Confronto tra modello GARCH e modello GARCH-MIDAS per il forecast della volatilità sui rendimenti dei principali indici azionari europei

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Politecnico di Milano

Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione

Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Matematica

CONFRONTO TRA MODELLO GARCH E

MODELLO GARCH-MIDAS PER IL

FORECAST DELLA VOLATILITA’ SUI

RENDIMENTI DEI PRINCIPALI INDICI

AZIONARI EUROPEI

Relatore: Prof. Emilio BARUCCI

Tesi di Laurea di:

Riccardo PASQUALINI Matr. 853478

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Sommario

La volatilità è una misura dell’intensità delle variazioni subite da un titolo in un determinato periodo di tempo. In letteratura, solitamente, si parla di volatilità condizionata (nel senso che il suo valore dipende dall’informazione passata dispo-nibile) ed esistono diversi modelli per il forecast.

Lo scopo della tesi è quello di dare un contributo alla letteratura già esistente, nel dimostrare che la volatilità condizionata sui rendimenti degli indici azionari viene stimata in maniera più efficace col modello GARCH-MIDAS piuttosto che col mo-dello GARCH. I risultati dimostrano che incorporando l’informazione derivante da variabili macroeconomiche a bassa frequenza nel modello GARCH-MIDAS si migliora la capacità predittiva della volatilità condizionata.

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Indice

1 Introduzione 1

1.1 Scopo del lavoro . . . 2 1.2 Struttura della tesi . . . 2

2 Stato dell’arte 3

2.1 Stimatori di volatilità realizzata . . . 6

3 Modelli e Dataset 11

3.1 Funzioni di perdita . . . 16 3.2 Dataset . . . 16 4 Analisi dei risultati 23

5 Conclusione 29

Bibliografia 31

6 Appendice A: Analisi Statistiche sul Dataset 33 7 Appendice B: Destagionalizzazione e Analisi delle Componenti

Principali 39

7.1 Destagionalizzazione . . . 39 7.2 Analisi delle componenti principali . . . 41 8 Appendice C: La Funzione Matlab GarchMidas 46

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Capitolo 1

Introduzione

Al giorno d’oggi, nel mondo della finanza quantitativa, due ambiti particolarmen-te importanti e significativi sono il risk management e l’asset management. Il risk management è l’insieme dei processi da parte di un’azienda, che porta all’i-dentificazione, analisi, eliminazione o mitigazione dei rischi legati ad un determi-nato processo. L’obiettivo principale del risk management è quello di minimizzare le perdite e massimizzare l’efficacia e l’efficienza dei processi.

L’asset management, invece, è l’attività di gestione di risparmi e investimenti detenuti da privati e società. Riguarda sia attività finanziarie (come azioni, ob-bligazioni, liquidità) che non finanziarie (come immobili e patrimoni).

In questi ambiti è importante stimare la volatilità. Ma che cosa è la volatilità?

La volatilità è una misura dell’intensità delle variazioni subite da un titolo in un determinato periodo di tempo. In altre parole la volatilità indica la variazione del valore di un titolo o un portafoglio: è una misura dell’intensità dell’oscillazione del suo valore, indica la distanza del prezzo di un titolo dal suo valore medio. Si potrebbe dire, in un certo senso, che la volatilità è una misura dell’incertezza dell’andamento del prezzo di un titolo.

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CAPITOLO 1. INTRODUZIONE

1.1 Scopo del lavoro

L’obbiettivo di questo elaborato è confrontare la capacità predittiva della vola-tilità condizionata da parte dei modelli GARCH e GARCH-MIDAS e dare un contributo alla letteratura già esistente nel dimostrare che la volatilità condizio-nata sui rendimenti degli indici azionari viene stimata e predetta in maniera più efficace attraverso il modello GARCH-MIDAS piuttosto che attraverso il modello GARCH. In particolare questo confronto viene fatto sulla volatilità degli indici azionari del mercato europeo, usando come stimatori di volatilità realizzata quelli di Parkinson e di German-Klass.

1.2 Struttura della tesi

La tesi è suddivisa in cinque capitoli ed è strutturata nel modo seguente:

Nel capitolo due si fa una disamina della letteratura attuale sull’argomento, con una sottosezione dedicata agli stimatori di volatilità realizzata.

Nel capitolo tre si descrivono il modello GARCH e il modello GARCH-MIDAS, con una sottosezione dedicata alle funzioni di perdita, fondamentali per la valu-tazione del forecast; dopodiché si conduce l’analisi dei dati.

Nel capitolo quattro vengono illustrati i risultati ottenuti.

Il capitolo cinque è dedicato alla conclusione, dove si riassumono le valutazioni dei risultati.

Nelle appendici si riportano le tabelle contenenti i risultati delle analisi stati-stiche, una spiegazione del processo di destagionalizzazione e dell’analisi delle componenti principali, una descrizione della funzione Matlab GarchMidas (rea-lizzata da Hang Qian, sulla base dell’articolo [5], disponibile online sul sito ma-thworks.com), utilizzata per simulare l’omonimo modello e le tabelle contenenti i risultati ottenuti.

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Capitolo 2

Stato dell’arte

In questo capitolo, viene presentata una disamina della letteratura inerente i mo-delli per il forecast della volatilità condizionata e, come sottosezione, alcuni sti-matori di volatilità realizzata.

Sotto l’ipotesi di mercato efficiente, il rendimento di un titolo finanziario è ge-nerato da un processo dove le variabili casuali sono indipendenti nel tempo e identicamente distribuite con media e varianza costante.

L’esigenza di elaborare modelli più articolati per la stima della volatilità, nasce dalla difficoltà nell’applicare questi modelli econometrici tradizionali ai dati, i qua-li spesso sono caratterizzati da un andamento non-gaussiano e da un clustering di volatilità. La presenza di cluster di volatilità significa che i periodi con alta volatilità sono tipicamente seguiti da alta volatilità e viceversa [2].

I dati sono caratterizzati da una varianza tempo-variante e quindi l’ipotesi di omo-schedasticità viene violata.

La presenza di cluster di volatilità suggerisce dipendenze da momenti di ordine superiore, che possono essere modellizzate utilizzando altri approcci.

Il modello ARCH (autoregressive conditional heteroscedasticity) è stato svilup-pato da Engle [1] per l’uso di serie econometriche in cui l’assunzione di omosche-dasticità condizionata è violata. L’approccio ha ottenuto riconoscimento per le possibilità di applicazione ai mercati finanziari ed è stato usato per la modelliz-zazione della volatilità dei rendimenti, dove i dati mostravano tipicamente segnali

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CAPITOLO 2. STATO DELL’ARTE di clustering. Per questo motivo, la volatilità può essere modellizzata utilizzando i suoi stessi valori passati (con un opportuno schema di pesi).

Un modello più generale è stato sviluppato successivamente da Bollerslev [3] per la modellizzazione della volatilità, il cosiddetto modello GARCH (generalized au-toregressive conditional heteroscedasticity). Di entrambi i modelli verrà data una descrizione matematica nel prossimo capitolo.

Un recente concorrente di questi modelli per la stima della volatilità condizionata è la regressione MIDAS (Mixed Data Sampling) introdotta da Ghysels et al. [4]. E’ una tecnica per analizzare l’impatto di variabili ad alta frequenza su variabili a bassa frequenza e viceversa, e può essere utilizzata per predire la volatilità. Que-ste regressioni riguardano situazioni spesso incontrate nella pratica. Ad esempio, i dati macroeconomici sono tipicamente campionati a frequenze mensili o trimestra-li mentre serie temporatrimestra-li finanziarie sono campionate a frequenze arbitrariamente più alte.

Nonostante la maggior parte delle serie temporali economiche non siano campio-nate alla stessa frequenza, la procedura tipica della stima dei modelli econometrici comporta l’aggregazione di tutte le variabili alla stessa (bassa) frequenza usando uno schema di aggregazione caratterizzato da pesi identici.

Tuttavia, non c’è un motivo a priori per cui si dovrebbe:

• ignorare il fatto che le variabili coinvolte in modelli empirici siano generate da processi di frequenze diverse

• stimare modelli econometrici basati su uno schema di aggregazione di pesi equivalenti.

Infatti, una struttura autoregressiva, che sfrutta le informazioni passate, caratte-rizzata da pesi decrescenti nello schema di aggregazione, permette di dare maggior peso alle osservazioni più recenti, mentre uno schema con pesi identici può portare a una perdita di informazione e quindi a stime inefficienti e distorte.

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CAPITOLO 2. STATO DELL’ARTE GARCH-MIDAS introdotto da Engle et al. [5].

Nel modello GARCH-MIDAS la volatilità consiste in due componenti moltipli-cative, in cui le variabili economiche entrano attraverso la componente a lungo termine attorno alla quale fluttua una componente a breve termine di GARCH con varianza unitaria. Al di là delle prove predittive, tuttavia, rimane aperta la questione se e quali variabili macroeconomiche e finanziarie siano driver significa-tivi della volatilità.

Avendo introdotto il modello GARCH-MIDAS che ci consente di estrarre due com-ponenti di volatilità, una relativa alle fluttuazioni a breve termine, l’altra relativa a una componente lunga, possiamo rivisitare il rapporto tra volatilità del mercato azionario e attività economica.

