Effetti della rastremazione sullo stato di tensione in travi di sezione ad "I"

Relatori:

Laureando:

Prof. Ing. Paolo S. VALVO

Alessandro FILIPPI

Dott. Ing. Luca TAGLIALEGNE

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PREFAZIONE ... IV

INTRODUZIONE ... VI RINGRAZIAMENTI ... VIII

CAPITOLO 1 ANALISI DELLE TRAVI A SEZIONE VARIABILE ... 1

1.1 Le travi a sezione variabile ... 1

1.2 Definizione di trave ... 1

1.3 Classificazione geometrica delle travi ... 3

1.4 Travi a sezione variabile: stato dell’arte ... 6

1.4.1 Analisi tensionale ... 8

1.4.2 Analisi degli spostamenti ... 12

1.5 Osservazioni ... 12

CAPITOLO 2 FORMULA DI TAGLIO ESTESA PER TRAVI RASTREMATE ... 13

2.1 Teoria di Jourawski ... 13

2.1.1 La sezione generica ... 15

2.1.2 La sezione rettangolare ... 18

2.1.3 La sezione a doppio T ... 20

2.2 Formula di taglio estesa ... 21

2.2.1 La sezione generica ... 22

2.2.2 La sezione rettangolare ... 26

2.2.2.1 Esempio Numerico ... 29

2.2.2.2 Confronto dei risultati... 30

CAPITOLO 3 ANALISI TENSIONALE DI TRAVI RASTREMATE A “I” ... 33

3.1 Formulazione completa per le componenti di tensione ... 33

3.1.1 Componenti di tensione nella flangia ... 36

3.1.2 Componenti di tensione nell’anima ... 39

3.1.3 Condizioni di equilibrio ... 40

3.2 Applicazione Numerica ... 43

3.2.1 Modello analitico ... 44

3.2.2 Modello agli elementi finiti (FEM) ... 46

3.2.3 Confronto dei risultati e validazione del modello analitico ... 47

CAPITOLO 4 ESEMPIO APPLICATIVO ... 60

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4.1.2.1 Casi di carico ... 66

4.1.3 Modello agli elementi finiti (FEM) ... 69

4.1.4 Confronto dei risultati e validazione del modello analitico ... 70

4.1.4.1 Peso proprio ... 70

4.1.4.2 Carico equivalente ... 77

4.1.4.3 Carico effettivo ... 84

4.1.5 Confronto formula di taglio estesa, formula di Jourawski ... 92

4.1.5.1 Calcolo delle tensioni sulle saldature a cordone d’angolo ... 97

CAPITOLO 5 CONCLUSIONI E SVILUPPI FUTURI ... 102

5.1 Conclusioni ... 102

5.2 Sviluppi futuri ... 104 APPENDICE MODELLI ANALITICI

1. Trave a sezione rettangolare in parete sottile 2. Trave a sezione aperta ad “Ｉ” in parete sottile 3. Esempio Applicativo

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PREFAZIONE

Se la struttura non diventa essa stessa forma, la progettazione strutturale è uno stru-mento che rimane subordinato alla definizione della forma tramite parametri diffe-renti. La riappropriazione del progetto da parte dello strutturista può avvenire invece nei termini in cui la struttura possa tornare ad essere essa stessa forma (Consolini, 2007).

Si passa quindi all’assunzione del processo progettuale da parte di chi, il più delle volte, svolge solamente un servizio tecnico. In questo modo forma, materiali e forze potranno essere unificati grazie all’intento creativo del progettista strutturale. Al fine di consentire allo stesso di poter esercitare le sue scelte formali nel modo più adeguato, occorre definire un metodo che gli consenta di svolgere tale operazione. A questo proposito facciamo riferimento all’ottimizzazione strutturale la quale, in questo senso, svolge un ruolo di primo piano nella progettazione odierna.

La riduzione della massa, ed il conseguente risparmio nei costi di produzione, sono un aspetto sempre più importante e convincente dell’ottimizzazione strutturale. Relativamente alle strutture di tipo trave, per aumentare il rapporto fra rigidezza e massa, un metodo sicuro è quello di introdurre variazioni geometriche longitudinali. Un sistema tra i più utilizzati è quello di introdurre una variazione dell’altezza o di larghezza della sezione trasversale lungo l’asse della trave stessa.

In questo senso si è indirizzato il mio lavoro, di cui questa tesi è la relazione finale, relativo allo studio degli effetti della rastremazione sulla distribuzione delle ten-sioni normali e tangenziali in travi composte saldate di sezione variabile ad “Ｉ” o a “doppio T” simmetrica.

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In una trave con asse orizzontale rettilineo e sezione trasversale variabile, l’an-golo di rastremazione, α, può essere definito come l’anl’an-golo fra il piano locale tan-gente alla superficie laterale e l’asse della trave stessa. Nel caso più semplice, cui ci riferiamo in questa tesi, l’angolo di rastremazione è costante.

La tesi intende dimostrare le differenze che ci sono nelle distribuzioni delle sollecitazioni agenti in travi prismatiche e non prismatiche. Vengono fornite espres-sioni analitiche per le sei componenti di tensione di Cauchy, per una trave rastremata in parete sottile con sezione rettangolare, e successivamente lo studio sarà esteso alle travi composte saldate ad “Ｉ” o a “doppio T” simmetriche. I risultati, quindi ottenuti dal modello analitico, verranno validati attraverso il confronto con un modello agli elementi finiti (FEM) realizzato con il software Strand7. Si procederà quindi con l’ana-lisi di un caso studio e con l’applicazione delle formule analitiche validate per la pro-gettazione ottimizzata delle saldature a cordone d’angolo.

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INTRODUZIONE

Come detto pocanzi, la tesi intende dimostrare le differenze che ci sono nelle distri-buzioni delle sollecitazioni agenti in travi prismatiche e non prismatiche. Dopo aver fornito espressioni analitiche per le sei componenti di tensione di Cauchy, di una trave rastremata in parete sottile con sezione rettangolare, successivamente lo studio viene esteso alle travi a sezione aperta ad “Ｉ” o a “doppio T”. La derivazione viene effet-tuata nell’ipotesi di materiale omogeneo, isotropo e linearmente elastico.

In primo luogo, seguendo il recente lavoro di Taglialegne [2018], è ricavata un’estensione della formula di Jourawski per le sollecitazioni di taglio per travi rastre-mate in parete sottile a sezione doppiamente simmetrica, soggette a taglio, sforzo normale e momento flettente. La formula di taglio estesa amplia alcuni risultati pre-cedenti di Bleich [Bleich, 1932]. La formula ottenuta prende in considerazione la va-riazione lungo la lunghezza dell’area della sezione, del momento statico e del mo-mento d’inerzia, nonché la possibile presenza di carichi distribuiti (non previsti nell'ap-proccio di Bleich).

L’analisi condotta nella presente tesi è stata inizialmente limitata al solo pan-nello d’anima, schematizzato come trave a sbalzo, di sezione rettangolare sottile va-riabile, soggetta a taglio, sforzo normale e momento flettente. La formulazione ot-tenuta viene poi estesa alle travi ad “Ｉ”. Vengono, quindi, confrontate le tensioni ricavate col modello analitico con quelle derivate dal modello agli elementi finiti (FEM).

Anche se le espressioni analitiche della soluzione non sono di facile utilizzo, da questa analisi si possono ricavare informazioni di notevole interesse. È degno di nota che non solo la forza di taglio, ma anche la forza assiale e il momento flettente intro-ducono tensioni tangenziali nelle sezioni. Tali sollecitazioni sono dello stesso ordine

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di grandezza di quelle introdotte dalla forza di taglio e pertanto hanno un effetto rilevante sulla distribuzione complessiva dello sforzo.

I confronti con alcune analisi agli elementi finiti (FEM), condotte con il software Strand7 (a general purpose FEA system for structural analysis and heat transfer), hanno mostrato un ottimo accordo, tra le soluzioni analitiche e numeriche, validando così il modello analitico.

Partendo dall’ipotesi che l’equazione di Navier sia ancora valida per travi ra-stremate (ipotesi confermata dai risultati ottenuti), è stata trovata una soluzione ana-litica per tutte le componenti del tensore degli sforzi per una trave a sezione variabile ad “Ｉ”. Questa soluzione è poi stata confrontata con i risultati del modello agi ele-menti finiti (FEM).

Non sono state rilevate differenze sostanziali nei diversi approcci. Pertanto, è stata verificata l'applicabilità della soluzione ottenuta anche ai problemi spaziali: in particolare, la soluzione trovata per la trave ad “Ｉ” è stata applicata per l’analisi delle sollecitazioni di una trave di copertura. Anche in questo caso i risultati analitici trovati concordano con il modello FEM.

Inoltre, il confronto fra le sollecitazioni calcolate in base alla soluzione per travi prismatiche e quella per le travi rastremate mostra le differenze tra i due approcci sottolineando l’importanza di scegliere il modello più accurato.

In conclusione, si può affermare che la rastremazione influisce sulla distribu-zione delle sollecitazioni nelle travi. Questa differenza è particolarmente evidente per quanto riguarda le sollecitazioni di taglio il cui comportamento può cambiare, sia qualitativamente che quantitativamente, rispetto a quanto previsto dalla teoria clas-sica.

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RINGRAZIAMENTI

Prima di lasciar spazio alla trattazione, permettetemi di ringraziare chi mi ha sostenuto lungo tutto il percorso universitario e nella stesura di questa tesi.

Vorrei ringraziare il Prof. Ing. Paolo S. Valvo e il Dott. Ing. Luca Taglialegne, relatore e correlatore di questa tesi, oltre che per l’aiuto e la conoscenza che mi hanno donato, per la disponibilità e precisione dimostratemi durante tutto il periodo di ste-sura. Senza di voi questo lavoro non avrebbe mai preso vita!

Un ringraziamento speciale va alla mia famiglia, in particolare a mio padre e a mia madre che con il loro sostegno, sia morale che economico, mi hanno permesso di arrivare fin qui davanti a voi oggi, contribuendo alla mia formazione personale.

Un particolare grazie va a Giulia, che ha sopportato le mie isterie, i miei sfoghi più intimi e intensi, che ha sempre creduto in me e che è sempre stata pronta ad ascoltare dandomi tutto il sostegno necessario per affrontare ogni ostacolo lungo questo percorso. Ha avuto un peso determinante nel conseguimento di questo risul-tato, punto di arrivo e contemporaneamente di partenza della mia vita. Grazie per aver condiviso con me in questi anni le esperienze più importanti.

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CAPITOLO 1

ANALISI DELLE TRAVI A SEZIONE VARIABILE

Sommario. In questo capitolo viene introdotta la classificazione delle travi non pri-smatiche insieme ad un breve resoconto degli studi di letteratura sulle travi rastre-mate (tapered beams).

1.1 Le travi a sezione variabile

Le travi a sezione variabile sono tradizionalmente utilizzate nell'ingegneria civile ed industriale in quanto consentono un uso più efficiente del materiale rispetto a quelle a sezione costante. L’uso di una sezione variabile, infatti, in generale porta ad una distribuzione più uniforme delle sollecitazioni e ad una conseguente riduzione del peso della struttura complessiva [Peery, 2011; Rivello, 1969].

Questo processo di ottimizzazione si basa sulla valutazione efficace delle di-stribuzioni di sforzo nella struttura. È evidente che, se le sollecitazioni previste risul-tano diverse da quelle effettive, crescerà l'incertezza sullo stato di sforzo nella strut-tura. Ciò costringerà inevitabilmente i progettisti ad aumentare i fattori di sicurezza presi in considerazione. Questo aumento dei fattori di sicurezza è in netto contrasto con lo scopo iniziale di progettare una struttura ottimizzata. Una valutazione affida-bile delle sollecitazioni, nelle travi a sezione variaaffida-bile, è quindi un obiettivo importante per i progettisti moderni.

1.2 Definizione di trave

In generale, una trave può essere definita come un corpo tridimensionale e snello avente una dimensione molto più grande delle altre due.

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Una definizione matematicamente rigorosa è stata proposta da Antman [2005], mentre un approccio più orientato alle applicazioni è stato proposto da Bauchau e Craig [2009]. Inoltre, una rassegna completa delle diverse teorie di trave è stata data da Eugster [2015].

Consideriamo la seguente definizione geometrica di una trave. In uno spazio euclideo ε, sia L una curva aperta, semplice, regolare e definita, rispetto ad un'origine fissa O, da una funzione vettoriale r(s), dove s è l’ascissa curvilinea e L è la lunghezza della curva. Ad ogni valore del parametro s è associata una superficie piana delimitata, connessa, S(s). In ogni punto P di L, identificato da un valore di s, è definito un sistema locale costituito da un vettore unitario tangente, t(s), un vettore normale unitario prin-cipale, P(s), ed un vettore unitario binormale b(s).

Figura 1.1:definizione geometrica di trave.

Se L è rettilinea, i vettori unitari p(s) e b(s) non sono definiti in modo inequivo-cabile; in tal caso, si presume che tali vettori siano adeguatamente fissati e mantenuti costanti con s. La superficie S(s), quindi, viene posizionata con il suo centro geome-trico in P ed il suo vettore unitario normale coincide con t(s).

Gli assi principali di inerzia di S(s) possono, in generale, essere ruotati rispetto al sistema locale.

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Supponendo che S(s) vari uniformemente con s, e non si verifichino sovrappo-sizioni, il solido descritto dalla superficie, quando s varia da 0 a L, è la regione occu-pata dalla trave nella sua configurazione di riferimento.

Con le definizioni di cui sopra, L è l’asse e S(s) è la sezione trasversale (variabile) della trave. Le travi sottili sono caratterizzate da un diametro generalizzato della se-zione trasversale, D(s) = diam S(s), molto minore di L.

1.3 Classificazione geometrica delle travi

In base alla definizione precedente, le travi possono essere classificate in:

1. Travi prismatiche (prismatic beams) aventi asse rettilineo, sezione trasversale co-stante e assi principali fissi (rispetto al riferimento locale di Frenet-Serret); 2. Travi non prismatiche (non-prismatic beams) aventi asse longitudinale curvo o

se-zione trasversale variabile o assi principali rotanti; esse includono:

2.1. Travi curve (curved beams) con sezioni trasversali costanti e asse longitudi-nale non rettilineo;

2.2. Travi ritorte (twisted beams) con sezione trasversale costante e assi principali rotanti;

2.3. Travi a sezione variabile (variable cross-section beams) la cui sezione trasver-sale varia con s;

2.3.1. Travi rastremate (tapered beams), qui definite come un particolare tipo di trave a sezione variabile, la cui sezione trasversale ha assi principali fissi. Si può avere rastremazione lineare (linear taper), rastremazione parabolica (parabolic taper) e rastremazione esponenziale (exponential taper).

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2.3.1.1. Travi rastremate linearmente (linearly tapered beams), sono un particolare tipo di travi rastremate in cui le quote della sezione trasversale variano linearmente lungo l’asse della trave stessa.

Figura 1.2:Travi prismatiche (prismatic beams).

Figura 1.3:Travi curve (curved beams).

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Figura 1.5:Travi a sezione variabile (variable cross-section beams).

Figura 1.6:Travi rastremate linearmente (linearly tapered beams).

Una classificazione simile è data da Balduzzi et al. [2016]. La tesi si concentra sulle influenze della rastremazione sulla distribuzione delle sollecitazioni nelle travi rastremate sopracitate, in particolare ci occuperemo di travi rastremate con asse lon-gitudinale rettilineo (linearly tapered beams).

Nella suddetta classificazione geometrica non è stata fatta alcuna distinzione evidente tra il comportamento meccanico delle travi con sezioni trasversali a parete sottile e le sezioni trasversali solide. È ben noto che uno studio accurato delle travi a parete sottile richiederebbe un'attenta valutazione anche degli effetti locali tramite modelli specializzati (ad es., la teoria di Vlasov [1961] per le travi a parete sottile) es-sendo l'approccio classico di de Saint-Venant non sempre affidabile per tali travi [Ri-vello, 1969; Timoshenko e Goodier, 1951]. In questa tesi, tuttavia, questa distinzione sarà trascurata.

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Inoltre, ci concentreremo sulle travi le cui sezioni trasversali hanno almeno due assi di simmetria in modo che il centro di taglio sia localizzato in maniera inequivo-cabile e la torsione associata al taglio non si verifichi.

1.4 Travi a sezione variabile: stato dell’arte

È noto nella letteratura come le travi con sezioni trasversali variabili mostrino un com-portamento significativamente diverso rispetto alle travi prismatiche. Tali travi pre-sentano una distribuzione non banale delle sollecitazioni; in particolare gli sforzi di taglio sono difficilmente prevedibili utilizzando la teoria classica prevista per le travi prismatiche.

Gli effetti della rastremazione, nella distribuzione delle tensioni tangenziali, su elementi non prismatici sono già stati studiati da Timoshenko [1953]. Bleich [1932] ha derivato una soluzione, in forma chiusa, che mostra come nelle travi rastremate le sollecitazioni di taglio siano indotte non solo da forze di taglio, ma anche da forze assiali e momenti flettenti. Bleich però fu fuorviato dall’analogia con le travi prismati-che e si riferì all’asse come luogo delle massime sollecitazioni di taglio. Più tardi, Pa-glietti e Carta [2009] hanno dimostrato che lo sforzo di taglio massimo non si verifica necessariamente in corrispondenza del centro elastico della sezione trasversale.

Atkin [1938] ha proposto un approccio diverso basato sull’elasticità classica de-finendo le funzioni di sforzo appropriate per specifici problemi aeronautici. Successi-vamente, Krahula ha confrontato le previsioni della formula di Bleich (anche se non citandolo direttamente e facendo riferimento a Timoshenko e Gere) con la soluzione del problema di elasticità per una trave a sbalzo rastremata caricata da una forza di taglio alla sua estremità libera. La teoria dell’elasticità è stata utilizzata, per modellare

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travi rastremate, anche da Knops e Villaggio e, più recentemente, da Trahair e An-sourian.

Il comportamento a flessione e torsione di travi rastremate è stato ampiamente studiato da Lee e Szabo e Lee et al. Chong et al. hanno mostrato, mediante modelli meccanici semplificati, che lo sforzo di taglio, nelle anime delle travi aperte ad “Ｉ” e scatolari, dipende fortemente sia dal segno della rastremazione, cioè dalla pendenza positiva o negativa, sia dalla direzione della forza di taglio.

Con la diffusione dei metodi di ottimizzazione strutturale, negli ultimi decenni, la ricerca si è sempre più concentrata sullo sviluppo di metodi numerici semi-analitici computazionalmente efficienti per travi elastiche rastremate in 2D e 3D.

Hodges et al. e Rajagopal [2010] hanno sviluppato il metodo variazionale-asin-totico, che è in grado di fornire una soluzione elastica completa in termini di tensioni, sforzi e deformazioni per travi con rastremazione costante soggetta a forze di taglio, assiali e momenti flettenti. Balduzzi [2016] ha esteso l’approccio anche alle travi non prismatiche multistrato.

Taglialegne [2018] ha derivato analiticamente una soluzione elastica esatta per una trave rastremata soggetta a forze di taglio e assiali e un momento flettente basato sulla soluzione proposta da Michell [1900] e Carothers [1914]. Inoltre, ha ricavato una estensione della formula di Bleich applicandola a sezioni di parete sottile chiuse, ret-tangolari e circolari. Bennati et al. [2018] hanno mostrato che la distribuzione dello sforzo di taglio (anche quella numerica prevista da Balduzzi et al.) potrebbe essere un’approssimazione soddisfacente della soluzione esatta.

L'analisi di spostamento delle travi a sezione variabile è spesso basata sulle teorie di Eulero-Bernoulli o Timoshenko [Timoshenko e Young, 1965], in cui l'area della sezione trasversale e l'inerzia sono semplicemente gestite come funzioni che

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variano lungo l'asse della trave [Shooshtari e Khajavi, 2010]. Sfortunatamente, questi approcci di modellazione potrebbero non riuscire a descrivere il comportamento reale delle travi e le distribuzioni dello sforzo sulla sezione portando, quindi, a risultati sbagliati, come evidenziato da Boley [1963].

1.4.1 Analisi tensionale

Un primo rigoroso tentativo di determinare l’esatta distribuzione degli sforzi in travi rastremate può essere attribuito a Bleich [1932] e consiste in una generalizzazione della teoria di Jourawski sulla sollecitazione di taglio approssimata [Timoshenko, 1953; Timoshenko e Gere, 1972].

Studiando travi in acciaio a parete sottile, Bleich mostra che nelle travi a sezione trasversale variabile le sollecitazioni di taglio sorgono non solo in presenza di forza di taglio T, ma anche di momento flettente M e forza assiale N. Nella sua derivazione non sono presenti i carichi distribuiti. Egli, inoltre, apparentemente in modo non giu-stificato, trascura alcuni contributi nel tentativo di determinare le sollecitazioni mas-sime di taglio nella trave giungendo, tuttavia, a fornire un risultato importante. Nella formula di Bleich, la tensione tangenziale media, τm, lungo la corda b della sezione è:

τm= S∗_{∙ T} I ∙ b − M I ∙ b( S I∙ dI dz− A 2∙ tanα) − N A ∙ b(b ∙ tanα − A∗ A ∙ dA dz) (1.1)

dove α è l'angolo di rastremazione, A e I sono l'area ed il Momento d’inerzia della sezione. A* e S* sono le proprietà geometriche della porzione tratteggiata della se-zione delimitata dalla corda b (Figura 1.7). L’equase-zione 1.1, e la sua strategia di deri-vazione, sta alla base del calcolo per ricavare la formula estesa di taglio.

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Figura 1.7: definizione di trave rastremata a sezione generica, Bleich [1932]. Pochi anni dopo, Atkin propone un approccio differente basato sull'elasticità classica, definendo funzioni di sollecitazione adeguate a specifici problemi aeronautici [Atkin, 1938].

Successivamente, Krahula [1975] confronta le previsioni della formula di Bleich (anche se non cita direttamente Bleich [1932] ma si riferisce a Timoshenko e Gere [1972]) con la soluzione di un problema di elasticità bidimensionale per una trave a mensola rastremata caricata da una forza di taglio concentrata all’estremità libera. La formula di sollecitazione a taglio adottata da Krahula è:

τm= 1 b∙ d dz( S*∙M I ) (1.2)

Medwadowski [1984] deriva le equazioni differenziali, che governano il pro-blema elastico di una trave rastremata, sotto il presupposto che le sollecitazioni di taglio sulle sezioni trasversali sono date dalla sovrapposizione delle sollecitazioni pa-raboliche di Jourawski (classico) e una distribuzione lineare di sollecitazioni date dal momento flettente. Tale distribuzione arbitraria viene determinata, a seconda del va-lore delle due costanti, imponendo due condizioni al contorno sulle superfici interne ed esterne della trave.

La teoria dell'elasticità è stata utilizzata per modellare le travi rastremate anche da Timoshenko e Gere [1972], da Knops e Villaggio [1999] e, più recentemente, da Trahair e Ansourian [2016]. Tale approccio risiede nel presupposto che una trave

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conica possa essere modellata come un cuneo troncato in parete sottile. In tal caso è possibile determinare lo stato di tensione nella trave per sovrapposizione delle due soluzioni elementari ben conosciute in letteratura. La prima è conosciuta come il pro-blema di Michell [Michell, 1900], e dà i campi di tensione indotti da una forza concen-trata applicata al vertice di un cuneo infinito. La seconda è nota come il problema di Carothers [Carothers, 1914], e definisce le sollecitazioni indotte nello stesso cuneo in-finito da una coppia applicata al vertice. Entrambe le soluzioni sono fornite in coor-dinate polari.

Una rassegna dettagliata sui problemi di elasticità bidimensionale e la loro sto-ria si può trovare in Meleshko [2003]. Malgrado l'approccio rigoroso adottato, ma tratti in inganno dalla soluzione di Jourawski, Knops e Villaggio [1999] affermano che il massimo della distribuzione della sollecitazione di taglio su una sezione trasversale (indotta da una forza di taglio) si trova sull’asse della trave. Inoltre, HWU e Ting [1990] si avvicinano al problema dal punto di vista della meccanica del continuo classica per estendere la derivazione a cunei elastici anisotropi, ma concentrando la loro atten-zione sul paradosso di Carothers.

Lo stesso approccio seguito da Bleich è stato perseguito anche da più autori per diverse applicazioni specifiche. Ad esempio, Russo e Garic [1992] analizzano la geometria specifica di una trave a sbalzo simmetrica con una sezione trasversale ret-tangolare sottile, osservando che le sollecitazioni di taglio sorgono anche quando la trave è caricata da una forza assiale, ma ignorando il contributo del momento flet-tente. Al contrario, Vu-Quoc e Léger [1992], Romano [1996], e Dumitrache [2012] tra-scurano completamente il contributo della forza assiale.

Più recentemente una critica ed estesa rassegna sul libro di testo originale di Bleich [Paglietti e Carta, 2009] infine attribuisce l'originalità della formula a Bleich, e

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denuncia la sottovalutazione generale della distribuzione delle sollecitazioni di taglio in travi rastremate che viene mostrata nella progettazione pratica. Hodges et al. [2010] propongono modelli numerici per travi rastremate basate sull'approccio variazionale, confrontando i risultati con le classiche soluzioni di elasticità. Più recentemente, Jadan [2012] specializzerà l'approccio di Bleich a travi simmetricamente rastremate realiz-zate con materiali elastici bi-lineari, che presentano diversi moduli elastici per la com-pressione e per la trazione.

Un approccio simile a quello di Medwadowski [1984] è proposto anche da Bal-duzzi et al. [2016], che suggeriscono che le sollecitazioni di taglio dovute al momento flettente potrebbero essere valutate assumendo una distribuzione parabolica delle tensioni, che dipende da tre parametri incogniti. I primi due parametri possono essere calcolati imponendo che le sollecitazioni normali sulle superfici della trave sono nulle. L'ultimo parametro è calcolato osservando che la risultante delle sollecitazioni di ta-glio, dovuta al momento flettente nella direzione della forza di taglio deve anch’essa essere nulla. Balduzzi, Amindaghai, Auricchio e Füssl [2018] estendono il lavoro di anteprima di Balduzzi et al. [2016] al caso di travi rastremate stratificate.

Considerando le sezioni trasversali bidimensionali realizzate con materiali di-versi e riprendendo la formula di Bleich, Zhou, Zhang, Zhong e Zhao [2016] studiano le sollecitazioni di taglio di una trave scatolare con sezione in acciaio. Supponendo anche travi rastremate non simmetriche, gli autori assumono sezioni trasversali che non sono perpendicolari alla asse della trave, lasciando alcuni dubbi sull'efficacia ge-nerale dell'approccio suggerito.

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1.4.2 Analisi degli spostamenti

Oltre alla valutazione della distribuzione delle sollecitazioni, le travi rastremate sono state ampiamente studiate e molti modelli meccanici sono stati proposti per scopi specifici. Numerosi studi di letteratura approfondiscono aspetti specifici del compor-tamento di travi rastremate, quali il comporcompor-tamento dinamico [Mabie e Roger, 1964], la stabilità dell’equilibrio [Karabalis e Beskos, 1983], ecc.

Anche se è indubbiamente necessario indagare su questi aspetti, va detto che una chiara comprensione della meccanica delle travi rastremate è ancora lontana dall'essere raggiunta.

Particolari sforzi sono stati dedicati alla derivazione degli spostamenti trasver-sali delle travi rastremate. Banerjee e Williams [1985], Tena-Culinga [1996], Ronagh, Bradford e Attard [2000] tentano autonomamente di trovare una soluzione analitica in forma chiusa al problema. D'altra parte, molti approcci diversi nel campo della meccanica computazionale sono proposti da molti autori, come Eisenberger e Reich [1989], Hinnant [1989], e Cleghorn e Tabarrok [1992].

1.5 Osservazioni

Gli studi scientifici menzionati sopra sono tutti dedicati all’analisi di problemi bidimen-sionali di travi rastremate a sezione rettangolare sottile. L'attenzione di questa tesi è concentrata sull'analisi degli effetti della rastremazione sulla distribuzione delle solle-citazioni, e in particolare sulle sollecitazioni di taglio, sulla sezione trasversale variabile di travi rastremate a doppio T simmetriche in sezione sottile. Lo studio degli sposta-menti è ancora una questione aperta e dovrà far parte di futuri sviluppi.

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CAPITOLO 2

FORMULA DI TAGLIO ESTESA PER TRAVI RASTREMATE

Sommario. In questo capitolo, si fa un breve excursus sulla teoria di Jourawski, deri-vando la formula di taglio semplificata, per trave prismatica a sezione generica. La formula semplificata viene poi estesa alla sezione rettangolare e ad “Ｉ”. Viene poi derivata una formula di taglio estesa per travi rastremate linearmente (linearly tape-red beams) con sezione trasversale generica, poi applicata alla sezione rettangolare sottile e ad “Ｉ”.

2.1 Teoria di Jourawski

Di seguito si presenta la teoria approssimata del taglio proposta da D.J. Jourawski (1821-1891).

Si consideri il solido di de Saint Venant: solido prismatico il cui volume è de-scritto dalla traslazione in direzione z di una figura piana generica, sezione trasversale appartenente al piano (x, y), ortogonale all’asse (trave di sezione costante ad asse rettilineo). Per semplicità si assume l’origine degli assi coincidente con il baricentro della base iniziale e l’asse z coincidente con l’asse della trave. La trave è dunque un prisma allungato avente la dimensione secondo z nettamente prevalente sulle altre due. Il materiale di cui è costituita la trave si assume iperelastico, lineare, omogeneo e isotropo. Il solido viene considerato privo di vincoli e dunque libero nello spazio; ne consegue che i carichi a esso applicati devono costituire un sistema in equilibrio e devono quindi avere risultante e momento risultante nulli.

Il solido di de Saint Venant (figura 2.1) sia sollecitato sulla base terminale z=L da una distribuzione di azioni esterne equivalente a una forza Fy diretta secondo uno

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degli assi principali di inerzia, per esempio l’asse y. L’equilibrio del solido richiede che sulla base z=0 siano applicate una forza uguale e opposta -Fy e una coppia Mx= Fy L.

Nella trave sono dunque presenti il taglio Ty = cost = Fy (2.1)

e il momento flettente variabile linearmente Mx= - Ty (L-z) (2.2)

Questo caso di sollecitazione, se la trave avesse sezione trasversale generica, è alquanto complesso, in quanto in generale coinvolge anche la risposta torsionale della trave. Il problema viene trattato facendo inizialmente riferimento a sezioni sim-metriche caricate secondo un asse di simmetria, in tal modo è possibile considerare i soli contributi del taglio e del momento flettente.

Figura 2.1: trave di de Saint Venant soggetta a flessione e taglio.

Le tensioni normali presenti sulla generica sezione z vengono ricavate con la formula di Navier: 𝜎𝑧𝑧 = 𝑀𝑥 𝐼𝑥 ∙ 𝑦 = − 𝑇𝑦 ∙ (𝐿 − 𝑧) 𝐼𝑥 ∙ 𝑦 (2.3)

mentre le tensioni tangenziali devono soddisfare le seguenti condizioni di equiva-lenza:

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𝑇𝑥 = ∫ 𝜏𝑥𝑧 𝑑𝐴 = 0 𝐴 (2.4) 𝑇𝑦= ∫ 𝜏𝑦𝑧 𝑑𝐴 = 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝐴 (2.5) 𝑀𝑧= ∫ (−𝜏𝑥𝑧 ∙ 𝑦 + 𝜏𝑦𝑧 ∙ 𝑥) 𝑑𝐴 = 0 𝐴 (2.6)

Per la soluzione generale del problema si rimanda ad altri trattati; nel seguito viene presentata la soluzione approssimata basata solo su considerazioni di equilibrio.

2.1.1 La sezione generica

Si consideri una generica corda B1B2 di lunghezza b(y), che per semplicità assumiamo

parallela all’asse neutro n = x, e che individua l’area A* (figura 2.2, campitura grigia). La tensione tangenziale media ortogonale alla corda (figura 2.3) è definita come:

τ̅yz = _b(y)1 ∙ ∫ τyz dy

B2

B₁

(2.7)

Dall’equilibrio alla traslazione in direzione z della porzione di trave di lun-ghezza dz al di sopra della corda risulta:

16

Figura 2.3: tensioni tangenziali medie ortogonali ad una corda.

∫ 𝜎𝑧𝑧 𝑑𝐴 𝐴 − ∫ (𝜎𝑧𝑧+ ∂σzz ∂z ∙ dz) dA − b(y) ∙ A∗ τ̅yz∙ dz = 0 (2.8) ∫ (∂σzz ∂z ∙ dz) dA + b(y) ∙ A∗ τ̅yz∙ dz = 0

che si semplifica nella relazione:

∫ (Ty Ix

∙ y) dA + b(y) ∙

A∗ τ̅yz= 0

(2.9)

Ricavando la tensione tangenziale media dall’equazione precedente (2.7) si ottiene: τ̅yz = -

Ty∙ Sx∗(y)

Ix∙ b(y)

(2.10) dove Sx∗ è il momento statico della parte di sezione considerata rispetto all’asse neutro

n = x; la (2.10) è nota come formula di Jourawski.

Tale espressione mostra che per b = costante e Ty > 0, sull’asse neutro si ha Sx∗

17

τ̅yz max = -

Ty∙ Sx∗

Ix∙ b

(2.11) Le tensioni tangenziali medie ortogonali alla corda, palesemente non verificano da sole la condizione di equilibrio al contorno della sezione, dovendo ivi il vettore τ essere tangente al contorno, nel soddisfacimento dell’equazione τT_{∙ 𝐧 = 0. Sono}

per-tanto presenti tensioni tangenziali

𝜏

𝑥𝑧 che consentono di verificare l’equilibrio al

bordo (figura 2.4). 𝜏𝑥𝑧 sono le tensioni tangenziali parallele alla corda.

{ 𝜏𝑥𝑧( 𝑏 2, 𝑦) = −𝜏̅𝑦𝑧(𝑦) ∙ 𝑐𝑜𝑡𝛼 𝜏𝑥𝑧(− 𝑏 2, 𝑦) = 𝜏̅𝑦𝑧(𝑦) ∙ 𝑐𝑜𝑡𝛼 (2.12)

Figura 2.4: tensioni tangenziali parallele alla corda.

In virtù delle formule di Navier e di Jourawski, le 𝜎𝑧𝑧 e le 𝜏𝑦𝑧 sono funzioni della

sola y, pertanto la terza equazione indefinita di equilibrio di Cauchy comporta: 𝜕 𝜕𝑥( 𝜕𝜏𝑥𝑧 𝜕𝑥 + 𝜕𝜏𝑦𝑧 𝜕𝑦 + 𝜕𝜎𝑧𝑧 𝜕𝑧 ) = 𝜕2_𝜏 𝑥𝑧 𝜕𝑥2 = 0 (2.13)

Ne consegue che le tensioni tangenziali 𝜏𝑥𝑧 variano linearmente con x sulla corda b e

18

τxz= −

2x

b tanατ̅yz (2.14)

Osservazioni:

• Nel caso di sezioni di parete sottile è lecito assumere nulle le componenti delle τz

parallele alla corda;

• Nel caso di sezioni di parete sottile può essere lecito confondere il valore puntuale

delle tensioni tangenziali con il loro valore medio sulla corda;

• Se la corda non è assunta parallela ad uno degli assi principali di inerzia, la

dimo-strazione e il risultato non cambiano;

• Le tensioni tangenziali fornite dalla formula di Jourawski non dipendono dalla

po-sizione di Fy nel piano (x, y);

• Le tensioni tangenziali date dalla formula di Jourawski verificano unicamente

l’equilibrio (non verificano la congruenza interna) e non dipendono dal coeffi-ciente di Poisson del materiale costitutivo. Ciò nonostante tale formula viene uti-lizzata con successo nella soluzione tecnica di gran parte dei problemi applicativi.

2.1.2 La sezione rettangolare

Si consideri la sezione rettangolare (figura 2.5), di lati b e h paralleli rispettivamente agli assi x e y, sollecitata da uno sforzo di taglio Ty agente secondo l’asse di simmetria

verticale.

L’espressione della τ̅yz media sulla corda b, parallela all’asse x, a distanza s dal

bordo superiore risulta dall’equazione 2.10:

τ̅yz = −

Ty∙ Sx∗(y)

Ix∙ b(y)

19

Ix =

b ∙ h3

12 (2.15)

è il momento di inerzia rispetto all’asse baricentrico x = n

Sx∗= −

b ∙ (hs − s2)

2 (2.16)

è il momento statico rispetto all’asse neutro della porzione di rettangolo al di sopra della corda B1B2 e ha altezza s.

Figura 2.5: sezione rettangolare soggetta a taglio. Pertanto, la tensione tangenziale media vale:

τ̅yz = 6∙

Ty∙ s ∙ (h − s)

b ∙ h3 (2.17)

e ha andamento parabolico rappresentato in figura 2.5, che presenta valore nullo alle estremità della sezione (s=0 e s=h);

Si osserva che in questo modo è verificata la condizione di equilibrio al bordo. Il valore massimo della tensione tangenziale si ha in corrispondenza dell’asse neutro (s=h/2) e vale: τ̅yz max = 3 2∙ Ty b ∙ h (2.18)

20

2.1.3 La sezione a doppio T

Si consideri la sezione a doppio T (figura 2.6) sollecitata da uno sforzo di taglio Ty agente secondo l’asse di simmetria verticale. Siamo nel caso di spessori sottili (con-sidero le linee d’asse dei singoli elementi):

A = 2bB + (H − b)t (2.19) Ix= b ∙ B ∙ H2 2 + t ∙ H3 12 (2.20)

Il momento statico dell’area tratteggiata a partire da O vale:

Sx1= −s ∙ b

H

2 (2.21)

dunque, la tensione tangenziale media sul tratto OP vale:

Figura 2.6:tensioni tangenziali in trave a doppio T.

con andamento lineare (figura 2.6), per s= 0 siamo in O e s= B/2 siamo in P, antisim-metrico rispetto agli assi x e y. Ha valore nullo in O e massimo in P.

Analogamente si calcola la tensione tangenziale media sul tratto PV. Il mo-mento statico dell’area tratteggiata a partire da P vale:

Sx3= −B ∙ b H 2− t ∙ s ∙ ( H 2− s) (2.23) τ̅𝑧𝑥 = Ty∙ s b ∙ B ∙ H + t ∙H₆2 (2.22)

21

la tensione tangenziale media sul tratto PV vale:

τ̅𝑧𝑦 =

Ty∙ (bBH + Hts − 2ts2)

btBH2_{+ t}2_∙H3

6

(2.24)

con andamento parabolico (figura 2.6), per s= 0 siamo in P e s= H siamo in V, e simmetrico rispetto all’asse x. Il valore minimo si ha in P e V e il valore massimo si ha in corrispondenza dell’asse baricentrico per s=H/2:

τ̅zy max =

Ty∙ (bBH)

btBH2_{+ t}2_∙H3

6

(2.25)

2.2 Formula di taglio estesa

Taglialegne [2018] studia le soluzioni a due problemi piani, cuneo e cuneo troncato (wedge and truncated wedge) in termini di teoria classica dell'elasticità [Meleshko, 2003; Timoshenko, 1953]. I risultati ottenuti fanno luce sulla distribuzione dello sforzo in travi rastremate; tuttavia, l'applicazione diretta di tali soluzioni analitiche, anche se derivate da geometrie molto particolari e semplici, si presenta estremamente com-plessa e poco pratica.

Di conseguenza, cerca una soluzione approssimata, ma più facile da utilizzare. Sotto alcune ipotesi semplificative deriva una soluzione basata sull’equilibrio di una porzione di concio elementare della trave rastremata. Il risultato è una formula di taglio che estende la nota formula di Jourawski tenendo conto della variazione lungo l’asse della area della sezione e del momento statico e d’inerzia.

Taglialegne applica i sui risultati ad una trave a sezione chiusa (scatolare) in parete sottile, rastremata verticalmente e orizzontalmente.

22

Questa tesi estende tali risultati alla sezione aperta ad “Ｉ” o a “doppio T” sim-metrica in parete sottile. Si tiene anche conto della presenza di carichi distribuiti, che sono stati trascurati in tutte le precedenti trattazioni.

2.2.1 La sezione generica

Si consideri una trave a sezione trasversale generica, variabile di lunghezza L, avente asse longitudinale rettilineo (figura 2.7a). Per semplicità, si assume che la sezione sia doppiamente simmetrica (figura 2.7b). Si fissa un sistema di riferimento Oxyz con ori-gine in O posta nel baricentro di una delle sezioni terminali; gli assi x e y che sono assi di simmetria, sono anche assi principali di inerzia di ciascuna sezione trasversale, mentre l’asse z coincide con la linea d’asse della trave.

La trave è soggetta a carichi distribuiti, py (z) e pz (z), che agiscono

rispettiva-mente nelle direzioni y e z, e a una coppia distribuita, mx (z). Le sollecitazioni interne

agenti in ogni sezione trasversale saranno il taglio, Fy (z), lo sforzo normale, Fz (z) e il

momento flettente Mx (z).

Il solido viene considerato privo di vincoli e dunque libero nello spazio; ne con-segue che i carichi a esso applicati devono costituire un sistema in equilibrio e devono quindi avere risultante e momento risultante nulli.

(a) (b)

Figura 2.7:(a) trave a sezione variabile soggetta a carichi assiali e trasversali distribuiti e coppia flettente. (b) Sezione trasversale generica doppiamente simmetrica.

23

L’equilibrio locale richiede che:

d𝐹𝑧(𝑧) dz + 𝑝𝑧(𝑧) = 0 d𝐹𝑦(𝑧) dz + 𝑝𝑦(𝑧) = 0 dMx(z) dz + mx(z) = Fy(z) (2.26) L’equilibrio globale della trave richiede anche forze concentrate:

𝐹𝑦0= 𝐹𝑦(0) 𝐹𝑧0= 𝐹𝑧(0) 𝑀𝑥0= 𝑀𝑥(0) applicate in z=0

𝐹𝑦𝐿= 𝐹𝑦(𝐿) 𝐹𝑧𝐿= 𝐹𝑧(𝐿) 𝑀𝑥𝐿= 𝑀𝑥(𝐿) applicate in z=L

Nelle travi prismatiche, sotto le ipotesi semplificative di conservazione delle se-zioni piane, materiale omogeneo, isotropo e lineare elastico, la formula di Navier for-nisce le tensioni normali sulla sezione trasversale, in particolare:

σzz = Fz A + Mx Ix y (2.27)

Dove A=A(z) e Ix= Ix (z) sono rispettivamente l’area e il momento di inerzia rispetto

all’asse x della sezione trasversale entrambi dipendenti da z.

Nella trattazione si assume che l’equazione di Navier (2.27) valga anche per travi a sezione variabile. La validità di questa ipotesi è stata studiata da Boley [1963], che ottenne una buona approssimazione per angoli abbastanza piccoli (<10°).

Consideriamo un elemento di trave di lunghezza infinitesima a sezione varia-bile, compreso fra la sezione z e z + dz come mostrato in figura 2.8 (a). Sono illustrate le distribuzioni delle tensioni normali uniformi e variabili linearmente indotte rispetti-vamente da sforzo normale e momento flettente. Si definisce una corda dritta di lun-ghezza c che suddivide la sezione trasversale in due parti complementari (figura 2.8b). Inoltre, è definita un’ascissa locale η appartenente al piano xy e ortogonale alla corda c L’elemento di trave di lunghezza infinitesimale risulta quindi suddiviso in due parti. L’area della sezione trasversale corrispondente è indicata con A*.

24

(a) (b)

Figura 2.8:(a) elemento di trave a sezione variabile di lunghezza infinitesima dz. (b) Sezione trasversale con corda generica di lunghezza c e ascissa locale η.

Si vuole determinare un’espressione per le sollecitazioni di taglio che agiscono sulla sezione trasversale nella direzione ortogonale alla corda c, τz𝜂, quindi si impone

l’equilibrio alla traslazione orizzontale della parte “tratteggiata” di sezione associata a valori positivi di η (figura 2.9).

Supponendo che i carichi assiali, pz (z), siano distribuiti uniformemente sulla

sezione trasversale, l’equilibrio nella direzione z si può scrivere:

∫ σzzdA + τzη c + (c + dc) 2 dz − ∫ ∫ pz A dAdz = ∫ (σzz+ dσzz)dA A_z+dz∗ A_z∗ z+dz z A_z∗ (2.28)

Figura 2.9: equilibrio in direzione z della parte “tratteggiata” dell’elemento di trave di lunghezza infinitesima dz.

Manipolando l’equazione, trascurando le quantità infinitesimali di ordine superiore e semplificando si ottiene:

25

τzη= 1 c ∫ dσzz dz dA + 1 c pz A ∫ dA A_(z)∗ A_(z)∗ (2.29)

Sostituendo quindi le equazioni (2.26) e (2.27) nella (2.29), dopo la semplificazione, si ottiene la soluzione generale per la componente di tensione dovuta al taglio:

τzη= 1 c[Fz d dz( A∗ A) + (Fy− mx) Sx∗ Ix + Mx d dz( Sx∗ Ix )] (2.30)

dove Sx∗ è il momento statico dell’area della parte “tratteggiata” della sezione

trasver-sale rispetto all’asse x.

In termini più generali si può scrivere:

τzη= 1 c[N d dz( A∗ A) + (T − mx) Sx∗ Ix + Md dz( Sx∗ Ix )] (2.31)

in cui “N” è lo sforzo normale, “T” è il taglio e “M” è il momento flettente che agiscono sulla sezione.

In assenza di carichi distribuiti diventa:

τzη= 1 c d dz( A∗ A 𝑁 + Sx∗ Ix 𝑀) (2.32)

È interessante notare che l’equazione (2.31) sia una generalizzazione della for-mula di Bleich che egli deriva per una trave con base costante e altezza variabile, nella quale specifica apparentemente senza alcuna giustificazione che d𝐹_𝑧

dz = 0; si può

veri-ficare che prendendo in considerazione i carichi distribuiti si giunge proprio alla con-clusione di Bleich, rendendola attendibile.

L’equazione (2.31) è un’estensione della formula di Jourawski per le travi rastre-mate sottoposte a carichi distribuiti. È evidente che non solo la forza di taglio, T, ma anche il momento flettente, M, e lo sforzo normale, N, introducono sollecitazioni di

26

taglio sulla sezione trasversale della trave rastremata. In particolare, si nota che i con-tributi di sforzo normale e momento flettente sono proporzionali al cambiamento di dimensione della sezione trasversale lungo l’asse della trave che è dovuta alla rastre-mazione. Nel caso in cui l’angolo di rastremazione, α, sia nullo, la formula di taglio estesa diviene equivalente alla ben nota formula di Jourawski. Inoltre, i carichi distri-buiti, ad eccezione delle coppie mx, non hanno influenza diretta sulla distribuzione

delle sollecitazioni da taglio.

L’aver imposto che la sezione trasversale sia doppiamente simmetrica è l’unico requisito rigoroso richiesto nella derivazione della formula estesa, ed è necessario per permettere l’uso della formula di Navier. In questo modo non ci sono limitazioni teo-riche sull’applicabilità della formula di taglio estesa sia alle sezioni spesse che sottili. L’equazione (2.31) e nel caso di assenza di carichi distribuiti, l’equazione (2.32) possono essere applicate sia problemi bidimensionali che tridimensionali. Nello spe-cifico di seguito si riporta la soluzione per una trave rastremata a sezione rettangolare in parete sottile e poi per la trave a sezione aperta ad “Ｉ”.

2.2.2 La sezione rettangolare

Di seguito si specializza l’approccio discusso al paragrafo (2.2.1) ad una trave rastre-mata, di lunghezza L, con sezione rettangolare sottile; Si fissa un sistema di riferi-mento Oxyz con origine in O posta nel baricentro della sezione di radice; gli assi x e y che sono assi di simmetria, sono anche assi principali di inerzia di ciascuna sezione trasversale, mentre l’asse z coincide con la linea d’asse della trave.

Per semplicità si considera la trave incastrata alla radice e caricata in punta dalle forze Fz, Fy e dalla coppia Mx (figura 2.10a). La sezione è caratterizzata da un’altezza

27

(a) (b)

Figura 2.10:(a) vista laterale e (b) sezione di una trave rettangolare, a mensola con parete sottile, di lunghezza L, e angolo di rastremazione α.

Assumendo una sezione rettangolare variabile linearmente (linearly tapered beam), in cui la base rimane costante e varia solo l’altezza:

Figura 2.11:trave rettango-lare.

Dove h0 è la semi-altezza (half height) della sezione alla radice, A(z) è l’area della

sezione trasversale alla coordinata z, Ix(z) è il momento di inerzia rispetto all’asse

ba-ricentrico x dell’intera sezione alla coordinata z, 𝐀∗ _{è l’area della parte “tratteggiata”}

e 𝐒𝐱∗ è il corrispondente momento statico rispetto all’asse x.

Le azioni interne nella trave possono essere calcolate come:

h(z) = h0− z tan α (2.33) A(z) = 2 ∙ t ∙ h(z) (2.34) 𝐼𝑥(z) = t ∙ (2 ∙ ℎ(𝑧))3 12 (2.35) A∗= t ∙ (h(z) − y) (2.36) Sx∗= A∗∙ ( h(z) + y 2 ) (2.37)

28

{ N = Fz T = Fy M(z) = Mx− Fy(L − z) (2.38)

Si assume l’ipotesi di stato piano di tensione da cui consegue che:

τzx= τxz= τxy= τ𝑦𝑥= 𝜎𝑥𝑥= 0 (2.39)

Utilizzando l’equazione di Navier (2.3), considerando anche lo sforzo normale, e la formula di taglio estesa (equazione 2.31), sono state trovate le componenti di tensione di Cauchy attraverso considerazioni di equilibrio.

Nel particolare da Navier:

σzz= Fz 2th(z)− 3y(L − z)Fy 2th(z)3 + 3yMx 2th(z)3 (2.40)

dalla formula di taglio estesa (equazione 2.31):

τzy= − Fzy tan α 2th(z)2 + 3Fy[h(z)(h(z)2− y2) + (L − z)(3y2− h(z)2) tan α] 4th(z)4 (2.41) +3(h(z) 2_{− 3y}2_{) tan α M} x 4th(z)4

In fine dall’integrazione della seconda equazione indefinita di equilibrio di Cauchy 𝜕τxy 𝜕𝑥 + 𝜕𝜎yy 𝜕𝑦 + 𝜕τzy 𝜕𝑧 = 0 (2.42)

dove τxy= 0 per l’ipotesi assunta pocanzi (2.37). Possiamo quindi determinare

l’ul-tima componente di tensione:

𝜎yy= Fzy2𝑡𝑎𝑛2𝛼 2th(z)3 + 3y(2y2_{− h(z)}2_{)𝑡𝑎𝑛}2_𝛼M x 2th(z)5 (2.43) +3Fytan α 𝑦[h(z)(y 2_{− h(z)}2_{) − (L − z)(2y}2_{− h(z)}2_{) tan α]} 2th(z)5

29

2.2.2.1 Esempio Numerico

Si presenta un esempio numerico con lo scopo di illustrare i principali aspetti della soluzione. Si considera una trave a mensola rastremata di lunghezza L = 10000 mm (figura 2.12). La sezione trasversale rettangolare ha larghezza, t = 1 mm; alla radice ha altezza H0 = 1000 mm, mentre alla punta ha altezza HT = 500 mm. L’angolo di

rastre-mazione α può essere calcolato:

α = arctan H0− HT

2L = 1,4321

°

Si analizzeranno le seguenti condizioni di carico: in particolare, lo sforzo nor-male semplice (applicando alla sezione di punta una forza in direzione z, Fz = 1000

N), il taglio (applicando alla sezione di punta una forza in direzione y, Fy = 1000 N), ed

infine il momento flettente (applicando alla sezione di punta un momento flettente, Mx = 10000 N mm). Il materiale è lineare elastico, omogeneo e isotropo.

Le azioni interne alla trave sono quindi:

{

N = Fz

T = Fy

M(z) = Mx− Fy(L − z)

30

2.2.2.2 Confronto dei risultati

Modello analitico (formula di taglio estesa)

La formula estesa di taglio ci dice che le sollecitazioni di taglio sono prodotte, a dif-ferenza della formula di Jourawski, anche da sforzo normale e momento flettente. In particolare, è il momento flettente che genera una distribuzione parabolica a risul-tante nulla che si somma alla distribuzione di Jourawski; il risultato è un cambiamento graduale della curvatura della distribuzione di sforzo con cambiamento di segno. Il modello analitico è stato implementato sul software PTC MathCad Prime 5.0 ed i ri-sultati delle distribuzioni di tensione sono riportati nelle figure 2.13, 2.14, 2.15, grafici di confronto fra le tre componenti di tensione σzz, τzy, σyy sia per il modello analitico

(Formula di Taglio Estesa) che per il modello agli elementi finiti (FEM). Modello agli elementi finiti (FEM)

È stata eseguita un’analisi FEM per confrontare e convalidare i risultati ottenuti dal modello analitico: è definito un modello 2D (figura 2.12), meshato con elementi pia-stra a 8 nodi (Quad8). Nella sezione alla radice sono stati bloccati tutti i movimenti nelle direzioni x, y, z e la rotazione in y. I carichi applicati sono stati descritti sopra.

Figura 2.12: Modello FEM per la trave a sezione rettangolare rastremata in parete sottile.

31

Risultati numerici

Si confrontano i risultati ottenuti dal modello analitico con quelli derivati dal modello FEM. Concentrandosi sulla sezione di mezzeria della trave rastremata in parete sottile, posta a z = 5000 mm, si osserva che c’è una perfetta corrispondenza dei risultati fra il modello con la formula estesa di taglio e il modello FEM. Per il caso di carico con-siderato (forza assiale, taglio e momento flettente applicate alla punta) i grafici delle tre componenti di tensione, σzz, τzy, σyy, si sovrappongono perfettamente.

Possiamo anche notare che la formula di taglio estesa fornisce il valore medio della distribuzione totale. I valori massimo e minimo della distribuzione effettiva (ana-lisi FEM) sembrano essere vicini l'uno all'altro se confrontati con l'ordine di grandezza complessivo. Il valore medio quindi, può essere considerato una buona approssima-zione della distribuapprossima-zione stessa.

È evidente che la componente di tensione predominante è σzz, che può essere

efficacemente determinata con la classica formula di Navier. Ma se è necessaria una descrizione accurata del comportamento delle sollecitazioni di taglio (esempio: se devono essere progettati giunti saldati), la rastremazione sembra influenzare la distri-buzione complessiva delle sollecitazioni, rendendo l'uso delle formule classiche per le travi prismatiche non cautelativo e potenzialmente rischioso.

32

Figura 2.13: grafico tensione σzz per z = 5000 mm.

Figura 2.14: grafico tensione τzy per z = 5000 mm.

Figura 2.15: grafico tensione σyy per z = 5000 mm.

-400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 y [mm ] σ_zz[MPa]

formula taglio estesa FEM

-400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 -0,25 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 y [mm ] τ_zy[MPa]

formula taglio estesa FEM

-400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 -0,04 -0,03 -0,02 -0,01 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 y [mm ] σ_yy[MPa]

33

CAPITOLO 3

ANALISI TENSIONALE DI TRAVI RASTREMATE A “

I

”

Sommario. In questo capitolo, tramite l’applicazione della formula di taglio estesa e nell’ipotesi di validità della formula di Navier, vengono determinate tutte le compo-nenti di tensione di Cauchy per la trave ad “Ｉ” a sezione variabile linearmente. Le restanti componenti di tensione sono ricavate nell’ipotesi di stato piano di tensione e per travi a parete sottile. La soluzione viene poi discussa mediante l’aiuto di esem-pio numerico. I risultati ottenuti dal modello analitico sono poi confrontati e validati con un modello agli elementi finiti (FEM).

3.1 Formulazione completa per le componenti di tensione

La trave rastremata ad “Ｉ” o a “doppio T” è una trave in sezione aperta doppiamente simmetrica in parete sottile: questo ci permetterà di usare la simmetria nella deriva-zione delle componenti di tensione. Un approccio più generale per sezioni trasversali non simmetriche sarà oggetto di sviluppi futuri.

Le condizioni di vincolo e di carico sono le medesime di quelle considerate al punto 2.2.2 (figura 3.1a).

La sezione è caratterizzata da un’anima (web) variabile linearmente, h=h(z), mentre la larghezza della flangia (flange) rimane costante. La sezione considerata per il calcolo è ortogonale all’asse quindi gli spessori effettivi della flangia e dell’anima sono 𝑡𝑓𝑝 e 𝑡𝑤𝑝 (figura 3.2a):

tfp =

tf

cos α twp= 𝑡𝑤 (3.1)

34

(a) (b)

Figura 3.1: (a) vista laterale e (b) sezione di una trave a “doppio T”, a mensola con parete sottile, di lunghezza L e angolo di rastremazione α.

Si fissa un sistema di riferimento Oxyz con origine in O posta nel baricentro delle sezioni di radice: gli assi x e y che sono assi di simmetria, sono anche assi prin-cipali di inerzia di ciascuna sezione trasversale, mentre l’asse z coincide con la linea d’asse della trave. Si definisce b, la larghezza della flangia e h=h(z) la semi-altezza dell’anima (figura 3.2b e c).

(a) (b) (c)

Figura 3.2:(a) proiezione dello spessore della flangia in funzione dell’angolo α, (b) corda c1 e area “tratteggiata” per la flangia e (c) corda c2 e area “tratteggiata”

per l’anima.

Assumendo una sezione variabile linearmente, in cui la base rimane costante e varia solo l’altezza:

35

h(z) = h0− z tan α b = cost (3.2) A(z) = 4 ∙ b ∙ tfp+ 2 ∙ h(z) ∙ twp (3.3) I𝑥(z) = 2 ∙ b ∙ (2 ∙ h(z))2 2 ∙ tfp+ twp∙ (2 ∙ h(z))3 12 (3.4)

dove h0 è la semi-altezza della sezione alla radice, A(z) è l’area della sezione

trasver-sale alla coordinata z e Ix(z) è il momento di inerzia rispetto all’asse baricentrico x

dell’intera sezione alla coordinata z.

Le azioni interne nella trave, indotte dai carichi esterni, possono essere calco-late come: { N = Fz T = Fy M(z) = Mx− Fy(L − z) (3.5)

Anche in questo caso siamo in uno stato piano di tensione e si ipotizza che le forze di volume siano nulle o trascurabili.

