• Non ci sono risultati.

Problema2

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Condividi "Problema2"

Copied!
4
0
0

Testo completo

(1)

Suppletiva 2015 - Problema 2 1/ 4 www.matefilia.it

www.matefilia.it

SESSIONE SUPPLETIVA -

2015

PROBLEMA 2

La rotazione intorno all’asse x dei grafici della famiglia di funzioni:

π‘“π‘˜(π‘₯) =4π‘˜π‘₯ βˆšπ‘˜2βˆ’ π‘₯ π‘π‘œπ‘› π‘₯ ∈ ℝ, 0 ≀ π‘₯ ≀ π‘˜2 , π‘˜ ∈ ℝ , π‘˜ > 0

genera dei solidi di rotazione di forma aerodinamica.

1)

In un riferimento cartesiano Oxy, traccia i grafici delle funzioni π‘“π‘˜(π‘₯), π‘π‘’π‘Ÿ π‘˜ = 1, π‘˜ = 2, π‘˜ = 3 e determina il valore di k per il quale il volume del solido di rotazione

assume il valore 64πœ‹

192.

Studiamo la generica funzione: 𝑦 = π‘“π‘˜(π‘₯) = π‘₯ 4π‘˜βˆšπ‘˜

2βˆ’ π‘₯

Dominio: la funzione esiste quando π‘˜2βˆ’ π‘₯ β‰₯ 0 , π‘žπ‘’π‘–π‘›π‘‘π‘–: 𝑠𝑒 π‘₯ ≀ π‘˜2; il dominio della

funzione Γ¨ quindi quello fornito: 0 ≀ π‘₯ ≀ π‘˜2 ; in tale intervallo la funzione non Γ¨ mai

negativa.

Visto il dominio, la funzione non puΓ² essere pari nΓ© dispari.

Intersezioni con gli assi cartesiani:

𝑆𝑒 π‘₯ = 0, 𝑦 = 0. 𝑆𝑒 𝑦 = 0 , π‘₯ = 0 𝑒𝑑 π‘₯ = π‘˜2

Essendo la funzione continua in un intervallo chiuso e limitato non occorre calcolare

alcun limite. Derivata prima (πœ•

πœ•π‘₯(𝑓(π‘₯)) π‘ π‘‘π‘Ž π‘π‘’π‘Ÿ π‘‘π‘’π‘Ÿπ‘–π‘£π‘Žπ‘‘π‘Ž π‘π‘Ÿπ‘–π‘šπ‘Ž 𝑑𝑖 𝑓(π‘₯)):

Essendo 0 ≀ π‘₯ ≀ π‘˜2 𝑒 π‘˜ > 0, risulta: 𝑓′(π‘₯) β‰₯ 0 𝑠𝑒 2π‘˜2 βˆ’ 3π‘₯ β‰₯ 0 , 0 ≀ π‘₯ ≀2π‘˜2

3 ; quindi la funzione cresce se 0 ≀ π‘₯ < 2π‘˜2

(2)

Suppletiva 2015 - Problema 2 2/ 4 www.matefilia.it

decresce se 2π‘˜2

3 < π‘₯ < π‘˜

2: pertanto π‘₯ =2π‘˜2

3 Γ¨ un punto di massimo relativo (e assoluto).

Notiamo che la funzione non Γ¨ derivabile se π‘₯ = π‘˜2 e risulta:

lim

π‘₯β†’(π‘˜2)βˆ’π‘“

β€²(π‘₯) = βˆ’βˆž

quindi π‘₯ = π‘˜2 Γ¨ un punto a tangente verticale.

Derivata seconda (πœ• πœ•π‘₯( πœ• πœ•π‘₯(𝑓(π‘₯))) π‘ π‘‘π‘Ž π‘π‘’π‘Ÿ π‘‘π‘’π‘Ÿπ‘–π‘£π‘Žπ‘‘π‘Ž π‘ π‘’π‘π‘œπ‘›π‘‘π‘Ž 𝑑𝑖 𝑓(π‘₯)): Risulta 𝑓′′(π‘₯) β‰₯ 0 𝑠𝑒 3π‘₯ βˆ’ 4π‘˜2 β‰₯ 0 , π‘₯ β‰₯4 3π‘˜

2 : mai per le limitazioni sulla x; pertanto il

grafico della funzione, per ogni k, volge la concavitΓ  verso il basso. I grafici per k=1, k=2 e k=3 sono i seguenti:

Per k=1 il massimo assoluto ha coordinate: 𝑀1(2

3; √3 18)

Per k=2 il massimo assoluto ha coordinate: 𝑀2(8

3; 2√3

9 )

Per k=3 il massimo assoluto ha coordinate: 𝑀3(6;√32)

Volume solido di rotazione: 𝑉 = πœ‹ ∫ π‘“π‘Žπ‘ 2(π‘₯)𝑑π‘₯.

