Esercizio 2 Nel circuito di figura 1 trovare le correnti

Esercizio 2

Nel circuito di figura 1 trovare le correnti Ī

, Ī

, Ī

. Le tensioni erogate dai generatori sono isofrequenziali.

Figura 1

Valori: R

=20Ω; R

=30Ω; R

=10Ω; R

=30Ω; R

=10Ω; X

=20Ω; X

=40Ω;

Ē

=30V; Ē

=20V fase -45°

Usiamo la sovrapposizione degli effetti.

Effetto di Ē

Si sostituisce ad Ē

un circuito chiuso. Ridisegnamo il circuito.

Figura 2 Il circuito dove agisce solo Ē

Il resistore R

è in parallelo alla serie R

-X

. Troviamo questa impedenza e ridisegnamo il circuito.

Figura 3

Modulo:

Fase:

Quindi:

Potevamo usare anche il metodo grafico. Ad ogni impedenza corrisponde univocamente un numero complesso e, quindi, può essere rappresentata nel piano con un punto avente come ascissa la parte reale dell’impedenza e come ordinata la sua parte immaginaria.

Troviamo la serie R

-X

graficamente. Rappresentiamo la resistenza con il segmento in verde di figura 4. Questo segmento giace sull’ascissa perché una resistenza ha solo la parte reale. Tracciamo ora il segmento che rappresenta l’induttanda (segmento verde di figura 4), giace sul semiasse positivo dell’ordinata perché un’induttanza ha solo parte immaginaria ed è positiva.

Figura 4 La serie R

-X

Troviamo ora la serie con la consueta regola del parallelogramma. La serie avrà modulo e fase indicati in figura 4. La fase di un’impedenza indica lo sfasamento tra la tensione applicata ai suoi capi e la corrente che la attraversa.

Adesso dobbiamo calcolare l’impedenza Z

data dal parallelo dell’impedenza appena trovata con la resistenza R

. Per usare il metodo grafico dobbiamo servirci delle ammettenze. Troviamo le ammettenze Y

e Y

:

Procedendo come descritto precedentemente disegnamo il grafico di figura 5.

Figura 5 Determinazione grafica di Z

Abbiamo ottenuto lo stesso risultato.

Calcoliamo adesso l’impedenza Z

costituita dalla serie Z

-R

.

Figura 6

Calcoliamo ora il parallelo tra Z

e la serie R

-X

.

Figura 7 Determinazione grafica di Z

Figura 8

Soluzione grafica:

Figura 9 La serie R

-X

Determiniamo graficamente l’impedenza Z

data dal parallelo della serie R

-X

e dell’impedenza

Z

. Troviamo le ammettenze:

Facciamo il grafico:

Figura 10 L'impedenza Z

Prima di determinare il contributo del generatore Ē

alla corrente Ī

troviamo graficamente l’impedenza data dalla serie .

Figura 11 La serie Z

-R

Calcoliamo il contributo del generatore Ē

alla corrente Ī

.

Dalla figura 6 si vede cha la corrente Ī

si divide in Ī

e Ī

. Usiamo il partitore di corrente:

Calcoliamo Ī‘

(attenzione al verso della corrente che risulta sfasata di 180°)

Dalla figura 2 si vede cha la corrente Ī

si divide in Ī

e Ī

. Usiamo il partitore di corrente:

Calcoliamo Ī‘

:

Quindi:

Effetto di Ē

Si sostituisce ad Ē

un circuito chiuso. Ridisegnamo il circuito.

Figura 12

Il resistore R

è in parallelo alla serie R

-X

. Troviamo questa impedenza e ridisegnamo il circuito.

Figura 13

Modulo:

Fase:

Quindi:

Grafico:

Troviamo le ammettenze Y

e Y

:

Figura 14 L'impedenza Z

Calcoliamo l’impedenza data dal resistore R

in serie all’impedenza appena trovata.

Grafico:

Figura 15 L'impedenza Z

. Ridisegnamo il circuito.

Figura 16

Calcoliamo l’impedenza data dalla serie R

– X

in parallelo all’impedenza appena trovata.

Modulo:

Fase:

Quindi:

Ridisegnamo il circuito:

Figura 1

Calcoliamo il contributo del generatore di tensione Ē

alla corrente Ī

:

Dove:

Modulo:

Fase:

Quindi:

Possiamo determinare Ī

:

Modulo:

Fase:

La corrente Ī

si divide nelle correnti Ī

e Ī

. (Vedi figura 16). Troviamo la corrente Ī

con il partitore di corrente:

Modulo:

Fase:

Quindi:

Possiamo determinare Ī

:

Modulo:

Fase:

Troviamo con il partitore di corrente (vedi figura 11).

Modulo:

Fase:

Quindi:

Calcoliamo Ī

:

Modulo:

Fase:

Le correnti cercate valgono: