Capitolo 10 Cenni ai modelli ARCH-GARCH

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Statistica per l’economia e l’impresa

Capitolo 10

Cenni ai modelli ARCH-GARCH

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Motivazione all’introduzione di nuovi modelli:

• Fino agli inizi degli anni ‘80 gli studi econometrici per la stima di serie storiche si sono focalizzati alla misurazione di valori nominali, reali o medie di grandezze micro o macroeconomiche.

•Più recentemente si è iniziato invece ad

indagare sulla cosidetta volatilità e sugli

effetti che tale volatilità ha sui valori reali o

nominali delle serie storiche.

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Definizione di Volatilità

• Supponiamo che S_i sia il valore diuna variabile (es.prezzo) all’istante (giorno) i.

• La volatilità giornaliera è definita come la standard deviation di ln(S_i/S_i-1), ovvero il suo scarto

quadratico medio

• Normalmente i giorni nei quali i mercati sono chiusi vengono ignorati per il calcolo della

volatilità

• Chiaramente la Varianza è il quadrato volatilità

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Standard approach per stimare la Volatilità

• Sia S_i il valore della market variabile alla fine del giorno i

• Si definisca u_i= ln(S_i/S_i-1)

• Allora la volatilità “per day” tra il giorno n-1 e il giorno n, stimata alla fine del giorno n-1, è definite come:

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_n _{n i}

i m

i n i m

m u u

u m u

2 2

1

1 1 1

  



 



( )

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Esempio di Volatilità: S&P 500

5

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Riprendiamo il modello di regression lineare

• La forma generale per la relazione lineare di Y_t su:

• La variance del termine di errore è costante over time. Questa proprietà è definita “unconditional homoscedasticity”

) σ N(0,

~ ε

ε X

β ...

X β

β Y

2 t

1 t kt

k t

2 2

t 1 1

0 1

t

     



is X

,..., X

,

X

₁_t ₂_t _kt

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Distinzione tra Varianza Conditional e Unconditional

• La varianza “unconditional” è semplicemente la classica misura della varianza, ovvero:

var(x) =E(x -E(x))²

• La varianza “conditional” è invece la misura di incertezza rispetto ad una variabile, dato un modello e un set di informazioni :

cond var(x) =E(x-E(x|  ))² questa è la vera misura dell’incertezza.

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Volatility Clustering (read books)

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9

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10

t t 1

t t

1 t

t

E [Y | X ] σ ε

Y 

_ _



La varianza “Conditional”

varia nel tempo

• Per introdurre una varianza conditional non- costante nel modello, si moltiplica l’errore per lo scarto quadratic medio conditional:

• dove _t è chiaramente non-negativo in quanto è una standard deviation

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ARCH e GARCH

11

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12

N(0,1)

~ ε

where ε

σ βX

Y

_t



_t



_t _t _t

ARCH(q) Model

Engle(1982)

Auto-Regressive Conditional Heteroscedasticity

Dove V

^L

è la varianza di “lungo termine”





  







q

1 i

i

q 1 i

2 i t i t i

L 2

t

1 α

γ

where

) ε

(σ α

γV σ

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GARCH (p,q) Bollerslev (1986)

Nei lavori empirici, l’ordine q dei modelli ARCH risulta essere spesso molto grande.

Sono stati quindi proposti modelli più

parsimoniosi, definiti Generalised ARCH model:

L

q 1 j

j 2t j p

1 i

2 1 t 2

i t t i

2

γV ω

σ β ε

σ α ω

σ





  





  

13

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Riferimenti bibliografici

• Engle, R.F. (1982), Autoregressive Conditional

Heteroskedasticity with Estimates of the Variance of U.K.

• Bollerslev, T.P. (1986), Generalized Autoregresive Conditional Heteroscedasticity.

• Bollerslev T., Engle R. F. and D. B. Nelson (1994), ARCH Models

• Engle, R. F. (2001), GARCH 101: The Use of

ARCH/GARCH Models in Applied Econometrics.