𝑉 = πœ‹ ∫ π‘₯ 2 16π‘˜2(π‘˜2βˆ’ π‘₯)𝑑π‘₯ = πœ‹ 16π‘˜2 π‘˜2 0 ∫ (π‘˜2π‘₯2βˆ’ π‘₯3)𝑑π‘₯ = πœ‹ 16π‘˜2 π‘˜2 0 βˆ™ [π‘˜ 2π‘₯3 3 βˆ’ π‘₯4 4 ] 0 π‘˜2 =

(3)

Suppletiva 2015 - Problema 2 3/ 4 www.matefilia.it = πœ‹ 16π‘˜2βˆ™ [ π‘˜8 3 βˆ’ π‘˜8 4] = πœ‹ 16π‘˜2βˆ™ π‘˜8 12= πœ‹ βˆ™ π‘˜6 192= 64πœ‹ 192 𝑠𝑒 π‘˜ 6 = 64 , π‘˜ = 2.

2)

Calcola il diametro massimo dei solidi di rotazione in funzione di k, e determina il valore dell'angolo formato dalla tangente al grafico di π‘“π‘˜ con l'asse x per x=0.

Il diametro massimo dei solidi di rotazione Γ¨ pari al doppio dell’ordinata del punto di massimo, quindi Γ¨ dato da:

2𝑓 (2π‘˜ 2 3 ) = 2 βˆ™ 2π‘˜2 3 4π‘˜ βˆšπ‘˜2βˆ’ 2π‘˜2 3 = 2 βˆ™ π‘˜ 6√ 1 3π‘˜2 = π‘˜ 3βˆ™ π‘˜ βˆ™ √ 1 3= π‘˜2 3 βˆ™ √3 3 = √3 9 βˆ™ π‘˜ 2 = 𝑑 π‘šπ‘Žπ‘₯

Il diametro massimo dei solidi di rotazione in funzione di k è √3

9 βˆ™ π‘˜ 2. Per x=0 si ha: 𝑓′(0) = 2π‘˜2 8π‘˜βˆšπ‘˜2 = 2π‘˜2 8π‘˜2 = 1

4 = π‘š = 𝑑𝑔(𝛼), essendo 𝛼 l’angolo formato con l’asse x dalla

tangente al grafico di π‘“π‘˜ per x=0. Risulta quindi:

𝑑𝑔(𝛼) = 1

4 π‘‘π‘Ž 𝑐𝑒𝑖 𝛼 = π‘Žπ‘Ÿπ‘π‘‘π‘” ( 1

4) = 14Β°2β€²10", 5

L’angolo formato con l’asse x dalla tangente al grafico di π‘“π‘˜ per x=0 vale 14Β°2β€²10", 5.

3)

Assumendo che la distribuzione della massa sia omogenea, il baricentro del corpo di rotazione si trova sull’asse x, per ragioni di simmetria. Determina l’ascissa π‘₯𝑆 del

baricentro in funzione del parametro k, sapendo che vale:

π‘₯𝑆 = πœ‹ ∫ π‘₯[π‘“π‘˜(π‘₯)]

2𝑑π‘₯ 𝑏

π‘Ž

𝑉

dove gli estremi di integrazione a e b vanno scelti opportunamente, e V indica il volume del solido di rotazione.

Gli estremi a e b di integrazione sono rispettivamente: π‘Ž = 0 𝑒 𝑏 = π‘˜2, corrispondenti alle intersezioni con l’asse x del grafico della funzione π‘“π‘˜(π‘₯).

