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Sviluppo in ambiente CAD di una metodologia per la simulazione della generazione di ruote dentate.

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Academic year: 2021

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(1)

Sviluppo in ambiente CAD di una

metodologia per la simulazione della

generazione di ruote dentate

Tesi di Laurea Magistrale

in Ingegneria Aerospaziale

Relatori:

Dott. Ing. Alessio Artoni

Prof.ssa Ing. Fran es a Di Pu io

Candidato:

Fran es o Vallelonga

(2)

1 Generazione per Inviluppo di Ruote Dentate: Appro io Classi o 2

1.1 Appro io di Litvin . . . 3

1.2 Cenni all'Appro ioInvariante . . . 7

1.3 Svantaggi dell'Appro ioClassi o . . . 8

2 Generazione per Inviluppo di Ruote Dentate: Appro io CAD-Based 10 2.1 S elta del FrameworkSoftware . . . 11

2.2 Generazione per Inviluppo medianteOperazioni Booleane . . . 12

2.3 Esempio: Generazione diRuote Dentate Cilindri he aDentiDritti . . 16

3 Generazione per Inviluppo di Ruote Dentate Beveloid: Appro io CAD-Based 22 3.1 Ruote Dentate Beveloid . . . 22

3.2 Ma rogeometria diBase dell'IngranaggioBeveloid . . . 25

3.3 Modello CAD delPignone . . . 26

3.4 Modello CAD della Ruota . . . 28

3.5 Modello CAD dell'Utensile . . . 30

3.6 Posizione rispetto al sdr globale . . . 32

3.7 FunzionidiMoto dell'UtensileeIn remento delParametro diMoto . 33 3.8 Campionamento delle Super i Ottenute . . . 36

3.9 Veri a deiRisultati Ottenuti . . . 39

3.10 Analisi diSensibilitàall'In rementodelParametro diMoto . . . 40

3.11 Commento deiRisultati Ottenuti . . . 46

(3)

1.1 Generazione per inviluppodi un dente . . . 2

1.2 Sistemi di riferimentoperruota e remagliera . . . 3

1.3 Posizione delpunto omune

M

. . . 5

1.4 Interferenza di taglio . . . 6

1.5 Rotazione delpunto

P

. . . 7

2.1 Operazione booleana disottrazione trauna sferae due ilindri . . . . 14

2.2 Vista di ubo e ilindrosulpiano x-y . . . 15

2.3 Cubo allane dell'operazione ditaglio . . . 15

2.4 Prolo della remagliera . . . 17

2.5 Sbozzato Cilindri o . . . 17

2.6 Sbozzato Cilindri oe Dentiera . . . 18

2.7 Fermoimmaginedella simulazionedel taglio dellaruota . . . 19

2.8 Denteottenuto allane deltaglio . . . 20

2.9 Linee di ontatto ingenerazione dell'utensileduranteil taglio. . . 20

2.10 Vano generato dadentiera on un soloprolo . . . 21

2.11 Vano generato dadentiera on un soloprolo assegnando la inema-ti a all'utensile . . . 21

3.1 Trasmissione perappli azioni navali . . . 22

3.2 Generazione di una beveloid generi a tramite reatore . . . 23

3.3 Sezione diuna ruotabeveloid . . . 24

3.4 Ingranaggio Beveloid . . . 25

3.5 Prolo utilizzatoperla generazionedel modelloCAD del pignone . . 26

3.6 Proiezione delpignonesul pianox-y . . . 27

3.7 Proiezione delpignonesul pianoz-x . . . 27

3.8 Prolo utilizzatoperla generazionedel modelloCAD della ruota. . . 28

3.9 Proiezione della ruotasul piano x-y . . . 29

(4)

3.11 Grandezze aratteristi he dell'utensile . . . 31

3.12 Vista assonometri adel dente utensile . . . 31

3.13 Posizione diutensilee pignone . . . 32

3.14 Posizione diutensilee ruota . . . 32

3.15 Vista delvano della orona. . . 34

3.16 Vista delvano della orona. . . 34

3.17 Vista delvano delpignone . . . 35

3.18 Vista delvano delpignone . . . 35

3.19 Vista sulpiano

x − y

dell'insieme delle ir onferenze. . . 36

3.20 Vista sulpiano

y − z

dell'insieme delle ir onferenze . . . 36

3.21 Punti ampionati sulla super iedel vano del pignone . . . 38

3.22 Punti ampionati sulla super iedel vano della ruota . . . 38

3.23 Ra ordo dibase del vano delpignone on

∆φ

p

+ = 0.1

rad . . . 40

3.24 Ra ordo dibase del vano delpignone on

∆φ

p

+ = 0.00625

rad . . . 41

3.25 Analisi disensibilitàsul an oattivodelCoast-Side delpignone . . . 44

3.26 Analisi disensibilitàsul an oattivodelDrive-Side del pignone . . . 44

3.27 Analisi disensibilitàsul an oattivodelCoast-Side della ruota . . . 45

(5)

3.1 Analisi disensibilitàsul Coast-Side delvano delpignone . . . 42

3.2 Analisi disensibilitàsul Drive-Side del vano del pignone . . . 42

3.3 Analisi disensibilitàsul Coast-Side delvano della Ruota . . . 43

(6)

Nel seguente lavoro di tesi è stata sviluppata una metodologia per la simulazione

della generazionedi ruote dentate.

L'appro ioèbasatosullosviluppodiun odi einambienteCADperlasimulazione

del taglio per inviluppo. L'obbiettivo è quello di ottenere e valutare le

potenziali-tà di un appro io CAD-Based alternativo alle metodologie analiti he. La funzione

di taglio e retti a dell'utensile è denita mediante l'uso di operazioni booleane di

sottrazione trasolidi. Il moto relativo trautensile e ruota in generazioneè assunto

funzionesiun soloparametro inemati o,dettoparametrodimoto(motion

parame-ter). L'appro ioCAD-Based èstatoimpiegatoinunprimomomentoperiltagliodi

ruotedentate ilindri headentidritti,perveri areinprimabattutala orrettezza

della metodologia. Su essivamente è stato appli atoal aso degli ingranaggi

beve-loid (pignonee orona), attualmenteoggettodiri er aan he in ampoaeronauti o.

Inneèstato eseguitoun onfrontogeometri otraian hi(Coast-Side e del

Drive-Side)deidentidipignonee oronabeveloid ottenuti onl'appro ioanaliti oequelli

ottenuti on l'appro io CAD-Based. Si è eseguita quindi un'analisi di sensibilità

(7)

Generazione per Inviluppo di Ruote

Dentate: Appro io Classi o

Il metodo del taglio per inviluppo è utilizzato per la generazione della stragrande

maggioranzadi ruote dentate.

Ilvanotradue denti onse utivi èottenuto dunqueperinviluppodella famiglia

(in-viluppante) delle super i dell' utensile.

Figura1.1: Generazione per inviluppodi un dente

I metodi sviluppati per la determinazione della super ie del dente di una ruota

saranno dis ussi in questa sezione. L'appro io lassi o basato sulla geometria

dif-ferenziale, dis usso in [10℄, e quello di Litvin, des ritto in [3℄, ostituis ono la base

teori adella generazione per inviluppodi ruotedentate.

Sarà dis usso quindi il metodo diLitvin, più onos iuto e maggiormente utilizzato,

(8)

1.1 Appro io di Litvin

Si onsideriunaruota he ingrana onunutensile remagliera. Lesuper ideidenti

delledueparti,

Σ

1

dell'utensilee

Σ

2

,dellaruotasonounal'inviluppodell'altraquindi sono super i oniugate. Siintrodu ono iseguenti sistemi diriferimento:

ˆ

S

1

sistemadi riferimentosolidale all'utensile

ˆ

S

2

sistemadi riferimentosolidale allaruota

ˆ

S

f

sistemadi riferimentoassoluto

Il sistemaha un sologrado di libertà

φ

(angolodi rotazione della ruota),in quanto la posizione

s

dell'utensile è legata alla rotazione della ruota tramite il valore del raggio

ρ

(g. 1.2) [3℄.

