Esercizi equazione-disequazione

(1)

5^

Lezione

• Logaritmi .

• Proprietà dei logaritmi

• Equazioni logaritmiche .

• Disequazioni logaritmiche .

Corso di Analisi: Algebra di Base

(2)

LOGARITMI :

Per logaritmo intendiamo una espressione letterale indicante un valore numerico.

Definizione : Si chiamerà logaritmo di un numero reale positivo b rispetto

alla base a, positiva e diversa dall’unità, quel numero reale c dato come esponente alla base per ottenere il numero reale b.

dove con a indichiamo la base del logaritmo dove con b indichiamo l’argomento del logaritmo dove con c indichiamo il valore del logaritmo.

Es : log₂ x=3  → 23 =x , x =8

log_x4=2  → x2 =4 , x= ±2 ma poiché x>0 x= +2 è l’unico valore accett. log₂16=x  → 2x =16

L’ultimo esempio fatto ci porta ad un nuovo tipo di equazione, detta eq. esponenziale.

Quindi avremo un dato assunto per ipotesi , e cioè la base sempre positiva, ma diversa da 1. Dovremo altresì esprimere di volta in volta quella che sarà la condizione di realtà di ogni logaritmo , l’argomento strettamente positivo.

b a c b c a = ⇔ = log INDICE

(3)

Nella maggior parte dei casi ci troveremo a lavorare con logaritmi di basi prefissate che nel nostro caso saranno :

la base dei logaritmi naturali , e , con e numero di Nepero ( e = 2,71...)

la base dei logaritmi decimali , 10 .

I logaritmi naturali li indicheremo con il simbolo , i decimali con .

Abbiamo detto che il valore della base di qualsiasi logaritmo viene assunta per ipotesi strettamente positiva , ma diversa da 1 ; questo evidentemente perché dalla definizione di logaritmo non esiste alcun valore dell’esponente c che dato alla base 1 permetta di avere un prefissato numero b.

Infatti : log_ab=c⇔ac =b

se consideriamo per es : b=5 , con a=1 si avrebbe 1c =5 e non esiste alcun valore di c che verifichi l’uguaglianza.

Se volessimo rappresentare in un riferimento cartesiano ortogonale la legge che lega ad ogni valore della variabile x , rappresentativa di tutti gli argomenti dei logaritmi, il corrispondente valore del logaritmo , espresso dalla variabile y troveremmo un diverso comportamento a seconda del valore assunto dalle basi.

   > → ≠ > → →  0 1 , log b Esistenza di Condizione a o a Hp b a ln log INDICE

(4)

Più precisamente :

PROPRIETA’ DEI LOGARITMI

x y =log_a y y y =log_a x ( a>1 ) y=log_a x ( 0< <a 1) 1 x 1 x

( )

      = − = + = →  = = →  = c b c b bc c b a a a a a a a a a a a a log log log log log log 1 log 1 0 1 log 1 0 a N N b n m b b b c b x x a a a n m a a a n m c log log log log log log log log = = = = INDICE

(5)

EQUAZIONI LOGARITMICHE :

Risolvere un’equazione logaritmica significa determinare quel particolare valore da attribuire alla variabile x affinché l’uguaglianza sia verificata.

Per arrivare a ciò, utilizzando le proprietà dei logaritmi, è indispensabile ricondursi

all’uguaglianza di due membri che siano costituiti da un solo logaritmo, nella stessa base, con lo stesso coefficiente e dello stesso grado.

Nota Bene : Prima di risolvere qualsiasi esercizio relativo ai logaritmi è assolutamente

indispensabile discutere la realtà dei singoli logaritmi, formulando così un sistema che risolto ci dà la condizione per la quale ha senso risolvere l’esercizio.

Per cui si avrà : log_a

[

A(x)

]

=log_a

[

B(x)

]

condiz. di realtà  → > >    A x B x ( ) ( ) 0 0

eliminando i logaritmi A(x)=B(x) che risolta darà le soluzioni.

Es : log

(

x+2

)

=0 cond. realtà  →

(

x+ >2 0

)

x > −2

quindi le soluzioni finali della equazione saranno verificate se e solo se rientreranno nell’intervallo suddetto. Ricordiamo che la notazione log ci indica un logaritmo decimale (in base 10).

