Lezione 9 sistemi punti Ing civ 2015-2016

Sistema di Particelle

Due o più punti materiali

In un sistema di punti materiali occorre definire:

FORZE ESTERNE “F

(E)

_{” (ad es. Forza Peso)}

FORZE INTERNE “F” (per cui vale la III° Legge)

F_{1, 3}

Dati tre corpi di masse m₁, m₂, m₃

Vale la II° Legge di Newton

2 , 3 1 , 3 3 3 3 3 , 2 1 , 2 2 2 2 3 , 1 2 , 1 1 1 1

F

F

F

a

m

F

F

F

a

m

F

F

F

a

m

E E E











































2 , 3 1 , 3 3 3 3 3 , 2 1 , 2 2 2 2 3 , 1 2 , 1 1 1 1

F

F

F

a

m

F

F

F

a

m

F

F

F

a

m

E E E











































E sommando le equazioni si ottiene:

2 , 3 1 , 3 3 , 2 1 , 2 3 , 1 2 , 1 3 2 1 3 3 2 2 1 1

F

F

F

F

F

F

F

F

F

a

m

a

m

a

m

E E E

















































OVVERO:







E i i i

a

F

Dinamica dei sistemi

n punti materiali

Se il sistema S è isolato (non ci sono forze dall’esterno che agiscono sui suoi punti)

E le forze interne?







n i i T

p

P

1





La risultante delle forze interne è nulla

Dinamica

Dinamica

2 1

P

P













Per il principio di azione e reazione

0





F

i



0





P



_T 21 12

F

F









21 12

F

F







Dinamica

Dinamica

Dinamica dei sistemi

M

r

m

m

m

r

m

r

m

r

_CM



i i i



















...

...

2 1 2 2 1 1 _{M = massa totale}

M

v

m

dt

r

d

v

_CM



CM



i i i







Il CM porta tutta la quantità di moto del sistema

centro di massa (CM) Possiamo definire:





_i

_i

_i

CM

m

v

v

M





Dinamica

Dinamica

Dinamica dei sistemi

cost





_CM

CM

M

v

P





Nel sistema del CM,

la quantità di moto totale è nulla. Se il sistema è isolato

0



 CM

P



cost



CM

v



Nel sistema del CM

0



 CM

v







_{i i i} CM

m

v

P





In un sistema inerziale

Tot Tot C

m

P

E

2

2



Quantità di moto

CdM Tot

M

v

P







Quindi si ha che:

La quantità di moto di un sistema di particelle COINCIDE con la quantità di moto di un punto materiale che si muove come il Centro

di Massa ed ha una massa pari alla massa totale del sistema

Da qui segue che:

dt

P

d

F

Ext Tot









Solo forze esterne possono far variare la quantità di





0





0

dt

dP

F

_Ext

Se

Leggi del moto del

Centro di Massa (CdM)











dt

r

d

m

M

r

m

dt

d

M

dt

r

d

v

i i i i CdM CdM









1

1

k

v

j

v

i

v

v



_CdM



_CdM(X)





_CdM(Y)





_CdM(Z)







_{( , , )} ) , , (

1

Z Y X i i Z Y X CdM

m

v

M

v



Derivando ancora si ottiene:

dt

v

d

a

CdM CdM





_









i _{i i} i CdM

m

a

M

dt

v

d

m

M

a







1

1









i _{i i} i CdM

m

a

M

dt

v

d

m

M

a







1

1

_{Ma ciò equivale a dire:}









( Ext) i i i CdM

m

a

F

a

M





Tutta la massa del Sistema

Solo le Forze Esterne

Nessun altro punto del sistema si

muove in modo così semplice

Dinamica

Dinamica

Dinamica dei sistemi – sistemi non isolati

Il CM si muove come se fosse soggetto a tutte le forze che agiscono sul sistema





_i

_i

_i

CM

m

a

a

M









_i est i CM

F

a

M





dt

P

d

dt

v

d

M

a

M

_CM CM CM







_

_



 _i est i CM _F dt P d 

D

Dinamica

Dinamica

Sulle definizioni

M x m x_CM  i i i M y m y_CM  i i i M z m z_CM  i i i M v m v_CM  i i i   M m i _i z z v v _CM   i M r m r_CM  i i i   M m i _i x x v v _CM   i M m i _i y y v v _CM   i

