisi delle perdite dL = Z δrmax 0 µp(r)dldδr (5.9) W = dL dt = d dt Z δrin 0 µp(r)kδrbdldδr = µk δ b+1 in b + 1Vin (5.10)

Dove Vin rappresenta la velcit`a della cinghia nel punto di ingresso e δin rappresenta

la penetrazione radiale massima che si raggiunge quando al cinghia si `e assestata. Una relazione analoga puo’essere ricavata per l’uscita ,ottenendo quindi:

Wtot =

2µk b + 1(Vinδ

b+1

in + Voutδoutb+1) (5.11)

Si è moltiplicato per un fattore 2 per tenere in considerazione le perdite di en-trambe le pulegge sia in ingresso che in uscita.Questo tipo di perdite crescono al crescere della velocità della cinghia e al crescere della penetrazione radiale e quindi dipendono dall’entità del pretensionamentoe e della coppia trasmessa.

5.2 Perdite interne alla cinghia

Quando si parla di perdite interne alla cinghia ci si riferisce a tutti quei flussi di energia che primariamente viene trasformata da meccanica a termica dagli attriti interni al materiale della cinghia. Questo tipo di perdite hanno luogo quando il materiale si deforma a causa di un ciclo di carico ripetuto e se il materiale non `e perfettamente elastico si innesca quello che `e comunemente noto come ciclo di isteresi.

5.2.1 perdite per isteresi

Le perdite per isteresi sono tipiche di tutti i materiali non perfettamente elastici sottoposti ad un ciclo di deformazione ripetuto. Ad ogni ciclo una certa quantit`a di energia viene dissipata, e tale quantit`a risulta proporzionale all’energia poten-ziale immagazzinata nel materiale durante il ciclaggio.

(58)

In questo caso , e perdite per isteresi sono la somma di due contributi diversi:

ciclo di deformazione radiale

ciclo di deformazione circonferenziale

In fig 5.3 `e mostrata una rappresentazione qualitativa del ciclo di deformazione radiale e circonferenziale che un elemento di cinghia subisce .

(59)

Figura 5.2: Belt Path

La trattazione delle perdite per isteresi del materiale viene fatta utilizzando il metodo del rain-flow per individuare i sottocicli di deformazione, analogamente a quanto viene fatto nell’analisi a fatica. Nel ramo teso D’A, la tensione della cinghia vale Ta e pressione `e nulla , quindi la deformazione longitudinale `e pari a:

a,A=

Ta

EA (5.12)

Nel momento in cui l’elemento di cinghia entra nel contatto, si assiste ,come gi`a evidenziato, ad un rapido incuneamento e alla conseguente variazione del raggio di curvatura della cinghia, per questo motivo ,all’effetto della tensione sulla de-formazione si aggiunge la presenza della curvatura, che determina quindi un picco nel punto A’.Detta y la distanza dalle fibre di rinforzo di ogni punto appartenente a una sezione trasversale della cinghia, si ha:

a,A0 = Ta EA + y Rm (5.13)

In tutto l’arco di contatto A’B si assiste a un graduale decremento della de-formazione longitudinale e trasversale in funzione del livello di tensione raggiunto, fino al punto B dove si ha:

a,B = Tb EA + y Rm (5.14)

(60)

Infine, passando da B a B’ si ha il disingaggio della cinghia, e la curvatura torna a essere nulla. Quindi la deformazione nel ramo lasco `e pari a:

a,B0 = Tb

EA (5.15)

Seguendo lo stesso ragionamento, si esplicita la deformazione della cinghia nelle restanti zone: a,B0 = _a,C (5.16) a,C0 = Tb EA + y Rc (5.17) a,D = Ta EA + y Rc (5.18)

Applicando il metodo del rain flow si ottiene che il macrociclo complessivo equivale alla somma di due sottocicli elementari:

∆1 = max(A0, _D) − _C (5.19) ∆2 = min(A0, _D) − _A (5.20) Introducendo un coefficiente di dissipazione ψ, e sia lb la lunghezza della cinghia

e btlo speesore medio, l’energia per unit`a di volume persa per isteresi in un ciclo `e :

Ui,1 = ψbtElb

Z hsup

hinf

(∆2₁ + ∆2₂)dy (5.21)

(61)

Considerando la veolcit`a media della cinghia pari a: ¯

v = V (Ta) + V (Tb)

2 (5.22)

Si ha che la potenza Wi,1 dissipata per isteresi longitudinale risulta uguale a:

Wi,1 = ψbtE ¯v

Z hsup

hinf

(∆2₁+ ∆2₂)dy (5.23)

Per quanto riguarda il contributo dell’isteresi per incuncunemento della cinghia, il ciclo di deformazione va da zero al valore di deformazione massima relativo alla massima penetrazione δrmax, per entrambe le pulegge; quindi conoscendo il fattore

di dissipazione ψ non resta che calcolare l’energia associata all’elemento di cinghia in condizioni di massima penetrazione. Dall’eq. 5.7 e dalla definizione di lavoro, si ottiene la seguente relazione:

Wi,2= 2ψ¯v

δrb+1 max

b + 1 (5.24)

Si nota quindi che le perdite per isteresi aumentano all’aumentare della velocità media della cinghia e all’umentare della deformabilità della stessa sia in senso trasversale che longitudinale, per questo è importante avere una cinghia il più rigida possibile.

(62)

5.3 Utilizzo del modello dinamico per il calcolo delle

per-dite

Figura 5.4: bilancio di potenza

Il modello dinamico descritto nel capitolo 4 puo’ essere utilizzato per calcolare le perdite energetiche della trasmissione, escluso quelle dovute al ciclo di isteresi longitudinale e radiale e a quelle derivanti dall’ingaggio e disingaggio della cinghia, che quindi andranno calcolate separatamente e sommate.

Come è stato evidenziato, per valori bassi di coppia trasmessa la cinghia non stri-scia mai nell’arco di contatto, mentre al crescere della coppia , l’arco di contatto si divide in una zona iniziale in cui c’è adesione e in una zona finale in cui avviene strisciamento. Nella zona di adesione la cinghia ha comunque una velocitò relativa non nulla rispetto alla puleggia, e questo comporta una deformazione elastica della cinghia stessa con conseguente accumulo di energia al suo interno.

Questa energia accumulata viene dissipata in seguito a causa dell’isteresi del mate-riale, e risulta quindi tanto più grande quanto più alta è la velocità di scorrimento vs e quindi aumenta all’aumentare della coppia trasmessa e al diminuire della

rigi-dezza della cinghia. Si evince che il modello dinamico riesce a descrivere la somma del contributo delle perdite per attrito dinamico e il contributo dovuto alla parte di adesione. Considerando la trasmissione in condizioni stazionarie si ha:

Cm= Cc (5.25)