Sviluppo in ambiente CAD di una
metodologia per la simulazione della
generazione di ruote dentate
Tesi di Laurea Magistrale
in Ingegneria Aerospaziale
Relatori:
Dott. Ing. Alessio Artoni
Prof.ssa Ing. Fran es a Di Pu io
Candidato:
Fran es o Vallelonga
1 Generazione per Inviluppo di Ruote Dentate: Appro io Classi o 2
1.1 Appro io di Litvin . . . 3
1.2 Cenni all'Appro ioInvariante . . . 7
1.3 Svantaggi dell'Appro ioClassi o . . . 8
2 Generazione per Inviluppo di Ruote Dentate: Appro io CAD-Based 10 2.1 S elta del FrameworkSoftware . . . 11
2.2 Generazione per Inviluppo medianteOperazioni Booleane . . . 12
2.3 Esempio: Generazione diRuote Dentate Cilindri he aDentiDritti . . 16
3 Generazione per Inviluppo di Ruote Dentate Beveloid: Appro io CAD-Based 22 3.1 Ruote Dentate Beveloid . . . 22
3.2 Ma rogeometria diBase dell'IngranaggioBeveloid . . . 25
3.3 Modello CAD delPignone . . . 26
3.4 Modello CAD della Ruota . . . 28
3.5 Modello CAD dell'Utensile . . . 30
3.6 Posizione rispetto al sdr globale . . . 32
3.7 FunzionidiMoto dell'UtensileeIn remento delParametro diMoto . 33 3.8 Campionamento delle Super i Ottenute . . . 36
3.9 Veri a deiRisultati Ottenuti . . . 39
3.10 Analisi diSensibilitàall'In rementodelParametro diMoto . . . 40
3.11 Commento deiRisultati Ottenuti . . . 46
1.1 Generazione per inviluppodi un dente . . . 2
1.2 Sistemi di riferimentoperruota e remagliera . . . 3
1.3 Posizione delpunto omune
M
. . . 51.4 Interferenza di taglio . . . 6
1.5 Rotazione delpunto
P
. . . 72.1 Operazione booleana disottrazione trauna sferae due ilindri . . . . 14
2.2 Vista di ubo e ilindrosulpiano x-y . . . 15
2.3 Cubo allane dell'operazione ditaglio . . . 15
2.4 Prolo della remagliera . . . 17
2.5 Sbozzato Cilindri o . . . 17
2.6 Sbozzato Cilindri oe Dentiera . . . 18
2.7 Fermoimmaginedella simulazionedel taglio dellaruota . . . 19
2.8 Denteottenuto allane deltaglio . . . 20
2.9 Linee di ontatto ingenerazione dell'utensileduranteil taglio. . . 20
2.10 Vano generato dadentiera on un soloprolo . . . 21
2.11 Vano generato dadentiera on un soloprolo assegnando la inema-ti a all'utensile . . . 21
3.1 Trasmissione perappli azioni navali . . . 22
3.2 Generazione di una beveloid generi a tramite reatore . . . 23
3.3 Sezione diuna ruotabeveloid . . . 24
3.4 Ingranaggio Beveloid . . . 25
3.5 Prolo utilizzatoperla generazionedel modelloCAD del pignone . . 26
3.6 Proiezione delpignonesul pianox-y . . . 27
3.7 Proiezione delpignonesul pianoz-x . . . 27
3.8 Prolo utilizzatoperla generazionedel modelloCAD della ruota. . . 28
3.9 Proiezione della ruotasul piano x-y . . . 29
3.11 Grandezze aratteristi he dell'utensile . . . 31
3.12 Vista assonometri adel dente utensile . . . 31
3.13 Posizione diutensilee pignone . . . 32
3.14 Posizione diutensilee ruota . . . 32
3.15 Vista delvano della orona. . . 34
3.16 Vista delvano della orona. . . 34
3.17 Vista delvano delpignone . . . 35
3.18 Vista delvano delpignone . . . 35
3.19 Vista sulpiano
x − y
dell'insieme delle ir onferenze. . . 363.20 Vista sulpiano
y − z
dell'insieme delle ir onferenze . . . 363.21 Punti ampionati sulla super iedel vano del pignone . . . 38
3.22 Punti ampionati sulla super iedel vano della ruota . . . 38
3.23 Ra ordo dibase del vano delpignone on
∆φ
p
+ = 0.1
rad . . . 403.24 Ra ordo dibase del vano delpignone on
∆φ
p
+ = 0.00625
rad . . . 413.25 Analisi disensibilitàsul an oattivodelCoast-Side delpignone . . . 44
3.26 Analisi disensibilitàsul an oattivodelDrive-Side del pignone . . . 44
3.27 Analisi disensibilitàsul an oattivodelCoast-Side della ruota . . . 45
3.1 Analisi disensibilitàsul Coast-Side delvano delpignone . . . 42
3.2 Analisi disensibilitàsul Drive-Side del vano del pignone . . . 42
3.3 Analisi disensibilitàsul Coast-Side delvano della Ruota . . . 43
Nel seguente lavoro di tesi è stata sviluppata una metodologia per la simulazione
della generazionedi ruote dentate.
L'appro ioèbasatosullosviluppodiun odi einambienteCADperlasimulazione
del taglio per inviluppo. L'obbiettivo è quello di ottenere e valutare le
potenziali-tà di un appro io CAD-Based alternativo alle metodologie analiti he. La funzione
di taglio e retti a dell'utensile è denita mediante l'uso di operazioni booleane di
sottrazione trasolidi. Il moto relativo trautensile e ruota in generazioneè assunto
funzionesiun soloparametro inemati o,dettoparametrodimoto(motion
parame-ter). L'appro ioCAD-Based èstatoimpiegatoinunprimomomentoperiltagliodi
ruotedentate ilindri headentidritti,perveri areinprimabattutala orrettezza
della metodologia. Su essivamente è stato appli atoal aso degli ingranaggi
beve-loid (pignonee orona), attualmenteoggettodiri er aan he in ampoaeronauti o.
Inneèstato eseguitoun onfrontogeometri otraian hi(Coast-Side e del
Drive-Side)deidentidipignonee oronabeveloid ottenuti onl'appro ioanaliti oequelli
ottenuti on l'appro io CAD-Based. Si è eseguita quindi un'analisi di sensibilità
Generazione per Inviluppo di Ruote
Dentate: Appro io Classi o
Il metodo del taglio per inviluppo è utilizzato per la generazione della stragrande
maggioranzadi ruote dentate.
Ilvanotradue denti onse utivi èottenuto dunqueperinviluppodella famiglia
(in-viluppante) delle super i dell' utensile.
Figura1.1: Generazione per inviluppodi un dente
I metodi sviluppati per la determinazione della super ie del dente di una ruota
saranno dis ussi in questa sezione. L'appro io lassi o basato sulla geometria
dif-ferenziale, dis usso in [10℄, e quello di Litvin, des ritto in [3℄, ostituis ono la base
teori adella generazione per inviluppodi ruotedentate.
Sarà dis usso quindi il metodo diLitvin, più onos iuto e maggiormente utilizzato,
1.1 Appro io di Litvin
Si onsideriunaruota he ingrana onunutensile remagliera. Lesuper ideidenti
delledueparti,
Σ
1
dell'utensileeΣ
2
,dellaruotasonounal'inviluppodell'altraquindi sono super i oniugate. Siintrodu ono iseguenti sistemi diriferimento:
S
1
sistemadi riferimentosolidale all'utensile
S
2
sistemadi riferimentosolidale allaruota
S
f
sistemadi riferimentoassolutoIl sistemaha un sologrado di libertà
φ
(angolodi rotazione della ruota),in quanto la posiziones
dell'utensile è legata alla rotazione della ruota tramite il valore del raggioρ
(g. 1.2) [3℄.Figura1.2: Sistemidi riferimentoperruota e remagliera
Lasuper ie deldente dellaruota siottienedunque omeinviluppodelle
super- ideldente della remaglieraduranteil moto relativo.