-2

(6)

Per cui riprendendo l’equazione avremo :

(

2

)

0

log x+ = che per le propr. dei logaritmi possiamo scrivere :

(

2

)

log1

log x+ = di qui → x+ =2 1  → x = −1 che verifica.

Infatti Es : log

(

x2 −4

)

−log

(

x+2

)

=0 condiz. di realtà x x 2 ₄ ₀ 2 0 − > + >      − > + > − < →  2 2 , 2 x x x

risolvendo : log

(

x2−4

)

=log

(

x+2

)

(

x2− =4

)

(

x+2

)

 → x2 − − =x 6 0  → = +  → = −  → −     x accett x non accett 1 2 3 2 . . -2 -1 -2 +2 INDICE

(7)

Potevamo risolvere anche così : log

(

x2−4

)

−log

(

x+2

)

=0

(

)

(

)

0 2 4 log 2 = + − x x log1 2 4 log 2 =     + − ⇒ x x x x 2 4 2 1 − +       = 0 2 6 2 = + − − ⇒ x x x ⇒ x2 − x−6=0 da cui    ⇒ − = ⇒ + = . 2 . 3 2 1 accett non x accett x Caso particolare :

Si possono avere dei casi particolari nelle equazioni logaritmiche allorchè i gradi dei singoli logaritmi siano diversi tra loro.

Nella fattispecie sarà problematico riuscire a ricondursi ad avere due logaritmi nei rispettivi membri con le caratteristiche prima elencate ; per cui si procederà alla loro risoluzione tramite un metodo di sostituzione purchè i rispettivi argomenti siano tra loro uguali.

Es : log2

(

x+1

)

−3log

(

x+1

)

+2=0

E’ evidente che la prima operazione consiste nella condizione di realtà

x+ >1 0  → x > −1

si pone log

(

x+1

)

=t da cui si ha : -1

(8)

t2 − + =3t 2 0  → = =    t t 1 2 1 2

ora ricordando che : log

(

x+1

)

=t si ha :

(

)

(

)

(

1

)

2 log

(

1

)

log10 99 log 9 10 log 1 log 1 1 log 2 2 1 1 = ⇒ = + ⇒ = + = ⇒ = + ⇒ = + x x x x x x

e quindi alla fine si verificherà la bontà dei risultati ottenuti.

Sia il valore di x₁ che quello di x₂ verificano la condizione di realtà .

Es : log2

(

−x−2

)

−log

(

− x−2

)

=0

0 2>

−

−x ⇒ x<−2

si pone log

(

−x−2

)

=t da cui si ha : t2 −t =0    = = →  1 0 2 1 t t

da cui ricordando che : log

(

−x−2

)

=t si ha :

(

)

(

)

(

2

)

1 log

(

2

)

log10 12 log 3 10 log 2 log 0 2 log 2 1 1 0 − = ⇒ = − − ⇒ = − − − = ⇒ = − − ⇒ = − − x x x x x x

che soddisfano entrambi la condizione di realtà .

-1

(9)

Nota Bene : ricordiamo bene alcune distinzioni importanti ) log( log log 2 log ) (log log log log log 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x oppure oppure ⋅ = = = ⋅ =

è quindi evidente che log2 x≠logx2

DISEQUAZIONI LOGARITMICHE :

Si procederà al pari delle equazioni logaritmiche , ricordandoci che alla fine dell’esercizio metteremo a sistema l’insieme delle soluzioni trovate con la condizione di realtà iniziale.

Es : 2logx−2log

(

x+2

)

>0 Condiz. di realtà x x x x > + >     → > > −    0 2 0 0 2

Applicando le proprietà dei logaritmi avremo :

(

2

)

log 2 log 2 x> x+ →logx2 >log

(

x+2

)

2  → x2 >

(

x+2

)

2 da cui : 4x+ <4 0  → x< −1

Per cui sarà infine che :

le soluzioni finali saranno : /∀ ∈ℜx .

-2 0

-1 0

(10)

Anche qui possiamo trovare il caso particolare :

Es : 3log2

(

x2 − −4

)

4log

(

x2 − + ≥4

)

1 0

Condiz. di realtà : x2 − >4 0 →x<−2 , x>+2

quindi ponendo log

(

x2−4

)

=t si ha : 3t2 − + ≥4t 1 0 → t < 1 t > 3; 1 da cui :

(

)

(

)

(

x

)

(

x

)

e e x x > − →  > − < − →  < − 4 1 4 log 4 3 1 4 log 2 2 2 2 13

Si avrà quindi che :

    + + > + − < ⇒ + > + + < < + − ⇒ + < e x e x e x e x e e x 4 , 4 4 4 4 4 2 2 13 13 13 per cui : − 4+ < < − 4+ 12 e x e , + 4+ 13 < < + 4+ e x e

da confrontarsi infine con la condizione di realtà iniziale. -2 +2

− 4+e − 4+_e13 + ₄+_e13 + ₄+_e

+ +

(11)

di qui si può notare l’insieme delle soluzioni che soddisfano la disequazione.

