CA02-Modelli Fisici

Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia Automation

Robotics and System CONTROL

Corso di laurea in Ingegneria

Meccatronica

CONTROLLI AUTOMATICI ED

AZIONAMENTI ELETTRICI

AZIONAMENTI ELETTRICI

CA - 02 – MODELLI DI SISTEMI FISICI

Cesare Fantuzzi (

cesare.fantuzzi@unimore.it

)

Alberto Bellini (

alberto.bellini@unimore.it

)

La modellistica Matematica

סּ

I contesti di applicazione dei controlli automatici sono

molteplici.

סּ

Un controllo automatico efficace richiede la conoscenza

del comportamento del sistema da controllare

סּ

La modellistica matematica consente di:

סּ

La modellistica matematica consente di:

– Generalizzare il progetto del controllore.

– Strutturare la conoscenza del sistema da controllare per il progetto del controllore.

Modelli Matematici di sistemi

dinamici

סּ Considereremo sistemi descritti da equazioni differenziali tra

derivate dei segnali di ingresso u(t) e derivate dei segnali di uscita y(t) Sistema u(t) y(t)

∑

∑

=

dt

u

d

b

dt

y

d

a

Notazione semplificativa

y

D

dt

y

d

=

)

(

1

)

(

t

y

D

dt

t

y

=

∫

Circuiti elettrici

Q₀ è la carica iniziale del condensatore

Circuiti elettrici

Le unità di misura delle grandezze elettriche nel sistema SI sono: סּ _Variabili: – [v] = V, Volt; – [i] = A, Ampere; – [Q] = C, Coulomb; סּ _Parametri: – [R] = Ω, Ohm; – [L] = H, Henry; – [L] = H, Henry; – [C] = F, Farad;

סּ _{In genere, i modelli matematici di circuiti elettrici (composizione di sistemi} elementari) si ricavano applicando le

Circuiti elettrici

סּ Le

leggi di Kirchhoff

potenziale lungo le maglie o delle correnti ai nodi:

v

•

•

v

v

v

v

= v

+ v

+ v

i

i

i

i

i

+ i

+ i

+i

= 0

Circuiti elettrici - Esempio

Volendo ricavare, anzichè la corrente i, la tensione d'uscita v_u, si può operare la sostituzione i(t) = C D v_u(t), mediante la quale si ottiene (v_C(t) = v_u(t)) l'equazione differenziale

Circuiti elettrici - Esempio

dt

t

dv

C

i

t

v

R

i

C

R

)

(

)

(

1

=

=

Kirchoff al

nodo A

i = i

+ i

A

i(t)

v(t)

i

i

ingresso

uscita

condizioni iniziali nulle

equazione differenziale

_dt

t

dv

C

t

v

R

t

i

(

)

=

1

(

)

+

(

)

ingresso

uscita

i

R

v

CDv

=

1

+

Circuiti elettrici - Esempio

=

( )

+

∫

t

i

id

C

t

Ri

t

v

0

1

)

(

τ

∫

=

=

t

c

R

id

v

Ri

v

0

τ

Kirchoff

alla maglia

v

= v

+ v

condizioni iniziali nulle Sistema del 1° ordine

v

(t)

v

v

(t)

i(t)

C

0

v

Ri

C

D i

Dv

RDi

C

i

=

+

=

+

1

1

Circuiti elettrici - Esempio

t

dv )

(

1

1

dt

t

dv

C

i

t

v

R

i

dt

t

v

L

i

C

R

L

)

(

)

(

1

)

(

1

=

=

∫

=

Kirchoff al

nodo A

i = i

+ i

+ i

A

i(t)

v(t)

i

i

i

ingresso

uscita

condizioni iniziali nulle

equazione integro-differenziale

_dt

t

dv

C

t

v

R

dt

t

v

L

t

i

(

)

=

1

∫

(

)

+

1

(

)

+

(

)

₂

2

1

1

dt

v

d

C

dt

dv

R

v

L

dt

di

+

+

=

derivando ambo i membri

equazione algebrica

Sistema del 2°ordine

2 accumulatori di energia

Circuiti elettrici - Esempio

dt

t

dv

C

i

t

v

R

i

dt

t

v

L

i

C

R

L

)

(

)

(

1

)

