Teoremi fondamentali di Elettrotecnica

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Schede di Elettrotecnica

Corso di Elettrotecnica 1 - Cod. 9200 N

Diploma Universitario Teledidattico in

Ingegneria Informatica ed Automatica

Polo Tecnologico di Alessandria

A cura di Luca FERRARIS

Scheda N° 3

Circuiti in Corrente Continua:

• Teorema di Millman

• Circuito equivalente di Thevenin

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Scheda N° 3 - Circuiti in Corrente Continua: Millman, Thevenin, Sovrapposizione degli Effetti

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E

SERCIZIO

3.1

Dato il circuito in figura calcolare quale tensione deve produrre il generatore E1 affinché chiudendo il

contatto t non si abbia passaggio di corrente nell’interruttore stesso. • R1 = 20Ω • R2 = 10Ω • R3 = 20Ω • R4 = 10Ω • R5 = 5Ω • R6 = 3Ω • E2 = 40V • E3 = 30V R₁ R2 E₁ R₃ C D F E B A t _R 4 R₅ E₂ R₆ E₃

Generatore equivalente di Thevenin:

“Qualunque bipolo è rappresentabile con la serie di un generatore ideale di tensione Eeq (di valore uguale alla

tensione a vuoto del bipolo stesso) e di una resistenza Req (di valore pari a quella che si vede dai morsetti del bipolo

quando i generatori di tensione sono stati sostituiti da corto-circuiti ed i generatori di corrente da circuiti aperti)”.

Sostituire sia la parte destra che sinistra del circuito con i rispettivi circuiti equivalenti di Thevenin:

V eq eq eq eq sin sin des des E E R E R = = = =         ⇒ 1 2 10 30 10 Ω Ω E1=60 V

E

SERCIZIO

3.2

Dato il circuito in figura calcolare l’intensità della corrente I con i seguenti dati: • R1 = 5 Ω • R2 = 5 Ω • R3 = 20 Ω • R4 = 20 Ω • R5 = 50 Ω • E1 = 100 V • E2 = 200 V

Teorema di Millman il quale afferma che:

“La tensione ai morsetti di bipoli in parallelo è la media pesata delle f.e.m. di tali bipoli, essendo pesi le loro ammettenze”, ovvero:

V E R A R AB i i i i i i i = +

∑

1

dove con Ri si intende la resistenza equivalente di ogni ramo, con Ei il

generatore di tensione di ogni ramo (segno “+” se concorde con il potenziale del nodo A), con Ai (positivo se entrante nel nodo A) il

generatore di corrente ed i è un indice per indicare tutti i rami.

V E R R E R R R R R R V AB= + +       + + + + = ⇒ 1 1 4 2 5 1 4 2 3 5 1 1 1 80 I=3 2, A B A R1 R2 E1 R4 E2 R5 R3 I

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2

E

SERCIZIO

3.3

Risolvere l’esercizio precedente utilizzando la sovrapposizione degli effetti.

Effetto di E1 R I A I I A eq TOT TOT ′ = +_ + _ = ′ = = ′ = ₊ ′ = = − 25 1 25 1 50 41 67 100 41 67 2 4 50 50 25 0 67 2 4 1 6 1 , , , * , * , , Ω Effetto di E2 R I A I I A eq TOT TOT ″ = +_ +    = ″ = = ′′ = ₊ ″ = = − 50 1 25 1 25 62 5 200 62 5 3 2 25 25 25 0 5 3 2 1 6 1 . , , * , * , , Ω

Quindi applicando il teorema della sovrapposizione degli effetti troviamo che:

I= ′ + ′′ =I I 1 6 1 6, + , =3 2, A I=3 2, A

E

SERCIZIO

3.4

Risolvere l’es. 3.2 utilizzando il teorema di Thevenin.

Il teorema di Thevenin ci permette di ridurre il circuito come rappresentato in figura 1. Con riferimento alla figura 2 calcoliamo la Req e la Veq; per

trovare il valore di Veq notiamo che essa coincide con

VAB che può essere determinata facilmente utilizzando

il teorema di Millman. Pertanto risulta facile vedere che: R V V eq eq =_ + _ = ⋅ + = = + + =          ⇒ − 1 25 1 50 25 50 25 50 16 67 100 25 200 50 1 25 1 50 133 3 1 , , Ω I=3 2, A 25 100 50 25 I’1 I’ I’TOT A A’ A” B B’ B” 25 200 50 25 I”1 I” I”TOT A A’ A” B B’ B” Eeq Req ₁ 2 R2 + R3 I Figura 1 100 200 25 50 A 1 2 B Figura 2

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3

E

SERCIZIO

3.5

Dato il circuito in figura 3 calcolare il valore delle seguenti incognite: ?. I1

?. I2

?. I3

?. I4

?. V5

I dati sono i seguenti: • R1 = 25 Ω • R2 = 20 Ω • R3 = 10 Ω • R4 = 90 Ω • Ig = 1000 A • Vg = 200 V R1 R2 _R 3 R4 Ig I I4 I3 II I2 I1 III Vg G F E H B C D A V5 Figura 3

Una prima idea che potrebbe venire per risolvere questo problema è applicare il teorema di Kirchoff.

− ⋅ − = − ⋅ + ⋅ = − ⋅ − ⋅ + = + = = + +          R I V V I R I R I R I R V I I I I I I I g g g 4 4 5 5 3 3 2 2 2 2 1 1 4 3 1 4 2 0 0 0

Questo sistema sebbene risolubile necessiterebbe di conti lunghi, complicati e sede di facili errori e quindi risulta molto più conveniente cercare una diversa via per la soluzione del problema che può essere trovata sostituendo alcuni blocchi del circuito con i relativi equivalenti di Thevenin.

Si è scelto di sostituire la maglia EHFG riportando il tutto al circuito in figura 4.

Vg I1 R1 R2 I2 Req Eeq R3 A B _C _D H E VHC VHE=Eeq Ig R4 H E Figura 4 Figura 5

E’ facile osservando la figura 5 calcolare che:

R R V R I eq eq g = = = − ⋅ = − ⋅ = −     4 4 90 90 1000 90000 V Ω

Applicando il teorema di Millman, la legge di Ohm e l’equilibrio ai nodi si trova che: VHC = - 8920 V

• I1 = 364.8 A

• I2 = -446 A

• I3 =810.8 A

• I4 = -189.2 A