Figura1.2: Sistemidi riferimentoperruota e remagliera

Lasuper ie deldente dellaruota siottienedunque omeinviluppodelle

super- ideldente della remaglieraduranteil moto relativo.

Ilsistemapre edenteètraipiùsempli idaanalizzare; orasides riverà la

pro e-duradi al olotramiteunmetodogeneraleutilizzabilean henel asoin uil'utensile

non siauna sempli e remagliera. Il primopasso èlades rizionedella super iedei

(9)

parametri adella super ie.

Ingenerale il vettore posizionediun puntogeneri o sulla super ie è

parametrizza-bilemediante

(u, v)

e può essere espresso ome:

r

1

(u, v) = f (u, v)

i

+ g(u, v)

j

+ s(u, v)

k (1.1)

dove (i, j, k)sonoiversori delsistemadiriferimento. Ri avatalarappresentazione

parametri a dir

1

, il se ondo step è quellodi ri avarla nelsistema

S

2

. Ciò equivale a s ari are la inemati a relativa dell'ingranamento sull'utensile, ovvero ri avare il

moto dell'utensile rispetto ad un osservatore solidale alla ruota. Tale osservatore

vedrà la famiglia di super i r

1

generata daian hi dei denti dell'utensile durante

il moto al variare dell'angolo

φ

, quindi vedrà la famiglia di super i inviluppanti dell'utensile. In

S

2

si ha:

r

2

(u, v, φ) = (x

2

(u, v, φ)

i

+ y

2

(u, v, φ)

j

+ z

2

(u, v, φ)

k

)

(1.2)

Per al olare r

2

si operano dei ambiamenti di oordinate passando prima da

S

1

a

S

f

epoida

S

f

a

S

2

tramitematri idirotazione. La atenadisistemidiriferimento

puòesserepiù omplessaase ondadiquantisistemidi oordinatevengonoimpiegati

perdes rivere la inemati a del'ingranamento.

La famigliadi super i viene espressa nella forma:

r

2

=

g

(u, v, φ)

(1.3)

e rappresenta la prima delle due relazioni ne essarie per ottenere la super ie del

dente.

L'ulteriore relazioneda imporre è:

 ∂r

2

∂u

×

∂r

2

∂v



·

∂r

2

∂φ

= f (u, v, φ) = 0

(1.4)

L'equazione (1.4)è hiamataequation of meshing edalpuntodivistasi o

rappre-sentala ondizionedinon ompenetrazioneenonallontanamento(lungoladirezione

denitadalla normalelo ale) tralesuper i deidue denti he ingranano.

Siottiene quindi il seguenteproblema matemati o:

(

r

2

=

g

(u, v, φ)

(10)

dierenziale propriosulla denizione dell'equationof meshing.

Ilse ondoterminedell'equazione(1.4)

∂r

2

∂φ

halastessadirezionedelvettorev

(12)

2

, he rappresentalavelo itàrelativatrailpunto

M

1

sullasuper ie

Σ

1

eilpunto

M

2

sulla super ie

Σ

2

rispetto ad un osservatore posto in

S

2

. I punti

M

1

e

M

2

oin idono e formano ilpuntodi tangenza trale super i

Σ

1

e

Σ

2

(g. 1.3).

L'equazione (1.4) può essereris ritta nella forma:

 ∂r

2

∂u

×

∂r

2

∂v



·

v

(12)

2

=

 ∂r

2

∂u

×

∂r

2

∂v



·

v

(21)

2

= 0

(1.5)

Ri ordando he ilprimo terminedell'equazione(1.4) rappresenta ilvettorenormale

aduna super ie N

2

=

 ∂r

2

∂u

×

∂r

2

∂v



(1.6)

l'equationof meshing diventa

N

i

·

v

(21)

i

= f (u, v, φ) = 0

(1.7)

dove il vettore velo ità si ri ava da onsiderazioni inemati he e la normale nel

sistema i-esimosi ottienetramite matri idi rotazione

N

i

= L

i1

·

N

1

(1.8)

Sostanzialmente la direzione del vettore velo ità di stris iamentodeve appartenere

alpianotangente omunealleduesuper i,identi atounivo amentedallanormale

omune N.

(11)

Duranteiltagliodelleruotedentatepuòveri arsiilfenomenodell'interferenza(o

under utting),g. 1.4. L'appro io diLitvin permette dideterminare le ondizioni

di non interferenza tra utensile e ruota. La presenza di singolaritàsu

Σ

2

impli a il fenomenodell'interferenza ditaglio: intal aso, il vettorenormaleallasuper ie di

inviluppo,in orrispondenza delle singolaritàgeometri he, è nulloe di onseguenza

lasuper ienonèregolare. La ondizionesu ienteperlapresenza disingolaritàè

datadallarisoluzionediun sistemadiequazioni ostituitodall'equationofmeshing,

lasua derivata prima e larappresentazioneparametri a delle super i utensile.

(12)

1.2 Cenni all'Appro io Invariante

La formulazione di un appro io invariante [1℄ si è reso utile per evitare l'elevato

numero di sistemi di riferimento ne essari a des rivere il problema nell'appro io

di Litvin. La metodologia di al olo di Litvin è basata su relazioni inemati he

s rittein omponentis alari,mentre quellainvarianteèbasatasuuna formulazione

vettoriale del problema. Si denis e dunque l'operatore R, he rappresenta una

rotazione rigida in forma vettoriale. La rotazione di un punto

P

, di un angolo

α

rispettoadunasse,denitodalpuntoOedalversorea,èdatodalvettore

R(

p

,

a

, α

), on p

= P − O

(g. 1.5).

Figura1.5: Rotazionedelpunto

P

L'equazione heregolalarotazionedelpunto

P

nelpunto

P

ˆ

èdatadallaformula diEulero-Rodrigues(1.2).

ˆ

P − O = (

p

·

a

)

a

+ [

p

(

p

·

a

)

a

] cos (α) +

a

×

[

p

(

p

·

a

)

a

] sin (α)

Latrattazionedellateoriadell'ingranamentofattamediantel'appro io

invarian-terisultamolto ompattaperlasuaprerogativaditrattareivettorinoninterminidi

omponenti,ma omeelementidiunospaziolineare: iò onsentediridurrela

ate-nadisistemidiriferimento artesianine essari nell'appro iodiLitvin. Soltantoun

sistemadiriferimentoène essario perpoter svolgerei al oli. Laformulazione

pre-vede ome nellateoria lassi alades rizionedella famigliadisuper iinviluppanti,

(13)

1.3 Svantaggi dell'Appro io Classi o

Gli appro ianalit i presentano al uni svantaggi in merito alla loroeettiva

appli- abilità:

ˆ Appro io lo ale

L'equation of meshing può essere risolta espli itamente solo in asi

(relativa-mente) sempli i. Nei asi di moto relativo generale tra utensile e sbozzato, il

sistemadi equazioni(1.3)

(

r

2

=

g

(u, v, φ)

f (u, v, φ) = 0

ostituitodallafamigliainviluppanteedall'equationof meshing restaun

siste-ma impli ito,la ui soluzione viene determinata numeri amente per ottenere

singoli punti ( ampionamento) sulle super i dei denti. Il problema viene

quindi risoltolo almente,equesto non onsente diindividuare, adesempio,le

interferenze he l'utensilepotrebbeavere on altre regionidello sbozzato.

ˆ Metodi di risoluzione

Comedettosopra,moltospesso lasoluzione delsistema(1.3)deveessere

otte-nuta numeri amenteUntipi oesempiodirisoluzionedelleequazioniè

rappre-sentato dal ampionamento di un punto sulla super ie inviluppata, denito

mediantel'intersezione on una ir onferenzades ritta nello spaziodalla

op-piadivalori

(r, z)

.

Laposizionedelpunto

P = (p

x

, p

y

, p

z

)

, omunealla ir onferenzaealla super- ie èfornita dallaprima delle dueequazioni s rittaintermini di omponenti

s alari:

p

x

= g

x

(u, v, φ)

p

y

= g

y

(u, v, φ)

p

z

= g

z

(u, v, φ)

data quindi una oppia divalori

(r, z)

denita da:

( p(p

x

2

+ p

y

2

) = r

p

z

= z

(14)

p

x

2

+ p

y

2

= r

2

p

z

= z

f (u, v, φ) = 0

Leequazioniinmolti asi te ni amenteinteressanti possonoessere fortemente

non lineari.

