Dinamica dei sistemi di punti materiali

Dinamica dei sistemi di punti materiali

Testo di riferimento:

•  “Elementi di Fisica”, Mazzoldi, Nigro, Voci

a.a. 2017-2018

Dinamica dei sistemi di punti materiali

Testo di riferimento:

•  “Elementi di Fisica”, Mazzoldi, Nigro, Voci

a.a. 2017-2018

dal Programma

o  Dinamica dei sistemi di punti materiali

Forze esterne ed interne. Centro di massa. I e II equazione cardinale del moto. Conservazione

della quantità di moto e del momento angolare.

Condizioni di equilibrio. Proprietà del centro di

massa. Sistema CM. Teoremi di König. Lavoro ed

energia cinetica. Energia potenziale.

Sistemi di n punti materiali

o  Sistema di n punti materiali (n>1) interagenti tra loro e con il resto dell’Universo

o  Consideriamo la forza F _i agente sull’i- esimo punto materiale del sistema.

n  Sarà la somma (risultante) delle forze esterne agenti sul punto e delle forze esercitate dagli altri n-1 punti, forze interne al sistema

!

F

= !

F

+ !

F

Sistemi di n punti materiali

o  Applichiamo alla forze interne il terzo principio della dinamica:

n  F

forza agente sul punto i dovuta a j

n  F

forza agente sul punto j dovuta a i

!

F _ji = − ! F _ij

P_j

F ! + !

F = 0

Sistemi di n punti materiali

o  Consideriamo ora la risultante di tutte le

forze interne (applicate a tutti i punti materiali):

n  la risultante delle forze interne è nulla !

31/01/18 Giuseppe E. Bruno 6

R ! ^I = ! F _i ^I

i

∑ ^{= F ! ij}

j≠i

∑

i

∑ ^{= 0}

Sistemi di punti materiali

o  Per ciascun punto posso scrivere/definire:

n  posizione: r

; velocità: v

n  accelerazione: a

; quantità di moto: p

=m

v

n  momento angolare: L

=r

x m

v

n  energia cinetica: E

= ½ m

v

o  Per il sistema di punti posso definire:

n  quantità di moto totale: P = Σ

p

= Σ

m

v

n  momento angolare totale: L = Σ

L

= Σ

r

x m

v

n  energia cinetica totale: E

= Σ

E

= Σ

½ m

v

Centro di massa

o  Si definisce come centro di massa di un

sistema di punti materiali il punto geometrico individuato dal seguente

o  che ha coordinate cartesiane:

r !

=

m

! r

i

∑

m

i

∑ ⁼

m

!

r

+ m

!

r

+... + m

! r

m

+ m

+... + m

x_CM =

m_ix_i

i

∑

m_i

∑

m_iy_i

i

∑

m_i

∑

m_iz_i

i

∑

m_i

∑

Velocità del centro di massa

o  gli n punti materiali cambiano la loro

posizione al variare del tempo à anche la posizione del centro di massa può variare nel tempo. Calcoliamo la velocità del

centro di massa

v !

= d ! r

dt =

m

d dt

r !

i

∑

m

i

∑ ⁼

m

! v

i

∑

m

i

∑ ⁼

P ! m

r!_CM =

m_i! r_i

i

∑

m_i

i

∑

m

∑ ^{= m}

P = m ! !

v

Quantità di moto di un sistema di punti materiali

m

i

∑ ^{= m}

P = m ! ! v

o  la quantità di moto di un sistema di

punti di materiali è pari alla quantità di moto mv _CM , che spetterebbe ad un

punto materiale coincidente con il

centro di massa ed avente massa pari

alla massa dell’intero sistema.

Accelerazione del centro di massa

o  calcoliamo l’accelerazione del centro di massa,

secondo la definizione,

come abbiamo fatto prima

per la velocità _!

v

=

m

! v

i

∑

m

i

∑

r !

=

m

! r

i

∑

m

i

∑

a !

= d ! v

dt =

m

d dt

v !

i

∑

m

i

∑ ⁼

m

! a

i

∑

m

i

∑

Teorema del moto del centro di massa

v !

=

m

! v

i

∑

m

i

∑

r !

