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Esempio 15 [con espressioni trigonometriche p314 da138 a 146(con log) ]
Studiare dominio e segno della seguente funzione:
(
2)
5
log 4 sin 3
y= x−
Periodicità
La funzione seno al quadrato ha un andamento costruibile partendo da quello del seno e pensando che ogni numero di modulo minore di 1 ha un quadrato inferiore al numero stesso. La funzione proposta presenta quindi la periodicità del seno al quadrato, che è π come si deduce dal grafico.
Studio del Dominio
La condizione di esistenza è: 2
4 sin x− >3 0 poniamo sinx=t ( 1− ≤ ≤t 1) 2 4t − >3 0 2 : ( ; ) 3 3 D π+kπ π+kπ
Studio del Segno
(
2)
5
log 4 sin x−3 ≥0 essendo la base del logaritmo maggiore di 1 perché sia positiva la funzione dovrà essere maggiore di 1 l’argomento:
2
4 sin x− ≥ 3 1 2
sin x ≥ 1
che, come si vede, è verificata solo per
2
x =π+kπ∉D
essendo sempre sin2x ≤ . Quindi la funzione, dove esiste, è sempre negativa. 1
Esempio 16 [con espressioni irrazionali p313n131, p314 da 132 a 137]
Studiare dominio e segno della seguente funzione:
(
)
1 2 log 3 2 1 y= − x − −x 3 2+
−
+
3 2 − 3 2 y = 3 2 y = − 3 π 2 3 π 4 2 3 3 π = − π 5 3 3 π = −π 4 3 π − − 23 π 3 π3 π − 2 3 π 4 3 π 5 3 π − 53 π sin x 2 sin x π 2π19
Studio del Dominio3 3 2 0 2 3 2 1 0 3 2 1 x x x x x x ≤ − ≥ ⇒ − − − > − > +
Risolviamo ora la seconda disequazione del sistema, e per esercitarci lo faremo sia con il metodo algebrico sia con quello geometrico.
Metodo algebrico.
La disequazione equivale a due sistemi.
Prima serie di soluzioni (la radice esiste, e dove esiste è positiva, quindi se il secondo membro è negativo di certo la condizione 3−2x >x+ è soddisfatta dato che un numero positivo è maggiore di uno negativo): 1 1 3 3 2 0 2 : ( ; 1) 1 0 1 x x S x x ≤ − ≥ ⇒ ⇒ −∞ − + < < −
Seconda serie di soluzioni: (ambo i membri sono positivi e la disequazione si può elevare al quadrato):
( ) a (compresa nella 3 2 2 ) 3 2 0 1 1 0 4 2 0 3 2 1 x x x x x x x − ≥ ≥ − + ≥ ⇒ − − + > − > +
facciamo l’intersezione delle condizioni:
2 1 : 1 2 6 2 6 2 6 x S x x ≥ − ⇒ − ≤ < − + − − < < − +
la soluzione complessiva è l’unione delle soluzioni dei due sistemi e cioè S =S1∪S2 = −∞ − +( ; 2 6).
Metodo geometrico
La risoluzione della disequazione passa per il raffronto fra i grafici delle due curve:
1 y=x+ 2 2 3 2 1 3 3 2 0 2 2 y x y x x y y = − = − ⇒ ⇒ = − + ≥
la prima della quali è una retta, la seconda una parabola con asse coincidente con quello delle ascisse, vertice nel
2 6 − −
− +
2 6 − +−
0 x 3 2 1 3 ( )2 1 0 3 2 1 x x x + ≥ − ≥ + 2 6 − − −1 −2 + 6 1 − 32 1 0 x + < 3− 2x ≥ 0 2 6 − + 3 2 2 − +20
punto (0; )32 e concavità rivolta nel verso delle ascisse decrescenti. La soluzione della disequazione 3−2x >x+ è la regione dove in grafico della parabola 1 sovrasta quello della retta, cioè tutti i numeri reali x <x0. Troviamo il valore di x0 risolvendo l’ equazione associata:
( )2 2
3−2x =x+1 ⇒ 3−2x = x+1 ⇒ x +4x− =2 0 ⇒ x = − −2 6∨x = − +2 6
per come è fatto il grafico delle funzioni, la minore fra le due soluzioni trovate sarebbe l’intersezione con il ramo negativo della parabola: ne concludiamo che x0 = − +2 6. Si ha dunque S = −∞ − +( ; 2 6) come avevamo già trovato con il metodo algebrico.
Per avere il dominio occorre ancora intersecare con la condizione 3−2x ≥0 da cui: D: (−∞ − +; 2 6)
Studio del Segno
Essendo la base del logaritmo compresa fra 0 ed 1 risulta:
(
)
1 2 log 3−2x− −x 1 ≥0 ⇒ 0< 3−2x − − ≤x 1 1 3 2 2 3 2 2 3 2 1 2 6 x x x x x x x − ≤ + − ≤ + ⇒ − > + < − + La seconda delle due disequazione è infatti già stata risolta e corrisponde al dominio. Per la prima disequazione usiamo ancora il metodo geometrico. La risoluzione passa per il raffronto fra i grafici delle due curve:
2 y=x+ 2 2 3 2 1 3 3 2 0 2 2 y x y x x y y = − = − ⇒ ⇒ = − + ≥
la prima della quali è una retta, la seconda è la parabola già vista in precedenza. La soluzione della disequazione 3−2x ≤x+2 è la regione dove il grafico della retta sovrasta quello della parabola, cioè tutti i numeri reali x0 ≤x≤32. Troviamo il valore di x0 risolvendo l’ equazione associata:
( )2 2
3−2x =x+2 ⇒ 3−2x = x+2 ⇒ x +6x+ =1 0 ⇒ x = − −3 2 2∨x = − +3 2 2
ragionando come prima, per come è fatto il grafico delle funzioni, la minore fra le due soluzioni trovate sarebbe l’intersezione con il ramo negativo della parabola: ne concludiamo che x0 = − +3 2 2. Si ha dunque S = − +[ 3 2 2;32]
Per avere la regione di positività occorre ancora intersecare con l’altra condizione 3−2x >x+ . Per 1 la rappresentazione osserviamo che − +3 2 2≃−0.17 e 2− + 6 ≃0.50, da cui:
