ITSC08 - PID

(1)

Ingegneria e Tecnologie dei Sistemi di Controllo Ingegneria e Tecnologie dei Sistemi di Controllo Laurea Specialistica in Ingegneria Meccatronica Laurea Specialistica in Ingegneria Meccatronica

CONTROLLORI PID

Cristian Secchi Tel. 0522 522235 e-mail: secchi.cristian@unimore.it

Introduzione

•

regolatore Proporzionale, Integrale, Derivativo –PID

•

regolatori standard con tre azioni di controllocombinate:

•

azione proporzionaleall'errore

•

azione proporzionale all'integraledell'errore

•

azione proporzionale alla derivatadell'errore

•

standard industriale ed utilizzabile per moltissimi impianti

•

implementabile con molte tecnologie

•

elettriche (analogiche e digitali)

•

meccaniche

•

pneumatiche

•

oleodinamiche

(2)

Motivazioni del successo del PID

•

Notevole efficacia nella regolazione di un’ampia gamma di

processi industriali

•

Tecniche di taratura semplici ed automatiche applicabili

anche quando

q

il modello dell'impianto è poco noto

p

•

Importanza e convenienza economica della

standardizzazione

•

Possono essere usati come elementi base di schemi di

controllo articolati (es.: controllo in cascata) portando

notevolissimi miglioramenti delle prestazioni

•

Consente di ottenere prestazioni accettabili anche con una

PID-- 3

Consente di ottenere prestazioni accettabili anche con una

scarsa conoscenza del modello del sistema

Cristian Secchi

I PID hanno successo perchè rappresentano una soluzione non facilmente superabile, in generale, nel rapporto efficacia/costo

Il controllore PID

•

se e(t) è il segnale di errore avremo

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + =

_∫

t i d p e d T t e T t e K t u 0 ) ( 1 ) ( ) ( ) ( & τ τ

con K

p

costante proporzionale e con T

i

e T

d

constanti di

tempo della parte integrale e derivativa

•

f.d.t. del controllore:

⎟⎟

⎞

⎜⎜

⎛

+

+T

K

s

U

G

(

)

(

)

1

1 _⎟⎟

⎠

⎜⎜

⎝

+

=

s

T

s

T

K

s

E

s

G

i d p PID

1 )

(

)

(

)

(

(3)

Significato delle tre azioni di controllo

•

azione proporzionale:

• maggiore è l'errore, maggiore è l'azione di controllo

•

azione integrale:

• errore nullo a segnali di riferimento o disturbi costanti

•

azione derivativa:

• azione di controllo “preventiva”

• anticipo di fase

•

i termini derivativo e/o integrale possono essere assenti

• regolatori P

PID-- 5 Cristian Secchi

regolatori P

• regolatori PI

• regolatori PD

F.d.t. del controllore PID

F.d.t. del controllore PID -

- Considerazioni

Considerazioni

•

abbiamo che

•

la f.d.t. presenta

•

due zeri a parte reale negativa

•

un polo nell’origine

•

il controllore PID risulta essere un sistema improprio, ovvero

non fisicamente realizzabile

•

la forma reale prevede

con N = 5 ÷ 20 per posizionare il polo all'esterno della banda di interesse. Il polo reale modifica un po' la posizione degli zeri. In

(4)

Regolatore

Regolatore P

P

•

regolatore P:

• T

i

= ∞ e T

d

= 0

• usato per processi asintoticamente o semplicemente

stabili quando le prestazioni statiche non richiedano

q

p

l’inserimento di un polo nell’origine nel guadagno

d’anello

G(s) P R(s) E(s) Y(s) PID-- 7 Cristian Secchi

Regolatore

Regolatore P

P -

- Esempio

Esempio

s s G τ + = 1 1 )

( Specifica: Portare a regime il sistema nel minor

tempo possibile

L d ll R di i

Il sistema chiuso in retroazione è del primo ordine

Luogo delle Radici è del primo ordine

Mediante un controllore proporzionale posso rendere il

tempo di assestamento del sistema piccolo quanto si vuole

1 =

τ

s K K K s G p p p cl + + + = 1 1 1 ) ( _τ Attenzione al valore a regime!