In letteratura il modello GARCH e il modello GARCH-MIDAS sono già stati messi a confronto, nell’articolo di Asgharian et al. [6]. Nello specifico viene messa a confronto la loro capacità predittiva della volatilità condizionata.

In particolare in questo articolo vengono utilizzati questi modelli per stimare la volatilità condizionata sui rendimenti dell’indice americano S&P 500. Per quanto riguarda il modello GARCH-MIDAS, vengono considerate: tasso di interesse a breve termine, slope della yield curve, tasso di default e tasso di cambio (variabili finanziarie), tasso di inflazione, tasso di crescita della produzione industriale e tasso di disoccupazione (variabili macroeconomiche).

Tutti questi dati, ricoprono il periodo che va dal gennaio 1991 al giugno 2008. Si fa inoltre ricorso all’analisi delle componenti principali per estrarre l’informazio-ne combinata delle variabili macroeconomiche, e si considerano le loro volatilità, calcolate come deviazioni prime al quadrato.

Come benchmark per il confronto col modello GARCH-MIDAS, viene preso il modello GARCH(1,1).

Vengono calcolati i MSE (Mean Square Error) come deviazione tra la volatilità stimata dai modelli e la volatilità realizzata. Come volatilità realizzata si

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CAPITOLO 2. STATO DELL’ARTE dera la somma dei rendimenti quadratici.

Infine si conclude che il modello GARCH-MIDAS ha una maggiore capacità pre-dittiva della volatilità condizionata perché incorpora le informazioni provenienti dalle variabili macroeconomiche, in particolare, i risultati migliori si ottengono utilizzando come regressore la prima componente principale.

In questo lavoro di tesi si intende riproporre in maniera analoga il confronto tra i due modelli, concentrandosi sul mercato europeo, anziché sul mercato americano, con un particolare focus su Germania, Italia, Francia e Spagna.

La differenza importante rispetto ad Asgharian et al. [6] è la scelta dello stimato-re di volatilità stimato-realizzata, fondamentale per la valutazione dell’errostimato-re sul fostimato-recast; nell’articolo la volatilità realizzata viene stimata come la somma dei rendimenti quadratici giornalieri. I rendimenti quadratici giornalieri sono stati a lungo e in molti articoli accademici usati come approssimazione della volatilità inosservabi-le. Tuttavia è stato dimostrato che questa approssimazione è caratterizzata da un grande noise [7]. L’uso dei rendimenti quadratici giornalieri, porta dunque, a una qualità molto bassa del forecast.

In questo elaborato come stimatori della volatilità realizzata sono state conside-rate l’approssimazione introdotta da Parkinson (1980), conosciuta come approssi-mazione range High-Low e la sua estensione, l’approssiapprossi-mazione di German-Klass (1980), entrambe presentate nell’articolo di Wennstrom [8].

2.1 Stimatori di volatilità realizzata

Anche scegliendo un modello e calcolando le stime, valutare le performance del forecast è difficile a causa della natura latente della volatilità, che è inosservabile. Una approssimazione per la volatilità realizzata è quindi necessaria.

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CAPITOLO 2. STATO DELL’ARTE menti quadratici giornalieri.

d σ2 RV,t= t X i=1 r2_i

La rilevante presenza di noise porta però a una qualità molto bassa del forecast [7] (per questo motivo non sono stati calcolati gli errori sul forecast rispetto a questa approssimazione di volatilità realizzata).

Un’altra possibilità potrebbe essere quella di utilizzare i rendimenti quadratici cumulativi intra-giornalieri.

Tuttavia questo richiederebbe di disporre di dati ad alta frequenza che in molti casi non sono disponibili, o sono disponibili solo per limitati periodi di tempo. Inoltre (si veda Dacorogna et al. [9]) la stima della volatilità a partire da dati ad alta frequenza è un argomento complesso a causa dell’effetto microstruttura del mercato: il processo di formazione dei prezzi in Borsa è influenzato dalla struttura del mercato, ovvero dall’insieme di regole che governano il processo di negoziazione, come per esempio il modello di mercato o la tipologia di operatori ammessi alle negoziazioni, o la tipologia di ordini che si possono effettuare. Spesso sono disponibili i prezzi di apertura, di chiusura, il massimo e minimo intra-giornalieri.

Ci sono approssimazioni di volatilità che utilizzano questo tipo di dati anziché dati ad alta frequenza. Per esempio l’approssimazione introdotta da Parkinson (1980), conosciuta come approssimazione range High-Low.

Il range High-Low nel giorno t indicato con RGt è definito come:

RGt= max

τ (log(pτ)) − minτ (log(pτ)), t − 1 < τ < t

dove pτ è il livello del prezzo nell’istante τ durante il giorno.

Questo range contiene più informazione dei rendimenti quadratici, che si basano sui prezzi di chiusura, perché incorpora le fluttuazioni del prezzo di un titolo durante il giorno. Per esempio, se il prezzo di un titolo fluttua considerevolmente durante un dato giorno, ma il prezzo di chiusura è molto vicino al prezzo di

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CAPITOLO 2. STATO DELL’ARTE apertura, la stima della volatilità tramite rendimenti quadratici, suggerirebbe una bassa volatilità, mentre la stima di Parkinson suggerirebbe un’alta volatilità. Se supponiamo che il sottostante segua una moto browniano geometrico con drift nullo e volatilità σ, seguendo quindi le ipotesi del modello di Black-Scholes-Merton, si riesce ad arrivare ad una formulazione esplicita che lega il valore atteso del quadrato del log range con la volatilità del processo, con la seguente espressione:

Et−1[RG2t] = 4 log(2)σ 2 t

dove σ2

t è la volatilità del sottostante all’istante t.

Lo stimatore di Parkinson per la volatilità è definito come: d

σ2 P,t =

(log(Ht) − log(Lt))2

4 log(2)

dove Ht e Ltindicano i prezzi più alti e i prezzi più bassi durante il giorno (questi

valori sono stati presi da DataStream).

Una estensione dello stimatore di Parkinson per la volatilità è l’approssimazione di German-Klass (1980) che in aggiunta al prezzo più alto e al prezzo più basso considera anche i prezzi di apertura e di chiusura.

d σ2 GK,t = 0.5 log H_t Lt 2 − (2 log(2) − 1) logCt Ot 2

dove Cte Otdenotano rispettivamente il prezzo di chiusura e il prezzo di apertura.

In questo caso i prezzi di apertura sono stati presi da DataStream e i prezzi di chiusura sono stati approssimati come i prezzi di apertura del giorno successivo. Sotto condizioni idealizzate lo stimatore di German-Klass è caratterizzato da un minor noise rispetto a quello di Parkinson, tuttavia studi empirici [10], hanno di-mostrato che lo stimatore di Parkinson porta a stime più accurate con dati reali. Per poter apprezzare meglio la differenza tra le tre diverse approssimazioni di vo-latilità realizzata, di seguito si riportano gli andamenti per l’indice dell’aggregato europeo.

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CAPITOLO 2. STATO DELL’ARTE 05 07 10 12 15 17 0 0.005 0.01 0.015 Eur RV Vol 05 07 10 12 15 17 0 1 2 3 4 5 6 10 -3 _{Eur P Vol} 05 07 10 12 15 17 0 1 2 3 4 5 6 10 -3 _{Eur GK Vol}

Figura 2.1: Andamento delle tre approssimazioni di volatilità realizzata per l’indice dell’aggregato europeo (STOXX 500): rendimenti quadratici (RV), Parkinson (P) e German-Klass (GK). In ascissa l’orizzonte temporale che viene considerato (2005 - 2017) e in ordinata i valori delle volatilità

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CAPITOLO 2. STATO DELL’ARTE Come si vede da questi grafici, la volatilità realizzata calcolata coi rendimenti quadratici giornalieri, in questo dataset, è superiore rispetto a quella colcolata attraverso gli stimatori di Parkinson e di German-Klass, che invece sono sempre abbastanza comparabili tra loro.

I grafici mettono anche in evidenza i tre periodi caratterizzati da maggiore vola-tilità.

Il primo, sicuramente è il periodo di crisi 2008-2009 a seguito del fallimento di Lehman Brothers, in cui la volatilità, per tutti i paesi e per l’aggregato europeo, raggiunge il suo massimo picco, a dimostrazione del fatto che fu un periodo molto tumultuoso per i mercati finanziari.

Il secondo periodo caratterizzato da un’alta volatilità è il 2011, anno della crisi dei debiti sovrani in Europa.

Il terzo periodo è quello del 2016 dove il crollo del prezzo del petrolio ha causato una scia negativa nei listini europei e non solo.

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Capitolo 3

Modelli e Dataset

In questo capitolo si presentano, dal punto di vista teorico, i modelli GARCH e GARCH-MIDAS per il forecast della volatilità condizionata; come sottosezione vengono inoltre presentate le funzioni di perdita, fondamentali per la valutazione dell’errore sul forecast. Dopodiché si illustra il dataset utilizzato.

Innanzitutto è necessario introdurre alcune definizioni.

Definizione. Dato un processo stocastico Xt, si definisce rendimento di Xt il suo

cambiamento percentuale rispetto al tempo. rt=

Xt− Xt−1

Xt−1

In questo elaborato si considerano solo rendimenti giornalieri.