Nota Bene : in una disequazione logaritmica se si opera con logaritmi la cui base

è minore di 1 al momento di eliminare i logaritmi stessi si procederà al cambio del verso della disequazione stessa.

Es : 2 1 ( 1) 0

2 12

2

log x− −log x ≥ condiz. di real. x>1

( )

log1 log

2 1 12

2 2

x− ≥ x  → (x−1)2 ≤x2  → − + ≤  →2x 1 0  x≥ 1₂

da cui avremo infine : x>1

− 4+e − 4+_e13 −₂+₂+ ₄+ 1 3 e + 4+e 1 1 2 1 INDICE

(12)

ESERCIZI SULLA CONDIZIONE DI ESISTENZA DEI LOGARITMI ESERCIZI SUL CALCOLO DELLA BASE DEI LOGARITMI

ESERCIZI SULLE SEMPLIFICAZIONI DEI LOGARITMI

ESERCIZI SULLE EQUAZIONI LOGARITMICHE

Esercizi della 5°lezione di Algebra di base

ESERCIZI SUL CALCOLO DEI LOGARITMI

ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI DI 1°E DI 2°GRADO

(13)

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?

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(14)

Calcolare i seguenti logaritmi : 1. log₂ 1 128 log 2 7 2 1 log 128 1 log₂ ⇒ ₂ ₇ ⇒ ₂ −7 ⇒ − 2. log₄ 1 16 log 4 2 4 1 log 16 1 log₄ ⇒ ₄ ₂ ⇒ ₄ −2 ⇒ − 3. log₁ 3 1 243 5 3 1 log 3 1 log 243 1 log 5 3 1 5 3 1 3 1  ⇒      ⇒ ⇒ 4. log₁ 4 4 64 2 4 1 log 4 1 log 16 1 log 2 4 1 2 4 1 4 1  ⇒      ⇒ ⇒ 5. log ₃3 3

log ₃3 3 ⇒ log ₃ 33 ⇒ log ₃

( )

3 3 ⇒ 3

6. log ₅125

log 125 log 5 log

( )

5 log ₅

( )

5 6 6

3 2 5 3 5 5 ⇒ ⇒   ⇒ ⇒

?

RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI GUIDA

(15)

7. log

5

1 25

log 5 log

( )

5 log

( )

5 4

25 1 log ₅ 4 2 2 5 2 5 5 ⇒ ⇒   ⇒ ⇒ − − − − 8. log₂ 4 ₂ 4 1 2 log 2 log 4 1 2 4 2 ⇒ ⇒ 9. 100 1 log₁₀ log 10 2 100 1 log₁₀ ⇒ ₁₀ −2 ⇒ − 10. log₁₆64

( )

2 3 16 log 4 log 4 log 64 log 2 3 16 2 3 2 16 3 16 16 ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

?

(16)

Calcolare la base dei seguenti logaritmi: ( ricordando la definizione di logaritmo , e la positività della sua base ) :

11. log_x49=2 log_x49= 2 ⇒ x2 = 49 ⇒ x=7 12. log_x 1 81= −4 3 3 3 1 81 1 4 81 1 log_x =− ⇒ x−4 = ⇒ x−4 = ₄ ⇒ x−4 = −4 ⇒ x = 13. log_x 1 64 = −2 8 8 8 1 64 1 2 64 1 log_x = − ⇒ x−2 = ⇒ x−2 = ₂ ⇒ x−2 = −2 ⇒ x= 14. log_x 1 8 =3 2 1 2 1 2 1 8 1 3 8 1 log 3 3 3 3 3 _ _⇒ ₌      = ⇒ = ⇒ = ⇒ = x x x x x 15. log_x 1 243=5 3 1 3 1 3 1 243 1 5 243 1 log 5 5 5 5 5 _ _⇒ ₌      = ⇒ = ⇒ = ⇒ = x x x x x

?