(

1

=

=

∫

=

Kirchoff al

nodo A

i = i

+ i

+ i

A

i(t)

v(t)

i

i

i

ingresso

uscita

condizioni iniziali nulle

Se come uscita interessa la corrente nell'induttanza, ricordando che

v

=

LDi

Consente di ricavare l'uscita

Circuiti elettrici - Esempio

dt

t

dv

C

i

t

v

R

i

dt

t

v

L

i

C

R

L

)

(

)

(

1

)

(

1

=

=

∫

=

Kirchoff al

nodo A

i = i

+ i

+ i

A

i(t)

v(t)

i

i

i

ingresso

uscita

condizioni iniziali nulle

Consente di ricavare l'uscita

v(t) a partire dall'ingresso i(t)

v

=

Ri

_R

Circuiti elettrici - Esempio

A

i(t)

v(t)

i

i

i

ingresso

uscita

dt

t

dv

C

i

t

v

R

i

dt

t

v

L

i

C

R

L

)

(

)

(

1

)

(

1

=

=

∫

=

Kirchoff al

nodo A

i = i

+ i

+ i

condizioni iniziali nulle

Consente di ricavare l'uscita

v(t) a partire dall'ingresso i(t)

v

=

1

D i

−

1

_C

Assignment 2.1

סּ

Si calcoli il modello matematico del sistema elettrico

v

(t)

v

(t)

Sistemi meccanici

סּ _{In generale si cerca di adottare modelli a costanti concentrate, perchè di più}

facile impiego, anche se spesso alquanto approssimativi e meno aderenti alla realtà di quanto non lo siano nel caso dei circuiti elettrici: ad esempio, in un modello a costanti concentrate la massa di una molla, (distribuita) è supposta trascurabile o concentrata agli estremi della molla.

סּ Si cerca di adottare modelli lineari, anche se ciò implica la limitazione dello

studio a variazioni relativamente piccole delle grandezze in gioco. studio a variazioni relativamente piccole delle grandezze in gioco.

Sistemi meccanici

סּ _{Nella deduzione dei modelli, per semplicità si farà riferimento a moti di}

traslazione lungo una sola direzione e di rotazione attorno ad un solo asse. סּ Le equazioni differenziali che descrivono il moto dei sistemi meccanici si

ricavano di regola esprimendo l'equilibrio delle forze e delle coppie applicate a ciascuna delle parti in movimento.

סּ _{Per ottenere il modello dinamico di un sistema meccanico in moto} סּ _{Per ottenere il modello dinamico di un sistema meccanico in moto}

traslatorio è fondamentale la legge di Newton:

dove

– m è la massa concentrata,

– f è la risultante di tutte le forze applicate,

– x lo spostamento risultante ( è quindi l'accelerazione).

f₁ f₂ f₃ f₄ f₅

f

Sistemi meccanici

סּ _{Per un corpo in rotazione attorno ad un asse la legge di Newton si scrive}

essendo:

– J il momento d'inerzia rispetto all'asse di rotazione,

– c la risultante delle coppie, θ la rotazione del corpo.

Sistemi meccanici

סּ _{I sistemi meccanici in moto traslatorio si possono considerare costituiti dai componenti}

elementari:

סּ _{la massa,}

in cui si concentrano le forze di inerzia,

סּ _{la molla,}

in cui si concentrano le forze di richiamo elastico,

m

f

x

f

f

f

in cui si concentrano le forze di richiamo elastico,

(se per x₁= 0 e x₂= 0 la molla non è caricata)

סּ _{l'ammortizzatore,}

in cui si concentrano le forze di attrito viscoso.

סּ _{Si suppone che gli estremi di tali componenti}

meccanici siano sottoposti a moto traslatorio orizzontale.

f

f

x

x

f

f

Sistemi meccanici

סּ _{Analogamente per sistemi in moto rotatorio:}

– Forze coppie – Masse inerzie c(t), θ (t)

_K

J

_K

B

Sistemi meccanici

c₁(t), ω₁(t)

c₂(t), ω₂(t)

In un riduttore ideale (senza perdite per attrito e con accoppiamento perfetto tra gli ingranaggi), la velocità viene ridotta del fattore k_r

Poiché in questo meccanismo la potenza entrante deve essere uguale a quella uscente

Sistemi meccanici

סּ

Altri elementi:

Cinghia/puleggia Vite a ricircolazione di sfere

Sistemi meccanici

Le unità di misura delle grandezze meccaniche nel sistema SI sono: סּ Variabili:

סּ _{[f] = N, Newton;} סּ [x] = m, metri;

סּ _{= m/sec, velocità;}

סּ = m/sec2, accelerazione.

Oppure (caso rotatorio)

Variabili: [c] = N m; [θ] = rad; = rad/sec; = rad/sec^2. Parametri: סּ _Parametri: סּ _{[M] = kg, chilogrammi;} סּ _{[K] = N/m, coefficiente di rigidezza;} סּ _{[B] = N sec/m, coefficiente} di attrito viscoso. Parametri: [J] = kg\,m^2;

[K] = N\,m/rad, coefficiente di rigidezza torsionale;

[B] = N\,m\,sec/rad, coefficiente di attrito torsionale.

Sistemi meccanici - Esempio

סּ

Carrelli con attrito

u(t)

m

x

(t)

m

x

(t)

Sistemi meccanici - Esempio

סּ

Carrelli con attrito

סּ _{La variabile osservata del sistema è la velocita di m}

2 e quindi

u(t)

m

x

(t)

m

x

(t)

Sistemi meccanici - Esempio

סּ _Da

Si ricava

סּ Se si considerano per esempio per i parametri i valori numerici:

Sistemi meccanici - Esempio

סּ Le coppie applicate in questo caso sono:

– coppia esterna c(t)

– coppia dovuta alla molla torsionale c_k(t) = k θ(t) – coppia dovuta all'attrito torsionale c_b(t) = B

Assignment 2.2

סּ

Calcolare il modello matematico del seguente sistema

u(t)

m

u(t)

m

x

(t)

Effetti non lineari - Attrito

סּ _{Nei sistemi meccanici esistono fenomeni nonlineari che, per la discontinuità delle}

caratteristiche, non sono suscettibili neppure di una linearizzazione locale: il più importante di questi è l'attrito.

סּ _{Per rimanere nel campo dei modelli lineari si dovrebbe considerare il solo attrito viscoso.} סּ _{In realtà è presente anche l'attrito secco o attrito al distacco, consistente in una forza che}

equilibra la forza applicata, impedendo l'inizio del moto, finché questa non supera una soglia F_d, oltre la quale inizia il movimento e la forza si annulla.

סּ _{Inoltre può essere presente l'attrito coulombiano, caratterizzato da una forza nulla quando}

il corpo è immobile, costante quando esso è in movimento e tale da opporsi al moto.

סּ L'attrito al distacco e l'attrito coulombiano sono fenomeni tipicamente nonlineari, per cui,

finché l'approssimazione risulta accettabile, nei modelli matematici si considera il solo attrito viscoso.

Effetti non lineari - Saturazione

סּ

Saturazione

La saturazione è un fenomeno comune a tutti i processi

fisici: l'uscita

y

del sistema è proporzionale all'ingresso

x

solo in un certo intervallo di valori, mentre rimane

Effetti non lineari – Elasticita’

Si fa, quando possibile, l'ipotesi che i corpi con cui si tratta siano rigidi. A causa della presenza di inevitabili elasticità strutturali, i modelli che si ricavano con le ipotesi di corpi rigidi sono validi solo in opportune bande di frequenze, che per definizione sono al di sotto delle frequenze naturali delle strutture definite da questi effetti.

סּ Se possibile, si deve prestare attenzione a non eccitare queste

frequenze. Una regola di tipo empirico che si può adottare è quella di far sì che la pulsazione del sistema complessivo (con il controllo) sia

sì che la pulsazione del sistema complessivo (con il controllo) sia inferiore di quella naturale

סּ _{non è semplice determinare} ω

Effetti non lineari – Isteresi…

סּ

Isteresi

Il sistema di attuazione (riduttore) introduce solitamente

un qualche effetto di isteresi. Nel caso di riduttori, è

dovuto al gioco d esistente tra gli ingranaggi.

– y: spostamento in uscita – y: spostamento in uscita

Effetti non lineari - Isteresi

Ingresso − Uscita (dash)

0 0.5 1

Isteresi (d = 0.6)

Il movimento dell'ingranaggio “pilota” non si trasmette all'altro fino a quando i denti delle due ruote non sono in contatto. Se la velocità di x cambia segno, allora y rimane costante per un certo tratto.

−1 0 1 −1

−0.5

Non linearità a “due valori”: per ogni x vi sono 2 possibili valori di y, a seconda della “storia” dell'ingresso. Si possono avere instabilità o oscillazioni permanenti (cicli limite)

Sistemi meccanici – Effetti non

lineari

סּ _{Zona morta}

L'uscita non risente di variazioni dell'ingresso contenute in una data banda.

