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Definizione di derivata e significato geometrico della derivata

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Academic year: 2021

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(1)1. www.matematicagenerale.it. Derivata delle funzioni reali ad una sola variabile. Definizione. Sia f(x) una funzione reale definita in un intervallo (a, b ), sia x0 un punto dell’Intervallo (a, b) la differenza f(x)-f(x0) è detto incremento della funzione f(x) dovuto al passaggio del punto x0 al punto x. La differenza (x- x0) è detta incremento della variabile , il rapporto:. è detto rapporto incrementale.. Ebbene, se esiste ed è finito il limite: lim. x  0. f ( x)  f ( x0 ) x  x0. tale limite è detto derivata della funzione f(x) nel punto x0. Simbolicamente la derivata la si indicherà con D(f(x)), f ' ( x ) o con y '  f ' ( x). Egualmente, posto: e si può anche scrivere che la derivata è: .. Spesso, per comodità, viene usata anche la seguente scrittura per dare la definizione di derivata: . dove. h  x0  x. info@matematicaagenerale.it.

(2) 2. www.matematicagenerale.it Diremo quindi che una funzione f(x) è derivabile nel punto x0 se esiste ed è finito il limite suddetto.. Parleremo di derivata destra (sinistra) se esiste ed è finito il limite destro (sinistro) del rapporto incrementale. Una funzione è derivabile in un punto x0 se la derivata destra coincide con la derivata sinistra.. info@matematicaagenerale.it.

(3) 3. www.matematicagenerale.it. Significato geometrico della derivata Supponiamo che la funzione f(x) ha l’andamento come nella figura seguente e consideriamo il punto P (x, f(x)) ed il punto P0(x0 ,f(x0)) .. Il rapporto. non rappresenta altro che il coefficiente angolare della retta PP0 quindi l’angolo che la retta PP0 forma con il semiasse positivo delle x. Facendo avvicinare x ad x0 la retta secante PP0 cambia inclinazione. info@matematicaagenerale.it.

(4) 4. www.matematicagenerale.it. Facendo avvicinare sempre più x ad x0, ovvero passando al limite, per x che tende a x0, cioè avvicinando il punto P al punto P0 , la retta PP0, che dapprima era secante la curva, diventa tangente alla curva nel punto x0 .. La f’(x) rappresenta coefficiente angolare della retta tangente alla curva nel punto x0.. info@matematicaagenerale.it.

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