Lasoluzione delsistemamatemati o è quindi ottenuta medianteil metododi

Newton-Raphson (o metododelle tangenti). Lari er a delle soluzioni

onver-ge on ilmetododiNewton soloseivaloriiniziali assegnati sono quelliadatti

alla ri er a delle radi i: è quindi ne essario prevedere una strategia per

l'at-tribuzione di buoni valoriiniziali (o initial-guess). Talvolta, an he on valori

initial guess appropriati, e quindi in presenza di onvergenza delle pro edure

numeri he, lasoluzione potrebbe essere errata: questo a ade, adesempio, in

orrispondenza di zone della super ie del dente prossime all'interferenza di

(15)

Generazione per Inviluppo di Ruote

Dentate: Appro io CAD-Based

LasoluzioneCADsiriferis ealmetodosviluppatomediantel'ausiliodiun software,

implementando opportuni odi i s ritti in linguaggio di programmazione Python.

L'idea di utilizzare un CAD rispetto a un software CAM ommer iale, il quale

po-trebbeinlineateori aassolvereallostesso ompito,èquellodirealizzareunambiente

dilavoro ompletamentegratuito,user-friendly epersonalizzabile.

L'idea alla base del metodo proposto è quella di generare i vani delle ruote a

par-tire dall'inviluppodelle varie posizionidell'utensile durante il moto. Lafunzione di

taglioèattribuitaalleoperazionibooleanedisottrazione, he onsentono duranteil

moto di simulare il pro esso di taglio. Talielementi verranno dis ussi neldettaglio

inseguito.

Dato he tale soluzioneCAD non èlaprose uzione diun lavoropre edentemaèun

appro io realizzato ex-novo, il primo passo è ostituito dalla s elta del software e

(16)

2.1 S elta del Framework Software

I requisiti per las elta delsoftware sono stati essenzialmente tre:

ˆ Software free:

L'obbiettivo del lavoro non è solo quello di reare un modello alternativo a

quelloanaliti omaan he dipoterlo fare on strumentitotalmente gratuiti.

ˆ Integrazione del linguaggio:

L'integrazione di un linguaggiodi programmazione nel software è

fondamen-tale; esso infatti è simile ma al ontempo diverso per quello he riguarda i

ri hiami agliambientie aglioggetti presenti nella piattaformamedesima. Un

tipi o esempioè dato dalla brevità del odi e per generare formegeometri he

sempli i.

ˆ Do umentazione:

Per molte appli azioni e per taluni CAD si è visto ome la do umentazione

relativa all'appli azionedel linguaggiodiprogrammazione al software CAD è

insu iente.

Avendo ome linea guida questi tre requisiti, trala miriadedi software CAD ne

sono stati s elti tre:

ˆ FreeCAD

ˆ Blender

ˆ OpensCAD

Il primo di questi (FreeCAD) ha soddisfatto tutte le ri hieste. Gli ultimi due non

sono stati ritenuti soddisfa enti, in quanto è s arsa la do umentazione e hanno

a-ratteristi he lontane rispetto al lassi o software CAD e agli strumenti he questo

può orire.

Il linguaggioPython è stato s elto inquantopersua natura èun linguaggiodi

pro-grammazioneadaltolivelloedèfa ilmente omprensibile,sempli eeessibile. Non

perultimobisognari ordare he nellamaggiorpartedeisoftware CAD, ommer iali

e non,è possibile implementare solo odi iin linguaggioPython.

(17)

BOOLEANE 12

2.2 Generazione per Inviluppo mediante Operazioni

Booleane

L'animazione degli oggetti nelle piattaformeCAD ommer iali è adata a moduli

interni alsoftware, questi però risultano di ilmentepersonalizzabili. Las elta del

software-free FreeCAD è appropriataan he perquesto motivo,infattiin esso non è

presente un ambiente di animazione. Il movimento degli oggetti nello spazio 3D è

stato simulato apartire dauna funzione Python.

Se laposizionediunqualsiasi oggettoèdatadauna stringadi odi e,ilmovimento

ontinuopuòesseresimulatoapartiredall'assegnazionediunparametrodimoto he

viene in rementatodi una ertaquantitàinun determinatointervallotemporale. Il

seguente odi e Python è un esempio di quanto sia sempli e generare un ubo on

l = 10

mm, on un verti e posizionato nell'origine del sdr globale, he si muove di

(18)

BOOLEANE 13 ubo=Part.makeBox(10,Base.Ve tor(0,0,0)) def mov(): global i i+=1 ubo.Pla ement=App.Pla ement(App.Ve tor(i,0,0), App.Rotation(App.Ve tor(0,0,1),0))

#TIMER PER IL MOTO

timer = QtCore.QTimer()

timer.timeout. onne t(mov)

timer.start(1)

La quinta riga rappresenta la posizione dell'oggetto, ad essa però non è attribuito

un valore ostante ma un parametro il ui in remento è regolato dalla quarta riga

i+ = 1

mm. La funzione di moto mov inne è ollegata ad un timer il quale

garantis e il link tra l'in remento di spazio e l' in remento temporale. Il moto

prosegue indenitamenteo no a quando non è assegnato il omando

timer.stop()

. Il omandodiposizioneèregolatotramitela osiddettarappresentazioneasse/angolo

degli oggetti,infattiil moto è ompletamentedenitoquando sono noti:

ˆ Vettore di traslazione: App.Ve tor(i,0,0)

ˆ Vettore dell'asse di rotazione e relativo angolo:

App.Rotation(App.Ve tor(0,0,1),0)

Ovviamentegrazieall'utilizzodeipa hettimath diPythonèpossibileimplementare

funzioni di moto frutto di ombinazioni di funzioni elementari, ad esempio è

pos-sibile appli are funzioni trigonometri he. Denita quindi la pro edura per eseguire

un'animazionedel moto nelsoftware CAD, il se ondo step è denire un'operazione

booleana tradue oggetti inmovimento.

Le operazioni booleane (sottrazione, addizione, intersezione) sono spesso utilizzate

inambiente CAD per ottenere forme omplesse a partireda solidielementari ome

ing. 2.1.

Il software FreeCAD èbasato sull'OpenCas ade Te hnology, unapiattaformadi

sviluppo per software CAD. Le operazioni booleane sono regolate tramite il BOA

(Boolean Operation Algorithm). Tale algoritmorispetto a quellisviluppati in

soft-ware ommer iali ome Catia è estremamente pre iso in quanto al olai volumi di

(19)

BOOLEANE 14

Figura2.1: Operazione booleana disottrazione trauna sfera e due ilindri

Datalanaturadiquesto lavoroedato hesitratterànelseguitolasimulazionedella

generazione di ruote Beveloid, si è s elto di sa ri are i tempi di al olo a favore

della pre isione geometri a deisolidiottenuti.

Prima di dis utere del taglio di ruote dentate, si vuole mettere in evidenza un

esempiosempli eed espli ativo delproblema.

Si hanno nello spazio CAD due elementi di forma geometri a elementare: un ubo

e un ilindro. Immaginando he un verti e del ubo (origine del suo sdr) sia

posi-zionatonell'originedelsdr globale,e he il ilindrosiaspostatorispetto aquesto di

una erta quantità, si vuole assegnare al ilindro la apa ità di tagliare il ubo. In

breveil ilindroassolverà allafunzioneditool(outensile)eil uboa quelladiblank

(o sbozzato). Nella g. 2.2 è ragurata la rispettiva posizione di ubo e ilindro.

L'operazione booleanaanimatadi sottrazione èeseguita all'internodi una funzione

Python simileaquellapre edentementedes ritta. Quandoil ilindrointerferis e on

il ubo inizianole operazioni di sottrazione; vi è una sottrazione per ogni aumento

del parametro di moto, dunque il ubo al terzo step sarà dato dal ubo al passo

pre edente meno il ilindro,nella posizione o upata daquesto al terzo passo. Così

fa endo non si hasolol'animazione delmoto, mala reazione dinuovo oggetto he

può essere esportato inun altro software e riutilizzato.

