CcL 12 - Outline determinazione strutturale

Testo completo

(1)Outline di una determinazione strutturale attraverso la diffrazione di raggi X Selezione, montaggio, e allineamento di un cristallo singolo idoneo Valutazione della qualità; determinazione della cella elementare e di informazioni preliminari sulla simmetria Raccolta delle intensità di diffrazione Riduzione dati Soluzione della struttura Completamento e raffinamento strutturale Adapted from William Clegg “Crystal Structure Determination” Oxford 1998.. Interpretazione dei risultati.

(2) Selezione del cristallo I cristalli migliori sono quelli trasparenti, con facce ben formate e dimensioni nell’intervallo 0.1 – 0.5 mm. Si può scendere in dimensioni fino a 50m. Si selezionano al microscopio ottico polarizzante.. Un cristallo singolo idoneo non deve avere altri cristallini attaccati ad esso ne’ inclusioni. Nei cristalli birifrangenti, questa proprietà aiuta la selezione di un individuo che potrà avere un buon comportamento in diffrazione)..

(3) Il microscopio ottico polarizzante Cristalli…. Esotico strumento per il controllo delle dimensioni dei cristalli. Cristallografia con laboratorio - a.a. 2018-2019.

(4) Il microscopio ha un polarizzatore nella base, l,analizzatore….. I cristalli devono essere ruotati tra il polarizzatore alla base del microscopio e l’analizzatore nella parte superiore prima degli oculari. Cristallografia con laboratorio - a.a. 2018-2019. Un altro polarizzatore in questa posizione che funge da analizzatore. Può essere inserito e disinserito all’occorrenza.. La base può essere ruotata.

(5) La luce polarizzata Mentre la luce viaggia attraverso lo spazio esibisce un comportamento ondulatorio. Le vibrazioni del campo elettrico dell'intero fascio avvengono simultaneamente in tutte le direzioni perpendicolari alla linea di propagazione del raggio luminoso. Tuttavia, quando il fascio incontra il polarizzatore 1, solo la componente verticale del piano di vibrazione può passare, i restanti sono estinti. Il polarizzatore 2, invece, impedisce alla componente verticale di continuare. Il risultato è che il campo visivo è buio dopo il polarizzatore 2. Poiché le feritoie dei polarizzatori sono a 90 ° l'una rispetto all'altro, si dice che i polarizzatori sono "incrociati".. Due filtri polarizzati sovrapposti.

(6) La luce polarizzata. Nella maggior parte dei materiali cristallini, la luce si divide in due fasci che viaggiano in direzioni diverse a velocità diverse. Questo fenomeno è chiamato doppia rifrazione. I due fasci di luce sono polarizzati ad angolo retto tra loro. Nella maggior parte dei minerali e cristalli ordinari la differenza è troppo piccolo per notarla senza ausili ottici, ma per es. il minerale calcite mostra un elevata doppia rifrazione. Se si osserva calcite attraverso un filtro polarizzatore, le immagini sdoppiate lampeggiano si estingueranno alternativamente, come si ruota il polarizzatore, confermando che le due immagini sono fatte da fasci di luce polarizzata in direzioni perpendicolari tra loro. Queste due direzioni di vibrazioni del campo elettrico sono chiamate le direzioni privilegiate.. Doppia rifrazione della calcite. Cristallografia con laboratorio - a.a. 2018-2019.

(7) Selezione del cristallo Quando una direzione privilegiata del campione è parallelo al polarizzatore alla base del microscopio, la componente perpendicolare della luce polarizzata in ingresso sarà zero (perché bloccata dal polarizzatore). La luce uscente polarizzatore alla base verrà bloccata dal polarizzatore superiore (analizzatore).. Al microscopio, in seguito a rotazioni di 360° del piatto che contiene il campione, ogni 90° una direzione privilegiata sarà parallela al polarizzatore. Nessuna intensità luminosa quindi passerà attraverso il polarizzatore superiore, il campione sembrerà nero, e si dice che sia in condizione di estinzione. In tutte le altre orientazioni, parte della luce verrà trasmessa dal polarizzatore superiore, con la massima di intensità luminosa trasmessa a 45 gradi dalle direzioni di estinzione.. Cristallografia con laboratorio - a.a. 2018-2019.

(8) Microscopio a luce polarizzata.

(9) Concentriamoci su questo cristallo di acido citrico.

(10) Pronti….

(11) Incrociamo i polarizzatori….

(12) Rotazione antioraria….

(13) ancora….

(14) ancora….

(15) ancora….

(16) Selezione del cristallo. Così il cristallo lampeggia, perché è così importante?. Quando i cristalli vengono ruotati attorno ad un asse normale al materiale polarizzante, ogni singolo cristallo dovrebbe appare uniformemente scuro in tutte le posizioni o essere illuminato e "spegnersi" (apparire uniformemente scuro), ogni 90 gradi di rotazione. Cristalli che sono composti da due o più frammenti con differenti orientazioni mostreranno regioni chiare e scure contemporaneamente ... questi cristalli non sono singoli e devono essere scartati!. Cristallografia con laboratorio - a.a. 2018-2019.

(17) Montaggio del cristallo Selezionato un cristallo singolo idoneo, questo sarà montato su una fibra di vetro, un cappio di nylon o una pinza «MiTeGen». Di solito il cristallo verrà trattenuto sulla fibra o per mezzo di un olio o per mezzo di una colla epossidica. Naturalmente l’olio sarà fluido a temperatura ambiente, quindi è necessario raffreddare il cristallo a bassa temperatura in modo da immobilizzarlo.. Fibra di vetro + colla epossidica (nel nostro laboratorio si usa questo sistema.. Cappio di Nylon + olio. Cristallografia con laboratorio - a.a. 2018-2019. Pinze MiTeGen.

(18) Cristallo in una goccia di olio con un cappio. Cristallo montato. Cristallo catturato con cappio di Nylon in una goccia d’olio..

(19) Cristallo agganciato da una pinza MiTeGen.. Cristallografia con laboratorio - a.a. 2018-2019.