(5)

Regolatore PI

•

regolatore PI:

• T

_d

= 0

• Hanno un il polo nell'origine e lo zero in s = -1 / T

i

• molto diffusi a livello industriale in quanto consentono il

soddisfacimento delle specifiche statiche (consentono

di inserire un polo nell’origine nella funzione di

trasferimento d’anello) e sono di facile taratura per

semplici processi

• Grazie allo zero è possibile anche rendere agire sul

tempo di assestamento del sistema controllato

Regolatore

Regolatore PI

PI -

- Esempio

Esempio

R(s) E(s) Y(s) s s G τ + = 1 1 )

( Specifica: Portare a regime il sistema nel minor

tempo possibile e con errore di posizione nullo

G(s) PI

R(s) E(s) Y(s)

Per soddisfare la specifica statica è necessario aggiungere un polo nell’origine al guadagno d’anello mediante il controllore

(6)

Regolatore

Regolatore PI

PI -

- Esempio

Esempio

Per nessun valore di Kp>0 il

tempo di assestamento sarà inferiore a T1 1 T T> 1 T T< K_p La presenza dello zero limita la

possibilità di spostare a destra il

polo nell’origine

τ

=1

polo nell origine

Regolatore

Regolatore PI

PI -

- Esempio

Esempio

Per nessun valore di Kp>0 il

tempo di assestamento sarà inferiore a T1 1 T T> 1 T T<

La presenza dello zero limita la possibilità di spostare a destra

uno dei due poli

Per guadagni bassi il sistema ha un alto tempo di assestamento. Per evitare oscillazioni nel transitorio il guadagno deve essere scelto Per evitare oscillazioni nel transitorio il guadagno deve essere scelto

(7)

Regolatore

Regolatore PI

PI -

- Esempio

Esempio

Se la conoscenza del modello è sufficientemente accurata, si può usare lo zero del PI per

cancellareil polo del plant

I t l d il i t hi i

In tal modo il sistema chiuso in retroazione diventa un sistema del primo ordine la cui dinamica

può essere resa veloce a piacimento all’aumentare di K_p 1 =

τ

PID-- 13 Cristian Secchi All’aumentare di K_p, diminuisce il tempo di assestamento e la risposta non ha oscillazioni Kp 1

τ

Casi particolari (3)

•

regolatore PD:

• T

_i

= ∞

• Hanno lo zero in s = - 1 / T

_d

ed il polo reale fuori banda

(all'infinito nel caso ideale)

(all infinito nel caso ideale)

• usato quando non vi siano problemi di instabilità o di

prestazioni statiche, ma sia

necessario allargare la

banda passante

(8)

Regolatore

Regolatore PD

PD -

- Esempio

Esempio

) 1 ( 1 ) ( s s s G τ +

= Specifica: Portare a regime il sistema nel minor

tempo possibile e con errore di posizione nullo

La specifica statica è soddisfatta grazie al polo nell’origine di G(s) La specifica statica è soddisfatta grazie al polo nell origine di G(s)

1 T T> 1 T T<

La struttura del plant è tale per cui non è possibile, mediante un regolatore proporzionale, ottenere un tempo di assestamento inferiore a T₁ PID-- 15 Cristian Secchi inferiore a T₁

Regolatore

Regolatore PD

PD -

- Esempio

Esempio

G(s) PD

R(s) E(s) Y(s)

C li T ?

Scegliendo N abbastanza grande è possibile portare il punto di emergenza a sinistra

quanto si vuole e, di il i i t

Come scegliere Td? conseguenza, il minimo tempo

di assestamento ottenibile piccolo quanto si vuole

Kp 1

=

τ

(9)

Regolatore PID

•

regolatore PID completo:

• 1 polo nell'origine e due zeri

• zeri reali se T

_i

≥ 4T

_d

• zeri coincidenti (in s = 1/ 2 T ) se T = 4 T

• zeri coincidenti (in s = -1/ 2 T

_d

) se T

_i

= 4 T

_d

• nella realtà è necessario introdurre un secondo polo in

alta frequenza a pulsazione maggiore di quella degli

zeri per rendere il sistema fisicamente realizzabile

• E’ utilizzato quando è necessario cancellare più di un

polo e imporre un errore di posizione nullo

Regolatore

Regolatore PID

PID -

- Esempio

Esempio

2 2 2 2 9 . 0 ) ( n n s s s G n ω δω ω + +

= Specifica: Portare a regime il sistema nel minor

tempo possibile, con errore di posizione nullo e senza sovraelongazioni

E’ necessario inserire un polo nell’origine per soddisfare le

specifiche statiche

Per evitare che la risposta abbia una sovraelongazione, g , occorre che il sistema chiuso in retroazione non abbia poli