Nel aso preso in onsiderazione il ilindro interse a in diagonaleil ubo, quindi il

vettoredi traslazione assumela seguente forma:

(20)

BOOLEANE 15

Figura2.2: Vistadi ubo e ilindrosul piano x-y

Figura2.3: Cubo allane dell'operazione ditaglio

Come sipuò notaredalla g. 2.3, sulla super ielavorata del ubo vi sonodelle

linee verti ali: queste rappresentano le linee di ontatto tra i due oggetti durante

l'operazione di generazione. Se le linee fossero molto tte signi herebbe he si è

utilizzatounaumentodelparametrodimotobassorispettoallalunghezza

aratteri-sti adeltrattodatagliare: peresempioseladiagonaledel ubofosselunga

200

mm e il parametro di moto fosse in rementato di

i+ = 1

mm, allora le linee sarebbero molto vi ine tra loro. In questo aso si è s elto di far avanzare solo il ilindro per

ottenereun ubotagliatolungoladiagonale,inrealtàlastessaoperazionepuòessere

eseguita ombinandoilmotodiavanzamentolungol'assex deltool onquellolungo

l'asse y (in verso negativo) del blank. Ovviamente l'in remento dei due

(21)

DENTI DRITTI 16

entrambi gli oggetti a muoversi, in quanto il software deve gestire l'in remento di

due parametri di moto e mantenere in memoria le rispettive posizioni. Per questo

motivola inemati arelativadelpro essoèstatas ari atainteramentesull'utensile,

e ilguadagno in terminiditempi di ese uzione èrisultato essere ir adel 50%.

Tutte lesimulazioni sonostate eettuate mantenendo losbozzato fermoe

al olan-dole funzionidi moto dell'utensilerispetto a quel sistemadi riferimento. Gli input

all'appro io CAD-Based sono:

ˆ Modello CAD dello Sbozzato (Blank)

ˆ Modello CAD dell'Utensile (Tool)

ˆ Funzioni di Moto dell'Utensile

ˆ In remento del Paramtero di Moto

2.3 Esempio: Generazione di Ruote Dentate

Cilin-dri he a Denti Dritti

Dopoaveresaminato il asi banaledeltaglio diun ubodaparte diun ilindro,ora

sivuoleesaminarelagenerazionediruote dentate on ilmetodode ritto. Nella

pri-mapartesarà esaminatoil aso diruotedentate ilindri he adenti dritti,inquanto

si vuole partire da un aso sempli e ma più omplesso rispetto al pre edente, per

poi arontare il problema degli ingranaggi beveloid.

Il taglio per inviluppo di ruote dentate avviene tra un utensile e uno sbozzato

i-lindri o. L'utensile è ostituito da una porzione di dentiera (o dentiera) on denti

a an hi dritti. Grazie al moto relativo tra i due oggettilo sbozzato assumerà alla

ne delpro esso di taglioil aratteristi oprolo adevolvente.

Per motivi die ienza omputazionalei modelliCAD diutensile e di sbozzato

hanno spessori di po hi mm, per permettere una rapida ese uzione del pro esso e

poterveri arela orrettezzadelmodello reato. Losbozzato ilindri ohaunraggio

pari a

35

mm. Al tempo

t = 0

il entro di questo è ssato nell'origine degli assi. Laposizione dell'utensiletiene ontodelfatto he deve esser iuna learan e (gio o

di testa) tra il fondo del dente dell'utensile e lo sbozzato pari a

0.25m

. Il modulo

m

s elto per la generazione è pari a

2.5

mm, di onseguenza il prolo deldente ha

un'altezza pari a

2.5m

mentre il passo tra due proli onse utivi omologhi è dato da

p = mπ

. L'addendum e il dedendum nella dentiera normalizzata sono entrambi uguali a

1.25m

. La dentiera in questo aso non haraggi di ra ordo. Riassumendo

(22)

DENTI DRITTI 17

Figura 2.4: Prolo della remagliera

Figura2.5: Sbozzato Cilindri o

ˆ modulo

m = 2.5

mm ˆ altezza

h = 6.25

mm ˆ passo

p = 7.85

mm ˆ learan e

c = 0.625

mm ˆ addendum

h

a

= 3.12

mm ˆ dedendum

h

f

= 3.15

mm

ˆ angolodi pressione

α = 20

deg

Nellagura2.6sonorappresentateleposizionire ipro hediutensileesbozzatonello

(23)

DENTI DRITTI 18

Figura2.6: SbozzatoCilindri oe Dentiera

Leequazionidimotosonogovernatedalla ondizione diingranamento,quindila

velo itàperiferi adellosbozzatosulla ir onferenzaprimitivadeveessereugualealla

velo itàdiavanzamentolungol'assex dell'utensile,inmodotaledaavere ondizione

dipuro rotolamento. Ne onsegue quindi he :

ω

blank

=

V

tool

R

p

(2.1)

dove

R

p

è il raggio della ir onferenza primitiva dello sbozzato pari a

32.5

mm, in quantoèlegatotramitelaseguenterelazionealnumerodeidentidatagliare(

z = 26

) e almodulo:

R

p

m

=

z

2

(2.2)

Dunque la dentiera avanza on una velo ità pari a

V

p

mentre ilblank ruota attorno all'assez on una velo ità regolata dall'equazione(2.1).

Comegiàannun iatonellasezionepre edentelasimulazionedelpro esso èeseguita

mantenendofermolosbozzatoeassegnandoilmotoall'utensile. Iltempoimpiegato

pergenerareilvanodellaruotadentatapassadai26se ondi onentrambiglioggetti

in movimento ai ir a 10 on il solo utensile in movimento. Le g. 2.7, 2.8 , 2.9 e

2.10si riferis onoallasimulazione on entrambiglioggettiinmovimento,mentre la

g. 2.11 siriferis e alla simulazione on il soloutensile in movimento.

Nell'appro - ioCAD-Based sonostateimplementatelefunzionidimotodell'utensile,rispettoal

sistema di riferimento solidale allaruota, ridu endo la simulazioneall'assegnazione

diun soloparametro di moto. Non èpossibile,all'inizio delpro esso, prevedere un

valore ottimale del parametro di moto, l'assegnazione diquesto deve basarsi su iò

he si vuoleottenere allane delpro esso. In questo aso (dentiera on due denti)

(24)

DENTI DRITTI 19

nell'ordine dei mi rometri,signi a ottenere maggiorepre isione maan he

maggio-ri tempi di simulazione. La pre isione del dente tagliato è garantita oltre he da

opportuni in rementi del parametro di moto an he e soprattutto dall'utilizzo delle

operazionibooleane,dato he in modellazione 3D sono tragli strumentipiù pre isi

per la generazione di forme omplesse. Nelle immagini seguenti sono rappresentati

al uni parti olari della simulazione eettuta on un in remento del parametro di

moto pari a

i+ = 0.9

mm.

(25)

DENTI DRITTI 20

Figura2.8: Denteottenuto allane del taglio

(26)

DENTI DRITTI 21

Le super i generate del dente possono essere onfrontate on la funzione

ana-liti adell'evolvente per lavalutazione delle dierenzetra l'appro io CAD-Based e

quelloanaliti o.

Figura 2.10: Vano generato dadentiera on un soloprolo

Figura2.11: Vano generatodadentiera on unsoloproloassegnandola inemati a

all'utensile

Nelleg. 2.10e 2.11 l'utensilepresenta un raggio dira ordo ditesta sia destro

he sinistro pari a

0.4

mm. L'errore massimo, ovvero la distanza al olata lungo la direzione della normale lo ale, rispetto alla funzione analiti aè inferiore a

1

µ

m

, dunque l'appro io CAD-Based sarà testato perla simulazionedellagenerazione di

(27)

Generazione per Inviluppo di Ruote

Dentate Beveloid: Appro io

CAD-Based

L'appro io CAD-Based èstato utilizzatoperlagenerazionedeivanidiun pignone

e diuna ruota dentata deltipo beveloid.

3.1 Ruote Dentate Beveloid

Leruotedentatebeveloid,o oni alinvolute,sonoutilizzateprin ipalmentein ampo

navale (g. 3.1) e automotive, ma sono diventate oggetto di interesse in ampo

aeronauti o.