(20) Testina goniometrica Il cristallo sarà trasferito su una testina goniometrica che permette degli aggiustamenti lungo gli assi x-y-z in modo che il cristallo possa essere posizionato esattamente al centro del fascio X.. z (alto è basso). y (avanti e indietro) x (destra e sinistra). Cristallografia con laboratorio - a.a. 2018-2019.

(21) Si monta la testina goniometrica sul diffrattometro…... Cristallo montato su una testina goniometrica, pronto per essere investito dal fascio di raggi X!. Cristallografia con laboratorio - a.a. 2018-2019.

(22) Allineamento Posizionare la fibra di vetro sulla testina goniometrica e allineare il cristallo al centro del sistema di cerchi (il suo baricentro deve essere solidale col baricentro del diffrattometro). Scegliere il collimatore in modo che il suo diametro sia più grande della dimensione del cristallo.. Queste operazioni servono per • assicurarsi che il cristallo sia sempre completamente bagnato dai raggi X durante tutta la raccolta • assicurassi che l’origine del reticolo diretto e di conseguenza del reticolo reciproco non subisca movimenti di precessione durante la raccolta. In questo modo è applicabile la costruzione della sfera di Ewald al nostro esperimento..

(23) Screening I riflessi devono avere profili netti e stretti.

(24) Screening Esempio di un cristallo con un buon comportamento in diffrazione. A Phi scan di 360° su un cristallo di buona qualità.

(25) Screening Esempio di un cristallo con un buon comportamento in diffrazione. .. Un phi scan di 2° di un cristallo di ottima qualità. I riflessi sono netti e ben definiti. Un phi scan di 2° dello stesso cristallo ripreso con un angolo phi a +90°.. Cristallografia con laboratorio - a.a. 2018-2019.

(26) Screening Esempio di un cristallo con un buon comportamento in diffrazione. Un phi scan di 2° ad un angolo 2-theta di 30° di un cristallo di ottima qualità. Il cursore punto sull’area dei due riflessi mostrati nella finestra «3DView»..

(27) Screening Esempio di un cristallo con un cattivo comportamento in diffrazione. Un phi scan di 360° di un cristallo con scarsa cristallinità. Gli spot sono slargati e tendono a sovrapporsi.. Un phi scan di 360° di un cristallo molto piccolo. Il potere diffondente del cristallo è basso, ma con una ripresa lunga potrebbe essere un candidato ragionevole per una determinazione strutturale..

(28) Screening Esempio di un cristallo con un cattivo comportamento in diffrazione. Un phi scan di 2° di un «brutto» cristallo. Gli spot sono slargati e si sovrappongono.. Un phi scan di 2° dello stesso cristallo ad un angolo phi di +90°. Gli spot sono slargati e si sovrappongono..

(29) Rocking curve. L’ampiezza a mezza altezza della rocking curve in genere è una buona approssimazione della “mosaicità” del cristallo. Cristallografia con laboratorio - a.a. 2018-2019.

(30) Tempo di esposizione 10 s. 20 s. 20 secondi è meglio di 10 secondi.. 30 s. 30 secondi non è meglio di 20 secondi. Il tempo di esposizione migliore è 20 secondi per frame. comparazione.

(31) Analisi e riduzione dei dati • Determinare la cella elementare • Integrare (determinare l'intensità di diffrazione per ciascun picco corretta per vari effetti sistematici). • Effettuare il merging dei dati (riscalare, mediare, determinare la consistenza interna dei dati) • Effettuare la correzione per l’assorbimento • Calcolare i moduli o le ampiezze dei fattori di struttura dalla intensità mediate Cristallografia con laboratorio - a.a. 2018-2019.

(32) Determinazione della cella elementare  L’esperimento generalmente inizia con l’acquisizione di tre piccole scansioni che produrranno. tre set di immagini (in genere dalle 12 alle 30 immagini per set) con il campione orientato in tre direzioni ortogonali tra loro.  Le posizioni degli spot (riflessi) saranno “indicizzati” usando un routine di indicizzazione, che. assegnerà a ciascun spot una terna unica di tre indici di Laue. Contemporaneamente saranno determinate le dimensioni della cella unitaria (a, b, c, a, b ,g and V) e la matrice di orientazione che sarà in grado di predire la posizione di tutti I rimanenti spot.  Per effetto dell’indicizzazione la cella unitaria, il sistema cristallino e il reticolo di Bravais. saranno determinati.. Cristallografia con laboratorio - a.a. 2018-2019.

(33) Matrice di orientazione. a* b*. c*. La matrice di orientazione è una matrice 3x3 che contiene informazioni sia sulla cella elementare che sull’orientazione del cristallo Cristallografia con laboratorio - a.a. 2018-2019.

(34) Processo logico di Indicizzazione Con venti (o più) riflessi e con le relative posizioni angolari è possibile indicizzare, ovvero assegnare una terna di numeri interi hkl ad ogni riflesso ed individuare una cella di lati a, b, c ed angoli a, b, g. Per far questo ci sono vari metodi. Uno di questi è il metodo dei vettori differenza: • Si individuano le posizioni x*,y*,z* nello spazio reciproco. • Si determinano, per N picchi, tutti gli N(N1) vettori differenza • Si vanno ad individuare le frequenze dei vettori: quelli più frequenti sono, probabilmente, da associare a vettori reciproci di base, o a multipli di essi. Si sceglieranno i vettori differenza più piccoli e con angoli il più vicino possibile a 90° che indicizzano la maggior parte dei riflessi. Logica del processo di indicizzazione in 2D.

(35) Matrice di orientazione Se h≡(hkl) riferito al sistema del reticolo reciproco: a*, b*, c* e. x ≡(xyz) riferito al sistema del diffrattometro, allora: x=Ah.  a *x  * A  ay  a*  z. b *x b *y b *z. c*x   * cy  c*z . I 9 elementi di A sono le componenti di ogni asse della cella reciproca nelle direzione definite da x, il sistema di assi del diffrattometro Cristallografia con laboratorio - a.a. 2018-2019.