(10)

Regolatore

Regolatore PID

PID -

- Esempio

Esempio

Scegliendo Tde Tiin modo che gli zeri del

PID cancellino i poli del controllore e N grande abbastanza è possibile soddisfare

le specifiche di controllo

Sistema non controllato Sistema controllato con PID

10 3 . 0 = δ PID-- 19 Cristian Secchi 10 = n ω Kp

Taratura

Taratura automatica

automatica dei

dei Parametri

Parametri

•

Per la taratura “razionale” dei PID si fa riferimento al modello del sistema da controllare e si usano, ad esempio, le tecniche basate sul luogo delle radici viste finora.

•

La costruzione di un modello del plant a partire dalle leggi fisiche che

•

La costruzione di un modello del plant a partire dalle leggi fisiche che lo governano richiede un impegno sproporzionato rispetto alle esigenze di progetto

•

In questi casi esistono delle strategie per tarare i parametri del PID a partire da prove sul campo effettuate sul plant

•

Esistono svariati metodi, alcuni dei quali già implementati su alcuni controllori industriali commercializzati su larga scala

(11)

Taratura

Taratura automatica

automatica dei

dei Parametri

Parametri

Considereremo metodi di taratura automatica ad anello aperto

Tali metodi valgono per i plant stabili la cui risposta al gradino non è Tali metodi valgono per i plant stabili la cui risposta al gradino non è oscillante. Ciò può essere testato sul campo semplicemente eccitando il

plant con un gradino.

E’ poi necessario approssimare il plant come un sistema del primo ordine con ritardo

Esistono tabelle che consentono di determinare i parametri del PID utilizzando i parametri del sistema approssimato

Taratura

Taratura automatica

automatica dei

dei Parametri

Parametri

Una volta testato che il plant risponde a un gradino in ingresso senza oscillazioni, è necessario approssimarne il modello con un sistema del primo

ordine con ritardo del tipo

Esistono svariati metodi per ottenere G_a(s) a partire dalla risposta al gradino del plant. Verrà illustrato il metodo delle aree.

s a e s K s G θ τ − + = 1 ) (

(12)

Taratura

Taratura automatica

automatica dei

dei Parametri

Parametri

Si considera la risposta del plant a un gradino di ampiezza A

y A y K= y S1 = +θ τ S2 S y eS / ) ( 2 θ τ = Guadagno statico Costante di tempo Rit d S1 PID-- 23 Cristian Secchi τ + T y y S )/ ( 1 τ θ= − Ritardo

Taratura

Taratura automatica

automatica dei

dei Parametri

Parametri

L’algoritmo da seguire per trovare il modello approssimato è:

1. Eccitare il sistema con un gradino di ampiezza A e graficare la risposta 2. Ottenere il guadagno statico K mediante

2. Ottenere il guadagno statico K mediante

3. Trovare, anche in via approssimata, l’area S1 4. Ottenere l’ascissa τ+θ mediante

e tracciare una retta verticale passante per τ+θ

5 T h i i i l’ S2 A y K= y S1 = +θ τ

5. Trovare, anche in via approssimata, l’area S2

6. Ottenere la costante di tempo τ e il ritardo θ mediante

y y S y eS / ) ( 1 2 τ θ τ − = =

(13)

Taratura

Taratura automatica

automatica dei

dei Parametri

Parametri

Una volta approssimato il plant come

s a e s K s G θ τ − + = 1 ) (

esistono due categorie principali di criteri per la taratura automatica dei parametri:

a) quelli che utilizzano alcuni punti caratteristici della risposta y(t) al gradino per imporre l’andamento transitorio desiderato. Si impone ad esempio il rapporto di smorzamento r tra due picchi successivi della risposta y(t);

p y( );

Taratura

Taratura automatica

automatica dei

dei Parametri

Parametri

b) criteri di tipo integrale che utilizzano come indice di costo funzioni integrali della variabile errore e(t). Di particolare interesse sono i seguenti indici:

∫

∞ = 0 2 ) ( dtt e

ISE Integral Square Error

∫

∞ = 0 ) ( dtt e

IAE Integral Absolute Error

∫

∞ = 0 ) ( dtt e t

(14)

Taratura

Taratura automatica

automatica dei

dei Parametri

Parametri

Esistono alcune tabelle per il tuning dei parametri dei regolatori PID. Nella seguente tabella sono riportate indicazioni per fare il tuning corrispondente ad un rapporto di smorzamento r = 0.25 secondo i criteri della categoria (a).