Definizione. Dato un processo stocastico Xt, sia Ht= {Xt, Xt−1, ..., X0}la storia

del processo osservabile all’istante t, si definisce volatilità condizionata di Xt

σ_t2 = V ar[Xt|Ht−1]

Definizione. Si definisce processo ARCH(q) (AutoRegressive Conditional Hete-roskedasticity), quel processo definito da

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CAPITOLO 3. MODELLI E DATASET dove ξt∼ N (0, 1) ∀t e σ2 t è dato da: σ_t2 = ω + α1ε2t−1+ α2ε2t−2+ . . . αqε2t−q. Quindi (εt|εt, εt−1, ...) ∼ N (0, σt2).

Condizione sufficiente a garantire σ2

t > 0 per ogni t è

ω > 0, αi ≥ 0, i = 1, 2, ..., q.

Infatti in questo modo σ2

t è somma di termini positivi.

La stima dei parametri di un processo ARCH può essere fatta ricorrendo al metodo della massima verosimiglianza che garantisce la consistenza e l’efficienza asintotica delle stime.

Ponendo α = (α0, ..., αq)tè possibile esprimere la funzione di densità condizionata

come: f (z|Ht−1; α) = (2πσt2) −1/2 expn− z 2 2σ2 t o Da cui è possibile costruire la funzione di log-verosimiglianza l(α) = −T 2 log(2π)− 1 2 T X t=1 log (α0+ α1ε2t−1+ ... + αqε2t−q)− 1 2 T X t=1 ε2_t (α0+ α1ε2t−1+ ... + αqε2t−q)

che può essere massimizzata numericamente per ottenere così le stime di massima verosimiglianza dei parametri del modello.

Definizione. Si definisce processo GARCH(q, p) quel processo definito da εt = ξtσt dove ξt∼ N (0, 1) ∀t e σ2 t è dato da: σ_t2 = ω + α1ε2t−1+ α2ε2t−2+ . . . αqεt−q2 + + β1σt−12 + β2σ2t−2+ . . . βqσt−p2 . Quindi (εt|εt, εt−1, ...) ∼ N (0, σt2).

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CAPITOLO 3. MODELLI E DATASET Se assumiamo di essere all’istante h, il forecast a un passo è dato da:

σ2_h+1= ω + α1ε2h+ β1σh2

dove ε2

h e σh2 sono conosciuti all’istante h. Dal momento che vale: ε2t = σt2ξt2, si

può riscrivere la (3.1) come:

σ_t+12 = ω + (α1+ β1)σt2+ α1σt2(ξ 2 t − 1). (3.2) Quando t = h + 1 σ_h+22 = ω + (α1+ β1)σh+12 + α1σh+12 (ξ 2 h+1− 1). (3.3)

Passando sotto il valore atteso si ottiene il forecast a due passi. Dato che E(ξ2

h+1− 1) = 0 ∀h, si ottiene: σ2_h(2) = ω + (α1+ β1)σ2h(1) (3.4) dove σ(1)2 h è il forecast a un passo. In generale: σ2_h(l) = ω + (α1+ β1)σ2h(l − 1), l > 1 (3.5)

che si può riscrivere come:

σ2_h(l) = ω[1 − (α1+ β1) l−1_] 1 − α1− β1 + (α1+ β1)l−1σ2h(1). (3.6) Quindi σ2 h(l) −→ 1−αω1−β1 quando l −→ ∞.

Dunque condizione sufficiente a garantire σ2

t > 0 per ogni t è

ω > 0, α1, β1 ≥ 0,

E condizione necessaria per garantire una volatilità finita è: α1+ β1 < 1,

La stima dei parametri del modello GARCH, avviene tramite il metodo della massima verosimiglianza, come per il modello ARCH.

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CAPITOLO 3. MODELLI E DATASET A questo punto possiamo descrivere formalmente il modello GARCH-MIDAS. Assumiamo che il ritorno nel giorno i nel mese t segua la seguente dinamica:

ri,t = µ +

√

τtgi,tεi,t ∀i = 1, ..., Nt

εi,t|Φi−1,t ∼ N (0, 1)

(3.7) dove Nt è il numero di giorni lavorativi nel mese t e Φi−1,t è tutta l’informazione

disponibile, raccolta fino al giorno (i − 1).

L’equazione (3.7) decompone la varianza in una componente a breve termine defi-nita da gi,t e in una componente a lungo termine, la componente MIDAS, definita

da τt.

La dinamica di gi,t è descritta da un GARCH(1, 1):

gi,t = (1 − α − β) + α

(ri−1,t− µ)2

τt

+ βgi−1,t (3.8)

con α + β < 1 (condizioni sul GARCH(1,1)),

mentre τt è data da una somma pesata di K lags di volatilità realizzata (RV)

sull’orizzonte temporale prescelto, in questo caso un mese: τt= m + θ K X k=1 ϕk(w1, w2)RVt−k (3.9) RVt = Nt X i=1 r_i,t2

Si può modificare l’equazione (3.9) in modo tale da introdurre le variabili macroe-conomiche: τt= m + θ K X k=1 ϕk(w1, w2)Xt−kl τt= m + θ K X k=1 ϕk(w1, w2)Xt−kv (3.10) dove Xl

t−k rappresenta il livello della variabile macroeconomica e dove X v

t−k

rap-presenta la volatilità della variabile macroeconomica. Infine la volatilità condizionata viene definita come:

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CAPITOLO 3. MODELLI E DATASET La funzione polinomiale utilizzata per la distribuzione dei pesi per la componente MIDAS è la Beta, la stessa utilizzata nell’articolo di Asgharian et al. [6]:

ϕk(w) =

(k/K)w1−1_{(1 − k/K)}w2−1

PK

j=1(j/K)w1−1(1 − j/K)w2−1

Nell’articolo di Engle et al. [5] si suggerisce di porre w1 = 1in modo tale che i pesi

siano monotonicamente decrescenti rispetto al numero di Lags, cioè, in modo tale da dare maggior peso alle osservazioni più recenti e lasciare che w2 sia calibrato

dal modello, attraverso un algoritmo di ottimizzazione numerica, in particolare si tratta del metodo di massimizzazione della funzione di verosimiglianza.

0 5 10 15 20 k=8, K=20 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 Beta ( w ) 0 5 10 15 20 w=6, K=20 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 Beta ( k )

Figura 3.1: A sinistra, l’andamento della funzione Beta al variare di w, avendo posto k = 8 e K = 20; mentre a destra, l’andamento di Beta al variare di k, avendo posto w = 6 e K = 20

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CAPITOLO 3. MODELLI E DATASET

3.1 Funzioni di perdita

Al fine di valutare la qualità del forecast della volatilità condizionata da parte di un modello, sono necessarie anche delle misure di errore, o funzioni di perdita. Si sono considerate le seguenti quattro funzioni di perdita (presentate nell’articolo di Wennstrom [8]): M SE = n−1 n X t=1 σ2− bσ22 R2LOG = n−1 n X t=1 logσ 2 b σ2 2 P SE = n−1 n X t=1 σ2− bσ22 d σ−4 M AD = n−1 n X t=1 |σ2− bσ2_|

Il MSE (Mean Square Error) è una media delle distanze quadratiche tra la "vera" volatilità (la volatilità realizzata) e la volatilità predetta dal modello (volatilità condizionata), quindi penalizza maggiormente le situazioni in qui si commettono pochi errori ma grandi rispetto alle situazioni in cui si commettono tanti errori ma piccoli. Anche l’R2_LOG _{assegna un maggior peso alle deviazioni grandi. Il}

P SE (Percentage Squared Errors) misura la media della distanza al quadrato in percentuale. Il MAD (Mean Absolute Distance) è una media delle distanze in valore assoluto, è molto robusto rispetto agli outliers [8] e dà lo stesso peso a situazioni in qui si commettono pochi errori ma grandi, che sommano a z e situazioni in cui si commettono tanti errori ma piccoli, la cui somma è z.

Per quanto riguarda la valutazione della qualità del forecast da parte dei modelli, si è deciso dunque di dare maggiore rilevanza al MSE e al MAD.

3.2 Dataset

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CAPITOLO 3. MODELLI E DATASET per la Spagna e CAC 40 per la Francia attraverso cui sono stati calcolati i rendi-menti giornalieri, tutti questi dati sono stati presi da DataStream.

Il dataset, inoltre, è costituito dai valori mensili delle seguenti variabili macroeco-nomiche (sull’esempio di [6]):

• tasso OIS trimestrale, dato preso da DataStream.

Un overnight indexed swap (più conosciuto con l’acronimo OIS) è un par-ticolare tipo di swap in cui due controparti si scambiano una serie di paga-menti giornalieri al tasso variabile Eonia, in contropartita di un tasso fisso (OIS), che riflette il livello medio atteso del tasso Eonia, nello specifico è un tasso medio ponderato costituito dalle operazioni overnight che sono state effettuate sul mercato telematico dei depositi interbancari (E-MID).

• slope della yield curve, calcolato come la differenza tra il tasso sui bond governativi a 10 anni e il tasso sui bond governativi a 1 anno, dati presi da DataStream.

Un grafico che ospita nell’ascissa le scadenze (maturity) e nelle ordinate i rendimenti prende il nome di curva dei rendimenti (yield curve).

In condizioni standard di mercato un bond a scadenza trimestrale (per esem-pio) offrirà interessi inferiori a quelli di un bond trentennale, che richiede una immobilizzazione del capitale assai più lunga e quindi impone rischi maggiori. La curva dei rendimenti, in condizioni standard di mercato, sarà monotona crescente.