Ilsistemapre edenteètraipiùsempli idaanalizzare; orasides riverà la
pro e-duradi al olotramiteunmetodogeneraleutilizzabilean henel asoin uil'utensile
non siauna sempli e remagliera. Il primopasso èlades rizionedella super iedei
parametri adella super ie.
Ingenerale il vettore posizionediun puntogeneri o sulla super ie è
parametrizza-bilemediante
(u, v)
e può essere espresso ome:r
1
(u, v) = f (u, v)
i+ g(u, v)
j+ s(u, v)
k (1.1)dove (i, j, k)sonoiversori delsistemadiriferimento. Ri avatalarappresentazione
parametri a dir
1
, il se ondo step è quellodi ri avarla nelsistemaS
2
. Ciò equivale a s ari are la inemati a relativa dell'ingranamento sull'utensile, ovvero ri avare ilmoto dell'utensile rispetto ad un osservatore solidale alla ruota. Tale osservatore
vedrà la famiglia di super i r
1
generata daian hi dei denti dell'utensile duranteil moto al variare dell'angolo
φ
, quindi vedrà la famiglia di super i inviluppanti dell'utensile. InS
2
si ha:r
2
(u, v, φ) = (x
2
(u, v, φ)
i+ y
2
(u, v, φ)
j+ z
2
(u, v, φ)
k)
(1.2)Per al olare r
2
si operano dei ambiamenti di oordinate passando prima daS
1
aS
f
epoidaS
f
aS
2
tramitematri idirotazione. La atenadisistemidiriferimentopuòesserepiù omplessaase ondadiquantisistemidi oordinatevengonoimpiegati
perdes rivere la inemati a del'ingranamento.
La famigliadi super i viene espressa nella forma:
r
2
=
g(u, v, φ)
(1.3)e rappresenta la prima delle due relazioni ne essarie per ottenere la super ie del
dente.
L'ulteriore relazioneda imporre è:
∂r
2
∂u
×
∂r
2
∂v
·
∂r
2
∂φ
= f (u, v, φ) = 0
(1.4)L'equazione (1.4)è hiamataequation of meshing edalpuntodivistasi o
rappre-sentala ondizionedinon ompenetrazioneenonallontanamento(lungoladirezione
denitadalla normalelo ale) tralesuper i deidue denti he ingranano.
Siottiene quindi il seguenteproblema matemati o:
(
r
2
=
g(u, v, φ)
dierenziale propriosulla denizione dell'equationof meshing.
Ilse ondoterminedell'equazione(1.4)
∂r
2
∂φ
halastessadirezionedelvettorev(12)
2
, he rappresentalavelo itàrelativatrailpuntoM
1
sullasuper ieΣ
1
eilpuntoM
2
sulla super ieΣ
2
rispetto ad un osservatore posto inS
2
. I puntiM
1
eM
2
oin idono e formano ilpuntodi tangenza trale super iΣ
1
eΣ
2
(g. 1.3).L'equazione (1.4) può essereris ritta nella forma:
∂r
2
∂u
×
∂r
2
∂v
·
v(12)
2
=
∂r
2
∂u
×
∂r
2
∂v
·
v(21)
2
= 0
(1.5)Ri ordando he ilprimo terminedell'equazione(1.4) rappresenta ilvettorenormale
aduna super ie N
2
=
∂r
2
∂u
×
∂r
2
∂v
(1.6)l'equationof meshing diventa
N
i
·
v(21)
i
= f (u, v, φ) = 0
(1.7)dove il vettore velo ità si ri ava da onsiderazioni inemati he e la normale nel
sistema i-esimosi ottienetramite matri idi rotazione
N
i
= L
i1
·
N1
(1.8)Sostanzialmente la direzione del vettore velo ità di stris iamentodeve appartenere
alpianotangente omunealleduesuper i,identi atounivo amentedallanormale
omune N.
Duranteiltagliodelleruotedentatepuòveri arsiilfenomenodell'interferenza(o
under utting),g. 1.4. L'appro io diLitvin permette dideterminare le ondizioni
di non interferenza tra utensile e ruota. La presenza di singolaritàsu
Σ
2
impli a il fenomenodell'interferenza ditaglio: intal aso, il vettorenormaleallasuper ie diinviluppo,in orrispondenza delle singolaritàgeometri he, è nulloe di onseguenza
lasuper ienonèregolare. La ondizionesu ienteperlapresenza disingolaritàè
datadallarisoluzionediun sistemadiequazioni ostituitodall'equationofmeshing,
lasua derivata prima e larappresentazioneparametri a delle super i utensile.
1.2 Cenni all'Appro io Invariante
La formulazione di un appro io invariante [1℄ si è reso utile per evitare l'elevato
numero di sistemi di riferimento ne essari a des rivere il problema nell'appro io
di Litvin. La metodologia di al olo di Litvin è basata su relazioni inemati he
s rittein omponentis alari,mentre quellainvarianteèbasatasuuna formulazione
vettoriale del problema. Si denis e dunque l'operatore R, he rappresenta una
rotazione rigida in forma vettoriale. La rotazione di un punto
P
, di un angoloα
rispettoadunasse,denitodalpuntoOedalversorea,èdatodalvettoreR(
p,
a, α
), on p= P − O
(g. 1.5).Figura1.5: Rotazionedelpunto
P
L'equazione heregolalarotazionedelpunto
P
nelpuntoP
ˆ
èdatadallaformula diEulero-Rodrigues(1.2).ˆ
P − O = (
p·
a)
a+ [
p−
(
p·
a)
a] cos (α) +
a×
[
p−
(
p·
a)
a] sin (α)
Latrattazionedellateoriadell'ingranamentofattamediantel'appro io
invarian-terisultamolto ompattaperlasuaprerogativaditrattareivettorinoninterminidi
omponenti,ma omeelementidiunospaziolineare: iò onsentediridurrela
ate-nadisistemidiriferimento artesianine essari nell'appro iodiLitvin. Soltantoun
sistemadiriferimentoène essario perpoter svolgerei al oli. Laformulazione
pre-vede ome nellateoria lassi alades rizionedella famigliadisuper iinviluppanti,
1.3 Svantaggi dell'Appro io Classi o
Gli appro ianalit i presentano al uni svantaggi in merito alla loroeettiva
appli- abilità:
Appro io lo ale
L'equation of meshing può essere risolta espli itamente solo in asi
(relativa-mente) sempli i. Nei asi di moto relativo generale tra utensile e sbozzato, il
sistemadi equazioni(1.3)
(
r
2
=
g(u, v, φ)
f (u, v, φ) = 0
ostituitodallafamigliainviluppanteedall'equationof meshing restaun
siste-ma impli ito,la ui soluzione viene determinata numeri amente per ottenere
singoli punti ( ampionamento) sulle super i dei denti. Il problema viene
quindi risoltolo almente,equesto non onsente diindividuare, adesempio,le
interferenze he l'utensilepotrebbeavere on altre regionidello sbozzato.
Metodi di risoluzione
Comedettosopra,moltospesso lasoluzione delsistema(1.3)deveessere
otte-nuta numeri amenteUntipi oesempiodirisoluzionedelleequazioniè
rappre-sentato dal ampionamento di un punto sulla super ie inviluppata, denito
mediantel'intersezione on una ir onferenzades ritta nello spaziodalla
op-piadivalori
(r, z)
.Laposizionedelpunto
P = (p
x
, p
y
, p
z
)
, omunealla ir onferenzaealla super- ie èfornita dallaprima delle dueequazioni s rittaintermini di omponentis alari:
p
x
= g
x
(u, v, φ)
p
y
= g
y
(u, v, φ)
p
z
= g
z
(u, v, φ)
data quindi una oppia divalori
(r, z)
denita da:( p(p
x
2
+ p
y
2
) = r
p
z
= z
p
x
2
+ p
y
2
= r
2
p
z
= z
f (u, v, φ) = 0
Leequazioniinmolti asi te ni amenteinteressanti possonoessere fortemente
non lineari.