(36) Matrice di orientazione Una volta ottenuta la matrice A, si possono ottenere i parametri di cella, in quanto:. a  a a  b a  c   1 G  ( A' A)   b  a b  b b  c  ca cb cc   Dove A’ è la trasposta di A e G è la matrice metrica. Cristallografia con laboratorio - a.a. 2018-2019.

(37) Raccolta dati.  Un unico frame contenete qualche spot è insufficiente per ricostruire l’intero. reticolo cristallino; esso rappresenta solamente una piccolo porzione della trasformata di Fourier.  Per raccogliere l’intero pattern di diffrazione, il cristallo deve essere ruotato,. attorno gli angoli φ o ω. La scansione angolare viene fatta suddividendo l’ampiezza totale di scansione in tanti piccoli steps. Per ogni step verrà raccolto un frame..  Se il cristallo ha un’alta simmetria , un picco date set, costituito dai riflessi unici. (non equivalenti per simmetria) è sufficiente per determinare la struttura.. Cristallografia con laboratorio - a.a. 2018-2019.

(38) Verifica della cella • Percentuale di riflessi con indici h, k, l interi. • Confronto tra più cristalli della stessa specie. • Stima del volume molecolare - Regola di Kempster - Lipson  Per i composti ORGANICI, ogni atomo ≠ H occupa 18±2 Å3. (questo vale per CH2, OH, NH, SH, etc.) Da cui:. Vcella ~ Z*18*Natomi ≠ H. Questa regola vale anche per molti composti di coordinazione ed organometallici. Eventuali deviazioni indicano la presenza di: 1. legami particolarmente forti (multipli) 2. presenza di molecole di solvente occluse 3. presenza di atomi particolarmente grossi (metalli?) 4. contatti intermolecolari atipici. •. Stima della densità del cristallo (confronto valori teorico e sperimentale) PM * Z = r *V * N dove: [PM*Z] = [g mole-1]; [N] = [mole-1]; [V] = 10-24 cm3 SeV è dato in Å3 e PM in u.m.a.: PM*Z = r *Vcella * 0.6023 ↔ PM*Z = r * 18 * Z * Natomi ≠ H * 0.6023 r = PM / Natomi ≠ H * 0.09 g mole-1.

(39) Raccolta dati. phi- e omega-scans sono ortogonali hkl reciprocal lattice point. Diffracted beam. Omega-scans. hkl reflection. a different i phi-angles Detector. s. Phi-scans at different omega-angles Q Incident beam. . . C. P . s d O. Crystal hkl lattice planes Ewald sphere with radius r = 1/l. Reciprocal lattice.

(40) Strategia di Raccolta Un software simula centinaia di scansioni e sceglie le più adatte per la raccolta in base ai parametri della raccolta: • • • • •. Risoluzione Distanza detector-cristallo Ampiezza del passo di scansione Porzione di sfera di Ewald da raccogliere Tempi di esposizione (Si imposterà un tempo maggiore per i frames a risoluzione più alta). e degli obiettivi voluti: o Completezza o Ridondanza o Tempo di raccolta Il risultato della simulazione è una serie di corse caratterizzate da angoli di partenza, ampiezze angolari da coprire, tempi di esposizione..

(41) Risoluzione La risoluzione in cristallografia corrisponde alla minima distanza interplanare d misurabile dalla legge di Bragg. Essa corrisponderà al massimo valore di  per un dato set di dati di diffrazione. Per risolvere con successo una struttura la risoluzione dei dati deve essere < 1 Å. Ad es. con radiazione MoKa e dati raccolti a max= 25° la legge di Bragg daràv2sin(25°)/0.7107=1/dmin e cioè dmin=0.84 Å.. La stessa risoluzione si ottiene utilizzando CuKa fino ad un max= 66° Dati di alta risoluzione permettono un’accurata collocazione degli atomi. Cristallografia con laboratorio - a.a. 2018-2019.

(42) Influenza della risoluzione 0.9 Å. 2.5 Å. 1.5 Å. 4.0 Å. Cristallografia con laboratorio - a.a. 2018-2019.

(43) Distanza Detector-cristallo Un distanza più corta permette di coprire più porzioni della sfera di riflessione nello stesso tempo e quindi accorcia i tempi di raccolta Una distanza più lunga permette: • La risoluzione spaziale dei riflessi molto vicini nello spazio reciproco. • Miglior il rapporto segnalerumore,. Ruhl and Bolte, Z. Kristallogr., 215 (2000) 499-509. Un formula conservativa per calcolare la distanza di lavoro ottimale è la seguente: d(mm)= 1,5 x parametro di cella più grande (in Å). • ma è anche possibile che per fasci incidenti divergenti (non ben collimati) porti ad una aumento delle dimensioni fisiche del riflesso portando ad un aumento della varianza associata all’intensità misurata per via del rumore introdotto dal rilevatore..

(44) Distanza Detector-cristallo Due nodi del reticolo reciproco molto vicini tra loro d*hkl ≌ d1*hkl. d2. d1. s origine del reticolo reale. Frame raccolto a d1. Frame raccolto a d2 origine del reticolo reciproco. d1 < d 2.

(45) Passo della scansione Rappresenta l’ampiezza angolare coperta da ogni frame durante la raccolta. I nodi del reticolo reciproco sono entità tridimensionale, ma che sono osservati in due dimensioni come spot all’interno dei frames. Ogni spot rappresenta la sezione del nodo del reticolo reciproco esplorata durante l’intervallo angolare del passo di scansione proiettato nelle due dimensioni.. Per ricostruire correttamente l’intensità integrata durante la fase d’integrazione (vedi dopo) è opportuno porre un valore per il passo della scansione simile alla mosaicità del cristallo. In questo modo si suddivide il nodo reciproco in un adatto numero di spot, da cui poi si ricostruisce la forma tridimensionale del nodo stesso..

(46) Porzione della sfera di Ewald da esplorare Affinché un nodo del reticolo reciproco produca un raggio diffratto osservabile è necessario che esso attraversi la sfera di riflessione, quindi solo i nodi del reticolo reciproco la cui distanza dall’origine è inferiore al diametro della sfera di riflessione (2/l, raggio della sfera limite) possono andare in diffrazione. c* Comunque non tutti i nodi entro la sfera limite rappresentano osservabili indipendenti. Infatti per la presenza degli elementi di simmetria alcuni riflessi i cui indici soddisfanno particolari relazioni (a seconda degli elementi di simmetria operanti nel cristallo) avranno la stessa intensità . La sfera limite può essere divisa da tre piani, ognuno dei quali contenente due assi reciproci.. b*. a* Intersezione dei principali piani reciproci con la sfera limite..

(47) Porzione della sfera di Ewald da esplorare Per la legge di Friedel:. 𝐼ℎ𝑘𝑙 = 𝐼ℎ𝑘𝑙 per cui è sufficiente investigare un emisfero della sfera di riflessione. In principio, l’emisfero può essere arbitraria, ma in genere si sceglie la porzione delimitata da uno dei piani reciproci. Volume unico nello spazio reciproco per un cristallo triclino Per un cristallo monoclino la simmetria di diffrazione è quella della classe di Laue 2/m:. 𝐼ℎ𝑘𝑙 = 𝐼ℎ𝑘𝑙 = 𝐼ℎ𝑘𝑙 = 𝐼ℎ𝑘𝑙. Volume unico nello spazio reciproco per un cristallo monoclino. Quindi basterà studiare un quadrante della sfera limite, il resto dell’informazione la posso ricostruire facendo operare la classe di simmetria 2/m..

(48) Porzione della sfera di Ewald da esplorare Per un cristallo ortorombico la simmetria di diffrazione è quella della 2 2 2. classe di Laue 𝑚 𝑚 𝑚: 𝐼ℎ𝑘𝑙 = 𝐼ℎ𝑘𝑙 = 𝐼ℎ𝑘𝑙 = 𝐼ℎ𝑘𝑙 = 𝐼ℎ𝑘𝑙 = 𝐼ℎ𝑘𝑙 = 𝐼ℎ𝑘𝑙 = 𝐼ℎ𝑘𝑙 Quindi basterà studiare un ottante della sfera limite.. Di conseguenze i riflessi generali (hkl) unici per gli esempi mostrati sono:. Volume unico nello spazio reciproco per un cristallo ortorombico. 𝑇𝑟𝑖𝑐𝑙𝑖𝑛𝑜. 𝑢𝑛 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒: 0 → ∞ 𝑑𝑢𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖: −∞ → ∞. 𝑀𝑜𝑛𝑜𝑐𝑙𝑖𝑛𝑜. 𝑘 𝑒 𝑢𝑛𝑜 𝑡𝑟𝑎 ℎ 𝑒 𝑙: 0 → ∞ 𝑖𝑙 𝑠𝑒𝑐𝑜𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑖 ℎ 𝑜 𝑑𝑖 𝑙: −∞ → ∞. 𝑂𝑟𝑡𝑜𝑟𝑜𝑚𝑏𝑖𝑐𝑜. 𝑇𝑢𝑡𝑡𝑖 𝑔𝑙𝑖 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖: 0 → ∞. Con considerazioni analoghe è possibile estendere il ragionamento alle rimanenti classi di Laue.

(49) Porzione della sfera di Ewald da esplorare. Classe di Laue. Range di indici e condizioni limite. Frazione indipendente del volume di sfera. Tetragonale, 4/mmm. 0 … +h; 0 … +k; 0 …+l; h < k. 1/16. Esagonale 6/mmm. 0 … +h; 0 … +k; 0 …+l; h < k. 1/24. 0 … +h; 0 … +k; 0 …+l; h < k; k < l. 1/48. Cubico, m3m. In generale, qualunque frazione di sfera di riflessione, simmetricamente equivalente a quelle evidenziate nelle figure è accettabile..

(50) Raccolta dati Completezza La completezza indica la percentuale di riflessi unici raccolti sulla base di quelli attesi. Il data set ideale dovrebbe avere una completezza del 100% con i riflessi unici misurati più volte (vedi sotto). Questo non è sempre possibile a causa degli ingombri sterici delle parti strumentali che non consentono al detector di coprire tutta la superficie di sfera di riflessione voluta. Ridondanza La «ridondanza" dà il numero medio di osservazioni di riflessi unici o dei loro equivalenti di simmetria misurati con orientazione del cristallo differenti. Questo parametro viene usato per correggere il più importante dei fattori che influenzano l’intensità di diffrazione misurate, ovvero l’assorbimento. Per una raccolta ottimale, il valore delle ridondanza non deve essere inferiore a 2.. Il tempo totale della raccolta E’ una stima del tempo necessario alla strumentazione per eseguire la strategia di raccolta dati simulata. Questo valore deve essere compatibile con le esigenze di laboratorio e con gli obiettivi che si prefiggono di ottenere dalla raccolta dati (struttura, conferma della simmetria, configurazione assoluta, etc.).. Cristallografia con laboratorio - a.a. 2018-2019.

(51) Completezza Il modo più facile per capire quali parti dello spazio reciproco sono misurate è utilizzare la costruzione della sfera Ewald .La regione raccolta è il volume spazzato dalla superficie anteriore e posteriore della sfera 2max. Per una rotazione di 180°, il limite inferiore della sfera iniziale spazza il volume di colore verde e il limite superiore la parte marrone chiaro. La parte in marrone scura è raccolta due volte, mentre la parte in blu non è mai misurata.. Per via della legge di Friedel, questo dataset è completo (con l’eccezione dello spazio morto). Ma se per esempio si volesse studiare lo scattering anomalo allora sarebbe necessario un angolo di rotazione di 180° +2max (a meno che non vi fossero elementi di simmetria addizionali).. Cristallografia con laboratorio - a.a. 2018-2019.

(52) Lo spazio morto I vettori dello spazio reciproco vicino ad un asse di rotazione non passeranno mai attraverso la superficie della sfera di Ewald, anche per una rotazione di 360°. La regione di questi vettori viene detta «spazio morto» o «blind region». Lo spazio morto è più piccolo per le lunghezze d’onda corte, poiché la sfera di Ewald è più «piatta».. Lo spazio morto può essere misurato o collezionando un secondo dataset, dopo aver cambiando l’orientazione del cristallo ruotandolo di almeno un max (vedi figura di fianco) o sfruttando gli elementi di simmetria che agiscono nello spazio reciproco se presenti.. Cristallografia con laboratorio - a.a. 2018-2019.