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Robotics and System CONTROL

Schemi a blocchi

סּ

Un sistema viene rappresentato graficamente con un

blocco, e le sue variabili mediante collegamenti con

l'ambiente esterno o con altri sistemi.

S

S

Schemi a blocchi

סּ _{Un sistema orientato è un sistema in cui le variabili sono suddivise}

in

– Variabili di ingresso (cause) – Variabili di uscita (effetti)

סּ _{Non sempre la suddivisione tra ingressi ed uscite (cause ed effetti) è}

S

סּ _{Non sempre la suddivisione tra ingressi ed uscite (cause ed effetti) è}

univoca R_{a L} a c(t), ω(t) L_e v_a(t) i_a(t) v_e(t) i_e(t)

Schemi a blocchi

סּ I sistemi (sottosistemi) possono essere connessi tra loro mediante le

variabili di ingresso/uscita.

סּ _{Le variabili sono indicate con frecce, e in uno schema oltre ai}

blocchi che descrivono i sistemi vi possono essere – nodi sommatori e – nodi sommatori e – punti di diramazione. + + -u₁(t) u₂(t) y(t) u(t) y₁(t) y₂(t) y (t)

Schemi a blocchi

סּ

Connessione in cascata (serie):

l’uscita del primo costituisce l’ingresso del secondo

S

₁

S

₂

סּ

Connessione in parallelo:

stesso ingresso

S

₁

S

₂

Schemi a blocchi

סּ

Connessione in retroazione: i sistemi sono collegati ad

anello e si influenzano reciprocamente

S

₁

y₁(t) u₁(t)

S

₂

Riduzione di schemi a blocchi

סּ _{Spesso i sistemi complessi vengono rappresentati con schemi a blocchi, i} cui elementi hanno ciascuno un solo ingresso e una sola uscita.

סּ _{Blocchi elementari per la rappresentazione di sistemi puramente algebrici} sono

x

y

Saturazione: che rappresenta un elemento nonlineare, la cui caratteristica ingresso-uscita è tracciata schematicamente entro il blocco stesso

סּ La seconda rappresentazione verrà estesa anche ai sistemi dinamici lineari stazionari, introducendo, al posto della costante di proporzionalità, la

funzione di trasferimento, che comprende ogni informazione relativa al comportamento dinamico ingresso-uscita (a partire da una condizione iniziale di quiete).

K

x

y

Guadagno: che rappresenta un elemento lineare, caratterizzato dalla costante di

proporzionalità K che lega l'uscita all'ingresso

y(t) = K x(t), specificata di regola entro il blocco stesso

Riduzione di schemi a blocchi

-Regole

סּ _{Riduzione di blocchi in cascata:}

Riduzione di schemi a blocchi

-Regole

סּ _{Scambio di giunzioni sommanti}

סּ Spostamento di un punto di prelievo di segnale a monte di un

Riduzione di schemi a blocchi

-Regole

סּ _{Spostamento di un punto di prelievo a valle di un blocco:}

Riduzione di schemi a blocchi

-Regole

סּ _{Spostamento di una giunzione sommante a valle di un blocco:}

Riduzione di schemi a blocchi

סּ

Le regole viste prima corrispondono a semplici

operazioni sulle equazioni algebriche rappresentate

dagli schemi a blocchi.

סּ

Mediante queste otto regole fondamentali, si possono

ridurre schemi a blocchi comunque complessi fino a

giungere ad una forma minima.

Riduzione di schemi a blocchi

Forma minima

סּ _{Per i sistemi con un solo ingresso ed una sola uscita, in un solo blocco}

סּ _{Per i sistemi con più ingressi e più uscite in un numero di blocchi pari al prodotto}

Esercizio

סּ

Ridurre lo schema a blocchi:

G

₁

G

₃

G

2

B

G

₁

G

₃

H

₁

-H

₂

G

₂

Assignment 2.3

סּ

Ridurre lo schema a blocchi:

G

₁

G

₂

H

-H

₂

H

₁

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Robotics and System CONTROL

Sistemi Dinamici/Statici

סּ

Sistema statico/dinamico

– modello matematico dei sistemi statici

• equazioni algebriche (sistemi privi di memoria)

– l'uscita del sistema dipende solo dal valore assunto dall'ingresso in quell'istante

– relazione tra tensione e corrente in un resistore

– modello dei sistemi dinamici. – modello dei sistemi dinamici.