Per applicare la formula di taglio estesa è necessario calcolare l’area della parte “tratteggiata” di sezione per cui si vogliono determinare le varie componenti di ten-sione di Cauchy. Come mostrato in figura 3.2 si devono distinguere i due casi possibili: componenti di tensione sulla flangia (figura 3.2b) e componenti di tensione sull’anima (figura 3.2c). 𝐴1∗(x) = 𝑡𝑓𝑝∙ (𝑏 − 𝑥) sulla flangia, 𝑦 = ℎ(𝑧) (3.6) 𝐴2∗(y) = b ∙ 𝑡𝑓𝑝+ (ℎ(𝑧) − 𝑦) 𝑡𝑤𝑝 2 sull’anima, x = 𝑏

Inoltre, il momento statico rispetto all’asse x corrispondente può essere calcolato come:

36

𝑆1𝑥∗ (x) = 𝑡𝑓𝑝∙ (𝑏 − 𝑥) ∙ ℎ(𝑧) sulla flangia, 𝑦 = ℎ(𝑧) (3.7) S2x∗ (y) = b ∙ tfp∙ h(z) + (h(z)2_{− y}2₎ 2 twp 2 sull’anima, x = 𝑏

Di seguito vengono riportate le componenti di tensione di Cauchy sia per la flangia sia per l’anima. Si fa riferimento alle generiche sollecitazioni interne, senza esporre le rispettive equazioni, quindi avremo lo sforzo normale N, il taglio T = T(z) e il momento flettente M = M(z).

Come indicato nel paragrafo 2.2.1 si assume sempre valida l’equazione di Na-vier: σ𝑧𝑧= N 𝐴(𝑧)+ M(z) 𝐼𝑥(𝑧) ∙ h(z) (3.8)

e utilizzando la formula estesa di taglio si arriva alla soluzione in termini di compo-nenti di tensione.

3.1.1 Componenti di tensione nella flangia

La flangia inferiore è quella che si trova nel semi-piano y > 0 (figura 3.2b indicata col termine “pos” che sta per positivo). Mentre la flangia superiore è quella nel semi-piano y < 0 (figura 3.2b indicata col termine “neg” che sta per negativo). La soluzione per la flangia superiore sarà dedotta dalla simmetria del problema.

Flangia inferiore (pos): -b ≤ x ≤ b y = h(z) Flangia superiore (neg): -b ≤ x ≤ b y = -h(z)

Sostituendo le equazioni 3.2, 3.3, 3.4 nell’equazione 3.8, si ottiene la tensione normale nella flangia inferiore:

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σzzf = N 4btfp+ 2twph(z) + M(z) ∙ 3tfpb 2h(z)2₍6tfpb h(z) + twp) (3.9)

La componente di taglio τzxf può essere ottenuta dall’equazione 2.32 ivi

sosti-tuendo le equazioni 3.2, 3.3, 3.4, 3.5, 3.6 e considerando la corda c = tfp:

τzxf = N 𝑡𝑤𝑝𝑡𝑎𝑛𝛼(𝑏 − 𝑥) (𝑡𝑤𝑝ℎ(𝑧) + 2tfpb) 2+ M(z) ∙ 3𝑡𝑎𝑛𝛼(𝑏 − 𝑥)(𝑡𝑤𝑝ℎ(𝑧) + 3tfpb) ℎ(𝑧)2_{∙ (𝑡} 𝑤𝑝ℎ(𝑧) + 6tfpb) 2 +𝑇(𝑧) ∙ 3(𝑏 − 𝑥) 2ℎ(𝑧) ∙ (𝑡𝑤𝑝ℎ(𝑧) + 6tfpb) (3.10)

La trave ha una sezione aperta a “doppio T” in parete sottile. Inoltre, si può affermare che la flangia è in uno stato piano di tensione. Le componenti di tensione di Cauchy rimanenti (σyyf , τ𝑥𝑦f , τzyf ) possono essere ottenute ruotando il tensore di

sforzo globale in un sistema di riferimento locale della flangia: l’asse locale 1 è alli-neato con la flangia, l’asse locale 2 è allialli-neato con l’asse globale x e l’asse locale 3 è normale al piano della flangia (figura 3.3).

Figura 3.3: flangia inferiore sistema di riferimento locale [Taglialegne 2018]. I numeri di pedice denotano le coordinate locali corrispondenti: ad esempio τ13f sarà

la proiezione nella direzione dell’asse 3 della tensione agente su un piano ortogonale all’asse 1. In particolare, le componenti di tensione nel riferimento locale possono es-sere scritte come: 𝛔1,2,3= 𝐑T∙ 𝛔x,y,zf ∙ 𝐑 (3.11)

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𝐑 = [−sinα0 10 cosα0 cosα 0 senα ] (3.12) sostituendo otteniamo: [ 𝜎₁₁𝑓 𝜏₁₂𝑓 𝜏₁₃𝑓 𝜏₁₂𝑓 𝜎₂₂𝑓 𝜏₂₃𝑓 𝜏13 𝑓 𝜏23 𝑓 𝜎33 𝑓 ] = [ 0 −sinα cosα 1 0 0 0 cosα senα ] [ 𝜎𝑥𝑥 𝑓 𝜏𝑥𝑦 𝑓 𝜏𝑧𝑥 𝑓 𝜏𝑥𝑦 𝑓 𝜎𝑦𝑦 𝑓 𝜏𝑧𝑦 𝑓 𝜏𝑧𝑥 𝑓 𝜏𝑧𝑦 𝑓 𝜎𝑧𝑧 𝑓 ] [ 0 1 0 −sinα 0 cosα cosα 0 senα ] (3.13)

Sviluppando l’equazione 3.13 si ottiene un sistema lineare di sei equazioni indipen-denti: { 𝜎11 𝑓 = 𝜎𝑦𝑦 𝑓 𝑠𝑖𝑛2_{𝛼 − 2 𝜏} 𝑧𝑦 𝑓 𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝜎𝑧𝑧 𝑓 𝑐𝑜𝑠2_𝛼 𝜎₂₂𝑓 = 𝜎𝑥𝑥 𝑓 𝜎₃₃𝑓 = 𝜎𝑦𝑦 𝑓 𝑐𝑜𝑠2_{𝛼 + 𝜎} 𝑧𝑧 𝑓 𝑠𝑖𝑛2_{𝛼 + 𝜏} 𝑧𝑦 𝑓 𝑠𝑖𝑛2𝛼 𝜏₁₂𝑓 = 𝜏_𝑧𝑥𝑓 𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝜏_𝑥𝑦𝑓 𝑠𝑖𝑛𝛼 𝜏₁₃𝑓 = 𝜏𝑧𝑦 𝑓 𝑐𝑜𝑠2𝛼 + ( 𝜎𝑧𝑧 𝑓 − 𝜎𝑦𝑦 𝑓 )𝑠𝑖𝑛2𝛼₂ 𝜏₂₃𝑓 = 𝜏_𝑥𝑦𝑓 𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝜏_𝑧𝑥𝑓 𝑠𝑖𝑛𝛼 (3.14)

Per l’ipotesi di stato piano di tensione abbiamo:

{ 𝜏₁₃𝑓 = 0 𝜏₂₃𝑓 = 0 𝜎₃₃𝑓 = 0

(3.15)

Sostituendo le equazioni 3.15 nella terza, quinta e sesta delle equazioni 3.14 si ottiene un sistema di tre equazioni lineari nelle tre incognite σyyf , τ𝑥𝑦f , τzyf . Risolto otteniamo:

{ 𝜎𝑦𝑦 𝑓 = 𝑡𝑎𝑛2_{𝛼 𝜎} 𝑧𝑧 𝑓 𝜏𝑥𝑦 𝑓 = − 𝑡𝑎𝑛𝛼 𝜏𝑧𝑥 𝑓 𝜏𝑧𝑦 𝑓 = − 𝑡𝑎𝑛𝛼 𝜎𝑧𝑧 𝑓 (3.16)

L’ultima componente di sforzo, 𝜎𝑥𝑥

𝑓_{, può essere ottenuta integrando la prima}

equa-zione indefinita di equilibrio di Cauchy [Timoshenko e Goodier, 1951], elaborandola e semplificandola.

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𝜕𝜎𝑥𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕𝜏𝑥𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕𝜏𝑧𝑥 𝜕𝑧 = 0 (3.17) 𝜎𝑥𝑥 𝑓 = ∫𝜕𝜏 𝑧𝑥 𝑓 𝜕𝑧 𝑏 𝑥 𝑑𝑥 + 𝜎_{𝑥𝑥 (𝑥=𝑏)}𝑓 (3.18) In quanto 𝜕𝜏𝑥𝑦

𝜕𝑦 = 0, perché 𝜏𝑥𝑦, non dipende da y.

𝜎_{𝑥𝑥 (𝑥=𝑏)}𝑓 _{, rappresenta una costante di integrazione. Si fa notare che 𝜎}

𝑥𝑥

𝑓 _{calcolata per}

x = b è zero perché siamo sul bordo esterno della flangia.