Taratura

Taratura automatica

automatica dei

dei Parametri

Parametri

Al fine di tarare un PID con i metodi della categoria (a), basta scegliere il tipo di controllore da implementare e dedurre i parametri dalle relazioni in tabella

1 ) (s = G G e s ) ( 46 . 1 − ) 1 2 ( ) 1 )( 1 5 . 0 ( ) ( ₂ + + + = s s s s G s s Ga 34 . 3 1 ) ( + =

Si desideri implementare un PID mediante le regole di Ziegler- Nichols corrispondenti a un rapporto di smorzamento r=0.25

Dalle tabelle si ricava

22 .

0 /

87 .

0 /

74 .

2 =

=

_i

τ

_d

τ

p

T

KK

1 .

0

27 .

1

74 .

2 =

=

_i _d p

T

K

(15)

Taratura

Taratura automatica

automatica dei

dei Parametri

Parametri

Risposta al gradino del sistema descritto da G(s) controllato con un PID tarato mediante il metodo

di Ziegler-Nichols usando il modello approssimato

Taratura

Taratura automatica

automatica dei

dei Parametri

Parametri

Nelle seguenti tabelle sono riportate indicazioni per fare il tuning secondo i criteri di ottimizzazione dell’errore della categoria (b).

N l di tili di it i i t li il t i l i t b ll f i

Nel caso di utilizzo di criteri integrali per il tuning, la prima tabella fornisce dei parametri che ottimizzano le prestazioni nel caso di variazioni nel plant da controllare mentre la seconda tabella fornisce dei parametri che ottimizzano le prestazioni nel caso di variazioni del setpoint di riferimento.

(16)

Taratura

Taratura automatica

automatica dei

dei Parametri

Parametri

Variazioni di Carico

Criterio Controllore Azione A B

IAE P P 0.902 -0.985 ISE P P 1.141 -0.917 ITAE P P 0.490 -1.084 IAE PI P 0.984 -0.986 IAE PI P 0.984 0.986 I 0.608 -0.707 ISE P 1.305 -0.959 I 0.492 -0.739 ITAE P 0.859 -0.977 I 0.674 -0.680 IAE P 1.435 -0.921 I 0.878 -0.749 PID-- 31 Cristian Secchi D 0.482 1.137 ISE P 1.495 -0.945 I 1.101 -0.771 D 0.560 1.006 ITAE P 1.357 -0.947 I 0.842 -0.738 D 0.381 0.995

Taratura

(17)

Taratura

Taratura automatica

automatica dei

dei Parametri

Parametri

Nel caso di criteri integrali, una volta che si siano scelti il criterio (IAE,ISE o ITAE), il tipo di controllore (P, PI o PID) e l’azione di controllo (P, I o D), dalla tabella si individuano due parametri A e B che sostituiti nella relazione

B A Y ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

τ

θ

forniscono un valore Y che deve essere interpretato come Y = KKpnel

caso di azione proporzionale (P), come Y = τ/Tinel caso di azione

integrale (I), e come Y = Td/τ nel caso di azione derivativa (D).

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + =

τ

θ

B A Y (oppure ) PID-- 33 Cristian Secchi g ( ), d/ ( )

Taratura

Taratura automatica

automatica dei

dei Parametri

Parametri

Si consideri il sistema dell’esempio precedente che può essere approssimato con e s G s a( ) 46 . 1 = − s a 34 . 3 1 ) ( +

si desidera progettare un controllore PI per variazioni di setpoint utilizzando il criterio integrale ITAE

Dalla tabella si ricava che

916 . 0 ⎞ ⎛ ⎞ ⎛θ − τ θ 96 . 0 165 . 0 03 . 1 24 . 1 586 . 0 ⎟= ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = τ θ τ τ θ i p T KK

(18)

Taratura

Taratura automatica

automatica dei

dei Parametri

Parametri

Risposta al gradino del sistema descritto daG(s)

sistema descritto da G(s)

controllato con un PID tarato mediante il metodo di ottimizzazione dell’errore usando il modello approssimato PID-- 35 Cristian Secchi

Realizzazioni

Realizzazioni dei

dei Regolatori

Regolatori PID

PID

G(s) P R(s) E(s) Y(s) I -+ ₊ + + U(s) Schema “classico” del PID D del PID

In presenza di un gradino sul segnale di riferimento R(s), l’uscita del derivatore, di conseguenza, la variabile di controllo U(s) è di tipo impulsivo

Brusche variazioni del controllo possono essere indesiderate in quanto possono portare a una saturazione o a un deterioramento degli attuatori.