(53) Simmetria e completezza Simmetria e intervallo totale di rotazione: un esempio del sistema ortorombico.. Una rotazione di 90° partendo da uno degli assi raffigurati nella figura accanto porta nel caso di un sistema ortorombico ad una dataset completo (con l’eccezione dello spazio morto).. Una rotazione di 90° partendo da una delle diagonali riprende lo stesso intervallo angolare di 45° due volte, portando ad un dataset incompleto.. Cristallografia con laboratorio - a.a. 2018-2019.

(54) Importanza della completezza. Un’anatra …. … e la sua trasformata di Fourier. Dati incompleti …. … e la loro antitrasformata di Fourier. Cristallografia con laboratorio - a.a. 2018-2019.

(55) Riduzione dei dati Si chiama riduzione dei dati la sequenza di step che permette di passare dalle intensità integrate ai moduli dei fattori di struttura. I F. 2. I hkl  KL( ) p ( ) A( )d (t ) Fhkl. 2. Termini correttivi Intensità integrata del riflesso hkl. K fattore di scala, L fattore di Lorentz, P fattore di polarizzazione, A fattore di assorbimento, d(t) tiene conto del decadimento col tempo dell'intensità del cristallo. Ampiezza del Fattore di struttura.

(56) Fattore di scala, K Allo scopo di comparare direttamente le intensità sperimentali con quelle calcolate è necessario misurare i valori assoluti delle intensità scatterate. Ma per far ciò è necesssario conoscere: 1. L’intensità assoluta del fascio incidente che raggiunge il campione 2. Determinare esattamente la porzione di intensità scatterata tramite diffrazione coerente e quella per diffusione incoerente. 3. Misurare l’intensità assorbita dai dispositivi di monocromattizzazione e collimazione prima del detector 4. Correggere i valori misurati per l’efficenza del detector 5. L’esatta conoscenza di diverse grandezze, quali: l’esatto volume della polvere irradiata,la frazione del volume del campione responsabile dello scattering, etc. La conoscenza contemporanea di tutti questi termini è impraticabile, per cui per praticamente le intensità misurate vengono messe sulla stessa scala di quelle assolute tramite l’ausilio di una costante di scala, il fattore di scala (K).. Cristallografia con laboratorio - a.a. 2018-2019.

(57) Fattore di Polarizzazione, P0 Il fattore di polarizzazione corregge la parziale polarizzazione subita dal fascio incidente in seguito allo scattering, come previsto dalla teroria della diffusione coerente di Thomson. La parziale polarizzazione può essere rappresentanta dividendo il fascio in due componeti: una con un ampiezza parallela (A||) e l’altra perpendicolare (A|). L’intensità diffratta è proporzionale al quadrato delle ampiezza (A) e le due proiezioni nel fronte d’onda diffratta sono proporzionali a 1 per (A||)2 e cos22 per (A|)2. Quindi il segnente fattore corretivo può essere ricavato:. 𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝟐𝜽 𝑷∝ 𝟐 Le costanti di proporzionalità vengono assorbite dal fattore di scala. Se si usa un cristallo monocromatore la formula di sopra si modifica nella seguente: 𝟏 + 𝑲𝒄𝒐𝒔𝟐 𝟐𝜽 𝑷∝ (𝟏 + 𝑲) Il fattore K tiene conto che il fascio incidente è già parzialmente polarizzato!.

(58) Fattore di Lorentz, L0 L'intensità diffratta può essere fattorizzata in due componenti: Il primo è la trasformata di Fourier della struttura cristallina, F(r*), il secondo è la trasformata di Fourier del reticolo, S(r*). I ( r*)  F ( r*)S ( r*). 2. S(r*) si chiama fattore di forma e non dipende dalla struttura ma solo dalla forma e dimensioni del cristallo. U,V,W rappresentano il numero di celle elementari lungo a, b, c tali che A = Ua, B =Vb, C =Wc. il numero di celle unitarie è Nu = UVW, x*, y*,z* coordinate nella cella reciproca Cristallografia con laboratorio - a.a. 2018-2019.

(59) Fattore di Lorentz, L0. Nel caso di cristallo infinito questa funzione è rappresentata nello spazio reciproco da una distribuzione  di picchi puntiformi. Nei casi reali i picchi puntiformi diventano nodi del reticolo reciproco.

(60) Fattore di Lorentz, L0 La direzione dell’allungamento dei nodi è inversamente proporzionale alla forma del cristallo nella stessa direzione. Cristallografia con laboratorio - a.a. 2018-2019.

(61) Fattore di Lorentz, L0 Il fattore di Lorentz corregge due differenti effetti geometrici e di conseguenza è dipendente da .. Per effetto delle dimensioni finite dei nodi del reticolo reciproco e allo spessore non nullo della superficie della sfera di Ewald, se si considera constante la velocità angolare di rotazione del reticolo reciproco, riflessi a  differenti spenderanno un tempo differente per attraversare la superficie della sfera di Ewald.. Cristallografia con laboratorio - a.a. 2018-2019.

(62) Fattore di Lorentz, L0 L’intensità di diffrazione sarà inversamente proporzionale al tempo di penetrazione del nodo reciproco. Se il cristallo è ruotato con una velocità angolare w attorno ad O, la velocità di penetrazione, vn, è data dalla componete della velocità v sulla direzione del raggio diffratto, s. Questa componete, vn, sarà il prodotto scalare :. v. . rh*.  . Raggio primario. S0. 1/l. Poiché v = wrh e rh = 1/d = 2sin/l *. L = (2sincos)-1 = (sin2)-1. L factor. 8. Si avrà che vn = (w/l)2sincos Poiché tutte le costanti possono essere incluse nel fattore di scala, t, è possibile considerare L uguale al reciproco delle variabili: Andamento del fattore L in funzione di 2. O v. vn=v·s = vcos. *. vn. 1 0. p/4. p/2 3/4p p 2.

(63) Riduzione dei dati.  I frames bidimensionali raccolti devono essere convertiti in un reticolo tridimensionale di riflessi. indicizzati. A ciascun riflesso deve essere associata un’intensità (proporzionale al |Fh|2) e una deviazione standard, σ(I)..  La prima parte della riduzione dati è chiamata «integrazione». Questa procedura usa la matrice. di orientazione e inizia ad applicare alcuni fattori correttivi quali il fattore di Lorentz e di polarizzazione. Essa converte centinaia di immagini contenenti miglia di riflessi in un singolo file, formato dagli indici di Miller, l’intensità con la relativa deviazione standard, e i coseni degli angoli delle direzione di diffrazione per ciascun riflesso..  La seconda parte della riduzione dati usa i coseni degli angoli delle direzioni di diffrazione per. correggere l’assorbimento del campione, normalizzare i valori delle sigma, riscalare i riflessi e ordinarli. In questa fase si esegue anche una completa analisi degli errori del data set. Cristallografia con laboratorio - a.a. 2018-2019.

(64) Integrazione Il grafico della correlazione della forma degli spot è il miglior indicatore della qualità dell’integrazione. Fattori di correlazione inferiori al 40% indicano che la matrice di orientazione non descrive correttamente il pattern di diffrazione. Gli errori tra le coordinate osservate X,Y and Z dei centroidi dei riflessi e quelle attese dovrebbero essere inferiore ad 1 pixel e non dovrebbero variare durante l’integrazione. La forma degli spot dovrebbe essere contenuta nella box di integrazione. Riflessi sdoppiati possono indicare la diffrazione da parte di cristalli non singoli.. Una delle figure di merito per il controllo della qualità dell’integrazione è l’Rsym: 𝑛 ℎ𝑘𝑙 𝑖=1 𝐼𝑖 (ℎ𝑘𝑙) − 𝐼𝑖 (ℎ𝑘 𝑙) 𝑅𝑠𝑦𝑚 = 𝑛 ℎ𝑘𝑙 𝑖=1 𝐼𝑖 (ℎ𝑘𝑙).

(65) Integrazione. Una delle figure di merito per il controllo della qualità dell’integrazione è l’Rsym: 𝑅𝑠𝑦𝑚 =. ℎ𝑘𝑙. 𝑛 𝑖=1 𝐼𝑖 (ℎ𝑘𝑙) − 𝐼𝑖 (ℎ𝑘 𝑙) 𝑛 ℎ𝑘𝑙 𝑖=1 𝐼𝑖 (ℎ𝑘𝑙). dove n= è il numero di riflessi che il riflesso (hkl) e il suo centrosimmetrico è stato raccolto..

(66) Correzione per l’assorbimento Se il cristallo è irregolare e la sua forma non rispecchia pienamente la simmetria della classe di Laue al quale esso appartiene, gli effetti di assorbimento porteranno ad una diseguaglianza tra le intensità dei riflessi equivalenti per simmetria. Questo fenomeno dipenderà: • dalla morfologia del cristallo • dalla lunghezza d’onda usata nell’esperimento • dal coefficiente di assorbimento che a sua volta è funzione della composizione chimica. Correzione empirica Si basa sulla ridondanza dei dati e permette di correggere i dati per i seguenti fattori: • • • •. Assorbimento del campione Anisotropie del fondo Disomogeneità del fascio Assorbimento della fibra su cui è montato il campione Cristallografia con laboratorio - a.a. 2018-2019.

(67) Correzione per l’assorbimento Se il cristallo è irregolare e la sua forma non rispecchia pienamente la simmetria della classe di Laue al quale esso appartiene, gli effetti di assorbimento porteranno ad una diseguaglianza tra le intensità dei riflessi equivalenti per simmetria. Questo fenomeno dipenderà: • dalla morfologia del cristallo • dalla lunghezza d’onda usata nell’esperimento • dal coefficiente di assorbimento che a sua volta è funzione della composizione chimica Consideriamo uno spessore infinitesimo dt di un certo materiale che sia attraversato da una radiazione di lunghezza d’onda l e intensità I. la variazione infinitesima dI d’intensità dovuta all’assorbimento dello spessore infinitesimo sarà: 𝑑𝐼 = −𝜇𝑑𝑡 dove  è il coefficiente di assorbimento lineare, una costate di proporzionalità caratteristica della natura materiale e della lunghezza d’onda della radiazione. Cristallografia con laboratorio - a.a. 2018-2019.

(68) Correzione per l’assorbimento Consideriamo uno spessore finito x di un certo materiale che sia attraversato da una radiazione di lunghezza d’onda l e intensità I0: per calcolare l’intensità It trasmessa dallo spessore finito dobbiamo integrare la precedente equazione su tutto lo spessore x, quindi avremo: 𝑥 𝑥 𝑑𝐼 𝑑𝐼 𝑑𝐼 = −𝜇𝐼𝑑𝑥 ↔ = −𝜇𝑑𝑥 ↔ = −𝜇𝑑𝑥 ↔ 𝐼 𝐼 0 𝑜 𝐼 𝑥 = 𝑥 = 𝐼𝑡 ↔ [𝑙𝑛𝐼]0𝑥 = [−𝜇𝑥]0𝑥 ↔⋮ ⋮↔ 𝐼 𝑥 = 0 = 𝐼0 𝐼𝑡 ↔ 𝑙𝑛 = −𝜇𝑥 ↔ 𝐼𝑡 = 𝐼0 𝑒 −𝜇𝑡 𝐼0 Si definisce trasmittanza T del materiale: 𝑇=. 𝐼𝑡 = 𝑒 −𝜇𝑡 𝐼0. dove t è lo spessore percorso dal raggio. Si definisce assorbanza o estinzione E del materiale come:. 1 𝐼0 𝐸 = 𝑙𝑛 = 𝑙𝑛 = 𝑙𝑛𝑒 𝜇𝑡 𝑇 𝐼𝑡 da questa equazione si capisce perché la costante  è stata chiamata coefficiente di assorbimento lineare..

(69) Correzione per l’assorbimento S Nel caso di un esperimento di diffrazione il percorso t all’interno del cristallo della radiazione di lunghezza l diffratta dall’elemento di volume dV del cristallo è uguale (vedi figura a fianco) a q0 nella direzione S0 più q nella direzione S. q0 è il percorso del raggio diretto all’interno del cristallo per raggiungere dV a partire dalla superficie esterna del cristallo q è il percorso del raggio diffratto nel cristallo a partire da dV fino alla superficie esterna del cristallo.. t = q0 + q. dV. S0. q. q0. L’intensità globale trasmessa dal cristallo sarà: Raggi X 𝐼0 𝐼𝑡 = 𝑉. 𝑒 −𝜇(𝑞0 +𝑞) 𝑑𝑉 𝑉. Questo integrale triplo si può calcolare scomponendo dV in dxdydz e esprimendo (q0 + q) in termini di x, y e z dell’elemento di volume dV. Si nota immediatamente come l’integrale, e quindi l’intensità trasmessa, dipende dalla forma esterna del cristallo a cui sono legate q0 e q. Cristallografia con laboratorio - a.a. 2018-2019.

(70) Correzione per l’assorbimento Se attraverso lo studio al goniometro e al «microscopio ottico» si riesce a definire la morfologia, le dimensioni e l’orientazione del cristallo si può sperare di riuscire ad integrare analiticamente l’equazione della slide precedente. E’ necessario però conoscere l’assorbimento lineare  che dipende dalla sostanza studiata e dalla lunghezza d’onda l usata. Per un dato elemento chimico si definisce coefficiente di assorbimento di massa m il rapporto: 𝜇 𝜇𝑚 = 𝑑 dove d è la densità dell’elemento. m è costante per ogni elemento chimico per una data lunghezza d’onda e i suoi valori si trovano tabulati in letteratura. m cresce con continuità al variare di l secondo la legge: 𝜇𝑚 = 𝐾𝜆3 𝑍 3. dove Z è il numero atomico dell’elemento chimico (è per questo che gli schermi destinati a impedire la propagazione dei raggi X sono costituita da Pb, un atomo pesante, mentre elementi leggeri, come il Be sono usati per finestre destinate a lasciar passare i raggi X. per un materiale composta da più elementi chimici si scriverà:. Questa formula suggerisce che almeno in prima approssimazione lo stato di aggregazione e i legami non influiscono sull’assorbimento dei raggi X (lo stesso non vale per la luce).. 𝜇 = (𝑐𝑖 𝜇𝑚𝑖 ) 𝑑 𝑖 in cui d è la densità del campione e m è il coefficiente lineare del campione, ci è la percentuale in peso dell’i-esimo elemento avente coefficiente di assorbimento di massa 𝜇𝑚𝑖 . 𝜇𝑚 =.

(71) Correzione per l’assorbimento Correzione empirica In genere però nella pratica si ricorre ad una correzione empirica che si basa sulla ridondanza dei dati e permette di correggere i dati per i seguenti fattori: Assorbimento del campione • Anisotropie del fondo • Disomogeneità del fascio • Assorbimento della fibra su cui è montato il campione. Rotazione azimutale Affinché una famiglia di piani H dia luogo a diffrazione occorre orientare il vettore r*H in modo che il nodo del reticolo reciproco da esso individuato giaccia sulla superficie delle sfera di Ewald. Una rotazione azimutale Y ruota il cristallo intorno alla normale alla famiglia di piani H in questo modo l’angolo  non cambia e la condizione di Bragg resta mantenuta. In termini di reticolo reciproco si tratta di ruotare il reticolo reciproco stesso (solidale al reticolo diretto e quindi la cristallo) intorno ad r*H: il nodo H resta sulla superficie della sfera di riflessione.. rotazione azimutale.

(72) Correzione per l’assorbimento Per diffrattometri con detector puntuali si sfruttano le proprietà delle rotazioni azimutali (Y-scan) per studiare la variazione dell’intensità trasmessa in funzione dell’orientazione e della morfologia del cristallo:. I  Io exp(x) dove:.  = coefficiente di assorbimento lineare (mm-1). Y-scan Lo stesso riflesso subisce una rotazione di 360°. Poiché i cammini del raggio incidente e diffratto sono funzioni dell’azimut, l’assorbimento di una certa riflessione dipende a sua volta dall’azimut.. Io. I.

(73) Correzione per l’assorbimento Per diffrattometri con detector areale la correzione viene effettuata attraverso la ridondanza (osservazioni di riflessi unici o dei loro equivalenti di simmetria con orientazione del cristallo differenti) dei dati:. Se la superficie assorbente può essere modellizzata allora è possibile ricostruire l’intensità originale irradiata dalla sorgente.

(74) Correzione per l’assorbimento Correzione numerica: indicizzazione delle facce. Si determinano le lunghezze di tutte le possibili traiettorie della radiazione incidente e diffratta entro il cristallo per ogni riflesso hkl. Con il diffrattometro areale si sfrutta la simmetria di Laue e l’alta ridondanza dei dati.

(75) Correzione per l’assorbimento Con questo approccio è possibile correggere i seguenti effetti:. • Variazione del volume irradiato Cristalli più grandi del collimatore Cristalli mal allineati • Inomogeneità del fascio X incidente • Decadimento del cristallo • Assorbimento dei raggi X Cristallografia con laboratorio - a.a. 2018-2019.

(76) Errori nei dati. Riacquisendo la stessa misura N volte si aumenterà sia l’accuratezza (errori casuali) che la precisione (errori sistematici).. Cristallografia con laboratorio - a.a. 2018-2019.

(77) Correzione per l’assorbimento. Uno dei software più diffusi per questo scopo è SADABS (Siemens Area Detector ABSorption correction program).. I tre step principali della correzione con questo programma sono: 1. Modellazione dell’assorbimento (correzione degli errori sistematici). 2. Analisi degli errori e derivazione della corretta deviazione standard 3. Produzione dei dati corretti e relativi grafici diagnostici.. Cristallografia con laboratorio - a.a. 2018-2019.