Lasoluzione delsistemamatemati o è quindi ottenuta medianteil metododi
Newton-Raphson (o metododelle tangenti). Lari er a delle soluzioni
onver-ge on ilmetododiNewton soloseivaloriiniziali assegnati sono quelliadatti
alla ri er a delle radi i: è quindi ne essario prevedere una strategia per
l'at-tribuzione di buoni valoriiniziali (o initial-guess). Talvolta, an he on valori
initial guess appropriati, e quindi in presenza di onvergenza delle pro edure
numeri he, lasoluzione potrebbe essere errata: questo a ade, adesempio, in
orrispondenza di zone della super ie del dente prossime all'interferenza di
Generazione per Inviluppo di Ruote
Dentate: Appro io CAD-Based
LasoluzioneCADsiriferis ealmetodosviluppatomediantel'ausiliodiun software,
implementando opportuni odi i s ritti in linguaggio di programmazione Python.
L'idea di utilizzare un CAD rispetto a un software CAM ommer iale, il quale
po-trebbeinlineateori aassolvereallostesso ompito,èquellodirealizzareunambiente
dilavoro ompletamentegratuito,user-friendly epersonalizzabile.
L'idea alla base del metodo proposto è quella di generare i vani delle ruote a
par-tire dall'inviluppodelle varie posizionidell'utensile durante il moto. Lafunzione di
taglioèattribuitaalleoperazionibooleanedisottrazione, he onsentono duranteil
moto di simulare il pro esso di taglio. Talielementi verranno dis ussi neldettaglio
inseguito.
Dato he tale soluzioneCAD non èlaprose uzione diun lavoropre edentemaèun
appro io realizzato ex-novo, il primo passo è ostituito dalla s elta del software e
2.1 S elta del Framework Software
I requisiti per las elta delsoftware sono stati essenzialmente tre:
Software free:
L'obbiettivo del lavoro non è solo quello di reare un modello alternativo a
quelloanaliti omaan he dipoterlo fare on strumentitotalmente gratuiti.
Integrazione del linguaggio:
L'integrazione di un linguaggiodi programmazione nel software è
fondamen-tale; esso infatti è simile ma al ontempo diverso per quello he riguarda i
ri hiami agliambientie aglioggetti presenti nella piattaformamedesima. Un
tipi o esempioè dato dalla brevità del odi e per generare formegeometri he
sempli i.
Do umentazione:
Per molte appli azioni e per taluni CAD si è visto ome la do umentazione
relativa all'appli azionedel linguaggiodiprogrammazione al software CAD è
insu iente.
Avendo ome linea guida questi tre requisiti, trala miriadedi software CAD ne
sono stati s elti tre:
FreeCAD
Blender
OpensCAD
Il primo di questi (FreeCAD) ha soddisfatto tutte le ri hieste. Gli ultimi due non
sono stati ritenuti soddisfa enti, in quanto è s arsa la do umentazione e hanno
a-ratteristi he lontane rispetto al lassi o software CAD e agli strumenti he questo
può orire.
Il linguaggioPython è stato s elto inquantopersua natura èun linguaggiodi
pro-grammazioneadaltolivelloedèfa ilmente omprensibile,sempli eeessibile. Non
perultimobisognari ordare he nellamaggiorpartedeisoftware CAD, ommer iali
e non,è possibile implementare solo odi iin linguaggioPython.
BOOLEANE 12
2.2 Generazione per Inviluppo mediante Operazioni
Booleane
L'animazione degli oggetti nelle piattaformeCAD ommer iali è adata a moduli
interni alsoftware, questi però risultano di ilmentepersonalizzabili. Las elta del
software-free FreeCAD è appropriataan he perquesto motivo,infattiin esso non è
presente un ambiente di animazione. Il movimento degli oggetti nello spazio 3D è
stato simulato apartire dauna funzione Python.
Se laposizionediunqualsiasi oggettoèdatadauna stringadi odi e,ilmovimento
ontinuopuòesseresimulatoapartiredall'assegnazionediunparametrodimoto he
viene in rementatodi una ertaquantitàinun determinatointervallotemporale. Il
seguente odi e Python è un esempio di quanto sia sempli e generare un ubo on
l = 10
mm, on un verti e posizionato nell'origine del sdr globale, he si muove diBOOLEANE 13 ubo=Part.makeBox(10,Base.Ve tor(0,0,0)) def mov(): global i i+=1 ubo.Pla ement=App.Pla ement(App.Ve tor(i,0,0), App.Rotation(App.Ve tor(0,0,1),0))
#TIMER PER IL MOTO
timer = QtCore.QTimer()
timer.timeout. onne t(mov)
timer.start(1)
La quinta riga rappresenta la posizione dell'oggetto, ad essa però non è attribuito
un valore ostante ma un parametro il ui in remento è regolato dalla quarta riga
i+ = 1
mm. La funzione di moto mov inne è ollegata ad un timer il qualegarantis e il link tra l'in remento di spazio e l' in remento temporale. Il moto
prosegue indenitamenteo no a quando non è assegnato il omando
timer.stop()
. Il omandodiposizioneèregolatotramitela osiddettarappresentazioneasse/angolodegli oggetti,infattiil moto è ompletamentedenitoquando sono noti:
Vettore di traslazione: App.Ve tor(i,0,0)
Vettore dell'asse di rotazione e relativo angolo:
App.Rotation(App.Ve tor(0,0,1),0)
Ovviamentegrazieall'utilizzodeipa hettimath diPythonèpossibileimplementare
funzioni di moto frutto di ombinazioni di funzioni elementari, ad esempio è
pos-sibile appli are funzioni trigonometri he. Denita quindi la pro edura per eseguire
un'animazionedel moto nelsoftware CAD, il se ondo step è denire un'operazione
booleana tradue oggetti inmovimento.
Le operazioni booleane (sottrazione, addizione, intersezione) sono spesso utilizzate
inambiente CAD per ottenere forme omplesse a partireda solidielementari ome
ing. 2.1.
Il software FreeCAD èbasato sull'OpenCas ade Te hnology, unapiattaformadi
sviluppo per software CAD. Le operazioni booleane sono regolate tramite il BOA
(Boolean Operation Algorithm). Tale algoritmorispetto a quellisviluppati in
soft-ware ommer iali ome Catia è estremamente pre iso in quanto al olai volumi di
BOOLEANE 14
Figura2.1: Operazione booleana disottrazione trauna sfera e due ilindri
Datalanaturadiquesto lavoroedato hesitratterànelseguitolasimulazionedella
generazione di ruote Beveloid, si è s elto di sa ri are i tempi di al olo a favore
della pre isione geometri a deisolidiottenuti.
Prima di dis utere del taglio di ruote dentate, si vuole mettere in evidenza un
esempiosempli eed espli ativo delproblema.
Si hanno nello spazio CAD due elementi di forma geometri a elementare: un ubo
e un ilindro. Immaginando he un verti e del ubo (origine del suo sdr) sia
posi-zionatonell'originedelsdr globale,e he il ilindrosiaspostatorispetto aquesto di
una erta quantità, si vuole assegnare al ilindro la apa ità di tagliare il ubo. In
breveil ilindroassolverà allafunzioneditool(outensile)eil uboa quelladiblank
(o sbozzato). Nella g. 2.2 è ragurata la rispettiva posizione di ubo e ilindro.
L'operazione booleanaanimatadi sottrazione èeseguita all'internodi una funzione
Python simileaquellapre edentementedes ritta. Quandoil ilindrointerferis e on
il ubo inizianole operazioni di sottrazione; vi è una sottrazione per ogni aumento
del parametro di moto, dunque il ubo al terzo step sarà dato dal ubo al passo
pre edente meno il ilindro,nella posizione o upata daquesto al terzo passo. Così
fa endo non si hasolol'animazione delmoto, mala reazione dinuovo oggetto he
può essere esportato inun altro software e riutilizzato.
Nel aso preso in onsiderazione il ilindro interse a in diagonaleil ubo, quindi il
vettoredi traslazione assumela seguente forma:
BOOLEANE 15
Figura2.2: Vistadi ubo e ilindrosul piano x-y
Figura2.3: Cubo allane dell'operazione ditaglio
Come sipuò notaredalla g. 2.3, sulla super ielavorata del ubo vi sonodelle
linee verti ali: queste rappresentano le linee di ontatto tra i due oggetti durante
l'operazione di generazione. Se le linee fossero molto tte signi herebbe he si è
utilizzatounaumentodelparametrodimotobassorispettoallalunghezza
aratteri-sti adeltrattodatagliare: peresempioseladiagonaledel ubofosselunga
200
mm e il parametro di moto fosse in rementato dii+ = 1
mm, allora le linee sarebbero molto vi ine tra loro. In questo aso si è s elto di far avanzare solo il ilindro perottenereun ubotagliatolungoladiagonale,inrealtàlastessaoperazionepuòessere
eseguita ombinandoilmotodiavanzamentolungol'assex deltool onquellolungo
l'asse y (in verso negativo) del blank. Ovviamente l'in remento dei due
DENTI DRITTI 16
entrambi gli oggetti a muoversi, in quanto il software deve gestire l'in remento di
due parametri di moto e mantenere in memoria le rispettive posizioni. Per questo
motivola inemati arelativadelpro essoèstatas ari atainteramentesull'utensile,
e ilguadagno in terminiditempi di ese uzione èrisultato essere ir adel 50%.
Tutte lesimulazioni sonostate eettuate mantenendo losbozzato fermoe
al olan-dole funzionidi moto dell'utensilerispetto a quel sistemadi riferimento. Gli input
all'appro io CAD-Based sono:
Modello CAD dello Sbozzato (Blank)
Modello CAD dell'Utensile (Tool)
Funzioni di Moto dell'Utensile
In remento del Paramtero di Moto
2.3 Esempio: Generazione di Ruote Dentate
Cilin-dri he a Denti Dritti
Dopoaveresaminato il asi banaledeltaglio diun ubodaparte diun ilindro,ora
sivuoleesaminarelagenerazionediruote dentate on ilmetodode ritto. Nella
pri-mapartesarà esaminatoil aso diruotedentate ilindri he adenti dritti,inquanto
si vuole partire da un aso sempli e ma più omplesso rispetto al pre edente, per
poi arontare il problema degli ingranaggi beveloid.
Il taglio per inviluppo di ruote dentate avviene tra un utensile e uno sbozzato
i-lindri o. L'utensile è ostituito da una porzione di dentiera (o dentiera) on denti
a an hi dritti. Grazie al moto relativo tra i due oggettilo sbozzato assumerà alla
ne delpro esso di taglioil aratteristi oprolo adevolvente.
Per motivi die ienza omputazionalei modelliCAD diutensile e di sbozzato
hanno spessori di po hi mm, per permettere una rapida ese uzione del pro esso e
poterveri arela orrettezzadelmodello reato. Losbozzato ilindri ohaunraggio
pari a
35
mm. Al tempot = 0
il entro di questo è ssato nell'origine degli assi. Laposizione dell'utensiletiene ontodelfatto he deve esser iuna learan e (gio odi testa) tra il fondo del dente dell'utensile e lo sbozzato pari a
0.25m
. Il modulom
s elto per la generazione è pari a2.5
mm, di onseguenza il prolo deldente haun'altezza pari a
2.5m
mentre il passo tra due proli onse utivi omologhi è dato dap = mπ
. L'addendum e il dedendum nella dentiera normalizzata sono entrambi uguali a1.25m
. La dentiera in questo aso non haraggi di ra ordo. RiassumendoDENTI DRITTI 17
Figura 2.4: Prolo della remagliera
Figura2.5: Sbozzato Cilindri o
modulo
m = 2.5
mm altezzah = 6.25
mm passop = 7.85
mm learan ec = 0.625
mm addendumh
a
= 3.12
mm dedendumh
f
= 3.15
mm angolodi pressione
α = 20
degNellagura2.6sonorappresentateleposizionire ipro hediutensileesbozzatonello
DENTI DRITTI 18
Figura2.6: SbozzatoCilindri oe Dentiera
Leequazionidimotosonogovernatedalla ondizione diingranamento,quindila
velo itàperiferi adellosbozzatosulla ir onferenzaprimitivadeveessereugualealla
velo itàdiavanzamentolungol'assex dell'utensile,inmodotaledaavere ondizione
dipuro rotolamento. Ne onsegue quindi he :
ω
blank
=
V
tool
R
p
(2.1)
dove
R
p
è il raggio della ir onferenza primitiva dello sbozzato pari a32.5
mm, in quantoèlegatotramitelaseguenterelazionealnumerodeidentidatagliare(z = 26
) e almodulo:R
p
m
=
z
2
(2.2)Dunque la dentiera avanza on una velo ità pari a
V
p
mentre ilblank ruota attorno all'assez on una velo ità regolata dall'equazione(2.1).Comegiàannun iatonellasezionepre edentelasimulazionedelpro esso èeseguita
mantenendofermolosbozzatoeassegnandoilmotoall'utensile. Iltempoimpiegato
pergenerareilvanodellaruotadentatapassadai26se ondi onentrambiglioggetti
in movimento ai ir a 10 on il solo utensile in movimento. Le g. 2.7, 2.8 , 2.9 e
2.10si riferis onoallasimulazione on entrambiglioggettiinmovimento,mentre la
g. 2.11 siriferis e alla simulazione on il soloutensile in movimento.
Nell'appro - ioCAD-Based sonostateimplementatelefunzionidimotodell'utensile,rispettoal
sistema di riferimento solidale allaruota, ridu endo la simulazioneall'assegnazione
diun soloparametro di moto. Non èpossibile,all'inizio delpro esso, prevedere un
valore ottimale del parametro di moto, l'assegnazione diquesto deve basarsi su iò
he si vuoleottenere allane delpro esso. In questo aso (dentiera on due denti)
DENTI DRITTI 19
nell'ordine dei mi rometri,signi a ottenere maggiorepre isione maan he
maggio-ri tempi di simulazione. La pre isione del dente tagliato è garantita oltre he da
opportuni in rementi del parametro di moto an he e soprattutto dall'utilizzo delle
operazionibooleane,dato he in modellazione 3D sono tragli strumentipiù pre isi
per la generazione di forme omplesse. Nelle immagini seguenti sono rappresentati
al uni parti olari della simulazione eettuta on un in remento del parametro di
moto pari a
i+ = 0.9
mm.DENTI DRITTI 20
Figura2.8: Denteottenuto allane del taglio
DENTI DRITTI 21
Le super i generate del dente possono essere onfrontate on la funzione
ana-liti adell'evolvente per lavalutazione delle dierenzetra l'appro io CAD-Based e
quelloanaliti o.
Figura 2.10: Vano generato dadentiera on un soloprolo
Figura2.11: Vano generatodadentiera on unsoloproloassegnandola inemati a
all'utensile
Nelleg. 2.10e 2.11 l'utensilepresenta un raggio dira ordo ditesta sia destro
he sinistro pari a
0.4
mm. L'errore massimo, ovvero la distanza al olata lungo la direzione della normale lo ale, rispetto alla funzione analiti aè inferiore a1
µm
, dunque l'appro io CAD-Based sarà testato perla simulazionedellagenerazione diGenerazione per Inviluppo di Ruote
Dentate Beveloid: Appro io
CAD-Based
L'appro io CAD-Based èstato utilizzatoperlagenerazionedeivanidiun pignone
e diuna ruota dentata deltipo beveloid.
3.1 Ruote Dentate Beveloid
Leruotedentatebeveloid,o oni alinvolute,sonoutilizzateprin ipalmentein ampo
navale (g. 3.1) e automotive, ma sono diventate oggetto di interesse in ampo
aeronauti o.
Figura 3.1: Trasmissione per appli azioninavali
Furono sviluppate per risolvere il problema di a oppiamenti di ingranaggi on
assi non paralleli aventi pi oli angoli (
< 20 deg
) [8℄, inoltre il loro utilizzo elimina il problema del ba klash, data la rastremazione dei denti. Le ruote beveloid sonoottenute in linando il reatore rispetto allosbozzatodi un angolodi eli a
ψ
e diun angolodi onoδ
(g. 3.2).Figura3.2: Generazione diuna beveloid generi a tramite reatore
Al variare di
δ
eψ
vengono generatidiversi tipidiruote:
δ 6= 0
eψ 6= 0
genera una ruota beveloid obliqua
δ 6= 0
eψ = 0
genera una ruota beveloid adenti dritti
δ = 0
eψ 6= 0
genera una ruota ilindri aa denti eli oidali
δ = 0
eψ = 0
genera una ruota ilindri aa denti drittiSe il reatore è ilmedesimo leruote beveloid possono ingranare onuna altritipidi
ruote ome ilindri he,eli oidali, remagliere,vitesenza nee ovviamente onaltre
beveloid. Inoltre, se a oppiate tra loro, il verti e del ono primitivo di una ruota
non deve ne essariamente oin idere on quello delle altre, ome su ede nel aso
dellenormaliruote oni he. Glieettidovutiaderroridimontaggiononinuenzano
la orretta trasmissione del moto; la diretta onseguenza di iò è la possibilità di
spostare una delle due ruote senza avere eetti sul rapporto di trasmissione.
Il dente di una beveloid può essere pensato ome il dente di una ruota ilindri a a
uivengonoasso iativaloridi orrezione positivaenegativalungolasua fas ia
(lar-ghezza). Ilproloindividuatodallasezionedeldenteametàlarghezzaha orrezione
nulla,iproliverso iltoe hanno orrezionenegativaequelliverso l'heel positiva(g.
3.3). La orrezione dei proli ostituis e una limitazione alla larghezza delle
beve-loid, dato he sipuò avere ome ondizione limiteinterferenza verso iltoe e dente a
punta verso l'heel.
La larghezza difas ia massimaottenibileè quindi data dalla relazione(3.1)
L
max
=
x
max
−
x
min
Figura3.3: Sezione diuna ruotabeveloid
dove
x
max
è ilvalore di orrezionelimite peravere dentea punta,x
min
quellolimite peravere interferenzaeδ
ilvaloredell'angolodi ono. Datiivantaggidelle beveloid, nelsettore aeronauti osi è iniziatoa pensare aun loropossibile utilizzo.3.2 Ma rogeometria di Base dell'Ingranaggio
Beve-loid
I parametri dibase per ladenizione della ma rogeometriadiun ingranaggio
beve-loidper assiin identi(g. 3.4) sono: angolotra gliassi erapporto di trasmissione.
L'ingranaggiobeveloid analizzato inquesto studioè aratterizzato da:
Angolo tragliassi:
33 deg
Numero didentidel pignone:
z
p
= 37
Numero didentidella ruota:
z
g
= 84
(Rapporto di trasmissione:
z
p
z
g
= 0.44
L'ingranaggio beveloid in esame è attualmente in fase di sviluppo presso il DICI
(Dipartimentodi Ingegneria Civilee Industriale) dell'Universitàdi Pisa in
ollabo-razione on GE Avio S.p.A.
.
3.3 Modello CAD del Pignone
Il modello CAD del pignone è generato a partire da un odi e Python, he è
sta-to reso totalmente parametri o. Questo omporta una ompleta generalizzazione
dell'oggetto, infatti tramite la variazione dei parametri si può rendere il pignone
ilindri oo tron o- oni o, on angolidi oni itàelevati(g. 3.5).
HA
HR
HT
CT
TT
TR
TA
Z
X
Figura3.5: Prolo utilizzatoper lagenerazione delmodello CAD delpignone
Nel odi esonostatiinseritideipuntidi ontrollodelprolodelpignoneinmodo
darealizzare lageneralizzazione ri hiesta. Nellag. 3.5è riportato il prolo
utiliz-zato per la generazione del pignone. Le oordinate (in mm) dei punti di ontrollo
sono : TA (x,z): (0.00,226.12) TR (x,z): (37.91, 226.12) TT (x,z): (44.04,226.12) CT(x,z): (44.04, 226.12) HT(x,z): (44.04,244.12) HR(x,z): (37.91,244.12) HA (x,z): (0.00, 244.12)
0.0001 deg
: èdifattounpignone ilindri o. Al proloèstatoappli atounangolodirivoluzionedi
360 deg
attornoall'assez. Sonoriportatiper ompletezzaleproiezioni suipiani z-x ex-y (g. 3.63.7) delmodello CAD ottenuto.Figura 3.6: Proiezione delpignone sulpiano x-y
.
Figura3.7: Proiezione del pignonesulpiano z-x
3.4 Modello CAD della Ruota
Per la generazione del modello CAD della ruota è stato utilizzato lo stesso prolo
delpignone, modi ando opportunamentele oordinatedeipuntidi ontrollo.
HA
HR
HT
CT
TT
TR
TA
Z
X
Figura3.8: Proloutilizzatoperla generazionedelmodelloCAD della ruota
Le oordinate(inmm) deipunti di ontrollo sono :
TA (x,z): (0.00,213.96) TR (x,z): (85.81, 213.96) TT (x,z): (90.94,210.63) CT(x,z): (99.66, 224.05) HT(x,z): (100.51,225.88) HR(x,z): (95.61,229.06) HA (x,z): (0.00, 229.06)
Rispettoal modellodelpignonela oni itàèmoltopiù evidente, infattièpropriola
oronaafarsi ari odituttala oni itàdell'ingranaggio. Alproloèstatoassegnato
Figura3.9: Proiezione della ruota sulpiano x-y
3.5 Modello CAD dell'Utensile
L'utensile per la generazione del vano è ostituito da un dente di remagliera, he
attraverso opportune funzioni di moto taglia il vano sulla ruota e sul pignone. Il
denteè generato apartire da uno s ript Python he importato su FreeCAD genera
prima il prolo e poi attraverso la funzione prisma il modello 3D. Per veri are la
orrettezza delmodello si ès elto di reare un vano e onfrontarlo on quello
otte-nuto dall'appro io analiti o. Qualora si volesse generare la remagliera ompleta,
iò può essere fatto attraverso un parametro (presente nel odi e) he rea opie
deldenteele aan a infunzione delvalore delpasso, ottenendo inquesto modola
possibilitàdi generare più vani(quindi denti) on le stesse funzioni dimoto.
Lo s ript è ompletamente parametrizzato in modo tale da poter permettere
fa il-mentelamodi adelmodello.
I parametri sono :
Altezza deldenteh
= 6.65
mm Passo normale
p
n
= 6.99
mm Angolo delCoast Side
α
c
= 23.25 deg
Angolo delDrive Side
α
d
= 23.15 deg
Raggiodi Ra ordo delCoast Side
r
c
= 0.45
mm Raggiodi Ra ordo delDrive Side
r
d
= 0.45
mm Larghezza difas ia
t = 30
mmFigura 3.11: Grandezze aratteristi he dell'utensile
L'origine del sistema di riferimento lo ale deldente è posto sulla linea di
riferi-mentoea
p
n
/4
rispettoaian hideldente. Altempot = 0
ilsdr lo ale oin ide on quelloglobale. Nella gura 3.12 è rappresentato in assonometria il dente (utensile)usato peril taglio.
3.6 Posizione rispetto al sdr globale
Le posizionidei denti di pignonee ruota sono des ritte in terminidi posizionidelle
origini dei rispettivi sdr lo ali rispetto a quello globale. Nelle g. 3.13 e 3.14 è
illustrata la poszione al tempo
t = 0
, dove l'asse x è di olore rosso, l'asse y è di olore verde e l'asse z è di olore blu.PARAMETRO DI MOTO 33
3.7 Funzioni di Moto dell'Utensile e In remento del
Parametro di Moto
Permigliorarel'e ienza omputazionale dellasimulazionesiès elto dis ari are il
moto relativosul soloutensile. Essendo le funzioni di moto più omplesse ei CAD
degli oggetti da tagliarepiù grandi in termini didimensioni, ilmiglioramentodelle
prestazioniè an orapiù mar ato rispettoal aso delleruote dentate ilindri he. La
famigliadi super i utensile si ottiene variandola posizionee l'orientazione
dell'u-tensileattraverso un singoloparametrodimoto:
φ
p
perilpignoneeφ
g
perlaruota. La posizione dell'utensile durante il moto è des ritta dalla seguente trasformazioneane:
p
′
(φ) = R(φ)p + t(φ)
(3.2)
dovepèilvettoreposizionediun generi opuntodell'utensile(peresempiol'origine
delsdr lo ale),
R(φ)
èla matri edi rotazione in funzione delparametro dimotoφ
et(φ)
èilvettoretraslazione. Lefunzioni dimoto sonostate ottenute direttamente in forma matri iale1
. La posizione viene quindi al olata dal CAD al variare del
parametro dimoto. Per ompletezza viene riportatoun estrattodal odi e in ui è
implementatalarelazione(3.2)nellasuaformapiùgenerale. Comesivede,FreeCAD
ri hiedeunarappresentazionebasatasumatri iditrasformazioneomogenee:
r
ij
èil generi o elemento della matri e dirotazioneR
et
i
quellodelvettore di traslazionet
. m=App.Matrix( r11,r12,r13,t1, r21,r22,r23,t2, r31,r32,r33,t3, 0,0,0,1) Dente.Pla ement=App.Pla ement(m)Leesepressionidelle omponenti
r
ij
et
i
dipignonee ruotasonoriportatein Appen-di eA.L'in rementodelparametrodimoto omegiàdettodipendedallapre isioneri hiesta. Nelleg. 3.15,3.16,3.17e3.18sonoriportatileimmaginideivaniottenuti
dopoil pro esso ditaglio per inviluppo.
1
PARAMETRO DI MOTO 34
Figura3.15: Vistadel vano della orona
PARAMETRO DI MOTO 35
3.8 Campionamento delle Super i Ottenute
Tramite l'appro io CAD-Based si ottiene un modello della ruota dentata allane
delpro essoditaglioperinviluppo, he puòessereesportatoinunqualsiasisoftware
dimodellazione o dianalisi.
La orrettezza della metodologia proposta è validata a partire dal onfronto on
l'appro io analiti o. I denti di pignone e ruota sono stati generati on l'appro io
lassi ograzieall'utilizzodelsoftwareWolfram-Mathemati a 2
. Lesuper ideidenti
sonostate ampionateinterse andol'oggetto onuninsiemedi ir onferenzeadiversi
valoridi(r,z) . Visono13 ir onferenzelungoilprolodeldentee11lungolafas ia,
perun totale di143.
Figura3.19: Vistasul piano
x − y
dell'insieme delle ir onferenzeFigura3.20: Vista sulpiano
y − z
dell'insiemedelle ir onferenze 2Nelle g. 3.19 e 3.20 sono riportate due viste dell'insieme delle ir onferenze
usate per il ampionamento. L'intersezione tra queste e il modello CAD del vano
generatofornis e una grigliadipunti. Pereseguire orrettamenteil ampionamento
èstato sviluppatoun ulteriore odi ePython, implementatosul software FreeCAD.
Glistep peril ampionamentopossono essere osì suddivisi:
Generazionedelle ir onferenze on valoridi
(r, z)
diversi Intersezione di tutte le ir onferenze on le super i dei denti generate on il
metodo
CAD − Based
Cal olodelle oordinate(x,y,z) deipuntirisultantidall'intersezione
Cal olo delle distanze tra punti omologhi delle super i generate on i due
appro i(eettuato on ilsoftware di al olo
Matlab
)L'operazionedi ampionamentoèadataalleoperazionibooleanediintersezionetra
il set di ir onferenze (
143
) e ilvano delmodello CAD. L'intersezione trauna linea e un oggetto solido è possibile grazie alla struttura del BOA (Boolean OperationAlgorithms), ostituente labase geometri a del software FreeCAD. L'operazione di
intersezionetraunsolidoeunalineanonèpossibileeseguirlaintuttiisoftwareCAD,
a ausa della struttura dell'algoritmo di al olo usato per le operazioni booleane.
Figura 3.21: Punti ampionati sulla super iedel vano del pignone
Figura3.22: Punti ampionatisulla super ie delvano della ruota
In g. 3.21 e 3.22 si può osservare il risultatodel ampionamentoeettuato sul
pignone e sulla ruota. Alla ne della pro edura sono state al olate le oordinate
3.9 Veri a dei Risultati Ottenuti
Lagrigliadipuntièstataanalizzatagrazieall'utilizzodelsoftwaredi al oloMatlab.
Sièfattouso diunbreve odi e, he al olalemutuedistanze tralagrigliadipunti
ottenuta on l'appro io lassi o (vedi ap. 1) e quella ottenuta on l'appro io
CAD − Based
. Si ome i due insiemi dipunti sono ottenuti on glistessi valoridi(r, z)
allora ilpunto generi oP
an
, di oordinate(x
an
, y
an
, z
an
)
, e il puntoP
CAD
, di oordinate(x
CAD
, y
CAD
, z
CAD
)
, gia ionosulla stessa ir onferenza a valori diversi
dell'angolo
θ
.Le due griglie dipuntirisultano sfasate di un erto angolo. Per riallinearle,e poter
al olareledistanze, siidenti ailpunto entralediognigrigliaesi al olailvalore
dell'angolo piano he insiste tra essi. Il punto entrale della griglia è ben denito
dato heèformatada13puntilungoilproloe11lungolafas ia. Cal olatol'angolo
tra i punti entrali, he gia ionosulla stessa ir onferenza, si appli a una matri e
dirotazione attorno all'asse
z
allagriglia deipunti CAD.Allineate le griglie si al olano le mutue distanze (eu lidee) he sussistono tra
P
an
e
P
CAD
(la distanza tra i due punti entrali è ovviamente zero). Ottenuti i
143
valori delle distanze si pro ede a al olarele grandezze utili allastima della bontàdei risultati ome il valore massimo della distanza,
D
max
, e il Root Mean Square Deviation (RMSD), o radi equadrata dello s arto quadrati omedio, denita dallaformulaseguente
RMSD =
r
P
n
i=0
(d
i
− ¯
d)
2
n
(3.3)dove
d
i
sono le distanze,d
¯
è la media aritmeti a en = 143
è il numero di valori. I valori diD
max
e RMSD sono stati al olati sia per il an o attivo he per il ra ordo, in modo da dierenziare le due zone del an o del dente. I risultati alvariare dell'in rementodel parametro dimoto sono riportatinelle tab. 3.1, 3.2, 3.3
MOTO 40
3.10 Analisi di Sensibilità all'In remento del
Para-metro di Moto
Come già a ennato l'in remento delparametro di moto regola la qualità della
su-per ieottenuta eiltempodiese uzione. Nonesistea prioriun parametrodi moto
ottimale in quanto il suo in remento è strettamente orrelato alla grandezza della
super ie da tagliare e alla forma he assumono le funzioni di moto. Essendo una
simulazionediun moto ontinuoquindiuna sua dis retizzazioneinterminidi
in re-mentodis retodelparametro,lasuper ieottenutasaràpiùomenopre isarispetto
aquella analiti a.
Considerando ilpignone generato on un in rementode isamentealto, peresempio
∆φ
p
+ = 0.1
rad,ilrisultatoèdatodaunasuper iequasi ontinuasulan oattivoe sfa ettata sulra ordo ome in g. 3.23.
MOTO 41
Lagenerazionediun buon ra ordodelvano delpignonene essita diin rementi
del parametro dimoto minori di
∆φ
p
+ = 0.1
rad, ome ing. 3.24Figura3.24: Ra ordo di base delvano delpignone on
∆φ
p
+ = 0.00625
radOvviamenteladistanzatraipunti ampionatisulra ordo on ilmetodo
CAD-Based e quelli on il metodo analiti o è maggiore rispetto a quelli ampionati sul
an o attivodeldente.
L'analisidisensibilitàalparametro dimotoèstata eettuataprendendoin
onside-razioneuno spettro di valori, onsiderandoan he ipossibili tempi diese uzione del
pro esso. Ognilatodelvano dipignoneeruota èstato analizzato(rispetto aquello
generato on il metodoanaliti o)alvariaredel parametro.
Nelle tab. 3.1, 3.2, 3.3 e 3.4 sono riportati i risultati dell'analisi di sensibilità al
MOTO 42
Tabella3.1: Analisidisensibilitàsul Coast-Side delvano delpignone
Fian o Attivo Ra ordo
∆φ
p
(rad)D
max
(µm
) RMSD (µm
)D
max
(µm
) RMSD(µm
) Tempo diCal olo (s)0.1 15.6 3.6 107.5 31.8 10
0.05 3.8 1.1 18.5 4.5 25
0.025 1.5 0.35 7.0 1.7 63
0.0125 0.23 0.073 3.1 0.56 230
0.00625 0.09 0.021 0.45 0.12 760
Tabella 3.2: Analisidisensibilitàsul Drive-Side delvano del pignone
Fian o Attivo Ra ordo
∆φ
p
(rad)D
max
(µm
) RMSD (µm
)D
max
(µm
) RMSD(µm
) Tempo diCal olo(s)0.1 14.5 3.5 106 31.5 10
0.05 3.8 1.1 18.5 4.5 25
0.025 1.4 0.32 6.4 1.7 63
0.0125 0.33 0.09 2.1 0.56 230
MOTO 43
Tabella3.3: Analisidi sensibilitàsulCoast-Side del vano della Ruota
Fian o Attivo Ra ordo
∆φ
g
(rad)D
max
(µm
) RMSD (µm
)D
max
(µm
) RMSD(µm
) Tempo diCal olo (s)0.044 6.8 1.7 43.3 7.2 44
0.022 4.6 1.3 16.5 2.1 95
0.011 4.5 1.2 10.7 1.1 385
0.0055 4.4 1.1 7.6 1.1 1020
0.00275 4.3 1.05 7.5 0.71 2760
Tabella3.4: Analisidi sensibilitàsulDrive-Side delvano della Ruota
Fian o Attivo Ra ordo
∆φ
g
(rad)D
max
(µm
) RMSD (µm
)D
max
(µm
) RMSD(µm
) Tempo diCal olo (s)0.044 8.3 2.3 35.2 5.2 44
0.022 5.0 1.3 10.5 1.8 95
0.011 5.0 1.2 7.6 0.73 385
0.0055 4.5 1.1 7.5 0.62 1020
MOTO 44
Nellegure3.25,3.26,3.27e3.28èriportatalavariazionedella
D
max
,infunzione dellavariazionedell'in rementodelparametrodimoto,perian hiattividipignonee ruota.
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
∆φ
p
0
2
4
6
8
10
12
14
16
D
m
a
x
Figura3.25: Analisidisensibilità sulan o attivodel Coast-Side delpignone
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
∆φ
p
0
5
10
15
D
m
a
x
MOTO 45
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
∆φ
g
4
4.5
5
5.5
6
6.5
7
D
m
a
x
Figura3.27: Analisidi sensibilitàsulan o attivo delCoast-Side della ruota
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
∆φ
g
4
4.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8
8.5
D
m
a
x
3.11 Commento dei Risultati Ottenuti
I risultati ottenuti diminuendoi parametri dimoto ,
∆φ
p
per il pignonee∆φ
g
per la ruota, sono riportati nelle tabelle 3.1, 3.2, 3.3 e 3.4. I valori di∆φ
p
sono stati assegnati a partire da0.1
rad, onsiderando he l'inviluppoasso iato determina un vano henon sidis ostae essivamentedaquelloanaliti o. Unvaloresuperiore,an- he di un ordinedi grandezza,a
0.1
rad generail negativodella formadell'utensile, dato he ilmoto ontinuoè simulato apartire dall'in rementodi∆φ
p
.Lesimulazionisu essivesonostateeseguite dimezzandoilvalorepre edentedel
pa-rametrodimoto. Dal quartostep sinota ome la
D
max
delpignonesiasulra ordo he sul an o attivo sia minore di1
µm
, quindi i due appro i generano in questo aso due vani identi i. La RMSD, he rappresenta un indi e della dispersione deldato attornoal suo valormedio, siattesta suvalorisimili onfermando quanto
det-to. La pre isione ri hiesta ei tempi di al olo, he aumentano aldiminuire di
∆φ
p
, ne essari ainidella simulazionedevono essere valutatiinmodotaledaidenti arel'in remento di
∆φ
p
ideale. Nel aso del pignone è∆φ
p
+ = 0.0125
rad, dato he garantis e unabuonapre isioneeitempisono inferioririspettoalvaloresu essivo.Gliin rementidi
∆φ
g
sonostatiassegnati apartiredaquellidelpignonedividendoli peril rapporto ditrasmissione dell'ingranaggio.La oronaal ontrariodelpignonerisultaavere
D
max
eRMSD
maggiori,questo è ausatodallazonadira ordoall'heel(g.3.15). Lospaziospazzatodall'utensileinquellazona dellaruotaèmaggiorerispettoaquelloaltoe(g. 3.16)aparitàdi
∆φ
g
, ausandominorepre isioneemaggiores ostamentorispettoal asodelpignone. LaD
max
sul an o attivo risulta omunque essere inferiore ai5
µm
, he è il valore ditolleranza ri hiesta per ruote beveloid sul an o, mentre sul ra ordo è inferiore a
8
µm
(taleda non in iareassolutamentela rigidezzadella base deldente). I tempidi al oloperiltagliodellaruotasonomaggiori 3
,a ausadellagrandezzageometri a
dell'oggetto. Infattiperogniavanzamentodell'utensileil al olatoredevemantenere
in memoria la forma,più grande rispetto al pignone, del passo pre edente.
Dall'a-nalisidisensibilitàsinota omeidueparametri al olatide res anosempre;questo
suggeris elapossibilitàdiabbassareilparametrodimotoperraggiungere ondizioni
3
Tutte le simulazioni di taglio sono state eseguite su Personal Computer on le seguenti
aratteristi he:
Pro essore: IntelCorei74510U2.6GHz
similiaquelle delpignone.
L'appro io CAD-Based rispetto alle metodologie des ritte nel ap.1 presenta
al uni vantaggi:
È un appro io globale al problema del taglio. Infatti generando la forma
CAD dell'utensile ompleto per il taglio di tutta la ruota dentata è possibile
veri arne eventuali interferenze. Se l'utensileinterferis e on la ruota inuna
zona lontana da quella di ontatto, questo può essere fa ilmente notato in
quantol'utensileeseguirà lalavorazionean he inquellazona dello sbozzato.
L'appro ioCAD-Based permettedirisolvereiproblemilegatiaimetodidi
ri-soluzionedelle equazioni ostituentil'appro io analiti o. Ovviamentein
que-sto asoiproblemilegatiall'appli azionedelmetododiNewton-Raphson, ome
la ne essità di sviluppare strategie per l'assegnazione dei valori iniziali, non
sussistono.
Il problema prin ipale dell'appro io CAD-Based è legato ai tempi di al olo.