Uno dei modelli più utilizzati per la stima delle curve dei rendimenti è il modello di Nelson-Siegel [12].

In questo modello viene limitato il numero dei parametri che determinano la forma funzionale della curva dei rendimenti. In particolare il tasso di interesse istantaneo è dato dalla seguente equazione:

f (t, s) = β0+ β1exp t − s τ + β2 s − t τ exp t − s τ 17

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CAPITOLO 3. MODELLI E DATASET e il rendimento a scadenza sull’orizzonte temporale [t, s] è dato da:

R(t, s) = 1 s − t

Z s

t

f (t, u)du

Quindi la monotonia, curvatura e più in generale la forma della curva dei rendimenti dipendono dai valori di β0, β1, β2 e τ. Nello specifico β0

determi-na la componente a lungo termine della curva, β1 determina la componente

a breve termine della curva e β2 determina la componente a medio termine

della curva

I parametri vengono calibrati a partire dai prezzi dei titoli quotati, mini-mizzando la norma quadratica degli errori. La crisi del debito pubblico di paesi europei come la Grecia, la Spagna e l’Italia ha causato la crescita del premio chiesto sul rischio di breve e medio periodo (quindi si sono alzati i valori di β1 e di β2), a questo corrisponde uno slope più elevato

• tasso di inflazione, calcolato come la variazione mensile dell’indice dei prezzi al consumo armonizzato (HICP). Dato preso da Eurostat.

Il tasso di inflazione dipende dalla definizione di un paniere di servizi e di beni. L’andamento dei prezzi del paniere costituisce la base dell’indice. L’indice viene calcolato in riferimento a un mese base (indice=100). La cifra relativa all’indice per il mese da controllare viene calcolata dividendo il costo del paniere del mese da controllare per il costo del paniere del mese base di riferimento, e il risultato si moltiplica poi per 100.

Per poter confrontare reciprocamente l’inflazione nei paesi appartenenti al-l’UE, Eurostat pubblica l’indice dei prezzi al consumo armonizzato (HICP, Harmonised Index of Consumer Prices). L’HICP rappresenta un "paniere" di beni e servizi rappresentativo per l’UE.

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CAPITOLO 3. MODELLI E DATASET presi da DataStream (Thomson Reuters "Country" Goverment Benchmark 5 Years, per ciascuna "country" e Thomson Reuters Euro Goverment Ben-chmark 5 Years per l’aggregato europeo).

E’ una misura del premio per il rischio di credito.

Il termine spread viene utilizzato in ambito finanziario per indicare il diffe-renziale. In Europa generalmente per calcolare uno spread viene preso come benchmark il Bund decennale tedesco (la Germania è considerata il paese con il minor rischio d’insolvenza). Quando lo spread si amplia vuol dire che il rendimento del titolo di Stato della nazione presa in considerazione è au-mentato e che quindi stanno crescendo i rischi d’insolvenza di quel paese nei confronti di quegli obbligazionisti che ne hanno comprato i titoli di stato. • tasso di cambio Euro-Dollaro, dato preso dal sito della Banca d’Italia.

Il tasso di cambio è un coefficiente che indica il numero di unità di una valuta che si può comprare con un numero di unità di un’altra valuta. Il tasso di cambio non è fisso ma varia in continuazione, in base al valore delle valute.

• tasso di crescita della produzione industriale, dato preso da Eurostat. L’indice della produzione industriale misura la variazione nel tempo del vo-lume fisico della produzione effettuata dall’industria in senso stretto (ovvero dell’industria con esclusione delle costruzioni).

• tasso di disoccupazione, dato preso da Eurostat.

Il tasso di disoccupazione viene calcolato come il rapporto tra il numero di coloro che cercano lavoro e il totale della forza lavoro. La forza lavoro non è il totale della popolazione, ma è data dalla somma degli occupati e delle persone in cerca di lavoro.

I dati ricoprono il periodo che va da gennaio 2005 a giugno 2017.

Come nell’articolo di Asgharian et al. [6], a partire da queste variabili macroeco-19

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CAPITOLO 3. MODELLI E DATASET nomiche sono state calcolate le loro volatilità come differenze prime al quadrato. In appendice si riportano alcuni risultati di analisi statistiche, in particolare le tabelle contengono il numero delle osservazioni, le medie, le deviazioni standard, i minimi e i massimi di ogni indice e di ogni variabile macroeconomica per ogni paese e per l’aggregato europeo.

Come si evince dai risultati, il FTSE MIB è di gran lunga, l’indice più volatile (std = 8.4393e03), infatti come sappiamo l’Italia è uno dei paesi che ha subito maggior-mente le conseguenze della crisi economica e questo si ripercuote sull’andamento dell’indice. Questa però non può essere l’unica motivazione, infatti, anche la Spa-gna ha subito pesantemente la crisi eppure il suo indice IBEX 35 ha una deviazione standard (2.0084e03) che è circa un quarto di quella del FTSE MIB e la Germa-nia che è il paese più solido d’Europa ha un indice (DAX 30) la cui deviazione standard è di poco superiore (2.1938e03) a quella di IBEX 35. L’alta volatilità del FTSE MIB potrebbe essere causata anche dall’incertezza politica (che sta ca-ratterizzando il nostro paese negli ultimi anni), un aspetto molto importante ma difficilmente quantificabile che contribuisce ad aumentare la speculazione finan-ziaria che influenza negativamente l’indice, aumentandone la volatilità.

Gli indici meno volatili sono il CAC 40 e lo STOXX 500 (760.8666, 576.1281 ri-spettivamente).

Per quanto riguarda lo slope, l’Italia e la Spagna sono i paesi con slope mediamen-te più alti e più volatili (medie : 2.0216% e 1.8727% rispettivamenmediamen-te; std: 1.0582% e 1.0847%). Questi valori sono nettamente superiori rispetto al caso tedesco (me-dia: 1.1817%; std: 0.7427%), ancora una volta questi dati, messi a confronto, evidenziano come la Germania sia considerata un paese molto meno rischioso per gli investitori, rispetto a Italia e Spagna.

Ancora più lampante da questo punto di vista è il dato sullo spread, per la Germa-nia il valor medio e la deviazione standard (media: 0.0127%; std: 0.0305%) sono molto minori rispetto non solo al caso italiano (media: 1.1139%; std: 1.1462%) e

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CAPITOLO 3. MODELLI E DATASET spagnolo (media: 1.0894%; std: 1.2392%), come ci si potrebbe facilmente aspet-tare, ma anche rispetto all’aggregato europeo (media: 0.4991%; std: 0.505%). Un altro dato molto significativo è quello relativo al tasso di crescita della produ-zione industriale. La Germania, tra i paesi osservati, è l’unico ad avere un valor medio di questo tasso positivo (0.1479) a dimostrazione del fatto che l’economia tedesca è una delle più solide, non solo a livello europeo, ma anche mondiale. Gli altri paesi invece registrano un calo in media del tasso di crescita della produzione industriale (Italia: -0.0833; Spagna: -0.1133; Francia: -0.0459).

Per quanto riguarda il tasso di disoccupazione in Spagna si raggiungono livelli medi (17.778) che sono quasi il doppio dei livelli medi in Italia e Francia (9.3219 e 9.304 rispettivamente) e quasi il triplo rispetto alla Germania (6.7019).

Il tasso di inflazione, al contrario, mediamente è in linea tra tutti i paesi, da uno 0.11 per Francia e Germania, fino ad uno 0.15 per la Spagna.

In appendice si trovano anche le tabelle che mostrano le correlazioni tra gli indici e tra le variabili macroeconomiche per i diversi paesi e per l’aggregato europeo. La prima cosa da segnalare è che l’indice STOXX 500 è correlato positivamente con tutti gli indici, e questo è abbastanza ovvio, ma è correlato soprattutto con il CAC 40 (0.9772), si ipotizza che questo sia dovuto al fatto che tra gli indici dei paesi osservati, quello francese è quello si avvicina di più all’andamento medio dei paesi europei.

Come si può vedere in tutti i casi il tasso OIS è correlato negativamente con lo slope (Europa: -0.6226; Germania: -0.537; Italia: -0.6747; Spagna: -0.713; Fran-cia: -0.6015). Questo è facilmente prevedibile perché il tasso ois è un tasso a breve termine (trimestrale), e lo slope è dato dalla differenza di un tasso a medio/lungo termine (10 anni) e un tasso a breve termine (1 anno). Quindi se il primo si abbassa è lecito aspettarsi che il secondo cresca e viceversa.

Molto interessante è il dato relativo alla correlazione tra il tasso ois e lo spread. Per l’aggregato europeo (-0.5159), l’Italia (-0.4437), la Spagna (-0.4602) e la

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CAPITOLO 3. MODELLI E DATASET cia (-0.2964) si osserva una correlazione negativa, questo significa che se si alzasse il tasso ois, si ridurrebbe il differenziale che caratterizza lo spread. Vale invece il contrario nel caso tedesco (0.5629). Questo perché la Germania è sempre stata contraddistinta da tassi bassi, inferiori alla media europea, e negli ultimi anni, grazie alla politica della BCE, da tassi addirittura negativi. Quindi in questo caso ad un rialzo del tasso ois corrisponderebbe un aumento dello spread.

Questa considerazione è rafforzata se si osservano le correlazioni tra lo slope, che fondamentalmente è un indicatore della rischiosità, e il tasso di disoccupazione, che ovviamente influenza la valutazione da parte degli investitori circa l’affidabili-tà di un paese (Europa: 0.5104; Germania: -0.4931; Italia: 0.5031; Francia: 0.15; Spagna: 0.5679).

Si segnala infine, una correlazione pressoché nulla, a differenza di quello che ci si potrebbe aspettare, tra tasso di disoccupazione e tasso di crescita della produzio-ne industriale (Europa: 0.0925; Germania: 0.08; Italia: 0.068; Spagna: 0.0218; Francia: 0.1305). Questo probabilmente è dovuto al fatto che le due variabili non si influenzano nell’immediato, ma piuttosto nel lungo periodo.

Prima di procedere con l’analisi del forecast si è ritenuto necessario destagiona-lizzare l’inflazione e l’indice della produzione industriale per tutti i paesi e per l’aggregato europeo, perché i dati esibiscono una forte componente stagionale di periodicità 12.

Si è fatto inoltre ricorso all’analisi delle componenti principali per estrarre l’infor-mazione combinata delle variabili sopracitate.

Alla luce dei risultati ottenuti, si è deciso di considerare solo la prima componente principale (P CA1) per il trade-off tra varianza spiegata e numero di parametri. Il processo di destagionalizzazione e l’analisi delle componenti principali vengono spiegati in appendice.

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Capitolo 4

Analisi dei risultati

In questo capitolo vengono presentati i risultati del forecast della volatilità con-dizionata col modello GARCH e col modello GARCH-MIDAS (in appendice sono presenti le tabelle contenenti gli errori commessi sul forecast).

Sull’esempio dell’articolo di Asgharian et al. [6], si è deciso di confrontare le perfor-mance sul forecast del modello GARCH-MIDAS rispetto al modello GARCH(1,1). Per quanto riguarda il modello GARCH, si sono utilizzati i dati dal gennaio 2005 al dicembre 2012 per calibrare i parametri del modello, e si sono stimati i valori della volatilità condizionata a partire dal gennaio 2013 fino al giugno 2017. In particolare si è deciso di stimare i valori della volatilità in corrispondenza del primo, dell’ultimo e del penultimo giorno di ogni mese e in corrispondenza di ogni mercoledì (per avere un campionamento settimanale).

Con i valori stimati dal modello è stato poi possibile calcolare gli errori commessi sul forecast, con le funzioni di perdita illustrate precedentemente.

Gli errori sul forecast variano a seconda della approssimazione di volatilità realiz-zata che viene considerata (Parkinson e German-Klass). Lo stesso è stato fatto poi per il modello GARCH-MIDAS.

Per la componente GARCH i parametri sono fissati (GARCH(p,q) con p e q = 1), mentre per quanto riguarda la componente MIDAS, si sono considerati diversi criteri per la scelta nel numero di lags più opportuno.

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CAPITOLO 4. ANALISI DEI RISULTATI il modello GARCH-MIDAS, ammette un unico regressore. Quindi per tutti i paesi e per l’aggregato europeo, per ogni regressore, cioè per ogni variabile macroeco-nomica e per le rispettive volatilità si è dovuto scegliere il numero di Lags più opportuno. Per fare questo, si è deciso di valutare l’errore commesso sul forecast in corrispondenza dei mercoledì, al variare del numero di Lags da 1 a 36 (quindi da un mese a 3 anni indietro nel tempo) e inoltre si sono considerati i valori di LogLikelihood, di AIC e di BIC, sempre al variare del numero di Lags. Siccome i criteri attraverso cui scegliere erano tanti e spesso in disaccordo tra di loro, si è deciso di dare maggiore importanza al MSE e al MAD.

Dai risultati (si veda appendice) si evince che la qualità della performance sul forecast da parte del modello GARCH-MIDAS è superiore rispetto a quella da parte del modello GARCH.

Infatti se si osservano, per esempio, i MSE commessi col modello GARCH relativi al mercoledì, prendendo come volatilità realizzata lo stimatore di Parkinson per Germania (0.8640), Italia (0.1611), e Spagna (1.9329), sono errori, nettamente superiori alla media degli errori commessi col modello GARCH-MIDAS, che sono dell’ordine di 10−8_{, quindi la distanza è data da diversi ordini di grandezza.}

La differenza tra i due modelli, risulta molto meno marcata nel caso dell’aggre-gato europeo e nel caso della Francia dove i MSE calcolati col modello GARCH, rispetto allo stimatore di Parkinson, valutati in corrispondenza dei mercoledì so-no rispettivamente 4.1105e-08 e 3.8533e-08, quindi lievemente superiori alle medie degli errori col modello GARCH-MIDAS che sono rispettivamente 1.6815e-08 per l’aggregato europeo e 1.5468e-08 per la Francia, ma dello stesso ordine di gran-dezza.

Questa notevole differenza tra i paesi, sulla qualità della performance del forecast da parte del modello GARCH è in parte intuibile perché come si è visto nella se-zione dedicata alle analisi statistiche, Spagna, Italia e Germania sono i paesi con indici caratterizzati da maggiore volatilità (std = 8.4393e03; 2.1938e03; 2.0084e03

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CAPITOLO 4. ANALISI DEI RISULTATI rispettivamente) questo porta alla conclusione che, quando si ha a che fare con serie storiche particolarmente volatili, il modello GARCH-MIDAS riesce a stimare molto meglio la volatilità rispetto al modello GARCH, cioè è un modello molto più robusto rispetto alla volatilità insita nella serie storica. Non solo, questo dimostra che, per quanto riguarda Italia, Germania e Spagna, diventa fondamentale, ai fini del forecast, considerare l’informazione proveniente dalle variabili macroeconomi-che attraverso la modellistica GARCH-MIDAS, altrimenti non si riesce a spiegare gran parte della volatilità sui rendimenti degli indici (infatti gli errori col modello GARCH sono molto elevati).

Un’altra conclusione importante che si può dedurre dai risultati ottenuti è che in generale, per quanto riguarda il modello GARCH-MIDAS, la qualità della stima della volatilità è superiore se come regressore si considera il livello della generica variabile macroeconomica anziché la corrispettiva volatilità.

Se si confrontano infatti i valori medi del MAD sul mercoledì prendendo come vo-latilità realizzata lo stimatore di Parkinson, si nota che il valor medio del MAD nel caso dei livelli delle variabili macroeconomiche (Europa = 9.6217e-05; Germania = 8.3648e-05; Italia = 1.6410e-04; Spagna = 9.2712e-05; Francia = 8.4792e-05) è inferiore rispetto al valor medio del MAD quando si considerano le rispetti-ve volatilità (Europa = 9.6217e-05; Germania = 8.8421e-05; Italia = 1.6666e-04; Spagna = 1.1128e-04; Francia = 9.4005e-05).

Sempre osservando i risultati, si può constatare che per tutti i paesi e per l’aggre-gato europeo, inserendo all’interno del modello GARCH-MIDAS, come regressori tre variabili macroeconomiche in particolare, si ottengono le stime migliori della volatilità dei rendimenti. Queste tre variabili sono: il tasso di cambio, il tasso ois e lo slope.

E’ un risultato importante perché accomuna tutti i paesi e l’aggregato europeo. In particolare, se si osserva, per esempio, il MSE in corrispondenza dei mercoledì, considerando come volatilità realizzata lo stimatore di Parkinson i valori sono i

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CAPITOLO 4. ANALISI DEI RISULTATI seguenti:

• per l’aggregato europeo, a fronte di una media di MSE di 1.6815e-08, per il tasso di cambio si ha un errore pari a 1.0222e-08, per il tasso ois si ha errore pari a 1.0641e-08 e per lo slope si ha errore pari a 1.1088e-08

• per la Germania, a fronte di una media di MSE di 1.3004e-08, per il tasso di cambio si ha errore pari a 9.1666e-09, per il tasso ois si ha errore pari a 1.2358e-08 e per lo slope si ha errore pari a 1.0194e-08

• per l’Italia, a fronte di una media di MSE di 4.6721e-08, per il tasso di cambio si ha errore pari a 2.4950e-08, per il tasso ois si ha errore pari a 3.0488e-08 e per lo slope si ha errore pari a 3.0461e-08

• per la Spagna, a fronte di una media di MSE di 2.3641e-08, per il tasso di cambio si ha errore pari a 1.0222e-08, per il tasso ois si ha errore pari a 1.0641e-08 e per lo slope si ha errore pari a 1.1088e-08

• per la Francia, a fronte di una media di MSE di 1.5468e-08, per il tasso di cambio si ha errore pari a 1.2989e-08, per il tasso ois si ha errore pari a 1.4972e-08 e per lo slope si ha errore pari a 1.4422e-08

E’ possibile provare a ipotizzare il perché queste variabili macroeconomiche siano particolarmente significative al fine del forecast della volatilità dei rendimenti de-gli indici azionari.

Gli indici azionari sono composti dai titoli di grandi aziende molte delle quali fanno dell’export un elemento essenziale della propria attività. In particolare Germania e Italia sono tra i principali paesi ad esportare fuori dall’Europa. Si pensi per esempio a società come Volkswagen o Ferrero.

Il tasso di cambio influenza le esportazioni, in particolare se l’euro si deprezza, cresce l’appetibilità delle merci europee a discapito delle merci americane, quindi

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CAPITOLO 4. ANALISI DEI RISULTATI valore del loro titolo azionario e ne giova anche l’indice. Se, al contrario, l’euro si rafforza, per le aziende europee diventa più difficile esportare, i titoli azionari ne risultano appesantiti e, di riflesso, andrà male anche l’indice. Questo giustifica il fatto che il tasso di cambio euro-dollaro ha un impatto sui rendimenti azionari, non giustifica ancora però l’impatto sulla volatilità. Una possibile motivazione potrebbe essere la seguente: il tasso di cambio varia costantemente durante il giorno, esattamente come i valori degli indici azionari, quindi è lecito supporre che la correlazione inversa che li caratterizza sia particolarmente reattiva e che quindi il tasso di cambio influenzi abbastanza rapidamente i livelli dei rendimenti degli indici da influenzare anche la loro volatilità.

Per quanto riguarda il tasso ois, o più in generale i tassi di interesse, vale una considerazione che per certi versi è analoga al caso del tasso di cambio; ovverosia anche in questo caso esiste una correlazione inversa tra il valore di un’azione e tasso di interesse.

Le società sono valutate in Borsa in base alla redditività che sono in grado di ge-nerare in futuro, nello specifico, il valore di un’azione corrisponde al valore attuale dei dividendi futuri. A fronte di un aumento del tasso di interesse si assiste a un calo generalizzato del valore delle azioni poiché si alza il tasso a cui vengono at-tualizzati i dividendi futuri. Inoltre le società fortemente indebitate registrano un calo degli utili a causa della crescita degli oneri finanziari, dovuta all’innalzamen-to dei tassi d’interesse da pagare sul debiall’innalzamen-to. Ancora una volta quesall’innalzamen-to giustifica l’impatto del tasso di interesse sul valore dei rendimenti degli indici azionari. Inol-tre anche il tasso d’interesse è una variabile rilevata ad alta frequenza durante il giorno, questo comporta un’alta reattività della correlazione inversa tra tasso di interesse e mercato azionario, e questo si ripercuote sulla volatilità degli indici, come nel caso del tasso di cambio.

Lo slope è forse l’indicatore più prossimo, tra le variabili macroeconomiche con-siderate, della volatilità. Proprio in virtù di quello che esso rappresenta, cioè una

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CAPITOLO 4. ANALISI DEI RISULTATI misura del rischio d’investimento. Come è già stato spiegato nelle sezioni prece-denti, tanto più lo slope è elevato, tanto maggiore è il premio chiesto sul rischio di breve e medio periodo. Quindi si potrebbe dire che lo slope della yield curve e la volatilità sui rendimenti degli indici azionari, sono due diverse misurazioni della stessa entità, ovverosia della rischiosità associata al paese.

Un’altra considerazione interessante si può trarre se si osservano i dati sugli errori del forecast nel caso in cui si scelga come regressore del modello la PCA.

Sono risultati abbastanza in linea tra di loro, infatti se si concentra l’analisi sul MSE in corrispondenza dei mercoledì, rispetto allo stimatore di Parkinson i risultati sono i seguenti:

• per l’aggregato europeo, a fronte di una media di MSE di 1.6815e-08, per la PCA si ha un errore pari a 1.1826e-08

• per la Germania, a fronte di una media di MSE di 1.3004e-08, per la PCA si ha un errore pari a 9.8174e-09

• per l’Italia, a fronte di una media di MSE di 4.6721e-08, per la PCA si ha un errore pari a 3.6977e-08

• per la Spagna, a fronte di una media di MSE di 2.3641e-08, per la PCA si ha un errore pari a 1.7366e-08

• per la Francia, a fronte di una media di MSE di 1.5468e-08, per la PCA si ha un errore pari a 9.9154e-09

Da questi risultati emerge chiaramente che aggregare insieme le variabili macroeco-nomiche attraverso la tecnica della PCA, porta ad un miglioramento della qualità della performance del forecast da parte del modello. A questa conclusione si era giunti anche nell’articolo di Asgharian et al. [6].

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Capitolo 5

Conclusione

In questo elaborato è stata svolta una indagine, sull’esempio dell’articolo di Asgha-rian et al. [6], finalizzata al confronto tra le capacità predittive da parte dei modelli GARCH e GARCH-MIDAS della volatilità condizionata dei rendimenti azionari degli indici STOXX 500, DAX 30, FTSE MIB, IBEX 35 E CAC 40.

All’interno della modellistica GARCH-MIDAS è stata considerata l’informazione proveniente da diverse variabili macroeconomiche: il tasso ois, lo slope, il tasso di inflazione, lo spread, il tasso di cambio, il tasso di crescita della produzione industriale e il tasso di disoccupazione.

Inoltre è stato necessario destagionalizzare le serie relative al tasso di inflazione e al tasso di crescita della produzione industriale.

Attraverso la tecnica dell’analisi delle componenti principali è stato possibile con-siderare l’apporto combinato di queste variabili.

Sono state calcolate, sull’esempio dell’articolo [6], le volatilità delle variabili ma-croeconomiche come differenze prime al quadrato, ed inserite all’interno della mo-dellistica GARCH-MIDAS.

I risultati dimostrano che il modello GARCH-MIDAS porta a stime migliori della volatilità condizionata rispetto al tradizionale modello GARCH, esattamente co-me nell’articolo [6].

In particolare i risultati migliori si ottengono scegliendo come regressori della com-ponente MIDAS, il tasso di cambio, il tasso ois e lo slope.

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CAPITOLO 5. CONCLUSIONE Questo lavoro di tesi contribuisce alla letteratura già esistente investigando la ca-pacità predittiva dei modelli GARCH e GARCH-MIDAS, ma utilizzando come volatilità realizzata (come benchmark per la determinazione degli errori sul fore-cast) gli stimatori di Parkinson e di German-Klass, stimatori più idonei rispetto ai rendimenti quadratici giornalieri utilizzati nell’articolo [6], e quindi avvaloran-do ancora di più la tesi seconavvaloran-do la quale il modello GARCH-MIDAS costituisce un’evoluzione del modello GARCH, dal punto di vista della capacità predittiva della volatilità.

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Bibliografia

[1] Engle R. 1982. Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of the Variance of United Kingdom Inflation. Econometrica Vol. 50, No. 4, p. 987-1007

[2] Mandelbrot B. 1967. How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension. Science, New Series, Vol. 156, No. 3775, p. 636-638

[3] Bollerslev T. 1986. Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity. Journal of Econometrics 31 p. 307-327

[4] Ghysels E, Santa-Clara P, Valkanov R. 2004. The MIDAS touch: mixed data sampling regression. Discussion paper, University of North Carolina, Chapel Hill, NC, and University of California, Los Angeles, CA.

[5] Engle R, Ghysels E, Sohn B. 2013. On the economic sources of stock market volatility. Review of Economics and Statistics Vol 95, Issue 3, p.776-797

[6] Asgharian H, Jun Hou A, Javed F. 2013. The Importance of the Macroe-conomic Variables in Forecasting Stock Return Variance: A GARCH-MIDAS Approach. Journal of Forecasting, vol. 32, issue 7, p. 600-612

[7] Parkinson, M. 1980. The Extreme Value Method for Estimating the Variance of the Rate of Return. The Journal of Business, p. 53–65

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BIBLIOGRAFIA [8] Wennstrom A. 2014. Volatility Forcasting Performance: Evaluation of GARCH type volatility models on Nordic equity indeces. Discussion paper, Department of Mathematics, Royal Institute of Technology

[9] Dacorogna, M.M., Gencay, R., Muller, U., Olsen, R.B., Olsen, O.V. 2001. An introduction to high frequency finance, Academic Press, New York

[10] Chou R. Y. 2010. The economic value of volatility timing using a range-based volatility model. Journal of Economic Dynamics & Control 34, p. 2288–2301 [11] Tsay R. 2002. Analysis of Financial Time Series, Wiley

[12] Nelson C. R., Siegel, A. 1987. A Parsimonious Modelling of Yield Curves. The Journal of Business, Vol. 60, No. 4, p. 473-489

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Capitolo 6

Appendice A: Analisi Statistiche sul

Dataset

Di seguito si riportano alcuni risultati di analisi statistiche, in particolare le se-guenti tabelle contengono il numero delle osservazioni, le medie, le deviazioni standard, i minimi e i massimi di ogni indice e di ogni variabile macroeconomica e le loro correlazioni, per ogni paese e per l’aggregato europeo.