• equazioni differenziali (sistemi con memoria)

– l'uscita del sistema non dipende solo dal valore assunto dall'ingresso in quell'istante, ma anche da quelli passati – relazione tra tensione e corrente in un condensatore

Esempi

סּ

Sistema statico (algebrico)

i(t)

v(t)

סּ

Sistema dinamico

i(t)

Modelli a parametri concentrati

סּ Le caratteristiche fisiche dei sistemi dinamici sono distribuite nel sistema fisico

stesso:

– - massa

– - elasticità

– - resistenza

– - ...

סּ _{Nella descrizione dei modelli dinamici, se è possibile fare delle approssimazioni}

che permettono di concentrare in uno (o pochi) punti tali caratteristiche e quindi ottenere notevoli semplificazioni nelle loro espressioni matematiche. Si hanno i cosiddetti modelli a parametri concentrati.

סּ _{Nella pratica, anche se è chiaro che tutte le caratteristiche dei sistemi fisici sono}

Modelli a parametri concentrati

סּ I modelli a parametri concentrati sono espressi da equazioni

differenziali ordinarie, che sono funzioni solo del tempo:

סּ Se non è possibile considerare come concentrati alcuni dei סּ Se non è possibile considerare come concentrati alcuni dei

parametri del modello, allora si deve ricorrere a equazioni alle differenze parziali. Infatti, la dinamica non dipende solo dal tempo ma anche, per esempio, dallo spazio:

Modelli a parametri costanti nel

tempo

סּ Se le proprietà di un dato sistema sono indipendenti dal tempo

(costanti), allora i relativi parametri sono costanti. I relativi modelli sono detti stazionari o invarianti.

סּ Per tali sistemi si ha la ripetibilità degli esperimenti: l'uscita che si

ottiene applicando al sistema a uno stato iniziale x_0, un ingresso al tempo t₀ è uguale (a parte una traslazione nel tempo) a quella che si ottiene (con lo stesso stato iniziale x₀) applicando lo stesso ingresso ottiene (con lo stesso stato iniziale x₀) applicando lo stesso ingresso all'istante t-δ.

Marzo - Giugno 2011 CA-02-ModelliFisici 55

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 x , y -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 x , y

Modelli a parametri costanti nel

tempo

סּ

Da un punto di vista pratico, è raro che i parametri di un

sistema non cambino nel tempo.

סּ

D'altra parte, è sufficiente che essi non varino in modo

apprezzabile in un arco temporale confrontabile alla

durata dell'esperimento.

durata dell'esperimento.

סּ

Nei modelli stazionari, non ha importanza l'istante di

inizio dell'osservazione, che viene quindi solitamente

Risposta da stato zero, con

ingresso zero, completa

סּ

In generale, l'uscita y(t) di un sistema dinamico per t ¸ t

0

dipende:

– dall'ingresso u(τ) applicato in [t₀, t];

– dallo stato iniziale x₀ che ha il sistema per t =t₀.

סּ

Risposta da stato zero (o risposta forzata)

Si dice risposta da stato zero o risposta forzata la

Si dice risposta da stato zero o risposta forzata la

risposta y

(t) di un sistema che è inizialmente in quiete

(ingresso ed uscita nulli) e che viene sollecitato da un

ingresso non nullo.

סּ

Il sistema, senza l'applicazione dell'ingresso non nullo,

Risposta da stato zero, con

ingresso zero, completa

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 P o s , V e l

Risposta all`impulso (caso ideale)

f

Risposta da stato zero

0 0.2 0.4 0.6 0.8 P o s , V e l

x(t)

Risposta da stato zero, con

ingresso zero, completa

סּ Risposta con ingresso zero (o risposta libera)

סּ Si dice risposta con ingresso zero o risposta libera la risposta y

ZI(t) di

un sistema che è sollecitato da un ingresso nullo.

סּ Se il sistema è inizialmente in quiete (ingresso ed uscita nulli), vi

permane per t > t₀, altrimenti vi è una evoluzione dell'uscita.

0.09 0.1 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 i( t)

Condensatore inizialmente carico (q(t₀) = q₀ ≠ 0); la variabile di

Risposta da stato zero, con

ingresso zero, completa

סּ Risposta completa

סּ Si dice risposta completa la risposta di un sistema che si trova

inizialmente in condizioni non di quiete ed è sollecitato con ingresso non nullo.