Figura 3.1: Trasmissione per appli azioninavali

Furono sviluppate per risolvere il problema di a oppiamenti di ingranaggi on

assi non paralleli aventi pi oli angoli (

< 20 deg

) [8℄, inoltre il loro utilizzo elimina il problema del ba klash, data la rastremazione dei denti. Le ruote beveloid sono

ottenute in linando il reatore rispetto allosbozzatodi un angolodi eli a

ψ

e diun angolodi ono

δ

(g. 3.2).

(28)

Figura3.2: Generazione diuna beveloid generi a tramite reatore

Al variare di

δ

e

ψ

vengono generatidiversi tipidiruote:

ˆ

δ 6= 0

e

ψ 6= 0

genera una ruota beveloid obliqua

ˆ

δ 6= 0

e

ψ = 0

genera una ruota beveloid adenti dritti

ˆ

δ = 0

e

ψ 6= 0

genera una ruota ilindri aa denti eli oidali

ˆ

δ = 0

e

ψ = 0

genera una ruota ilindri aa denti dritti

Se il reatore è ilmedesimo leruote beveloid possono ingranare onuna altritipidi

ruote ome ilindri he,eli oidali, remagliere,vitesenza nee ovviamente onaltre

beveloid. Inoltre, se a oppiate tra loro, il verti e del ono primitivo di una ruota

non deve ne essariamente oin idere on quello delle altre, ome su ede nel aso

dellenormaliruote oni he. Glieettidovutiaderroridimontaggiononinuenzano

la orretta trasmissione del moto; la diretta onseguenza di iò è la possibilità di

spostare una delle due ruote senza avere eetti sul rapporto di trasmissione.

Il dente di una beveloid può essere pensato ome il dente di una ruota ilindri a a

uivengonoasso iativaloridi orrezione positivaenegativalungolasua fas ia

(lar-ghezza). Ilproloindividuatodallasezionedeldenteametàlarghezzaha orrezione

nulla,iproliverso iltoe hanno orrezionenegativaequelliverso l'heel positiva(g.

3.3). La orrezione dei proli ostituis e una limitazione alla larghezza delle

beve-loid, dato he sipuò avere ome ondizione limiteinterferenza verso iltoe e dente a

punta verso l'heel.

La larghezza difas ia massimaottenibileè quindi data dalla relazione(3.1)

L

max

=

x

max

x

min

(29)

Figura3.3: Sezione diuna ruotabeveloid

dove

x

max

è ilvalore di orrezionelimite peravere dentea punta,

x

min

quellolimite peravere interferenzae

δ

ilvaloredell'angolodi ono. Datiivantaggidelle beveloid, nelsettore aeronauti osi è iniziatoa pensare aun loropossibile utilizzo.

(30)

3.2 Ma rogeometria di Base dell'Ingranaggio

Beve-loid

I parametri dibase per ladenizione della ma rogeometriadiun ingranaggio

beve-loidper assiin identi(g. 3.4) sono: angolotra gliassi erapporto di trasmissione.

L'ingranaggiobeveloid analizzato inquesto studioè aratterizzato da:

ˆ Angolo tragliassi:

33 deg

ˆ Numero didentidel pignone:

z

p

= 37

ˆ Numero didentidella ruota:

z

g

= 84

ˆ (Rapporto di trasmissione:

z

p

z

g

= 0.44

L'ingranaggio beveloid in esame è attualmente in fase di sviluppo presso il DICI

(Dipartimentodi Ingegneria Civilee Industriale) dell'Universitàdi Pisa in

ollabo-razione on GE Avio S.p.A.

.

(31)

3.3 Modello CAD del Pignone

Il modello CAD del pignone è generato a partire da un odi e Python, he è

sta-to reso totalmente parametri o. Questo omporta una ompleta generalizzazione

dell'oggetto, infatti tramite la variazione dei parametri si può rendere il pignone

ilindri oo tron o- oni o, on angolidi oni itàelevati(g. 3.5).

HA

HR

HT

CT

TT

TR

TA

Z

X

Figura3.5: Prolo utilizzatoper lagenerazione delmodello CAD delpignone

Nel odi esonostatiinseritideipuntidi ontrollodelprolodelpignoneinmodo

darealizzare lageneralizzazione ri hiesta. Nellag. 3.5è riportato il prolo

utiliz-zato per la generazione del pignone. Le oordinate (in mm) dei punti di ontrollo

sono : ˆ TA (x,z): (0.00,226.12) ˆ TR (x,z): (37.91, 226.12) ˆ TT (x,z): (44.04,226.12) ˆ CT(x,z): (44.04, 226.12) ˆ HT(x,z): (44.04,244.12) ˆ HR(x,z): (37.91,244.12) ˆ HA (x,z): (0.00, 244.12)

(32)

0.0001 deg

: èdifattounpignone ilindri o. Al proloèstatoappli atounangolodi

rivoluzionedi

360 deg

attornoall'assez. Sonoriportatiper ompletezzaleproiezioni suipiani z-x ex-y (g. 3.63.7) delmodello CAD ottenuto.

Figura 3.6: Proiezione delpignone sulpiano x-y

.

Figura3.7: Proiezione del pignonesulpiano z-x

(33)

3.4 Modello CAD della Ruota

Per la generazione del modello CAD della ruota è stato utilizzato lo stesso prolo

delpignone, modi ando opportunamentele oordinatedeipuntidi ontrollo.

HA

HR

HT

CT

TT

TR

TA

Z

X

Figura3.8: Proloutilizzatoperla generazionedelmodelloCAD della ruota

Le oordinate(inmm) deipunti di ontrollo sono :

ˆ TA (x,z): (0.00,213.96) ˆ TR (x,z): (85.81, 213.96) ˆ TT (x,z): (90.94,210.63) ˆ CT(x,z): (99.66, 224.05) ˆ HT(x,z): (100.51,225.88) ˆ HR(x,z): (95.61,229.06) ˆ HA (x,z): (0.00, 229.06)

Rispettoal modellodelpignonela oni itàèmoltopiù evidente, infattièpropriola

oronaafarsi ari odituttala oni itàdell'ingranaggio. Alproloèstatoassegnato

(34)

Figura3.9: Proiezione della ruota sulpiano x-y

(35)

3.5 Modello CAD dell'Utensile

L'utensile per la generazione del vano è ostituito da un dente di remagliera, he

attraverso opportune funzioni di moto taglia il vano sulla ruota e sul pignone. Il

denteè generato apartire da uno s ript Python he importato su FreeCAD genera

prima il prolo e poi attraverso la funzione prisma il modello 3D. Per veri are la

orrettezza delmodello si ès elto di reare un vano e onfrontarlo on quello

otte-nuto dall'appro io analiti o. Qualora si volesse generare la remagliera ompleta,

iò può essere fatto attraverso un parametro (presente nel odi e) he rea opie

deldenteele aan a infunzione delvalore delpasso, ottenendo inquesto modola

possibilitàdi generare più vani(quindi denti) on le stesse funzioni dimoto.

Lo s ript è ompletamente parametrizzato in modo tale da poter permettere

fa il-mentelamodi adelmodello.

I parametri sono :

ˆ Altezza deldenteh

= 6.65

mm

ˆ Passo normale

p

n

= 6.99

mm

ˆ Angolo delCoast Side

α

c

= 23.25 deg

ˆ Angolo delDrive Side

α

d

= 23.15 deg

ˆ Raggiodi Ra ordo delCoast Side

r

c

= 0.45

mm

ˆ Raggiodi Ra ordo delDrive Side

r

d

= 0.45

mm

ˆ Larghezza difas ia

t = 30

mm

(36)

Figura 3.11: Grandezze aratteristi he dell'utensile

L'origine del sistema di riferimento lo ale deldente è posto sulla linea di

riferi-mentoea

p

n

/4

rispettoaian hideldente. Altempo

t = 0

ilsdr lo ale oin ide on quelloglobale. Nella gura 3.12 è rappresentato in assonometria il dente (utensile)

usato peril taglio.

(37)

3.6 Posizione rispetto al sdr globale

Le posizionidei denti di pignonee ruota sono des ritte in terminidi posizionidelle

origini dei rispettivi sdr lo ali rispetto a quello globale. Nelle g. 3.13 e 3.14 è

illustrata la poszione al tempo

t = 0

, dove l'asse x è di olore rosso, l'asse y è di olore verde e l'asse z è di olore blu.

(38)

PARAMETRO DI MOTO 33

3.7 Funzioni di Moto dell'Utensile e In remento del

Parametro di Moto

Permigliorarel'e ienza omputazionale dellasimulazionesiès elto dis ari are il

moto relativosul soloutensile. Essendo le funzioni di moto più omplesse ei CAD

degli oggetti da tagliarepiù grandi in termini didimensioni, ilmiglioramentodelle

prestazioniè an orapiù mar ato rispettoal aso delleruote dentate ilindri he. La

famigliadi super i utensile si ottiene variandola posizionee l'orientazione

dell'u-tensileattraverso un singoloparametrodimoto:

φ

p

perilpignonee

φ

g

perlaruota. La posizione dell'utensile durante il moto è des ritta dalla seguente trasformazione

ane:

p

(φ) = R(φ)p + t(φ)

(3.2)

dovepèilvettoreposizionediun generi opuntodell'utensile(peresempiol'origine

delsdr lo ale),

R(φ)

èla matri edi rotazione in funzione delparametro dimoto

φ

e

t(φ)

èilvettoretraslazione. Lefunzioni dimoto sonostate ottenute direttamente in forma matri iale

1

. La posizione viene quindi al olata dal CAD al variare del

parametro dimoto. Per ompletezza viene riportatoun estrattodal odi e in ui è

implementatalarelazione(3.2)nellasuaformapiùgenerale. Comesivede,FreeCAD

ri hiedeunarappresentazionebasatasumatri iditrasformazioneomogenee:

r

ij

èil generi o elemento della matri e dirotazione

R

e

t

i

quellodelvettore di traslazione

t

. m=App.Matrix( r11,r12,r13,t1, r21,r22,r23,t2, r31,r32,r33,t3, 0,0,0,1) Dente.Pla ement=App.Pla ement(m)

Leesepressionidelle omponenti

r

ij

e

t

i

dipignonee ruotasonoriportatein Appen-di eA.L'in rementodelparametrodimoto omegiàdettodipendedallapre isione

ri hiesta. Nelleg. 3.15,3.16,3.17e3.18sonoriportatileimmaginideivaniottenuti

dopoil pro esso ditaglio per inviluppo.

1

(39)

PARAMETRO DI MOTO 34

Figura3.15: Vistadel vano della orona

(40)

PARAMETRO DI MOTO 35

(41)

3.8 Campionamento delle Super i Ottenute

Tramite l'appro io CAD-Based si ottiene un modello della ruota dentata allane

delpro essoditaglioperinviluppo, he puòessereesportatoinunqualsiasisoftware

dimodellazione o dianalisi.

La orrettezza della metodologia proposta è validata a partire dal onfronto on

l'appro io analiti o. I denti di pignone e ruota sono stati generati on l'appro io

lassi ograzieall'utilizzodelsoftwareWolfram-Mathemati a 2

. Lesuper ideidenti

sonostate ampionateinterse andol'oggetto onuninsiemedi ir onferenzeadiversi

valoridi(r,z) . Visono13 ir onferenzelungoilprolodeldentee11lungolafas ia,

perun totale di143.

Figura3.19: Vistasul piano

x − y

dell'insieme delle ir onferenze

Figura3.20: Vista sulpiano

y − z

dell'insiemedelle ir onferenze 2

(42)

Nelle g. 3.19 e 3.20 sono riportate due viste dell'insieme delle ir onferenze

usate per il ampionamento. L'intersezione tra queste e il modello CAD del vano

generatofornis e una grigliadipunti. Pereseguire orrettamenteil ampionamento

èstato sviluppatoun ulteriore odi ePython, implementatosul software FreeCAD.

Glistep peril ampionamentopossono essere osì suddivisi:

ˆ Generazionedelle ir onferenze on valoridi

(r, z)

diversi

ˆ Intersezione di tutte le ir onferenze on le super i dei denti generate on il

metodo

CAD − Based

ˆ Cal olodelle oordinate(x,y,z) deipuntirisultantidall'intersezione

ˆ Cal olo delle distanze tra punti omologhi delle super i generate on i due

appro i(eettuato on ilsoftware di al olo

Matlab

)

L'operazionedi ampionamentoèadataalleoperazionibooleanediintersezionetra

il set di ir onferenze (

143

) e ilvano delmodello CAD. L'intersezione trauna linea e un oggetto solido è possibile grazie alla struttura del BOA (Boolean Operation

Algorithms), ostituente labase geometri a del software FreeCAD. L'operazione di

intersezionetraunsolidoeunalineanonèpossibileeseguirlaintuttiisoftwareCAD,

a ausa della struttura dell'algoritmo di al olo usato per le operazioni booleane.

(43)

Figura 3.21: Punti ampionati sulla super iedel vano del pignone

Figura3.22: Punti ampionatisulla super ie delvano della ruota

In g. 3.21 e 3.22 si può osservare il risultatodel ampionamentoeettuato sul

pignone e sulla ruota. Alla ne della pro edura sono state al olate le oordinate

(44)

3.9 Veri a dei Risultati Ottenuti

Lagrigliadipuntièstataanalizzatagrazieall'utilizzodelsoftwaredi al oloMatlab.

Sièfattouso diunbreve odi e, he al olalemutuedistanze tralagrigliadipunti

ottenuta on l'appro io lassi o (vedi ap. 1) e quella ottenuta on l'appro io

CAD − Based

. Si ome i due insiemi dipunti sono ottenuti on glistessi valoridi

(r, z)

allora ilpunto generi o

P

an

, di oordinate

(x

an

, y

an

, z

an

)

, e il punto

P

CAD

, di oordinate

(x

CAD

, y

CAD

, z

CAD

)

, gia ionosulla stessa ir onferenza a valori diversi

dell'angolo

θ

.

Le due griglie dipuntirisultano sfasate di un erto angolo. Per riallinearle,e poter

al olareledistanze, siidenti ailpunto entralediognigrigliaesi al olailvalore

dell'angolo piano he insiste tra essi. Il punto entrale della griglia è ben denito

dato heèformatada13puntilungoilproloe11lungolafas ia. Cal olatol'angolo

tra i punti entrali, he gia ionosulla stessa ir onferenza, si appli a una matri e

dirotazione attorno all'asse

z

allagriglia deipunti CAD.

Allineate le griglie si al olano le mutue distanze (eu lidee) he sussistono tra

P

an

e

P

CAD

(la distanza tra i due punti entrali è ovviamente zero). Ottenuti i

143

valori delle distanze si pro ede a al olarele grandezze utili allastima della bontà

dei risultati ome il valore massimo della distanza,

D

max

, e il Root Mean Square Deviation (RMSD), o radi equadrata dello s arto quadrati omedio, denita dalla

formulaseguente

RMSD =

r

P

n

i=0

(d

i

− ¯

d)

2

n

(3.3)

dove

d

i

sono le distanze,

d

¯

è la media aritmeti a e

n = 143

è il numero di valori. I valori di

D

max

e RMSD sono stati al olati sia per il an o attivo he per il ra ordo, in modo da dierenziare le due zone del an o del dente. I risultati al

variare dell'in rementodel parametro dimoto sono riportatinelle tab. 3.1, 3.2, 3.3

(45)

MOTO 40

3.10 Analisi di Sensibilità all'In remento del

Para-metro di Moto

Come già a ennato l'in remento delparametro di moto regola la qualità della

su-per ieottenuta eiltempodiese uzione. Nonesistea prioriun parametrodi moto

ottimale in quanto il suo in remento è strettamente orrelato alla grandezza della

super ie da tagliare e alla forma he assumono le funzioni di moto. Essendo una

simulazionediun moto ontinuoquindiuna sua dis retizzazioneinterminidi

in re-mentodis retodelparametro,lasuper ieottenutasaràpiùomenopre isarispetto

aquella analiti a.

Considerando ilpignone generato on un in rementode isamentealto, peresempio

∆φ

p

+ = 0.1

rad,ilrisultatoèdatodaunasuper iequasi ontinuasulan oattivo

e sfa ettata sulra ordo ome in g. 3.23.

(46)

MOTO 41

Lagenerazionediun buon ra ordodelvano delpignonene essita diin rementi

del parametro dimoto minori di

∆φ

p

+ = 0.1

rad, ome ing. 3.24

Figura3.24: Ra ordo di base delvano delpignone on

∆φ

p

+ = 0.00625

rad

Ovviamenteladistanzatraipunti ampionatisulra ordo on ilmetodo

CAD-Based e quelli on il metodo analiti o è maggiore rispetto a quelli ampionati sul

an o attivodeldente.

L'analisidisensibilitàalparametro dimotoèstata eettuataprendendoin

onside-razioneuno spettro di valori, onsiderandoan he ipossibili tempi diese uzione del

pro esso. Ognilatodelvano dipignoneeruota èstato analizzato(rispetto aquello

generato on il metodoanaliti o)alvariaredel parametro.

Nelle tab. 3.1, 3.2, 3.3 e 3.4 sono riportati i risultati dell'analisi di sensibilità al

(47)

MOTO 42

Tabella3.1: Analisidisensibilitàsul Coast-Side delvano delpignone

Fian o Attivo Ra ordo

∆φ

p

(rad)

D

max

m

) RMSD (µ

m

)

D

max

m

) RMSD(µ

m

) Tempo diCal olo (s)

0.1 15.6 3.6 107.5 31.8 10

0.05 3.8 1.1 18.5 4.5 25

0.025 1.5 0.35 7.0 1.7 63

0.0125 0.23 0.073 3.1 0.56 230

0.00625 0.09 0.021 0.45 0.12 760

Tabella 3.2: Analisidisensibilitàsul Drive-Side delvano del pignone

Fian o Attivo Ra ordo

∆φ

p

(rad)

D

max

m

) RMSD (µ

m

)

D

max

m

) RMSD(µ

m

) Tempo diCal olo(s)

0.1 14.5 3.5 106 31.5 10

0.05 3.8 1.1 18.5 4.5 25

0.025 1.4 0.32 6.4 1.7 63

0.0125 0.33 0.09 2.1 0.56 230

(48)

MOTO 43

Tabella3.3: Analisidi sensibilitàsulCoast-Side del vano della Ruota

Fian o Attivo Ra ordo

∆φ

g

(rad)

D

max

m

) RMSD (µ

m

)

D

max

m

) RMSD(µ

m

) Tempo diCal olo (s)

0.044 6.8 1.7 43.3 7.2 44

0.022 4.6 1.3 16.5 2.1 95

0.011 4.5 1.2 10.7 1.1 385

0.0055 4.4 1.1 7.6 1.1 1020

0.00275 4.3 1.05 7.5 0.71 2760

Tabella3.4: Analisidi sensibilitàsulDrive-Side delvano della Ruota

Fian o Attivo Ra ordo

∆φ

g

(rad)

D

max

m

) RMSD (µ

m

)

D

max

m

) RMSD(µ

m

) Tempo diCal olo (s)

0.044 8.3 2.3 35.2 5.2 44

0.022 5.0 1.3 10.5 1.8 95

0.011 5.0 1.2 7.6 0.73 385

0.0055 4.5 1.1 7.5 0.62 1020

(49)

MOTO 44

Nellegure3.25,3.26,3.27e3.28èriportatalavariazionedella

D

max

,infunzione dellavariazionedell'in rementodelparametrodimoto,perian hiattividipignone

e ruota.

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

∆φ

p

0

2

4

6

8

10

12

14

16

D

m

a

x

Figura3.25: Analisidisensibilità sulan o attivodel Coast-Side delpignone

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

∆φ

p

0

5

10

15

D

m

a

x

(50)

MOTO 45

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

∆φ

g

4

4.5

5

5.5

6

6.5

7

D

m

a

x

Figura3.27: Analisidi sensibilitàsulan o attivo delCoast-Side della ruota

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

∆φ

g

4

4.5

5

5.5

6

6.5

7

7.5

8

8.5

D

m

a

x

(51)

3.11 Commento dei Risultati Ottenuti

I risultati ottenuti diminuendoi parametri dimoto ,

∆φ

p

per il pignonee

∆φ

g

per la ruota, sono riportati nelle tabelle 3.1, 3.2, 3.3 e 3.4. I valori di

∆φ

p

sono stati assegnati a partire da

0.1

rad, onsiderando he l'inviluppoasso iato determina un vano henon sidis ostae essivamentedaquelloanaliti o. Unvaloresuperiore,

an- he di un ordinedi grandezza,a

0.1

rad generail negativodella formadell'utensile, dato he ilmoto ontinuoè simulato apartire dall'in rementodi

∆φ

p

.

Lesimulazionisu essivesonostateeseguite dimezzandoilvalorepre edentedel

pa-rametrodimoto. Dal quartostep sinota ome la

D

max

delpignonesiasulra ordo he sul an o attivo sia minore di

1

µ

m

, quindi i due appro i generano in questo aso due vani identi i. La RMSD, he rappresenta un indi e della dispersione del

dato attornoal suo valormedio, siattesta suvalorisimili onfermando quanto

det-to. La pre isione ri hiesta ei tempi di al olo, he aumentano aldiminuire di

∆φ

p

, ne essari ainidella simulazionedevono essere valutatiinmodotaledaidenti are

l'in remento di

∆φ

p

ideale. Nel aso del pignone è

∆φ

p

+ = 0.0125

rad, dato he garantis e unabuonapre isioneeitempisono inferioririspettoalvaloresu essivo.

Gliin rementidi

∆φ

g

sonostatiassegnati apartiredaquellidelpignonedividendoli peril rapporto ditrasmissione dell'ingranaggio.

La oronaal ontrariodelpignonerisultaavere

D

max

e

RMSD

maggiori,questo è ausatodallazonadira ordoall'heel(g.3.15). Lospaziospazzatodall'utensilein

quellazona dellaruotaèmaggiorerispettoaquelloaltoe(g. 3.16)aparitàdi

∆φ

g

, ausandominorepre isioneemaggiores ostamentorispettoal asodelpignone. La

D

max

sul an o attivo risulta omunque essere inferiore ai

5

µ

m

, he è il valore di

tolleranza ri hiesta per ruote beveloid sul an o, mentre sul ra ordo è inferiore a

8

µ

m

(taleda non in iareassolutamentela rigidezzadella base deldente). I tempi

di al oloperiltagliodellaruotasonomaggiori 3

,a ausadellagrandezzageometri a

dell'oggetto. Infattiperogniavanzamentodell'utensileil al olatoredevemantenere

in memoria la forma,più grande rispetto al pignone, del passo pre edente.

Dall'a-nalisidisensibilitàsinota omeidueparametri al olatide res anosempre;questo

suggeris elapossibilitàdiabbassareilparametrodimotoperraggiungere ondizioni

3

Tutte le simulazioni di taglio sono state eseguite su Personal Computer on le seguenti

aratteristi he:

ˆ Pro essore: IntelCorei74510U2.6GHz

(52)

similiaquelle delpignone.

L'appro io CAD-Based rispetto alle metodologie des ritte nel ap.1 presenta

al uni vantaggi:

ˆ È un appro io globale al problema del taglio. Infatti generando la forma

CAD dell'utensile ompleto per il taglio di tutta la ruota dentata è possibile

veri arne eventuali interferenze. Se l'utensileinterferis e on la ruota inuna

zona lontana da quella di ontatto, questo può essere fa ilmente notato in

quantol'utensileeseguirà lalavorazionean he inquellazona dello sbozzato.

ˆ L'appro ioCAD-Based permettedirisolvereiproblemilegatiaimetodidi

ri-soluzionedelle equazioni ostituentil'appro io analiti o. Ovviamentein

que-sto asoiproblemilegatiall'appli azionedelmetododiNewton-Raphson, ome

la ne essità di sviluppare strategie per l'assegnazione dei valori iniziali, non

sussistono.

Il problema prin ipale dell'appro io CAD-Based è legato ai tempi di al olo.