3.1.2 Componenti di tensione nell’anima

Nell’anima x = 0 - h(z) ≤ y ≤ h(z)

Ancora una volta, la componente di tensione normale 𝜎𝑧𝑧𝑤 può essere ottenuta tramite

l’equazione di Navier (3.8). Sostituendo le equazioni 3.2, 3.3, 3.4 nell’equazione 3.8 si ottiene: σzz𝑤 = N 4btfp+ 2twph(z) + M(z) ∙ 𝑦 2h(z)2_(2t fpb + 1 3twpℎ(𝑧)) (3.19)

La componente di taglio 𝜏𝑧𝑦𝑤 può essere ottenuta dall’equazione 2.31. Sostituendo

l’equazione 3.3, 3.4, 3.6 e 3.7 nella 2.31, e considerando la corda c = twp, si ottiene:

τzy𝑤 = 𝑡𝑤𝑝 y tanα N 2(2𝑡𝑓𝑝𝑏 + 𝑡𝑤𝑝ℎ(𝑧)) 2+ 3[𝑡𝑤𝑝(ℎ(𝑧)2− 𝑦2) + 4𝑡𝑓𝑝𝑏ℎ(𝑧)]𝑇(𝑧) 4𝑡𝑤𝑝h(z)2(6tfpb + twpℎ(𝑧)) (3.20) + 3 tanα [𝑡𝑤𝑝 2_{ℎ(𝑧)(ℎ(𝑧)}2_{− 𝑦}2_{) + 4𝑡} 𝑓𝑝𝑡𝑤𝑝𝑏(2ℎ(𝑧)2− 3𝑦2) + 24𝑡𝑓𝑝2𝑏2ℎ(𝑧)]𝑀(𝑧) 4𝑡𝑤𝑝h(z)3(6tfpb + twpℎ(𝑧)) 2

Per l’ipotesi di trave a parete sottile, σxx𝑤, τxy𝑤, τzx𝑤 sono nulle. L’ultima componente di

tensione nell’anima può essere calcolata tramite integrazione della seconda equa-zione indefinita di equilibrio di Cauchy (equaequa-zione 2.42).

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σ𝑦𝑦𝑤 = − ∫ 𝜕𝜏𝑧𝑦𝑤 𝜕𝑧 𝑦 0 𝑑𝑦 + 𝜎_{𝑦𝑦 (𝑦=0)}𝑤 (3.21)

𝜎𝑦𝑦 (𝑦=0)𝑤 è una costante di integrazione.

3.1.3 Condizioni di equilibrio

Sono state completamente definite tutte le componenti di tensione di Cauchy, sia per l’anima che per la flangia, eccetto le due costanti di integrazione 𝜎_{𝑥𝑥 (𝑥=𝑏)}𝑓 _{e 𝜎}

𝑦𝑦 (𝑦=0)𝑤 .

Per quanto riguarda la costante 𝜎_{𝑥𝑥 (𝑥=𝑏)}𝑓 _{, si osserva che è uguale a zero in}

quanto siamo sul bordo esterno della flangia. Se si considera la parte di flangia com-presa nel primo quadrante 0 ≤ x ≤ b (figura 3.2b), integrando la prima equazione indefinita di equilibrio di Cauchy (equazione 3.17), si ottiene:

𝜎𝑥𝑥 𝑓 = − ∫𝜕𝜏 𝑧𝑥 𝑓 𝜕𝑧 𝑥 0 𝑑𝑥 + 𝜎_{𝑥𝑥 (𝑥=0)}𝑓 (3.22)

Sfruttando la proprietà degli integrali definiti, chiamata “additività dell’integrale ri-spetto agli estremi”, si ottiene:

𝜎𝑥𝑥 𝑓 = − ∫𝜕𝜏 𝑧𝑥 𝑓 𝜕𝑧 𝑏 0 𝑑𝑥 − (− ∫𝜕𝜏 𝑧𝑥 𝑓 𝜕𝑧 𝑏 𝑥 𝑑𝑥 ) + 𝜎_{𝑥𝑥 (𝑥=0)}𝑓 Ma 𝜎_{𝑥𝑥 (𝑥=𝑏)}𝑓 = − ∫𝜕𝜏 𝑧𝑥 𝑓 𝜕𝑧 𝑏 0 𝑑𝑥 + 𝜎_{𝑥𝑥 (𝑥=0)}𝑓 = 0

Quindi otteniamo la formula 3.18, in cui 𝜎_{𝑥𝑥 (𝑥=0)}𝑓

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𝜎𝑥𝑥 𝑓 = ∫𝜕𝜏 𝑧𝑥 𝑓 𝜕𝑧 𝑏 𝑥 𝑑𝑥 (3.23)

Per quanto riguarda la costante 𝜎_{𝑦𝑦 (𝑦=0)}𝑤 _{, si deve tener conto dei diversi}

con-tributi dovuti a sforzo normale, taglio e momento flettente. Per la simmetria del pro-blema, taglio e momento flettente danno un contributo nullo cosa che non accade per lo sforzo normale il quale da un contributo non nullo.

Dall’equilibrio alla traslazione in direzione y del segmento di trave infinitesimo di lunghezza dz (figura 3.4), compreso fra la quota z e z + dz, si ottiene:

Figura 3.4: segmento di connessione fra flangia e anima.

𝜎𝑦𝑦 (ℎ(𝑧),𝑧)𝑤 𝑡𝑤𝑝𝑑𝑧 + 𝜏̅𝑧𝑦𝑤𝑡𝑤𝑝𝑑𝑧𝑡𝑎𝑛𝛼 + 2𝑏𝑡𝑓𝑝(𝜏𝑧𝑦

𝑓

(𝑧) − 𝜏𝑧𝑦 𝑓

(𝑧 + 𝑑𝑧) = 0 (3.24)

dove 𝜏̅𝑧𝑦𝑤, tensione tangenziale media (funzione del solo sforzo normale) in

dire-zione y nell’anima alla quota z, si può calcolare come:

𝜏̅𝑧𝑦𝑤 = 1 𝑑𝑧 𝑡𝑎𝑛𝛼∙ ∫ 𝜏𝑧𝑦 𝑤 ℎ(𝑧) ℎ(𝑧)−𝑑𝑧𝑡𝑎𝑛𝛼 (𝑦, 𝑧)𝑑𝑦 (3.25)

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= 1 𝑑𝑧 𝑡𝑎𝑛𝛼∙ ∫ 2 𝑡𝑤𝑝 ℎ(𝑧) ℎ(𝑧)−𝑑𝑧𝑡𝑎𝑛𝛼 ∙ 𝑁 ∙ 𝑑 𝑑𝑧( 𝐴2(𝑦) 𝐴(𝑧)) 𝑑𝑦

Sostituendo nella 3.25 le equazioni 3.3 e 3.6, ed integrando, si ottiene:

𝜏̅𝑧𝑦𝑤 = −

2 ∙ 𝑡𝑎𝑛𝛼 ∙ ℎ(𝑧) ∙ 𝑡𝑤𝑝

𝐴(𝑧)2 ∙ 𝑁 (3.26)

Riprendendo l’equazione 3.24, sostituendo ed esplicitando 𝜎𝑦𝑦 (ℎ(𝑧)−𝑑𝑧𝑡𝑎𝑛𝛼,𝑧)𝑤 , si

ot-tiene: 𝜎𝑦𝑦 (ℎ(𝑧)−𝑑𝑧𝑡𝑎𝑛𝛼,𝑧)𝑤 = − 2 ∙ 𝑡𝑎𝑛𝛼2_{∙ 𝑁} 𝐴(𝑧)2 ∙ (𝑡𝑤𝑝∙ ℎ(𝑧) − 2 ∙ 𝑏 ∙ 𝑡𝑓𝑝) (3.27) 𝜎𝑦𝑦 (𝑦,𝑧)𝑤 (𝑁) = − ∫ 𝑑 𝑑𝑧(𝜏𝑧𝑦 𝑤_{(𝑁))𝑑𝑦} 𝑦 ℎ(𝑧) +2 ∙ 𝑡𝑎𝑛𝛼 2_{∙ 𝑁} 𝐴(𝑧)2 ∙ (𝑡𝑤𝑝∙ ℎ(𝑧) − 2 ∙ 𝑏 ∙ 𝑡𝑓𝑝) (3.28)

𝜎𝑦𝑦 (𝑦,𝑧)𝑤 (𝑁) è la tensione nell’anima normale al piano x-z, dovuta al solo contributo

dello sforzo normale. Gli altri due contributi sono rispettivamente:

𝜎𝑦𝑦 (𝑦,𝑧)𝑤 (𝑇) = − ∫ 𝑑 𝑑𝑧(𝜏𝑧𝑦 𝑤_{(𝑇))𝑑𝑦} 𝑦 0 (3.29) 𝜎𝑦𝑦 (𝑦,𝑧)𝑤 (𝑀) = − ∫ 𝑑 𝑑𝑧(𝜏𝑧𝑦 𝑤_{(𝑀))𝑑𝑦} 𝑦 0 (3.30)

dove 𝜎𝑦𝑦 (𝑦,𝑧)𝑤 (𝑇) e 𝜎𝑦𝑦 (𝑦,𝑧)𝑤 (𝑀) sono rispettivamente le tensioni nell’anima normali al

piano x-z dovute a taglio e momento flettente. In questi due integrali non sono pre-senti costanti di integrazione per il motivo indicato sopra cioè che la simmetria annulla le stesse.

A causa della complessità delle espressioni matematiche coinvolte, è conve-niente risolvere le equazioni 3.23, 3.28, 3.29 e 3.30numericamente per ogni sezione

43

trasversale per definire i valori delle costanti di integrazione e completare la determi-nazione della distribuzione delle tensioni nella trave.

3.2 Applicazione Numerica

Come per la sezione rettangolare, anche per quella a “doppio T” si definisce un esem-pio numerico con lo scopo di confrontare le diverse strategie di soluzione. Si consi-dera una trave a mensola rastremata di lunghezza L = 10000 mm (figura 3.5). La se-zione trasversale a “doppio T” ha alla radice altezza pari a 1000 mm mentre alla punta ha altezza pari a 500 mm. L’angolo di rastremazione α può essere calcolato:

α = arctan ℎ0− h𝑡

L = 1,4321

°

Figura 3.5: Trave a doppio T a sezione variabile linearmente.

Il profilo considerato alla radice è della serie ISE 1000/234 acciaio S235 con le seguenti caratteristiche geometriche (essendo nel caso di piccoli spessori si confon-dono la flangia e l’anima coi rispettivi assi baricentrici):

h0 = 485 mm è la semi-altezza alla radice

ht = 235 mm è la semi-altezza alla punta

b = 130 mm è la semi-larghezza della flangia tf = 30 mm è lo spessore della flangia