סּ E’ in questo caso necessario conoscere sia l'ingresso

applicato che lo stato iniziale in cui si trova il sistema.

סּ ESEMPIO: Data una massa m che nell'intervallo [t

0, t1] cade

in caduta libera, soggetta alla sola forza di gravità -g, non è possibile in t = t₁ calcolarne la posizione e/o la velocità se non si conoscono la posizione e la velocità iniziali.

Risposta da stato zero, con

ingresso zero, completa

0 0.5 1 1.5 2 -0.5 0 0.5 1 Posizione 0 0.5 1 1.5 2 -6 -4 -2 0 2 4 Velocita`

v

= 0 m/s

v

= 2 m/s

Modelli lineari

סּ Una funzione f: C -> C è lineare sse gode delle seguenti proprietà: 1) Additività

2) Omogeneità

סּ Un modello dinamico è lineare sse valgono le seguenti tre proprietà: 1) la risposta con ingresso zero è lineare rispetto allo stato iniziale; 1) la risposta con ingresso zero è lineare rispetto allo stato iniziale; 2) la risposta da stato zero è lineare rispetto all'ingresso;

3) la risposta completa coincide con la somma della risposta con ingresso zero e della risposta da stato zero:

Modelli lineari

סּ ESEMPIO: Si consideri la risposta completa di un sistema

dinamico

in cui x₀ = x(t₀) è lo stato iniziale. in cui x₀ = x(t₀) è lo stato iniziale.

La risposta è somma della risposta con ingresso zero e da

stato zero, però il sistema è non lineare poiché la risposta non è lineare né rispetto allo stato iniziale (x₀2_{) né rispetto}

Modelli lineari - Esempii

סּ Si consideri la risposta completa del sistema dinamico

Il sistema è non lineare poichè la risposta non è lineare rispetto all'ingresso (u2_).

סּ Si consideri la risposta completa del sistema dinamico

Il sistema è lineare poiché:

– la risposta è somma della risposta con ingresso zero e da stato zero;

Modelli lineari

סּ Molti sistemi ammettono modelli matematici lineari purché i valori

delle variabili non escano da determinati intervalli

x

q

סּ Si consideri il sistema di figura, costituito da un serbatoio: la portata

entrante q₁ è funzione lineare della posizione x dello stelo di una

valvola q₁= K x si suppone che la portata uscente q₂ sia indipendente dal livello z.

z

z

Modelli lineari

סּ Il modello matematico del sistema è espresso dall'equazione integrale lineare

o, equivalentemente, dall'equazione differenziale (ottenuta derivando rispetto al tempo ambo i membri)

in cui z indica il livello dell'acqua nel serbatoio (in m), Z₀ il livello iniziale, q₁ e q₂ le portate entrante e uscente (in mc/sec), A l'area della sezione orizzontale del serbatoio (in mq).

Modelli lineari –

Proprietà di sovrapposizione degli effetti

סּ

Per i sistemi lineari vale una proprietà molto importante:

La sovrapposizione degli effetti.

סּ

Linearità rispetto allo stato iniziale

Questo caratteristica dei sistemi dinamici risulta evidente (ed utile) nello studio dei sistemi nello spazio degli stati. Viene qui citata solo per completezza, ma non verrà utilizzata nel

seguito, in quanto si è maggiormente interessati ad una

Modelli lineari –

Proprietà di sovrapposizione degli effetti

סּ

Linearità rispetto all'ingresso

Sia dato un sistema inizialmente in quiete. Si applichino (singolarmente) i q ingressi u_i(t), i=1, …, q, t ¸ 0, ottenendo le corrispondenti risposte forzate y_ZS,i(t):

u(t)

y(t)

ΣΣΣΣ

Modelli lineari –

Proprietà di sovrapposizione degli effetti

סּ

Esempio:

סּ

Additività delle risposte

Proprietà di additività della risposta libera e della risposta forzata.

Sommario

סּ

Abbiamo visto come modellare:

– i sistemi elettrici attraverso le leggi della elettrotecnica e – I sistemi meccanici attraverso le leggi della meccanica

classica.

– Descrivere mediante schemi a blocchi l’interconnessione tra sistemi e sottosistemi.

tra sistemi e sottosistemi.

סּ

Riferimenti al libro di testo:

– La modellistica di sistemi fisici è trattata in vari esempi sparsi sul libro di testo.

Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia Automation Robotics and System CONTROL

MODELLI DI SISTEMI

FINE