Dinamica

Dinamica

Alcuni esempi

0 cost 2 1 2 1     _{x x} x m v m v P t x v_x2  ₂ 1 2 2 1 m m xx 

0



x CM

v

0 2 2 1 1  _ M m x m x

Solo forze interne. Nel momento dell’esplosione la forza peso è trascurabile. 1 2 2 1 m m xx  2 2 1 1x m x m   t x v_x1  ₁ 0 2 2 1 1   t x m t x m 0  CM x

Dinamica

Dinamica

Alcuni esempi

2 1 2 2 1 1 m m v m v m v_CM      









2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 m m v v m m m m v v m m v m v m P_T                  1 2 2 1 m v m v _{ } 





2 1 1 2 1 2 2 2 v v v m_m v _mv v _CM               Inoltre: 0   T P





2 1 2 1 2 1 1 1 v v v m_m v _mv v _CM              

Calcoliamo la velocità di m₁ e m₂ nel sistema CM :

Dinamica

Dinamica

Momento angolare

O = polo

v

r

m

p

r

L





















Per un moto in un piano (con O nello stesso piano), ha sempre la stessa direzione Moto circolare:















m

r

v

m

r

2

L













m

r

2

L

L





)

,

( v

r

piano

al

L









L



Dinamica

Dinamica

Momento angolare

 

ˆ

(

)

ˆ

(

ˆ

)

dt

u

d

r

u

dt

dr

u

r

dt

d

dt

r

d

v

r r r

















u

dt

d

r

u

dt

dr

v





ˆ

_r



ˆ

Nel caso di moto circolare

uniforme:

dt



0

dr

r

v







v



r

v





v



r



r

uˆ



uˆ

Ricordiamo che , in coordinate polari, la velocità può essere espressa:

Dinamica

Dinamica

Momento angolare

 

v

m

r



v

v

_



r

m

L























_r







v

r

m

v

r

m

L













_r











= 0

dt

d

r

r

m

v

r

m

L







_

















m

r

2

L

Il momento angolare è sensibile solo alla componente

della velocità

v

 r

v



v

v

Nota :

L = r v sin 

Angolo tra r e v (non viceversa)

O v   = 270° Orario l < 0 O v _  = 90° Antiorario l  0

Dinamica

Dinamica

Momento della forza

r



F

p

r

L











= 0 _{= F}

_r

_F

dt

L

d



_



_



M

F

r











Si definisce

Momento della forza

_dt

L

d

M









sin





 F

r

M



dt

p

d

r

p

dt

r

d

dt

L

d



















Dinamica

Dinamica

Conservazione del momento angolare

L

dt

L

d

M







M





0

L



cost



0



M

Se

F



0

r

//

F



0







r

T

M







L





cost









m

r

2

L

cost





T

Dinamica

Dinamica

Ancora il pendolo

Il momento di T è nullo!

dt

dL

M 

M





r



mg



sin

















r

m

v

m

r

2

L

















_r

_mg

_sin

_m

_r

2

0

sin

2 2









r

g

dt

d

₀

2 2









r

g

dt

d

θ piccoli

Dinamica

Dinamica

Impulso

dt

p

d

F







_F



_dt

_

_d

_p









p p t

p

d

dt

F

0 0





dt

F

p





t



0





impulso di una forza: J









t

F

dt

p

J

0







L’impulso di una forza produce una variazione della quantità di moto

 

 _  _

s m kg J

Dinamica

Dinamica

Impulso del momento angolare

dt

L

d

M









d

L







M



dt

_

_L

_



t

_M

_dt

0







r

F



dt

r

F

dt

r

J

L





t













t

















0 0 Momento dell’impulso

La variazione del momento angolare è uguale al momento dell’impulso applicato

Dinamica

Dinamica

Forze centrali

Se

O = centro della forza particella libera

0

0





M

F





F r M    

F

r



//



0



M



Forze centrali

Dinamica

Dinamica

Moto con forze centrali

0



M



_L





_cost

cost

2 2

_

_

_

_





dt

d

r

m

r

m

L





Moto in un piano Calcoliamo l’area:

_dA

_r

2

_d



2

1



cost

2

1

2

1

_{2 2}









r



dt

d

r

dt

dA

cost



dt

dA

Momento Angolare Totale

vale

 

esterne

dt

L

d











Così come avevamo









ext i CM CM

_ma

_F

dt

dv

M

dt

dP

Nota: L’origine rispetto a cui calcolare i momenti deve essere la stessa  i

m₃ v₃ r₃ v₃ m₃ r₃ m₁ r₁ v1

Dinamica

Dinamica

Sistemi di punti - momento angolare

p

r

L











F r M     M dt L d  



1 12



2



2 21



1 m m

M

r

F

F

r

F

F

M

2 1































21 1 2 2 2 1 1 m m

M

r

F

r

F

(

r

r

)