(17)

16. log_x4 2=5 log_x4 2 =5 ⇒ x5 = 4 2 ⇒ x5 = 25 ⇒ x5 =

( )

2 5 ⇒ x= 2 17. log_x27=3 log_x27=3 ⇒ x3 = 27 ⇒ x3 = 33 ⇒ x=3 18. log_x64=3 log_x64=3 ⇒ x3 = 64 ⇒ x3 = 43 ⇒ x=4 19. log_x3 3 4 3 3 = 3 3 3 3 3 3 4 3 3 log 3 4 3 4 3 4 3 4 3 3 4 3 = ⇒ _x = ⇒ _x = ⇒ _x = ⇒ _x= x 20. log_x6=3 log_x6=3 ⇒ x3 = 6 ⇒ x=3 6

?

(18)

Stabilire le condizioni di esistenza (realtà) dei seguenti logaritmi: 21. log₁ ( ) 2 4 2 − − x log

(

4 2

)

. . 4 2 0 2 2 1 − − x ⇒ CR ⇒ − − x > ⇒ x < − 22. log₂

(

x2 − +5x 6

)

log₂

(

x2−5x+6

)

⇒ C.R. ⇒ x2−5x+6 > 0 ⇒ x < 2 , x > 3 23. log_x(3x+3)

(

)

    ≠ > − > ⇒     ≠ > > + ⇒ ⇒ + 1 0 1 1 0 0 3 3 . . 3 3 log x x x x x x R C x x da cui si ha : 1 , 0 ≠ > con x x 24. log_x₊₃(3x+9)

(

)

    − ≠ − > − > ⇒     ≠ + > + > + ⇒ ⇒ + + 2 3 3 1 3 0 3 0 9 3 . . 9 3 log ₃ x x x x x x R C x x da cui si ha : 2 , 3 ≠ − − > con x x -1 0 1 -3 -2

?

(19)

25. log₃ ( ) 4 5 4 − − x

(

)

4 5 0 4 5 . . 4 5 log 4 3 − − x ⇒ CR ⇒ − − x > ⇒ x < − 26. log₅

(

2x2 −5x−3

)

(

)

, 3 2 1 0 3 5 2 . . 3 5 2 log₅ x2 − x− ⇒ CR ⇒ x2 − x− > ⇒ x < − x > 27. log_x(6−2x)

(

)

    ≠ > < ⇒     ≠ > > − ⇒ ⇒ − 1 0 3 1 0 0 2 6 . . 2 6 log x x x x x x R C x x da cui si ha : 1 , 3 0 < x < con x ≠ 28. log_x₋₃(2−2x)

(

)

    ≠ > < ⇒     ≠ − > − > − ⇒ ⇒ − − 4 3 1 1 3 0 3 0 2 2 . . 2 2 log ₃ x x x x x x R C x x da cui si ha : ℜ ∈ ∀/x 0 1 3 1 3 4

?

(20)

29. log₋_x(2+x)

(

)

   < − < ⇒    > − > + ⇒ ⇒ + − 0 2 0 0 2 . . 2 log x x x x R C x x

si noti come in questo caso non abbiamo posto la base diversa da 1 , in quanto ( caso particolare ) per tale valore il logaritmo ammette valore reale .

da cui si ha : 0 2 < < − x 30. log_{− +}₂_x ₁

(

2−2x2

)

(

)

      ≠ < < < − ⇒      ≠ + − > + − > − ⇒ ⇒ − + − 0 2 1 1 1 1 1 2 0 1 2 0 2 2 . . 2 2 log 2 2 1 2 x x x x x x R C x x da cui si ha : 0 , 2 1 1 < < ≠ − x con x -2 0 -1 0 2 1 1

?

(21)

Utilizzando le proprietà dei logaritmi semplificare :

31. log_a2b+2log_ab

log_a2b+2log_ab ⇒ log_a2b+log_ab2 ⇒ log_a2b3

32. 2log_a x−log_a 3x+4log_a x2

3 log log 3 log log 3 log log log 4 3 log log 2 9 8 2 8 2 2 x x x x x x x x x x _a _a _a _a _a _a _a _a a − + ⇒ − + ⇒ + ⇒

33. log_bc−log_bac2 +log_b a

c ac ac a ac c a ac c _b _b _b _b _a _a b 1 log log log log log log log − 2 + ⇒ ₂ + ⇒ ₂ ⇒ 34. 4 1 4 2 log_ad− log_ad y