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CAPITOLO 6. APPENDICE A: ANALISI STATISTICHE SUL DATASET

Indici

Index num. obs mean std min max STOXX 500 3260 3.1265e03 576.1281 1.81e03 4.5576e03

DAX 30 3260 7.5210e03 2.1938e03 3.6664e03 1.2889e04 IBEX 35 3260 1.0398e04 2.0084e03 5.9563e03 1.5946e04 CAC 40 3260 4.2844e03 760.8666 2.5193e03 6.1682e03 FTSE MIB 3260 2.4210e04 8.4393e03 1.2363e04 4.4364e04

Tabella 6.1: Contiene il numero delle osservazioni, le medie, le deviazioni standard, i minimi e i massimi di ogni indice azionario: STOXX 500, DAX 30, IBEX 35, CAC 40 e FTSE MIB

Europa

variable num. obs mean std min max OIS 150 1.1869 1.5322 -0.3613 4.3369 SLOPE 150 1.6497 0.9046 0.1271 3.4185 SPREAD 150 0.4991 0.505 0.0013 2.0824 EXCHANGE 150 1.2922 0.1228 1.0542 1.5769 INFL 150 0.1293 0.4859 -1.6 1.3999 PROD IND 150 0.0419 1.098 -4.0999 2.5 UNEMPL 150 9.85 1.4262 7.2999 12.1

Tabella 6.2: Contiene il numero delle osservazioni, le medie, le deviazioni standard, i minimi e i massimi di ogni variabile macroeconomica per l’aggregato europeo: tasso ois, slope, spread, tasso di cambio, tasso di inflazione, tasso di crescita della produzione industriale e tasso di disoccupazione

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Germania

variable num. obs mean std min max OIS 150 1.1869 1.5322 -0.3613 4.3369 SLOPE 150 1.1817 0.7427 -0.212 2.764 SPREAD 150 0.0127 0.0305 0 0.1535 EXCHANGE 150 1.2922 0.1228 1.0542 1.5769 INFL 150 0.1186 0.419 -1.2 1.2 PROD IND 150 0.1479 1.5663 -6.9 4.4 UNEMPL 150 6.7019 2.1540 3.7999 11.1999

Tabella 6.3: Contiene il numero delle osservazioni, le medie, le deviazioni standard, i minimi e i massimi di ogni variabile macroeconomica per la Germania: tasso ois, slope, spread, tasso di cambio, tasso di inflazione, tasso di crescita della produzione industriale e tasso di disoccupazione

Italia

variable num. obs mean std min max OIS 150 1.1869 1.5322 -0.3613 4.3369 SLOPE 150 2.0216 1.0582 0.1142 3.9359 SPREAD 150 1.1139 1.1462 0 5.7819 EXCHANGE 150 1.2922 0.1228 1.0542 1.57697 INFL 150 0.1399 0.9607 -2.5 2.5 PROD IND 150 -0.0833 1.5613 -4.4000 4 UNEMPL 150 9.3219 2.3169 5.7000 13

Tabella 6.4: Contiene il numero delle osservazioni, le medie, le deviazioni standard, i minimi e i massimi di ogni variabile macroeconomica per la Italia: tasso ois, slope, spread, tasso di cambio, tasso di inflazione, tasso di crescita della produzione industriale e tasso di disoccupazione

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Spagna

variable num. obs mean std min max OIS 150 1.1869 1.5322 -0.3613 4.3369 SLOPE 150 1.8727 1.0847 0.041 3.75 SPREAD 150 1.0894 1.2392 0 5.7173 EXCHANGE 150 1.2922 0.1228 1.0542 1.5769 INFL 150 0.152 0.843 -2.5 2.3999 PROD IND 150 -0.1133 1.4062 -5.0999 2.8999 UNEMPL 150 17.778 6.3761 7.9 26.3

Tabella 6.5: Contiene il numero delle osservazioni, le medie, le deviazioni standard, i minimi e i massimi di ogni variabile macroeconomica per la Spagna: tasso ois, slope, spread, tasso di cambio, tasso di inflazione, tasso di crescita della produzione industriale e tasso di disoccupazione

Francia

variable num. obs mean std min max OIS 150 1.1869 1.5322 -0.3613 4.3369 SLOPE 150 1.4897 0.8725 0.028 3.105 SPREAD 150 0.1239 0.1153 0 0.6469 EXCHANGE 150 1.2922 0.1228 1.0542 1.5769 INFL 150 0.1133 0.3753 -1.1 0.9 PROD IND 150 -0.0459 1.5233 -5.2 4.2999 UNEMPL 150 9.304 0.8996 7.2 10.6

Tabella 6.6: Contiene il numero delle osservazioni, le medie, le deviazioni standard, i minimi e i massimi di ogni variabile macroeconomica per la Francia: tasso ois, slope, spread, tasso di cambio, tasso di inflazione, tasso di crescita della produzione industriale e tasso di disoccupazione

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Indici

STOXX 500 1 DAX 30 0.2561 1 IBEX 35 0.8808 -0.0016 1 CAC 40 0.9772 0.4172 0.7919 1 FTSE MIB 0.8508 -0.2774 0.8412 0.7509 1

Tabella 6.7: Contiene le correlazioni tra gli indici azionari: STOXX 500, DAX 30, IBEX 35, CAC 40, FTSE MIB

Europa

OIS 1 SLOPE -0.6226 1 SPREAD -0.5159 0.5104 1 EXCHANGE 0.4923 0.1627 -0.0046 1 INFL 0.0908 -0.0281 -0.0105 0.0951 1 PROD IND -0.1017 -0.0250 -0.0467 -0.0634 0.016 1 UNEMPL -0.8612 0.6015 0.6555 -0.2437 -0.094 0.0925 1

Tabella 6.8: Contiene le correlazioni tra le variabili macroeconomiche per l’aggregato europeo: tasso ois, slope, spread, tasso di cambio, tasso di inflazione, tasso di crescita della produzione industriale e tasso di disoccupazione

Germania

OIS 1 SLOPE -0.537 1 SPREAD 0.5629 -0.4931 1 EXCHANGE 0.4923 0.1767 0.059 1 INFL 0.0922 -0.0335 0.1462 0.0907 1 PROD IND -0.0476 0.0338 0.0131 0.0013 0.0157 1 UNEMPL 0.7330 -0.1383 0.4769 0.3068 0.0673 0.08 1

Tabella 6.9: Contiene le correlazioni tra le variabili macroeconomiche per la Germania: tasso ois, slope, spread, tasso di cambio, tasso di inflazione, tasso di crescita della produzione industriale e tasso di disoccupazione

(42)

Italia

OIS 1 SLOPE -0.6747 1 SPREAD -0.4437 0.5031 1 EXCHANGE 0.4923 0.08 0.0144 1 INFL 0.0432 -0.0422 -0.0035 0.0668 1 PROD IND -0.103 -0.0758 -0.0721 -0.0974 -0.0189 1 UNEMPL -0.8446 0.4339 0.4228 -0.494 -0.0551 0.068 1

Tabella 6.10: Contiene le correlazioni tra le variabili macroeconomiche per l’Italia: tasso ois, slo-pe, spread, tasso di cambio, tasso di inflazione, tasso di crescita della produzione industriale e tasso di disoccupazione

Spagna

OIS 1 SLOPE -0.713 1 SPREAD -0.4602 0.5679 1 EXCHANGE 0.4923 0.06914 0.0235 1 INFL 0.0742 -0.0501 -0.0271 0.0626 1 PROD IND -0.1483 0.0001 -0.0312 -0.1634 0.0054 1 UNEMPL -0.8583 0.7856 0.6994 -0.1441 -0.0929 0.0218 1

Tabella 6.11: Contiene le correlazioni tra le variabili macroeconomiche per la Spagna: tasso ois, slope, spread, tasso di cambio, tasso di inflazione, tasso di crescita della produzione industriale e tasso di disoccupazione

Francia

OIS 1 SLOPE -0.6015 1 SPREAD -0.2964 0.15 1 EXCHANGE 0.4923 0.161 -0.1318 1 INFL 0.0861 -0.0158 -0.033 0.1367 1 PROD IND -0.0877 -0.0069 -0.0172 -0.0475 0.0357 1 UNEMPL -0.9063 0.3483 0.2932 -0.5545 -0.113 0.1305 1

Tabella 6.12: Contiene le correlazioni tra le variabili macroeconomiche per la Francia: tasso ois, slope, spread, tasso di cambio, tasso di inflazione, tasso di crescita della produzione industriale e tasso di disoccupazione

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Capitolo 7

Appendice B: Destagionalizzazione

e Analisi delle Componenti

Principali

7.1 Destagionalizzazione

Gli analisti solitamente sono interessati ad estrarre i trend globali e i cicli econo-mici di una serie temporale, esenti dall’effetto della nota stagionalità.

Piccoli movimenti nel trend possono essere mascherati da una componente stagio-nale, cioè un trend con periodicità fissa e nota (ad esempio mensile o trimestrale). La presenza della stagionalità può rendere difficile il confronto dei cambiamenti relativi in due o più serie. La destagionalizzazione è il processo che permette di rimuovere questa componente periodica che causa rumore.

I dati destagionalizzati sono utili per capire il trend e per rilevare ulteriori com-ponenti irregolari.

Si prenda in considerazione la possibilità di scomporre una serie temporale, yt, in

tre componenti:

• componente di trend Tt

• componente stagionale St, con periodicità nota s

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CAPITOLO 7. APPENDICE B: DESTAGIONALIZZAZIONE E ANALISI DELLE COMPONENTI PRINCIPALI Per destagionalizzare una serie temporale bisogna ottenere una stima della com-ponente stagionale, ˆSt.

La stima ˆStdeve essere costruita in modo tale che fluttui attorno allo zero (almeno

approssimativamente).

Questo vincolo consente alla componente stagionale di essere identificabile dalla componente di trend.

Quindi per prima cosa bisogna ottenere una stima della componente di trend, ˆTt,

usando una stima a media mobile.