(19)

Realizzazioni

Realizzazioni dei

dei Regolatori

Regolatori PID

PID

G(s) P R(s) _E(s) Y(s) I -+ + + U(s) + + PID con derivazione dell’uscita D

Y(s) è l’uscita di un sistema che solitamente ha le caratteristiche di un filtro passa basso e le sue variazioni istantanee (e quindi la sua derivata) sono contenute. Pertanto l’uscita del termine derivativo non ha andamenti impulsivi

Inoltre, quando R(s) è costante lo schema PID con derivazione sull’uscita si comporta come lo schema PID classico.

Realizzazioni

Realizzazioni dei

dei Regolatori

Regolatori PID

PID

2 ) 1 ( 1 ) ( + = s s G Kp=2 Td=0.25 Ti=2

u(t) PID classico

r(t) _{y(t) PID} classico

y(t) PID con derivata sull’uscita

u(t) PID con derivata sull’uscita Calo di prestazioni ma azione di controllo senza picchi

(20)

Gestione

Gestione dei

dei ritardi

ritardi

G(s) PID R(s) E(s) _s Yp(s)

e

−θ + -) (s Gp ) ( ) (t = ty −θ y_p Y(s) U(s)

Un altro punto importante da considerare nell’uso dei regolatori PID è la presenza di ritardi significativi nel processo da controllare. Si noti che nella sintesi di controllori a struttura libera si può tener conto di tali ritardi comprendendoli intrinsecamente nella legge di controllo, mentre ciò non è possibile nel caso dei controllori a struttura fissa come il PID.

Il ritardo nell’anello di retroazione deteriora notevolmente le prestazioni e può addirittura rendere instabile il sistema

Gestione

Gestione dei

dei ritardi

ritardi

Se fosse possibile retroazionare y(t) anzichè y_p(t), tramite il PID sarebbe possibile controllare l’andamento di y(t) controllanda G(s). Dopodichè l’uscita y_p(t) avrebbe lo stesso andamento di y(t), soltanto ritardato diθ s.

Schema Desiderato G(s) PID R(s) E(s) Y_p(s) s

e

−θ + -) (s G_p Y(s) Schema Desiderato U(s)

Non è possibile accedere fisicamente alla variabile y(t) perchè l’uscita del plant è y_p(t) ma se si conosce il modello del plant (cioè G(s) e θ) è possibile utilizzare lo schema basato sul Predittore di Smith per risolvere i problemi legati al ritardo

(21)

Gestione

Gestione dei

dei ritardi

ritardi

G(s) PID R(s) E(s) Y_p(s) s

e

−θ + -Y(s) U(s) P(s) + Schema a predittore P(s) ₊ _{di Smith}

)

(

)

1 (

)

(

s

e

G

s

P

=

−

−θs Z(s)

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1 (

)

(

)

(

)

(

G

U

G

U

G

U

Y

Z

−θs −θs PID-- 41 Cristian Secchi

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1 (

)

(

)

(

)

(

s

G

s

e

U

s

e

G

s

U

s

G

s

U

s

Y

s

Z

=

θs

+

−

θs

=

Gestione

Gestione dei

dei ritardi

ritardi

Utilizzando il predittore di Smith lo schema di controllo diventa equivalente a

G(s) PID

R(s) E(s) _s Yp(s)

e

−θ

+ _PID U(s) _G(s) Y(s)

e

-Il ritardo non entra più nel loop di controllo ed è possibile disegnare un PID in modo che y(t) (e, di conseguenza, yp(t)) abbia le caratteristiche desiderate

Si annulla la retroazione dall’uscita ritardata inserendo un anello interno in Si annulla la retroazione dall uscita ritardata inserendo un anello interno in cui compare un modello del processo comprensivo del ritardo supposto noto. Si preleva la variabile non ritardata, resa disponibile dal modello, per chiudere la retroazione. In tal modo si cancella il ritardo nel loop di

(22)

Gestione

Gestione dei

dei ritardi

ritardi

Nel caso in cui il modello del sistema non sia preciso e la conoscenza del ritardo sia approssimativa, non si ottiene una cancellazione perfetta dell’uscita ritardata. Tuttavia, l’azione del predittore di Smith è ancora utile in quanto mitiga l’effetto del ritardo nel loop di retroazione. ut e qua to t ga e etto de ta do e oop d et oa o e

Per poter utilizzare il predittore di Smith è NECESSARIO che il ritardo sia costante.

