COGNOME NOME Matr.
Firma studente
1 2 3 Totale
A
ANALISI MATEMATICA 1 — 4 novembre 2005
Esercizio 1
Studiare la seguente funzione
f (x) = 1 − 6 x x√
2 x + 3
1. Insieme di definizione:
2. Limiti:
3. Derivata prima:
4. Punti stazionari:
5. Derivata seconda:
6. Concavit`a e convessit`a:
Posto x0= 5, calcolare la retta tangente al grafico della funzione nel punto (x0, f (x0))
1. Retta tangente:
Grafico della funzione f (∗)
1
Esercizio 2
Determinare il massimo ed il minimo ed i punti di massimo e di minimo della funzione g(x) = sin(x) ( 2 + cos2(x) )
nell’intervallo [1 , 3]
Esercizio 3
Assegnata la parabola di equazione
y = 3 x − x2
sia P = (x, y) un punto della suddetta parabola avente l’ascissa x compresa nell’intervallo [0 , 3].
Sia inoltre il punto O = (0, 0) ed i punti S ed T siano, rispettivamente, le proiezioni del punto P sull’asse delle ascisse e su quello delle ordinate.
Sia R il rettangolo avente come vertici i punti O, S, P , T .
Siano C1 e C2 i due cilindri che si ottengono facendo ruotare il rettangolo R attorno al lato OS ed attorno a quello OT rispettivamente.
1. Area di R:
2. Volume di C1:
3. Volume di C2:
1. Area massima di R:
2. Volume massimo di C1:
3. Volume massimo di C2:
2
COGNOME NOME Matr.
Firma studente
1 2 3 Totale
B
ANALISI MATEMATICA 1 — 3 novembre 2005
Esercizio 1
Studiare la seguente funzione
f (x) = 6 x − 1 x√
2 x + 3
1. Insieme di definizione:
2. Limiti:
3. Derivata prima:
4. Punti stazionari:
5. Derivata seconda:
6. Concavit`a e convessit`a:
Posto x0= 5, calcolare la retta tangente al grafico della funzione nel punto (x0, f (x0))
1. Retta tangente:
3
Esercizio 2
Determinare il massimo ed il minimo ed i punti di massimo e di minimo della funzione g(x) = sin(x) ( 2 + cos2(x) )
nell’intervallo [3 , 6]
Esercizio 3
Assegnata la parabola di equazione
y = 2 x − x2
sia P = (x, y) un punto della suddetta parabola avente l’ascissa x compresa nell’intervallo [0 , 2].
Sia inoltre il punto O = (0, 0) ed i punti S ed T siano, rispettivamente, le proiezioni del punto P sull’asse delle ascisse e su quello delle ordinate.
Sia R il rettangolo avente come vertici i punti O, S, P , T .
Siano C1 e C2 i due cilindri che si ottengono facendo ruotare il rettangolo R attorno al lato OS ed attorno a quello OT rispettivamente.
1. Area di R:
2. Volume di C1:
3. Volume di C2:
1. Area massima di R:
2. Volume massimo di C1:
3. Volume massimo di C2:
4