( )

4 2 4 4 1 2 4 2 log log log log 4 1 log 4 y d d y d d y d d _a _a _a _a a − ⇒ − ⇒

35. 2log_na+3log_nc−log_nn2 +2log_nn

3 2 2 2 3 2 2 log log log log log log 2 log log 3 log 2 _na+ _nc− _nn + _n n ⇒ _na + _nc − _nn + _nn ⇒ _na c 36. 2 1 2 1 3 2 3

log_cd + log_ca−log_cab+ log_c n

ab n a d ab n a d n ab a d n ab a d n ab a d n ab a d c c c c c c c c c c c c c c c 6 3 2 6 3 6 3 6 3 6 3 6 3 4 log 2 log 2 log log 2 log log log 2 log log log log 2 log 3 1 log log 2 1 log 2 ⇒ ⋅ ⇒ + ⇒ + − ⇒ + − + ⇒ + − +

?

(22)

Risolvere le seguenti equazioni logaritmiche:

37. log(− − +x 2) log(1− =x) log1+log

(

x2 −6

)

Condizione di realtà :      + > − < < − < ⇒      > − > − > − − 6 , 6 1 2 0 6 0 1 0 2 2 x x x x x x x e quindi : 6 − < x

Riprendendo l'equazione di partenza :

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

[

]

(

)

(

)(

)

4 0 4 6 2 2 6 1 2 6 log 1 2 log 6 log 1 log 1 log 2 log 2 2 2 2 2 − = ⇒ = + ⇒ − = + − − ⇒ − = − − − ⇒ − = − − − ⇒ − + = − + − − x x x x x x x x x x x x x x x

che quindi , rispettando la condizione di realtà , è la soluzione dell'equazione . − 6 -2 1 + 6

?

RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI

(23)

38. log(4− =x) log(x+ +6) 2log(x+2) Condizione di realtà :     − > − > < ⇒     > + > + > − 2 6 4 0 2 0 6 0 4 x x x x x x e quindi : 4 2 < < − x

(

)

(

)

(

)

(

)

[

(

)(

)

]

(

)

(

)(

)

   − = − = = ± − = ⇒ = + + ⇒ + + + = − ⇒ + + = − ⇒ + + = − ⇒ + + + = − 8 1 2 49 9 0 8 9 12 6 2 4 2 6 4 2 6 log 4 log 2 log 2 6 log 4 log 2 1 2 1 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x

e per la condizione di realtà , la soluzione è x = −1 .

-6 -2 4

?

(24)

39. log( )− +x log(2− +x) log( )4 =log

(

10x2 +2

)

Condizione di realtà :     ℜ ∈ ∀ < < ⇒      > + > − > − x x x x x x 2 0 0 2 10 0 2 0 2 e quindi : 0 < x

( )

(

)

(

)

( )(

)

[

]

(

)

    − = − = = ± − = ⇒ = + + ⇒ = + + ⇒ + = + − ⇒ + = − − ⇒ + = + − + − 3 1 1 3 1 2 0 1 4 3 0 2 8 6 2 10 4 8 2 10 log 2 4 log 2 10 log 4 log 2 log log 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x

che quindi , rispettando la condizione di realtà , sono soluzioni dell'equazione . 0 2

?

(25)

40. 2log(2x+ =3) log(x+1) Condizione di realtà :     − > − > ⇒    > + > + 1 2 3 0 1 0 3 2 x x x x e quindi : 1 − > x

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

ℜ ∈ ∀/ ⇒ < − = ∆ ⇒ = + + ⇒ + = + + ⇒ + = + ⇒ + = + ⇒ + = + x x x x x x x x x x x x 0 7 0 8 11 4 1 9 12 4 1 3 2 1 log 3 2 log 1 log 3 2 log 2 2 2 2 2

41. log(x− =.3) 2log(2x+ −1) log( )2x

Condizione di realtà :       > − > > ⇒     > > + > − 0 2 1 3 0 2 0 1 2 0 3 x x x x x x 2 3 − -1

?