Gestione

Gestione dei

dei ritardi

ritardi -

- Esempio

Esempio

2 2 . 1 ) 1 ( ) ( + = − s e s G s p ₌₂ ₌₀_.₂₅ ₌₂ i d p T T K PID Uscita Uscita con uno schema a predittore di Smith

Uscita con uno Uscita con uno schema a predittore

di Smith con una conoscenza imprecisa del ritardo

(23)

Dispositivi

Dispositivi anti

anti-

-saturazioni

saturazioni (anti

(anti-

-windup)

windup)

L’uscita del regolatore è applicata a dispositivi di attuazione che nella realtà presentano saturazioni.

È opportuno evitare che, nel caso in cui la variabile di controllo saturi, il È opportuno evitare che, nel caso in cui la variabile di controllo saturi, il regolatore continui ad integrare l’errore, fenomeno detto windup.

In tal caso infatti l’integratore può assumere valori molto elevati e richiedere molto tempo per tornare a valori normali.

Un intervento può essere quello di bloccare la sommatoria dell’azione integrale allorché l’uscita raggiunge il valore limite, oppure quello di attivare

l’azione integrale solo quando l’errore è piccolo

l azione integrale solo quando l errore è piccolo.

Nel caso in cui sia disponibile un modello (anche algebrico) dell’attuatore, si possono utilizzare vari schemi di anti-windup. Verrà

illustrato il metodo dell’integrazione condizionata.

Dispositivi

Dispositivi anti

anti-

-saturazioni

saturazioni (anti

(anti-

-windup)

windup)

Nel caso in cui sia disponibile un modello (anche algebrico)

dell’attuatore, si possono utilizzare vari schemi di anti-windup. Verrà illustrato il metodo dell’integrazione condizionata.

In questa tecnica l’ingresso del termine integrale viene azzerato nel caso in cui e_s(t) = v(t) − u(t) non sia nullo

S hi i (t) l’i

_⎧

Se chiamiamo e_i(t) l’ingresso del termine integrale, allora l’integrazione condizionata si esprime matematicamente

⎩

⎨

⎧

≠

=

)

(

)

(

0 )

(

)

(

)

(

)

(

t

u

t

v

se

t

u

t

v

se

t

e

t

e

_i

(24)

Dispositivi

Dispositivi anti

anti-

-saturazioni

saturazioni (anti

(anti-

-windup)

windup)

Lo schema di antisaturazione con integrazione condizionata è il seguente:

Quando il valore imposto dall’attuatore è diverso da quello richiesto dal controllore l’ingresso del termine integrale viene posto a zero.

Dispositivi

Dispositivi anti

anti-

-saturazioni

saturazioni (anti

(anti-

-windup)

windup)

Nel caso in cui non sia possibile misurare l’uscita dell’attuatore si costruisce un modello statico che tenga conto della saturazione dell’attuatore e si utilizza l’uscita del modello statico per decidere se imporre a zero l’ingresso del termine integrale.

(25)

Esempio

)

1 (

1 )

(

+

=

s

G

p Kp=2 Td=0.25 Ti=2 PID Attuatore ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ ≤ ≤ − − ≤ − = 5 . 0 ) ( 5 . 0 5 . 0 ) ( 5 . 0 ) ( 5 . 0 ) ( 5 . 0 ) ( t v se t v se t v t v se t u G(s) PID R(s) ₊ V(s) -Y(s) E(s) U(s) PID-- 49 Cristian Secchi

Esempio

Uscita Azione integrale

PID senza integrazione condizionata

Quando l’integratore è in saturazione, il sistema evolve come se non fosse in retroazione. Cio peggiora le prestazioni. Inoltre l’integratore

(26)

Esempio

Uscita Azione integrale

PID con integrazione condizionata

L’integrazione condizionata mantiene l’azione integrale sempre in un campo di valori utile per il controllo migliorando le prestazioni.