Sono fortemente inuenzati dalla natura delle operazioni booleane, essendo molto
pre isenel al olodelvolume diinterferenza. Lapre isione geometri a dell'oggetto
risultante ondizionaladuratadeitempidi al olo, omesipuò notarenelletabelle
Con lusioni e Sviluppi Futuri
L'appro io CAD-Based onsente di simulare il pro esso di taglio per inviluppo a
partire dall'implementazione di un odi e Python sul software FreeCAD. L'utilizzo
di un odi e ha permesso la ompleta generalizzazione dell'appro io, utilizzatosia
per la generazione diruote dentate ilindri he a denti dritti sia per quelle beveloid.
La simulazione del taglio ha interessato nel aso delle ruote beveloid solo un vano:
iò è dovuto alla ne essità di validare l'appro io quindi di onfrontare i an hi e
i ra ordi del vano on quelli ottenuti dai modelli analiti i. Qualora fosse
ne essa-riotagliareinmodo ompleto laruota sipossono aggiungere altridenti all'utensile.
Questopassaggioèstatoprevistonel odi eeparametrizzatoinfunzionedelnumero
didenti he si vuolegenerare.
I risultati ottenuti sono stati onfrontati on l'appro io analiti o fornendo buoni
ris ontri. Nel aso delpignonele distanze traidue appro isono inferiori al
mi ro-metro, on tempidi al olodella simulazione ontenuti.
Nel aso della ruota le deviazioni sono maggiori, main ogni aso ben inferiori alle
tolleranze di lavorazione (retti a) tipi amente previste. I tempi di al olo sono
maggioriperla ruota rispetto alpignone. L'appro io CAD-Based sembra dunque
orire una buona alternativa ai metodi analiti i dal punto di vista della
pre isio-ne geometri a. Un aspetto dell'appro io CAD-Based he deve essere migliorato è
quello relativo ai tempi di al ol,o legato prin ipalmente all'utilizzo di operazioni
booleane di sottrazione. Non volendo pres indere dalle booleane, he garantis ono
alta pre isione geometri a in ambiente CAD, si deve modi are l'algoritmo he ne
regolail omportamentotrovandoisettings idealipergarantire pre isionee
riduzio-ne deitempi. Unastrada alternativapotrebbeessere rappresentata dall'utilizzodei
voxel-systems, he permettono di denire entità volumetri he attorno a punti nello
spazio e sono molto utilizzatinelle animazioni omplesse, permettendo interessanti
Le espressionidi
r
ij
et
i
peril pignonesono:
r11 = 0.999999cos(∆φ
p
)
r12 = −6.445609 · (10
(−7)
)cos(∆φ
p
) + 0.999317sin(∆φ
p
)
r13 = 0.000017cos(∆φ
p
) + 0.036930sin(∆φ
p
)
r21 = −0.999999sin(∆φ
p
)
r22 = 0.999317cos(∆φ
p
) + 6.445609 · (10
(−7)
)sin(∆φ
p
)
r23 = 0.036930cos(∆φ
p
) − 0.000017sin(∆φ
p
)
r31 = −0.000017
r32 = −0.036930
r33 = 0.9993178
t1 = 41.2410999cos(∆φ
p
) − 0.000026(∆φ
p
cos(∆φ
p
)) + 41.184852(∆φ
p
sin(∆φ
p
))
t2 = 41.184852(∆φ
p
cos(∆φ
p
)) − 41.241099sin(∆φ
p
) + 0.000026(∆φ
p
sin(∆φ
p
))
Le espressioni di
r
ij
et
i
per la orona sono:
r11 = 0.838680cos(∆φ
p
)
r12 = 0.020113cos(∆φ
p
) − 0.999317sin(∆φ
p
)
r13 = −0.544252cos(∆φ
p
) − 0.036930sin(∆φ
p
)
r21 = 0.838680sin(∆φ
p
)
r22 = 0.999317cos(∆φ
p
) + 0.020113sin(∆φ
p
)
r23 = 0.036930cos(∆φ
p
) − 0.544252sin(∆φ
p
)
r31 = 0.544624
r32 = −0.03097
r33 = 0.838107
t1 = −93.62844cos(∆φ
p
) + 1.881893∆φ
p
cos(∆φ
p
) − 93.500746∆φ
p
sin(∆φ
p
)
t2 = 93.500746∆φ
p
cos(∆φ
p
) − 93.628443sin(∆φ
p
) + 1.881893∆φ
p
sin(∆φ
p
)
Siriportaunestrattodel odi eutilizzatoperlasimulazionedeltaglioperinviluppo
del pignone. Le super i dei denti della orona sono state generate on lo stesso
odi e modi ando i dati in ingresso (modello CAD dello sbozzato e funzioni di
moto).
from FreeCAD import Gui
from PySide import QtCore, QtGui
from FreeCAD import Base
import Part
from math import *
import time
#CREA NUOVO PROGETTO DI LAVORO
App.newDo ument("simulazione")
#IMPORTA UTENSILE(DENTE)
ImportGui.insert(u"ra k_pinion.step","simulazione")
#IMPORTA SBOZZATO TRONCO-CONICO
ImportGui.insert(u"pignone.step","simulazione")
#RINOMINA FIlE .STP DENTE
dente = FreeCAD.A tiveDo ument.getObje t("Part__Feature")
#RINOMINA FILE .STP SBOZZATO
blank = FreeCAD.A tiveDo ument.getObje t("Part__Feature001")
FreeCADGui.getObje t("blank").Visibility = False #OP. BOOLEANA diff = blank.Shape. ut(dente.Shape) Part.show(diff) thp=-0.8 def utting(): global thp, diff thp+=0.1 m=App.Matrix( r11,r12,r13,t1, r21,r22,r23,t2, r31,r32,r33,t3, 0,0,0,1) diff = diff. ut(dente.Shape) diff.Pla ement=App.Pla ement(App.Ve tor(0.,0.,0.), App.Rotation(App.Ve tor(0.,0.,1.),0.))
App.getDo ument("simulazione").dente.Pla ement=App.Pla ement(m)
App.A tiveDo ument.removeObje t("Shape")
diff.removeSplitter()
Part.show(diff)
#TIMER PER IL MOTO
timer = QtCore.QTimer()
Si riporta un estratto del odi e utilizzato per il ampionamento delle super i
dipignone eruota.
import Part
import PartGui
import ImportGui
from FreeCAD import Gui
from PySide import QtCore, QtGui
from FreeCAD import Draft, Base
import Part
import math as mt
from math import *
import time
from array import array
import numpy as np
from numpy import *
data=loadtxt(' ir onferenze_sampling.txt')
App.newDo ument("Sampling_Corona")
ImportGui.insert(u" orona0044.step","Sampling_Corona")
myBody=FreeCAD.A tiveDo ument.getObje t("Part__Feature")
FreeCADGui.getObje t("Part__Feature").Visibility = False
for i in range (0,143):
R=data[i,0℄
Z=data[i,1℄
ir le = Part.makeCir le(R, Base.Ve tor(0,0,Z), Base.Ve tor(0,0,1))
Part.show( ir le)
for i in range (0,143):
if (i<=9 and i>0):
list_of_strings = ['Shape00', str(i)℄
foobar = ''.join(list_of_strings)
myLine=FreeCAD.A tiveDo ument.getObje t(foobar)
elif i==0:
list_of_strings = ['Shape'℄
elif (i>=10 and i<=99):
list_of_strings = ['Shape0', str(i)℄
foobar = ''.join(list_of_strings)
myLine=FreeCAD.A tiveDo ument.getObje t(foobar)
else:
list_of_strings = ['Shape', str(i)℄
foobar = ''.join(list_of_strings) myLine=FreeCAD.A tiveDo ument.getObje t(foobar) a=myBody.Shape. ommon(myLine.Shape) Part.show( a) h= a.Edges[0℄.Vertexes[0℄ j= a.Edges[0℄.Vertexes[-1℄ VC= [h.X, h.Y, h.Z℄ VD= [j.X, j.Y, j.Z℄ print VC print VD
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