=

m

! r

i

∑

m

i

∑

m !

a

= m

! a

i

∑ ⁼ ( ^{F !}

^{+ F !}

)

i

∑ ^{= R !}

^{+ R !}

^{= R !}

o  Assumiamo che il nostro sistema di riferimento sia inerziale. Per ciascun punto vale la legge di Newton:

n  ma

= F

= F

+ F

a !

=

m

! a

i

∑

m

i

∑

R !

= m ! a

Il centro di massa si muove come un punto materiale in cui sia concentrata tutta la massa ed a cui sia applicata la risultante delle forze esterne

Teorema del moto del centro di massa

v!_CM =

m_i! v_i

i

∑

m_i

i

∑

r!_CM =

m_i! r_i

i

∑

m_i

i

∑

a!_CM =

m_i! a_i

i

∑

m_i

i

∑

R !

= m !

a

= m d ! v

dt = d

dt (m !

v

) = d ! P dt

Il centro di massa si muove come un punto materiale in cui sia concentrata tutta la massa ed a cui sia applicata la risultante delle forze esterne

o  Riscriviamo questa espressione per avere la quantità di moto del sistema anziché

l’accelerazione del centro di massa:

R !

= m ! a

La risultante delle forze esterne è pari alla derivata rispetto al tempo della quantità di moto totale del sitema

Esempio 6.2 del Mazzoldi

o  determinare la posizione del centro di massa di un sistema di due punti

materiali, posti a distanza d tra loro, di massa m

ed m

n  svolgimento alla lavagna …

Esempio 6.3 del Mazzoldi

o  determinare la posizione del centro di massa di un sistema di tre punti

materiali, di ugual massa m, posti ai

vertici di un triangolo equilatero di lato a

n  svolgimento alla lavagna …

Esempio 6.5 del Mazzoldi

o  si determini il moto del centro di

massa di un sistema di punti sottoposti alla sola forza peso

n  svolgimento alla lavagna …

Principio di conservazione della quantità di moto

o  Se la risultante delle forze esterne è nulla

n  caso particolare: sistema isolato

allora si ha:

R !

= m !

a

= d ! P dt

a !

= 0 !

v

= cost !

P = cost

Se la risultante delle forze esterne è nulla, la quantità di moto totale del sistema rimane costante nel tempo ed il centro dimassa del sistema si muove di moto rettilineo uniforme o resta in quiete

Principio di conservazione della quantità di moto

o  Esempi di applicazioni

n  Sistema di due punti materiali

Principio di conservazione della quantità di moto

o  Esempi 6.7

n  Sistema di due punti materiali

altri esercizi svolti alla lavagna

Teorema del momento angolare

o   Ci riferiamo ad un qualsiasi polo O, che può anche essere in movimento

o   calcoliamo la derivata rispetto al tempo:

L = ! ( !

r

× m

! v

)

i

∑

d dt

L = ! d ! r

dt × m

! v

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ + !

r

× m

d ! v

dt

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

i

∑

i

∑

Ricavata nelle prossime

trasparenze

d ! r

dt = !

v

− !

v

m

d !

v

dt = m

!

a

= !

F

= !

F

+ ! F

d dt

L = ! !

v

× m

! v

( ) ⁻ ∑ ( ^{v !}

^{× m}

^{v !}

) ^{+ ∑} ( ^{r !}

^{× F !}

) ⁺

∑ ^∑ ( ^{r !}

^{× F !}

)

Teorema del momento angolare

d ! L

dt = !

v

× m

! v

( ) ⁻ ∑ ( ^{v !}

^{× m}

^{v !}

) ⁺ ( ^{r !}

^{× F !}

)

i

∑ ⁺

i

∑ ( ^{r !}

^{× F !}

)

i

=0

∑

d ! L

dt = − !

v

× m

! v

( )

i

∑ ⁺ ( ^{r !}

^{× F !}

)

i

∑ ⁺ ( ^{r !}

^{× F !}

)

i

∑ ⁼

= − !

v

× m !

v

+ !

M

+ ! M

M !

= !

r

× ! F

( )

i

∑ ^{M !}

⁼ ( ^{r !}

^{× F !}

)

i

∑

Momento delle forze

esterne rispetto al polo O Momento delle forze

interne rispetto al polo O

Il momento delle forze interne è sempre nullo

Il momento delle forze interne è sempre nullo

M !