(78) Correzione per l’assorbimento numerica La figura mostra il tipico risultato di una modellizzazione dell’assorbimento. Statistica dei riflessi. Tipo di assorbitore. Figure di merito della modellizzazione.

(79) Riduzione dati Merging I riflessi non sono tutti sulla stessa scala a causa di: fluttuazioni dell'intensità del fascio, differenza del volume irradiato, decadimento, assorbimento, polarizzazione, etc. Per giudicare la qualità dei dati dopo la loro riduzione si usa la figura di merito dell’Rint (talvolta questo indice viene indicato anche con Rmerge) 𝑅𝑖𝑛𝑡 =. ℎ𝑘𝑙. 𝑛 𝑖=1. < |𝐹𝑜 (ℎ𝑘𝑙)|2 > −|𝐹𝑜𝑖 (ℎ𝑘𝑙)|2 ℎ𝑘𝑙 |𝐹𝑜 (ℎ𝑘𝑙)|. 2. dove: n = è il numero di riflessi equivalenti per simmetria <|Fo(hkl)|2> è la media dei moduli quadri dei fattori di struttura equivalenti per simmetria. Rint dipende dalla ridondanza dei dati. Rint è perfetto a 0.05, è ancora buono intorno a 0.10 ed accettabile sino a 0.30..

(80) Correzione per l’assorbimento numerica La figura mostra la tipica analisi degli errori. Se il valore di Rint di una corsa è significativamente superiore alle altre, si può ripeter l’intero processo omettendo tale corsa dai dati. Cristallografia con laboratorio - a.a. 2018-2019.

(81) Correzione per l’assorbimento numerica Plot diagnostici Dovrebbe essere piatto.

(82) Riduzione dati. La determinazione del corretto gruppo spaziale di un cristallo è uno dei passaggi necessari nel corso di uno studio strutturale. Informazioni decisive a tal fine possono ottenersi dall'esame qualitativo delle intensità dei riflessi. Infatti il verificarsi di assenze sistematiche per determinate classi di riflessi può essere conseguenza della presenza di: 1) reticoli centrati; 2) slittopiani; 3) elicogire.. La determinazione del gruppo spaziale si articola in diversi steps …. Cristallografia con laboratorio - a.a. 2018-2019.

(83) Step per la determinazione del gruppo spaziale. 1. Analizzare la morfologia del campione.

(84) Step per la determinazione del gruppo spaziale 2. Determinare la classe di Laue dalla simmetria della figura di diffrazione. 3. Individuare i vettori della cella elementare e determinare gli angoli fra essi.

(85) Step per la determinazione del gruppo spaziale 4. Determinare le estinzioni sistematiche, se ve ne sono La centratura della cella interessa le hkl. Gli slittopiani interessano le h0l, hk0, 0kl. Le elicogire interessano le 00l, h00, 0k0..

(86) Step per la determinazione del gruppo spaziale. Ylid Unit Cell a=5.96 Å a=90° b=9.04 Å b=90° c=18.39 Å g=90°.

(87) Step per la determinazione del gruppo spaziale 5. Calcolare volume della cella e contenuto (Z) della cella La massa di un composto di peso molecolare W è m = W [g/mole] la massa di Z molecole è mZ = ZW/No [g] dove No = 6.023  1023 mole-1. Cristallografia con laboratorio - a.a. 2018-2019.

(88) Step per la determinazione del gruppo spaziale Se la cella ha volumeV si può calcolare la densità, a patto che Z sia noto. r = mZ/V = (ZW)/(VNo) g/cm3. r è anche chiamata “densità dai raggi X” perché’ stimata da risultati di diffrazione di raggi X. Poiché V è in Å3 cioè 10-24 cm3. rX = Z [(W 10)/(V 10-24 6.023) ]10-24 g/cm3 Ossia. rX  1.65 ZW/V g/cm3 Ai fini della determinazione del gruppo spaziale la formula precedente può essere utilizzata per stimare Z e verificare se questo è compatibile con il gruppo spaziale ipotizzato per il cristallo. Cristallografia con laboratorio - a.a. 2018-2019.

(89) Step per la determinazione del gruppo spaziale. 6. Analisi della simmetria interna.

(90) Step per la determinazione del gruppo spaziale Gli elementi di simmetria con componente traslazionale sono rivelati dalle estinzione sistematiche. E’ più difficile riconoscere gli elementi di simmetria senza componente traslazionale (vedere slide precedenti). La presenza o l’assenza di un centro di inversione è indicata dall’analisi statistica delle intensità, che però indica, che una certa assunzione è probabilmente vera Cristallografia con laboratorio - a.a. 2018-2019.

(91) Step per la determinazione del gruppo spaziale 7. Individuazione degli elementi di simmetria dalla statistica delle intensità Per tutti i test statistici i |F(hkl)| sono trasformati in |E(hkl)| . La distribuzione degli E in strutture centrosimmetriche differisce da quella delle strutture acentriche P(E) = |E|exp(-|E|2) è acentrica. se la struttura. P(E) = exp(-|E|2/2) è centrosimmetrica. se la struttura. 0.74. acentrica. 0.97. centrica. <|E2|-1>.

(92) Step per la determinazione del gruppo spaziale Un altro approccio è quello di calcolare la proporzione di dati con |E2| al di sotto di un certo valore, il cosiddetto test N(z). L’uso di queste statistiche può essere applicato anche ad altri elementi di simmetria, se si osserva che, ad es. un asse binario da’ una distribuzione centrica delle intensità nel piano ad esso normale. Cristallografia con laboratorio - a.a. 2018-2019.

(93) Step per la determinazione del gruppo spaziale. Analisi dell’intensità di diffrazione, delle assenze sistematiche e gruppo spaziale suggerito dal programma Xprep.

(94) Step per la determinazione del gruppo spaziale. 8. Verificare se i risultati dei punti da 1) a 7) sono compatibili con uno (o più) dei 230 gruppi spaziali. In caso di ambiguità, è anche possibile che solo il raffinamento strutturale potrà risultare decisivo nella scelta del G.S. corretto Cristallografia con laboratorio - a.a. 2018-2019.

(95)