(26)

e quindi :

3

>

x

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

(

)

      + − = − − = = ± − = ⇒ = + + ⇒ + + = − ⇒ + = − ⇒ + = − ⇒ − + = − ⇒ − + = − 2 23 5 2 23 5 2 23 5 0 1 10 2 1 4 4 6 2 2 1 2 2 3 2 2 1 2 3 2 log 1 2 log 3 log 2 log 1 2 log 2 3 log 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

che quindi , non rispettando la condizione di realtà ,non sono soluzioni dell'equazione . ∀/x∈ℜ 2 1 − 0 3 RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI GUIDA

(27)

42. log(x+ −4) log( )x =log( )3 +log

(

x2−3

)

Condizione di realtà :      + > − < > − > ⇒      > − > > + 3 , 3 0 4 0 3 0 0 4 2 x x x x x x x e quindi : 3 + > x

(

)

( )

(

)

(

)

₍

₎

(

)

(

)

      ₋ _± = = ⇒ = + + − ⇒ = − − ⇒ − = + ⇒ − = + ⇒ − = + ⇒ − + = − + 3 3 3 , 2 0 2 6 3 2 0 4 10 3 9 3 4 9 3 4 3 3 log 4 log 3 log 3 log log 4 log 3 2 1 2 3 3 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

e per la condizione di realtà , la soluzione dell'equazione x=2 . -4 − 3 0 + 3

?

(28)

43. 2log(− + =2x 1) log

(

8x2 +1

)

Condizione di realtà :     ℜ ∈ ∀ < ⇒    > + > + − x x x x 2 1 0 1 8 0 1 2 2 e quindi : 2 1 < x

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

   − = = ⇒ = + ⇒ + = + − ⇒ + = + − ⇒ + = + − ⇒ + = + − 1 0 0 4 4 1 8 1 4 4 1 8 1 2 1 8 log 1 2 log 1 8 log 1 2 log 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x

che per la condizione di realtà , sono soluzioni dell'equazione . 2 1

?

(29)

44. log2(x+ −4) 3log(x+ =4) log₂16

Condizione di realtà : x+4 > 0 ⇒ x > −4 e posto log

(

x+4

)

=t :

   = − = = ± = ⇒ = − − 4 1 2 25 3 0 4 3 2 1 2 1 2 t t t t t e risostituendo log

(

x+4

)

=t :

(

)

(

4

)

4 log 1 4 log = + − = + x x

e ricordando che : n=log_aan ⇒

(

)

(

)

4 1 10 log 4 log 10 log 4 log = + = + − x x da cui :

(

)

(

4

)

10 10 4 4 10 10 4 4 4 1 1 − = ⇒ = + − = ⇒ = + − − x x x x

che per la condizione di realtà sono soluzioni dell'equazione .

45. 2log3(x− −1)

[

log(x−1)

]

2 = 0

Condizione di realtà : x−1 > 0 ⇒ x > 1 e posto log

(

x−1

)

=t :

(

)

     = = ⇒ = − ⇒ = − 2 1 0 0 1 2 0 2 3 2 1 2 2 3 t t t t t t e risostituendo log

(

x−1

)

=t :

?

(30)

(

)

(

)

2 1 1 log 0 1 log = − = − x x

e ricordando che : n=log_aan ⇒

(

)

(

)

2 1 0 10 log 1 log 10 log 1 log = − = − x x da cui :

(

)

(

1

)

10 10 1 2 1 1 2 1 + = ⇒ = − = ⇒ = − x x x x

che per la condizione di realtà sono soluzioni dell'equazione .

46. log₃( 2) log₃(2 5) 1log₃

4 1 x− + x− = Condizione di realtà :     > > ⇒    > − > − 2 5 2 0 5 2 0 2 x x x x e quindi : 2 5 < x

2 2 5

?

(31)

(

)

(

)

(

)(

)

[

]

(

)(

)

    = = ⇒ = + − ⇒ = + − − ⇒ = − − ⇒ = − − ⇒ = − + − 3 2 3 0 9 9 2 1 10 4 5 2 1 5 2 2 1 log 5 2 2 log 1 log 4 1 5 2 log 2 log 2 1 2 2 3 3 3 3 3 x x x x x x x x x x x x x

e per la condizione di realtà , x = 3 è la soluzione dell'equazione .

47. ln(x− −2) ln(4− =x) lne−ln(3x− +9 e) Condizione di realtà :        − > − > < > ⇒     > + − > − > − ) 3 3 ( 3 9 4 2 0 9 3 0 4 0 2 e x e x x x e x x x e quindi : 4 3 3−e < x <

2 3 3−e 4

?

(32)

(

) (

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

)(

)

[

]

[

(

)

]

(

)(

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

(

)

      − = + − − = = + + − = = + ± − = ⇒ = + + ± − = + − + − ± − = ⇒ = − − − ± − = ⇒ = − + − + ⇒ = − + − + ⇒ − = − + − + − ⇒ − = + − − ⇒ − = + − − ⇒ − + = + − + − ⇒ + − − = − − − 3 3 2 6 3 2 2 15 3 6 3 2 2 15 6 3 2 2 15 6 9 12 4 2 15 6 72 216 225 60 4 2 15 6 3 72 15 2 2 15 0 3 6 15 2 3 0 6 18 15 2 3 4 2 18 6 9 3 4 9 3 2 4 ln 9 3 2 ln 4 ln ln 9 3 ln 2 ln 9 3 ln ln 4 ln 2 ln 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 e e e x e e x e e x e e e e e e e x e e e x e x e x e x ex x ex e e x ex x x x e e x x x e e x x x e e x x e x e x x

e per la condizione di realtà , la soluzione dell'equazione x=3 .

(33)

Risolvere le seguenti disequazioni logaritmiche:

48. log(2x− +2) log(x− <1) log(x+2)

Condizione di realtà :     − > > > ⇒     > + > − > − 2 1 1 0 2 0 1 0 2 2 x x x x x x e quindi : 1 > x

Riprendendo la disequazione di partenza :

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

[

]

(

)

(

)(

)

2 5 0 0 5 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 log 1 2 2 log 2 log 1 log 2 2 log 2 2 − − + < + ⇒ − < ⇒ < < ⇒ + < − − ⇒ + < − − ⇒ + < − + − x x x x x x x x x x x x x x x x

per arrivare infine ad avere :

2 5

1 < x < soluzione della disequazione .

-2 1 0 1 2 5

?

(34)

49. logx+log(x− <1) log

(

x2 +5

)

Condizione di realtà :     ℜ ∈ ∀ > > ⇒      > + > − > x x x x x x 1 0 0 5 0 1 0 2 e quindi : 1 > x

(

)

(

)

(

)

[

]

(

)

(

)

5 5 5 1 5 log 1 log 5 log 1 log log 2 2 2 2 2 − > ⇒ + < − ⇒ + < − ⇒ + < − ⇒ + < − + x x x x x x x x x x x x x

1

>

x soluzione della disequazione .

0 1 -5 1

?

(35)

50. log(2+ +x) log(3+ >x) log10+log(x+2) Condizione di realtà :     − > − > − > ⇒     > + > + > + 2 3 2 0 2 0 3 0 2 x x x x x x e quindi : 2 − > x

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

[

]

[

(

)

]

(

)(

)

(

)

ℜ ∈ ∀/ ⇒ < ∆ ⇒ < + − ⇒ + > + + + ⇒ + > + + ⇒ + > + + ⇒ + + > + + + x x x x x x x x x x x x x x x x 0 0 44 5 9 50 10 3 2 6 5 10 3 2 5 10 log 3 2 log 2 log 10 log 3 log 2 log 2 2 2 2 2 -3 -2

?

(36)

51. 2log(x+ +4) log3>log

( )

3x2 Condizione di realtà :

{ }

   − ℜ ∈ ∀ − > ⇒    > > + 0 4 0 3 0 4 2 _x x x x e quindi : 0 , 4 ≠ − > x x

(

)

( )

(

)

[

]

( )

(

)

2 0 48 24 3 48 24 3 3 4 3 3 log 4 3 log 3 log 3 log 4 log 2 2 2 2 2 2 2 2 − > ⇒ > + ⇒ > + + ⇒ > + ⇒ > + ⇒ > + + x x x x x x x x x x x

0 ,

2 ≠

−

> x

x soluzione della disequazione . -4 0 -4 -2 0

?

(37)

52. log(2−2x) >log(x+ +4) log(x−1) Condizione di realtà :     > − > < ⇒     > − > + > − 1 4 1 0 1 0 4 0 2 2 x x x x x x e quindi : ℜ ∈ ∀/x

e quindi non essendoci valori reali che soddisfano la condizione di realtà , la disequazione non ammette soluzioni . 53. ln(2−4x)+ln(2+ + <x) ln(x+4) Condizione di realtà :        − > − > < ⇒     > + > + > − 4 2 2 1 0 4 0 2 0 4 2 x x x x x x e quindi : 2 1 2 < < − x -4 1 -4 -2 2 1

?