F

M

2 1



































12 21

F

F









= 0

Calcoliamo

2 1 m m

M

M







Dinamica

Dinamica

Conservazione momento angolare

0



dt

L

d



_T

Dunque



1 2



m₁ m₂ 2 1

L

L

M

M

dt

d

L

dt

d

L

dt

d























cost

...

2 1

 L





L





est T

_M

dt

L

d



_



In caso di F

_est

= 0  M

_est

= 0 oppure F

_est

// r

cost



T

L



Dinamica

Dinamica

Esempio

Consideriamo come polo O

0



ext

M



L



_T



cost

fin fin in in

L

L

L

L



₁





₂





₁





₂ Si conserva il momento angolare totale 2 2 2 1 2 1

2

2

mr





mr



₂ 1 2 2 1 2





r

r



m

m

m

se

₁



₂



M=0 M=0

Dinamica

Dinamica

Momento angolare rispetto ad un polo mobile

CM O ext T

_M

_v

_M

_v

dt

L

d















_' 0 '  CM  O Mv v 

Se si ricade nel caso precedente !

Il polo O’ si muove con velocità

0

'  CM  O Mv

v  se: • O’ fisso •

• O’ coincide con CM • ' O v CM o v v _'// 0 '  O v 0  CM v

Dinamica

Dinamica

Momento angolare rispetto al CM

Si può anche dimostrare che:

Se usiamo come polo il punto CM

 



_est T

_M

dt

dL

CM CM T T

L

M

r

v

L

















ext CM ext ext

_M

_r

_F

M







*









 



M

_ext

dt

dL

Dinamica

Dinamica

Teorema di Köning per il momento angolare



















₍



₎

₍



₎

CM i i i CM i i i i i

m

v

r

r

m

v

v

r

L















Per definizione di CM ! CM CM

v

r

M

L

L

















Momento del

sistema Lab Momento del _{sistema CM} Momento CM nel _{sistema Lab}

Dim: CM i i CM i i i CM CM i i i i i i i m v r m v r m v r m v r 



 



 



 



           

L

* = 0 = 0 CM CM

v

r

M









  i i ir m  0



  i i iv m  0

Dinamica

Dinamica

Teorema di K

ö

ning per l’energia cinetica





i

i

k

mv

E

2

2

1

E_K nel sistema Lab

2

2

1

CM

K

K

E

Mv

E







Nel sistema Lab:





_

_

_















   i CM i i i CM i i i i i CM i i K

m

v

v

m

v

m

v

m

v

v

E





(



)



2

1

2

1

2

1

2 2 ₂ E_K del CM nel sistema Lab E_K nel sistema CM

   

v_CM  v_CM 0

Dinamica

Dinamica

Il lavoro

i i ext i i i i

F

d

s

F

d

s

F

d

s

dW





















int



















ij i ji j ij

d

s

F

d

s

F

W

int



int





int



int

W

W

W

TOT



ext



Dal “teorema delle forze vive”







 

_















ij ij ij ij i j ij

d

r

r

F

d

r

F

W

int



int









k i k f k TOT

_E

_E

_E

W









Il lavoro delle forze interne non è nullo!

Dinamica

Dinamica

Forze esterne conservative

Se le forze esterne sono conservative:

₍

_W

ext







_U

ext

₎

kin fin k ext TOT

_W

_W

_E

_E

W





int





int

)

(

U

U

W

E

E

_{k fin}



_kin





ext_fin



_inext



int

)

(

)

(

E

_{k fin}



U

ext_fin



E

_kin



U

_inext



W





ext i ext

_U

U



 2 2 1 i i k mv E Attenzione:

Dinamica

Dinamica

Forze interne conservative

Energia propria





_U

int

E

_k ext in k fin k ext in k fin k

W

U

E

E

W

W

E

E



















int int ext in fin k in in k

U

E

U

W

E



)



(



)



(

int int





i i

U

U

int int 



i i C

mv

E

2

2

1

(Energia propria)_f - (Energia propria)_i = Lext

Sistema isolato: Lext _{= 0 Energia propria = cost}