PID

PID Digitale

Digitale

Per implementare un PID su un sistema di elaborazione digitale è necessario ottenerne un equivalente discreto

Esistono svariati metodi per discretizzare un controllore tempo continuo. Verrà illustrata una delle discretizzazioni più utilizzate per i PID

)

(

1 )

(

)

(

)

(

1

1 )

(

E

s

N

T

s

T

K

s

E

s

T

K

s

E

K

s

E

s

T

s

N

T

s

T

K

s

U

d d p i p p i d d p

+

=

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

+

=

P I D

N

⎠

⎝

(27)

PID

PID Digitale

Digitale

Azione Proporzionale ) ( ) (t K et up = p up(kT)=Kpe(kT) Azione Integrale

∫

= t i p i e d T K t u 0 ) ( ) ( τ τ ) ( ) ( t K t dui p ) ( ) ) 1 (( ) ( kT e T K T T k u kT u i p i i − − = T K PID-- 53 Cristian Secchi ) ( ) ( t e T dt i p i = ) ( ) ) 1 (( ) ( e kT T T K T k u kT u i p i i = − +

PID

PID Digitale

Digitale

Azione Derivativa dt t de T K dt t du N T t u p d d d d ) ( ) ( ) ( + = T T k e kT e T K T T k u kT u N T kT u p d d d d d ) ) 1 (( ) ( ) ) 1 (( ) ( ) ( + − − = − − T T k e kT e T NT NT K T k u T NT T kT u d d p d d d d ) ) 1 (( ) ( ) ) 1 (( ) ( − − + + − + = ) ( ) ( ) ( ) (kT u kT u kT u kT u = + + PID

(28)

PID

PID Digitale

Digitale –

– Pseudocodice

Pseudocodice

Inizializzazione Eseguita una sola volta all’accensione _{del regolatore} Codice di Controllo

Codice di Calcolo Ricorsivo

del regolatore Eseguita ad ogni periodo di

campionamento

PID

PID Digitale

Digitale –

– Pseudocodice

Pseudocodice

Inizializzazione %Assegnamento e calcolo dei coefficienti costanti a1=KpT/Ti

b₁=T_d/(NT+T_d) b2=KNb1

%inizializzazione dello stato

%si suppone che y_sp sia in una memoria interna al regolatore Lettura di ysp e acquisizione e conversione A/D di y

e_old=y_sp-y ui=u0+Kceold ud=0

%u₀ corrisponde al valore attuale della variabile di controllo %supposto disponibile

(29)

PID

PID Digitale

Digitale

-

- Pseudocodice

Pseudocodice

Pseudocodice ricorsivo

1. Attesa attivazione del clock (clock interrupt) 2. Acquisizione e conversione A/D di y_sp e y

3 e=y y

3. e=y_sp-y 4. u_i=u_i+a₁e

5. u_d=b₁u_d+b₂(e-e_old) 6. u=K_pe+u_i+u_d

7. Emissione di u e conversione D/A 8. e_old=e

9. Ritorno a 1

PID

PID Digitale

Digitale -

- Osservazioni

Osservazioni

•

Il progetto di un PID digitale è tipicamente un progetto per discretizzazione. E’ quindi fondamentale:

•

Scegliere il periodo di campionamento in base alle specifiche ad anello chiuso

•

Aggiungere la dinamica (eventualmente approssimata) del

•

Aggiungere la dinamica (eventualmente approssimata) del

ricostruttore alla dinamica del plant da controllare prima di fare il tuning dei parametri

•

Per la taratura automatica dei parametri si procede come segue

•

Si Sceglie il periodo di campionamento in base alle specifiche ad

anello chiuso

•

Si approssima il plant con un sistema del primo ordine con ritardo. Si θ t l it d

Sia θ tale ritardo

•

Si aggiunge un ritardo T/2 a θ in modo da considerare la dinamica del ricostruttore di ordine 0.

(30)

Ingegneria e Tecnologie dei Sistemi di Controllo Ingegneria e Tecnologie dei Sistemi di Controllo Laurea Specialistica in Ingegneria Meccatronica Laurea Specialistica in Ingegneria Meccatronica

CONTROLLORI PID

FINE

Cristian Secchi Tel. 0522 522235 e-mail: secchi.cristian@unimore.it