La stima a media mobile è una tecnica per avere un’idea generale del trend in un set di dati, è una media di qualsiasi sottoinsieme di numeri. La media mobile è estremamente utile per la previsione dei trend a lungo termine. Si può calcolare per qualsiasi periodo di tempo. Ad esempio, se si dispone di dati per un periodo di venti anni, è possibile calcolare una media mobile quinquennale, una media mobile di quattro anni, una media mobile di tre anni e così via.

A questo punto è possibile eliminare la componente di trend dalla serie originale. xt= yt− ˆTt

Dopodiché si applica un filtro stagionale alla serie senza trend xt per ottenere una

stima della componente stagionale ˆSt.

Bisogna spiegare che cosa sia un filtro stagionale. Per le osservazioni fatte durante il periodo k, k = 1, ..., s (dove s è la periodicità conosciuta della stagionalità), un filtro stagionale è una convoluzione di pesi e osservazioni fatte durante i periodi passati e futuri rispetto a k.

Ad esempio, con dati mensili (s = 12) un’osservazione "smoothed" di gennaio è una media simmetrica e pesata dei dati di gennaio.

In generale per una serie temporale xt, con t = 1, ..., N, l’osservazione stagionale

"smoothed" al tempo k + js, con j = 1, ...N/s − 1 è ˆ

sk+js= r

X

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CAPITOLO 7. APPENDICE B: DESTAGIONALIZZAZIONE E ANALISI DELLE COMPONENTI PRINCIPALI con pesi al tali che P

r

l=−ral= 1.

A questo punto, sottraendo la componente stagionale stimata dai dati originali, si ottiene la serie destagionalizzata.

dt= yt− ˆSt

7.2 Analisi delle componenti principali

Quando le variabili di mercato sono fortemente correlate tra di loro, si usa a volte l’analisi delle componenti principali, uno strumento statistico standard che può avere molte applicazioni in finanza.

Lo scopo principale dell’analisi delle componenti principali (Principal Component Analysis PCA) è quello di ridurre il numero delle variabili di un dataset in alcune variabili latenti attraverso una trasformazione lineare. In particolare, le nuove variabili ottenute sono ordinate in ordine decrescente di varianza. La riduzione consiste nel considerare solo le principali per varianza tra le nuove variabili. Partendo da p variabili originali, X1, X2, ..., Xi, ..., Xp con i = 1, 2, ..., p l’obbiettivo

è quello di individuare altrettante p variabili, Y1, Y2, ..., Yi, ..., Yp con i = 1, 2, ..., p

ognuna combinazione lineare delle p variabili di partenza.

Dal punto di vista matriciale, data la matrice ¯X, che contiene le p variabili origi-nali, correlate tra loro, si vuole ottenere una matrice di nuovi dati ¯Y , composta da p variabili incorrelate tra loro e che risultano essere combinazione lineare delle prime. E quindi si ha:

¯

Y = L ¯X La i-esima componente di ¯Y si esprime come:

Yi = litX¯

a cui corrisponde una varianza pari a :

V ar(Yi) = litΣli

(46)

CAPITOLO 7. APPENDICE B: DESTAGIONALIZZAZIONE E ANALISI DELLE COMPONENTI PRINCIPALI dove L è la matrice caratteristica della trasformazione lineare, Σ è la matrice varianza di ¯X, mentre le Yi sono dette componenti principali.

Il vettore ¯Y ha come prima componente Y1 che contiene la maggiore variabilità

possibile (e quindi maggiori informazioni) delle variabili originarie. Y2è la seconda

(dopo Y1) delle nuove variabili a contenere la maggiore variabilità possibile, e così

via fino a Yp. La varianza delle componenti principali è stata definita come:

V ar(Yi) = litΣli

E’ necessario però porre un vincolo sul vettore dei coefficienti. Infatti, preso il vettore l1che massimizza la varianza di Y1, se si considera il vettore c∗l1, con c > 1,

la sua varianza risulterà superiore. Per cui si ottengono un’infinità di soluzioni, note a meno di un fattore di proporzionalità c. Quindi per avere un’unica soluzione occorre porre un vincolo sugli elementi del vettore l1:

l_itli = 1

cioè il vettore l1 deve avere norma unitaria.

Per individuare la prima componente principale bisognerà risolvere il seguente problema di massimo vincolato:

max V ar(Yi) = ltiΣli; ltili = 1

Per trovare le componenti successive alla prima si deve seguire un procedimento analogo che dovrà tener conto del vincolo di non correlazione con tutte le prece-denti componenti già valutate.

In questo contesto, ¯X è costituito dalle sette variabili macroeconomiche citate nei capitoli precedenti.

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CAPITOLO 7. APPENDICE B: DESTAGIONALIZZAZIONE E ANALISI DELLE COMPONENTI PRINCIPALI

Europa

Principal Component Analysis Total Variance Explained (%) P CA1 66.0540 P CA2 17.4898 P CA3 6.4517 P CA4 4.8838 P CA5 3.3715 P CA6 1.6796 P CA7 0.0696

Tabella 7.1: Contiene la lista delle sette componenti principali (perché le variabili macroeconomiche considerate sono sette) e le rispettive percentuali della varianza totale spiegata nel caso dell’aggregato europeo. La prima componente principale (P CA1) è l’unica a spiegare una percentuale sufficiente della varianza totale (66.0540%)

Germania

Tabella 7.2: Contiene la lista delle sette componenti principali (perché le variabili macroeconomiche considerate sono sette) e le rispettive percentuali della varianza totale spiegata nel caso della Germania. La prima componente principale (P CA1) è l’unica a spiegare una percentuale sufficiente della varianza totale (61.1546%)

(48)

Italia

Tabella 7.3: Contiene la lista delle sette componenti principali (perché le variabili macroeconomiche considerate sono sette) e le rispettive percentuali della varianza totale spiegata nel caso dell’Italia. La prima componente principale (P CA1) è l’unica a spiegare una percentuale sufficiente della varianza totale (58.4405%)

Spagna

Tabella 7.4: Contiene la lista delle sette componenti principali (perché le variabili macroeconomiche considerate sono sette) e le rispettive percentuali della varianza totale spiegata nel caso della Spagna. La prima componente principale (P CA1) è l’unica a spiegare una percentuale sufficiente della varianza totale (90.6800%)

(49)

Francia

Tabella 7.5: Contiene la lista delle sette componenti principali (perché le variabili macroeconomiche considerate sono sette) e le rispettive percentuali della varianza totale spiegata nel caso della Francia. La prima componente principale (P CA1) è l’unica a spiegare una percentuale sufficiente della varianza totale (52.9185%)

(50)

Capitolo 8

Appendice C: La Funzione Matlab

GarchMidas

Di seguito si descrive la funzione Matlab GarchMidas utilizzata per simulare il modello GARCH-MIDAS.

Come è già stato detto il modello GARCH-MIDAS decompone la varianza condi-zionata in una componente corta e una componente lunga. La prima è caratteriz-zata da un processo GARCH(1,1), mentre la seconda è determinata dalla volatilità realizzata o dalla variabile macroeconomica con pesi MIDAS.

Gli elementi in input sono:

• y, il vettore di osservazione, in questo caso il vettore dei rendimenti

• x, il vettore della variabile macroeconomica che determina la varianza con-dizionata, deve essere della stessa lunghezza di y, quindi, x è caratterizzato dal medesimo valore per ogni giorno appartenente allo stesso mese (dati ri-petuti in modo tale da combaciare con le date di y), se x non è specificato viene usata la volatilità realizzata. Solo un regressore è supportato.

• P eriod, uno scalare che specifica la periodicità di aggregazione, corrisponde alla lunghezza della componente secolare τ, il valore di default è 22 che

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CAPITOLO 8. APPENDICE C: LA FUNZIONE MATLAB GARCHMIDAS • NumLags, uno scalare che rappresenta il numero di Lags per il filtraggio

della componente secolare attraverso i pesi MIDAS Gli elementi in output sono:

• estP arams, i parametri stimati del modello

• V ariance, il vettore contenete la varianza condizionata

• LongRunV ar, il vettore contenete la componente lunga della varianza con-dizionata

• ShortRunV ar, il vettore contenete la componente corta della varianza con-dizionata

I parametri del modello vengono calcolati attraverso un algoritmo di ottimizzazio-ne numerica, in particolare si tratta del metodo di massimizzazioottimizzazio-ne della funzioottimizzazio-ne di verosimiglianza.

Vengono calcolati poi gli standard error e i p-values per ogni parametro. Vengono calcolati la LogL, l’AIC e il BIC.

Infine vengono calcolati, sulla base delle formule (3.8), (3.9) e (3.11), rispettiva-mente, la componente corta, la componente lunga e la varianza condizionata nel suo complesso.

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Capitolo 9

Appendice D: Errori sul forecast

della volatilità condizionata

Di seguito si riportano gli errori commessi sul forecast della volatilità condizionata degli indici dell’aggregato europeo e di Germania, Italia, Spagna e Francia, rispetto allo stimatore di Parkinson e di German-Klass, da parte dei modelli GARCH e GARCH-MIDAS.

Errori sul forecast col modello GARCH

Le seguenti tabelle riportano gli errori commessi sul forecast della volatilità con-dizionata degli indici dell’aggregato europeo e di Germania, Italia, Spagna e Fran-cia, rispetto allo stimatore di Parkinson e di German-Klass, da parte del modello GARCH.