Sono fortemente inuenzati dalla natura delle operazioni booleane, essendo molto

pre isenel al olodelvolume diinterferenza. Lapre isione geometri a dell'oggetto

risultante ondizionaladuratadeitempidi al olo, omesipuò notarenelletabelle

(53)

Con lusioni e Sviluppi Futuri

L'appro io CAD-Based onsente di simulare il pro esso di taglio per inviluppo a

partire dall'implementazione di un odi e Python sul software FreeCAD. L'utilizzo

di un odi e ha permesso la ompleta generalizzazione dell'appro io, utilizzatosia

per la generazione diruote dentate ilindri he a denti dritti sia per quelle beveloid.

La simulazione del taglio ha interessato nel aso delle ruote beveloid solo un vano:

iò è dovuto alla ne essità di validare l'appro io quindi di onfrontare i an hi e

i ra ordi del vano on quelli ottenuti dai modelli analiti i. Qualora fosse

ne essa-riotagliareinmodo ompleto laruota sipossono aggiungere altridenti all'utensile.

Questopassaggioèstatoprevistonel odi eeparametrizzatoinfunzionedelnumero

didenti he si vuolegenerare.

I risultati ottenuti sono stati onfrontati on l'appro io analiti o fornendo buoni

ris ontri. Nel aso delpignonele distanze traidue appro isono inferiori al

mi ro-metro, on tempidi al olodella simulazione ontenuti.

Nel aso della ruota le deviazioni sono maggiori, main ogni aso ben inferiori alle

tolleranze di lavorazione (retti a) tipi amente previste. I tempi di al olo sono

maggioriperla ruota rispetto alpignone. L'appro io CAD-Based sembra dunque

orire una buona alternativa ai metodi analiti i dal punto di vista della

pre isio-ne geometri a. Un aspetto dell'appro io CAD-Based he deve essere migliorato è

quello relativo ai tempi di al ol,o legato prin ipalmente all'utilizzo di operazioni

booleane di sottrazione. Non volendo pres indere dalle booleane, he garantis ono

alta pre isione geometri a in ambiente CAD, si deve modi are l'algoritmo he ne

regolail omportamentotrovandoisettings idealipergarantire pre isionee

riduzio-ne deitempi. Unastrada alternativapotrebbeessere rappresentata dall'utilizzodei

voxel-systems, he permettono di denire entità volumetri he attorno a punti nello

spazio e sono molto utilizzatinelle animazioni omplesse, permettendo interessanti

(54)

Le espressionidi

r

ij

e

t

i

peril pignonesono:

r11 = 0.999999cos(∆φ

p

)

r12 = −6.445609 · (10

(−7)

)cos(∆φ

p

) + 0.999317sin(∆φ

p

)

r13 = 0.000017cos(∆φ

p

) + 0.036930sin(∆φ

p

)

r21 = −0.999999sin(∆φ

p

)

r22 = 0.999317cos(∆φ

p

) + 6.445609 · (10

(−7)

)sin(∆φ

p

)

r23 = 0.036930cos(∆φ

p

) − 0.000017sin(∆φ

p

)

r31 = −0.000017

r32 = −0.036930

r33 = 0.9993178

t1 = 41.2410999cos(∆φ

p

) − 0.000026(∆φ

p

cos(∆φ

p

)) + 41.184852(∆φ

p

sin(∆φ

p

))

t2 = 41.184852(∆φ

p

cos(∆φ

p

)) − 41.241099sin(∆φ

p

) + 0.000026(∆φ

p

sin(∆φ

p

))

(55)

Le espressioni di

r

ij

e

t

i

per la orona sono:

r11 = 0.838680cos(∆φ

p

)

r12 = 0.020113cos(∆φ

p

) − 0.999317sin(∆φ

p

)

r13 = −0.544252cos(∆φ

p

) − 0.036930sin(∆φ

p

)

r21 = 0.838680sin(∆φ

p

)

r22 = 0.999317cos(∆φ

p

) + 0.020113sin(∆φ

p

)

r23 = 0.036930cos(∆φ

p

) − 0.544252sin(∆φ

p

)

r31 = 0.544624

r32 = −0.03097

r33 = 0.838107

t1 = −93.62844cos(∆φ

p

) + 1.881893∆φ

p

cos(∆φ

p

) − 93.500746∆φ

p

sin(∆φ

p

)

t2 = 93.500746∆φ

p

cos(∆φ

p

) − 93.628443sin(∆φ

p

) + 1.881893∆φ

p

sin(∆φ

p

)

(56)

Siriportaunestrattodel odi eutilizzatoperlasimulazionedeltaglioperinviluppo

del pignone. Le super i dei denti della orona sono state generate on lo stesso

odi e modi ando i dati in ingresso (modello CAD dello sbozzato e funzioni di

moto).

from FreeCAD import Gui

from PySide import QtCore, QtGui

from FreeCAD import Base

import Part

from math import *

import time

#CREA NUOVO PROGETTO DI LAVORO

App.newDo ument("simulazione")

#IMPORTA UTENSILE(DENTE)

ImportGui.insert(u"ra k_pinion.step","simulazione")

#IMPORTA SBOZZATO TRONCO-CONICO

ImportGui.insert(u"pignone.step","simulazione")

#RINOMINA FIlE .STP DENTE

dente = FreeCAD.A tiveDo ument.getObje t("Part__Feature")

#RINOMINA FILE .STP SBOZZATO

blank = FreeCAD.A tiveDo ument.getObje t("Part__Feature001")

(57)

FreeCADGui.getObje t("blank").Visibility = False #OP. BOOLEANA diff = blank.Shape. ut(dente.Shape) Part.show(diff) thp=-0.8 def utting(): global thp, diff thp+=0.1 m=App.Matrix( r11,r12,r13,t1, r21,r22,r23,t2, r31,r32,r33,t3, 0,0,0,1) diff = diff. ut(dente.Shape) diff.Pla ement=App.Pla ement(App.Ve tor(0.,0.,0.), App.Rotation(App.Ve tor(0.,0.,1.),0.))

App.getDo ument("simulazione").dente.Pla ement=App.Pla ement(m)

App.A tiveDo ument.removeObje t("Shape")

diff.removeSplitter()

Part.show(diff)

#TIMER PER IL MOTO

timer = QtCore.QTimer()

(58)

Si riporta un estratto del odi e utilizzato per il ampionamento delle super i

dipignone eruota.

import Part

import PartGui

import ImportGui

from FreeCAD import Gui

from PySide import QtCore, QtGui

from FreeCAD import Draft, Base

import Part

import math as mt

from math import *

import time

from array import array

import numpy as np

from numpy import *

data=loadtxt(' ir onferenze_sampling.txt')

App.newDo ument("Sampling_Corona")

ImportGui.insert(u" orona0044.step","Sampling_Corona")

myBody=FreeCAD.A tiveDo ument.getObje t("Part__Feature")

FreeCADGui.getObje t("Part__Feature").Visibility = False

for i in range (0,143):

R=data[i,0℄

Z=data[i,1℄

ir le = Part.makeCir le(R, Base.Ve tor(0,0,Z), Base.Ve tor(0,0,1))

Part.show( ir le)

for i in range (0,143):

if (i<=9 and i>0):

list_of_strings = ['Shape00', str(i)℄

foobar = ''.join(list_of_strings)

myLine=FreeCAD.A tiveDo ument.getObje t(foobar)

elif i==0:

list_of_strings = ['Shape'℄

(59)

elif (i>=10 and i<=99):

list_of_strings = ['Shape0', str(i)℄

foobar = ''.join(list_of_strings)

myLine=FreeCAD.A tiveDo ument.getObje t(foobar)

else:

list_of_strings = ['Shape', str(i)℄

foobar = ''.join(list_of_strings) myLine=FreeCAD.A tiveDo ument.getObje t(foobar) a=myBody.Shape. ommon(myLine.Shape) Part.show( a) h= a.Edges[0℄.Vertexes[0℄ j= a.Edges[0℄.Vertexes[-1℄ VC= [h.X, h.Y, h.Z℄ VD= [j.X, j.Y, j.Z℄ print VC print VD

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