(38)

(

) (

)

(

)

(

)(

)

[

]

(

)

(

)(

)

0 , 4 7 0 7 4 4 4 8 2 4 4 2 4 2 4 ln 2 4 2 ln 4 ln 2 ln 4 2 ln 2 2 < + ⇒ + > ⇒ < − > − − + ⇒ + < + − ⇒ + < + − ⇒ + < + + − x x x x x x x x x x x x x x x x x

2 1 0 , 4 7 2 < < − < <

− x x soluzione della disequazione .

54. log_{0 1}_, (2x+ +6) log_{0 1}_, (2x− >4) 2log_{0 1}_,(x−1)

Condizione di realtà :     > > − > ⇒     > − > − > + 1 2 3 0 1 0 4 2 0 6 2 x x x x x x e quindi : 2 > x -2 4 7 − 0 2 1 -3 1 2

?

(39)

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

[

]

(

)

(

)(

)

(

)

3 21 2 3 3 21 2 3 0 84 4 0 25 6 3 1 2 24 12 8 4 1 4 2 6 2 1 log 4 2 6 2 log 1 log 2 4 2 log 6 2 log 2 2 2 2 2 1 , 0 1 , 0 1 , 0 1 , 0 1 , 0 + − < < − − ⇒ > = ∆ ⇒ < − + ⇒ + − < − + − ⇒ − < − + ⇒ − > − + ⇒ − > − + + x x x x x x x x x x x x x x x x x

3 21 2 3

2 < x < − + soluzione della disequazione .

55. log₃

(

x2 + −3

)

log₃

(

x2 + ≥1

)

log₃2−log₃8

Condizione di realtà :    ℜ ∈ ∀ ℜ ∈ ∀ ⇒     > + > + x x x x 0 1 0 3 2 2 e quindi : ∀x∈ℜ 3 21 2 3− − 2 3 21 2 3+ −

?

(40)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

ℜ ∈ ∀ ⇒ < − = ∆ ⇒ > + + ⇒ + − > + ⇒ − > + ⇒ + + > + + ⇒ − ≥ + − + x x x x x x x x x x x x 0 128 4 0 22 4 6 2 4 2 24 8 1 2 3 8 1 log 2 log 8 log 3 log 8 log 2 log 1 log 3 log 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 3 3 3 2 3 2 3 ℜ ∈

∀x soluzione della disequazione .

56. log_{0 3}_, (x− +2) log_{0 3}_, (2x− −2) log_{0 3}_, (3x− <3) log_{0 3}_, 5

Condizione di realtà :     > > > ⇒     > − > − > − 1 1 2 0 3 3 0 2 2 0 2 x x x x x x e quindi : 2 > x 1 2

?

(41)

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

[

]

(

)

(

)(

)

(

)

2 19 , 1 0 289 0 19 21 2 15 15 4 4 2 2 3 3 5 2 2 2 5 log 3 3 log 2 2 2 log 5 log 3 3 log 2 2 log 2 log 2 2 3 , 0 3 , 0 3 , 0 3 , 0 3 , 0 3 , 0 3 , 0 > < ⇒ > = ∆ ⇒ > + − ⇒ − > + − − ⇒ − > − − ⇒ + − < − − ⇒ < − − − + − x x x x x x x x x x x x x x x x x

2 19

>

57. log

(

x2 −6x+9

)

>logx2 −log3

Condizione di realtà :

{ }

   − ℜ ∈ ∀ − ℜ ∈ ∀ ⇒     > > + − 0 3 0 0 9 6 2 2 x x x x x e quindi : 1 2 2 19 0 3

?

(42)

{ }

0,3

− ℜ ∈

∀x

Riprendendo l'equazione di partenza : log

(

x2 −6x+9

)

>logx2 −log3

(

)

(

)

[

]

(

)

2 3 3 9 , 2 3 3 9 0 27 4 0 27 18 2 27 18 3 9 6 3 log 9 6 3 log 3 log log 9 6 log 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + > − < ⇒ > = ∆ ⇒ > + − ⇒ > + − ⇒ > + − ⇒ > + − ⇒ − > + − x x x x x x x x x x x x x x x x

2 3 3 9 , 0 , 2 3 3 9− _≠ _> + < x x

0 2 3 3 9− 3 2 3 3 9+ RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI GUIDA