Risulta: π‘₯𝑆 = πœ‹ ∫ π‘₯[π‘“π‘˜(π‘₯)] 2𝑑π‘₯ 𝑏 π‘Ž 𝑉 = πœ‹ ∫ π‘₯ [π‘˜2 4π‘˜π‘₯ βˆšπ‘˜2βˆ’ π‘₯]2𝑑π‘₯ 0 πœ‹ βˆ™192π‘˜6 =192 π‘˜6 βˆ™ 1 16π‘˜2βˆ™ ∫ π‘₯3(π‘˜2βˆ’ π‘₯)𝑑π‘₯ π‘˜2 0 =

(4)

Suppletiva 2015 - Problema 2 4/ 4 www.matefilia.it = 12 π‘˜8 βˆ™ ∫ (π‘˜ 2π‘₯3βˆ’ π‘₯4)𝑑π‘₯ = π‘˜2 0 12 π‘˜8 βˆ™ [ π‘˜2π‘₯4 4 βˆ’ π‘₯5 5] 0 π‘˜2 =12 π‘˜8 βˆ™ [ π‘˜10 4 βˆ’ π‘˜10 5 ] = 12 π‘˜8 βˆ™ π‘˜10 20 = 3π‘˜2 5 L’ascissa xS del baricentro in funzione del parametro k Γ¨ π‘₯𝑆 =3π‘˜2

5 .

4)

All’interno del solido di rotazione generato da π‘“π‘˜ , π‘π‘’π‘Ÿ π‘˜ = 3, si vorrebbe collocare un

cilindro di raggio 0,5 e di altezza 6. Verifica se ciΓ² Γ¨ possibile, motivando la tua risposta.

Il cilindro indicato ha volume: 𝑉(π‘π‘–π‘™π‘–π‘›π‘‘π‘Ÿπ‘œ) = πœ‹π‘…2β„Ž = πœ‹ βˆ™ 0.52βˆ™ 6 =3

2πœ‹ β‰… 4.712.

Il volume del solido di rotazione Γ¨ πœ‹ βˆ™ π‘˜6

192 , che, per k=3, assume il valore: 11.928

Quindi, dal punto di vista del volume il cilindro si può collocare. Ricordiamo che il diametro massimo del solido di rotazione è √3

9 βˆ™ π‘˜

2, che per k=3

assume il valore √3; quindi il cilindro, che ha diametro uguale ad 1, puΓ² essere collocato con il piano di base perpendicolare all’asse x.

Cerchiamo l’intersezione della curva 𝑓3(π‘₯) =4π‘˜π‘₯ βˆšπ‘˜2βˆ’ π‘₯ = π‘₯

12√9 βˆ’ π‘₯ con la retta di

equazione y=0.5 (graficamente si puΓ² giΓ  dire che ci sono due intersezioni):

1 2 =

π‘₯

12√9 βˆ’ π‘₯ da cui, elevando al quadrato: 1 = π‘₯2

36(9 βˆ’ π‘₯) , 36 = 9π‘₯

2βˆ’ π‘₯3 ,

π‘₯3βˆ’ 9π‘₯2+ 36 = 0: questa equazione ha una soluzione approssimata in π‘₯ = 2.3 (per esempio con il metodo di bisezione si scopre che tale soluzione Γ¨ compresa tra 2.3 e 2.4); siccome 2.3 + 6 = 8.3 < 9 e 2.4 + 6 = 8.4 < 9 il cilindro puΓ² essere collocato

dentro il solido di rotazione che si ottiene per π‘˜ = 3 se 𝑓3(8.3) 𝑒𝑑 𝑓3(8.4) sono maggiori di 0.5. Ed in effetti risulta: 𝑓3(8.3) β‰… 0.58 > 0.5 , 𝑓3(8.4) β‰… 0.54 > 0.5: quindi il cilindro Γ¨ collocabile all’interno del solido di rotazione.

Riferimenti

Documenti correlati

6) Disegna un angolo nel 4Β° quadrante a tuo piacere e spiega in maniera precisa come abbiamo definito la tangente goniometrica di tale angolo. Dimostra poi la relazione tra tangente

La retta che passa per tale lato prende il nome di retta sostegno o asse di rotazione.. La retta che passa per il lato che ruota all’esterno prende il nome di generatrice

Algebra delle funzioni reali: funzione somma e funzione prodotto di due funzioni, funzione reciproca.. Successioni di

Osservazione: Se una funzione Γ¨ derivabile n volte, le derivate di ordine inferiore a n sono sicuramente continue, altrimenti non potrebbero essere derivabili, e allora non

Funzioni potenza ad esponente naturale, e loro inverse fun- zioni radice; funzioni potenza ad esponente intero relativo; funzioni potenza ad esponente razionale; funzioni potenza

Enunciare il teorema di Weierstrass (esistenza di massimi e minimi di funzioni continue) e spiegare come si possono trovare i punti di massimo e di minimo.. Determinare, se esistono,

Area massima di

Calcolare il valore di un'espressione letterale per determinati valori numerici attribuiti alle lettere che in esse figurano, vuol dire sostituire a ciascuna