= !

r

× ! F

( )

i

∑ ^{= 0}

M !

= !

r

× !

F

+ !

r

× !

F

= !

r

× !

F

− !

r

× !

F

= ( ! r

− !

r

) × !

F

= !

r

× !

F

= 0

Consideriamo la somma dei momenti delle due forze F

ed F

:

Il vettore r_ij = P_iP_j ha la stessa direzione dei vettori F_ij=-F_ji

Teorema del momento angolare

d ! L

dt = − !

v

× m

! v

( )

i

∑ ⁺ ( ^{r !}

^{× F !}

)

i

∑ ⁺ ( ^{r !}

^{× F !}

)

i

∑ ⁼

= − !

v

× m !

v

+ !

M

+ ! M

M !

= !

r

× ! F

( )

i

∑

M !

= d ! L

dt + !

v

× m ! v

Se il polo è fermo, oppure se v_O x mv_CM è nullo, l’epressione si semplifica:

formula generale, che vale anche per polo O in movimento

M !

= d ! L dt

Quando v_O x mv_CM è nullo:

1.  il polo O è fisso, v_O =0

2.  il centro di massa è fermo, v_CM=0

3.  il polo O coincide con il centro di massa 4.  v ha stessa direzione di v

Teorema del momento angolare

M !

= d ! L dt

In un sistema di riferimento inerziale, il momento delle forze esterne (M

)

calcolate rispetto ad un polo O fisso o rispetto al centro di massa è pari alla derivata rispetto al tempo del momento angolare (L) del sistema di punti materiali calcolata rispetto allo stesso polo

d ! r

dt = !

v

− ! v

dobbiamo ancora dimostrare che y

y Abbiamo usato O per indicare il polo. Usiamo il

simbolo Q per indicare l’origine del mio sistema di riferimento inerziale

r ! = OP = QP − QO

P_i

→ d ! r

= dQP

− dQO

Conservazione del momento angolare

o  Consideriamo ora un caso in cui valga ed assumiamo ulteriormente che il

momento delle forze esterne, rispetto al polo O, sia nullo:

M !

= d ! L dt d !

L

dt = 0 → !

L = costante → !

L

= ! L

Principio di conservazione del momento angolare

Se è nullo il momento delle forze esterne calcolato rispetto ad un punto fisso o rispetto al centro di massa, si conserva il momento angolare

calcolato rispetto a tale punto Condizioni per avere M^E=0:

•  sistema isolato (non agiscono forze esterne): L si conserva rispetto ad un qualsiasi polo fisso od al centro di massa. In tal caso si

conserva anche P perché R=0

•  ci sono forze esterne ma M^E=0 rispetto ad un determinato polo O.

Esempio 6.10

o  Due punti materiali di eguale massa sono legati tramite una barretta (di lunghezza 2r

)

estensibile di massa trascurabile e ruotano senza attrito su un piano orizzontale liscio intorno ad un asse verticale passante per il

punto medio. Ad un certo punto, durante il moto, la lunghezza della barretta viene portata al valore 2r

>2r

.

Calcolare il valore finale della velocità angolare (velocità iniziale ω

)

r_f r_f

r_i ω_i

ω_i r_i

Sistema di riferimento del C.M.

o  In molti problemi conviene riferirsi al sistema di

riferimento del centro di massa

n  l’origine è nel centro di massa n  gli assi mantengono fissa la loro

orientazione rispetto a quella di un sistema di riferimento

inerziale (moto puramente traslatorio)

o  In generale tale sistema di riferimento non è inerziale !

n  a meno che il centro di massa si

muovi, rispetto al riferimento

inerziale, di moto rettilineo

uniforme

Sistema di riferimento del C.M.

o  Indichiamo con l’apice le

quantità riferite al sistema di riferimento del centro di

massa !

r

= !

r

'+ ! r

v !

= !

v

'+ ! v

Dalla relazione tra le velocità in due sistemi di riferimento in moto relativo

Nel nostro caso: O’ coincide com CM e ω=0

v = ! !

v '+ !

v

+ !

ω × ! r '

Ovviamente, nel sistema CM la posizione e la velocità del CM sono nulle:

r ! ^!

Sistema di riferimento del C.M.

r !

= !

r

'+ !

r

!

v

= !

v

'+ ! v

! ʹ

r

= 0 v ^!

ʹ = 0

Ricordiamoci che avevamo derivato (slide 8 e 9) le seguenti espressioni, valide in qualsiasi

sistema di riferimento:

r!_CM =

m_i! r_i

i

∑

m_i

i

∑

v !

= d ! r

dt =

m

! v

i

∑

m

i

∑ ⁼

P ! m

Applichiamole riferendosi al sistema CM:

m

! r

ʹ

i

∑ ^{= 0 m}

^{v ! ʹ}

i

∑ ^{= P = 0 ! ʹ}

La quantità di moto totale del sistema P’ misurata nel sistema centro di massa è sempre nulla (anche se i singoli contributi

Sistema di riferimento del C.M.

! ʹ

r

= 0

! ʹ

v

= 0

m

! r

ʹ

i

∑ ^{= 0} _m

i

! ʹ v

i

∑ ^{= P = 0 ! ʹ}

Il sistema del centro di massa NON è inerziale:

sui singoli punti materiali bisogna anche considerare la forza apparente (forza di trascinamento), che per qualsiasi punto vale (il moto è traslatorio) F_app = F_t = -m_ia_t = -m_ia_CM

Nel sistema del centro di massa la legge di Newton si scrive quindi, per il generico punto materiale i-esimo: F_i^E + F_i^I – m_ia_CM = m_i a’_i

Sommando su

!

R

− m !

∑ a ^{= R !}

^{− m a ! =} ∑ ^{m a ! ʹ = 0 ! !}

Sistema di riferimento del C.M.

! ʹ

r

= 0

! ʹ

v

= 0

m

! r

ʹ

i

∑ ^{= 0 m}

^{v ! ʹ}

i

∑ ^{= P = 0 ! ʹ}

m

! a ʹ

i

∑ ^{= 0}

Momenti angolari e momenti delle forze nel sistema del CM (cenni)

Si può dimostrare che:

1.  Il momento risultante rispetto al centro di massa nel sistema CM delle forze esterne, delle forze interne e delle forze apparenti è uguale al solo momento delle forze esterne M’^E=Σ_i r’_i x F_i^E , senza contributi delle forze apparenti (né delle forze interne, come già dimostrato in generale)

2.  vale ancora il teorema del momento angolare per le grandezze calcolate nel sistema di riferimento (spesso non-inerziale) del CM:

d !

L ʹ ! M ʹ

! ʹ

L = !

r ʹ × ! F

∑

dove

Teorema di König

o  Consideriamo come polo, l’origine del sistema di riferimento inerziale.

o  Il momento angolare (del sistema) è dato da:

o  Utilizziamo le relazioni (slide 28):

L = ! !

r

× m

! v

i

∑

r !

= !

r

'+ !

r

v ^!

= !

v

'+ ! v

L = ! !

r

× m

! v

i

∑ ^{= ( r !}

^{'+ r !}

^{) × m}

^{( v !}

^'+

i

∑ ^{v !}

^{) =}

= !

r

'× m

! v

'+

i

∑ ^{r !}

^{× m}

^{v !}

^'+

i

∑ ^{r !}

^{'× m}

i

∑ ^{v !}

^{+ r !}

^{× m}

i

∑ ^{v !}

L ' ! 0 0

Teorema di König

L = ! !

r

× m

! v

i

∑ ^{= ( r !}

^{'+ r !}

^{) × m}

^{( v !}

^'+

i

∑ ^{v !}

^{) =}

= !

r

'× m

! v

'+

i

∑ ^{r !}

^{× m}

^{v !}

^'+

i

∑ ^{r !}

^{'× m}

i

∑ ^{v !}

^{+ r !}

^{× m}

i

∑ ^{v !}

L ' ! 0 0

r !

× m

! v

' =

i

∑ ^{r !}

^{× m v !}

^{' = m r !}

^{× 0 = 0}

m

! r

'

⎛ ∑

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟× !

v

= 0 × !

v

= 0

m

i

⎛ ∑

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ !

r

× !

v

=

= !

r

× m !

v

= !

r

× !

P

Teorema di König

L = ! !

L '+ !

r _CM × m !

v _CM = !

L '+ ! L _CM

m

i

⎛ ∑

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ !

r

× !

v

=

= !

r

× m !

v

= !

r

× ! P L = ! !

r

× m

! v

i

∑ ^{= ( r !}

^{'+ r !}

^{) × m}

^{( v !}

^'+

i

∑ ^{v !}

^{) =}

= !

r

'× m

! v

'+

i

∑ ^{r !}

^{× m}

^{v !}

^'+

i

∑ ^{r !}

^{'× m}

i

∑ ^{v !}

^{+ r !}

^{× m}

i

∑ ^{v !}

L ' !

Teorema di König

o  Il momento angolare del sistema si può scrivere, nel sistema di riferimento

inerziale, come somma del momento angolare “dovuto al centro di

massa” (L

) edi quello del sistema rispetto al centro di massa (L’)

L = ! !

L '+ !

r _CM × m !

v _CM = !

L '+ !

L _CM

Teorema di König per l’energia cinetica

E

=

m

v

i

∑ !

v

= !

v

'+ ! v

E

=

m

( !

v

'+ !

v

)

i

∑

v

= ! v

( !

v

'+ !

v

)

= ( !

v

'+ !

v

)⋅ ( !

v

'+ !

v

) = !

v '

+ !

v

+ 2 !

v

'⋅ ! v

= v

+ v

+ 2 !

v

'⋅ ! v

E

=

m

v'

i

∑ ⁺

^m

^v

⁺

i

∑

^m

^{2 v !}

^{'⋅ v !}

i

∑ ⁼

= E ' +

mv

+ m ! v '

⎛ ∑

⎜ ⎞

⎟⋅ !

v = E ' +

mv

Teorema di König per l’energia cinetica

E

=

m

v

i

∑

E

= E '

+

mv

E '

=

m

v'

i

∑

o  L’energia cinetica del sistema si può scrivere, nel sistema di riferimento

inerziale, come somma dell’energia cinetica

“dovuta al centro di massa” (E

) e di quella del sistema rispetto al centro di massa (E’

)

E

=

mv

E

= E '

+ E '

Il teorema dell’energia cinetica

o  Per il singolo punto materiale, avevamo collegato il lavoro fatto da tutte le forze

applicate alla variazione di energia cinetica

o  Consideriamo ora un punto materiale (i) di un sistema e rifacciamo lo stesso conto

(dobbiamo considerare tutte le forze) dL = !

F • d !

s = m !

a • d !

s = m d ! v

dt • d !

s = m !

v • d ! v = = md

!

v • !

( v ) ^{= d} (

^mv

) ^{= dE}

L = dL = dE

i f

∫ ^{= E}

⁻

i f

∫ ^E

Il teorema dell’energia cinetica

o  Consideriamo ora un punto materiale (i) di un sistema e rifacciamo lo stesso conto

(dobbiamo considerare tutte le forze) dL

= !

F

• d !

r

= m

!

a

• d !

r

= ... = = d (

m

v

) ^{= dE}

L

= dL

= dE

ini fin

∫ ^{= E}

⁻

ini fin

∫ ^E

Il teorema dell’energia cinetica

dL

= ( !

F

+ !

F

)• d !

r

= dL

+ dL

L

= L

+ L

v_i,A

v_i,B v_i

Sommando su tutti punti del sistema, il lavoro delle forze interne non si annulla !

dL

= !

F

• d !

r

= dE

L

= E

formula della slide precedente

Concentriamoci un momento sul lavoro F_iŸdr_i:

! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !

Infatti se consideriamo una qualsiasi coppia di punti (m_i ed m_j):

Il teorema dell’energia cinetica

dL

= ( !

F

+ !

F

)• d !

r

= dL

+ dL

L

= L

+ L

v_i,A

v_i,B v_i

dL

= !

F

• d !

r

= dE

L

= E

Sommando su tutti punti del sistema:

dL = dL

=

i

∑ ^dE

⁼

i

∑ ^dE

L = E

− E

dL

+ dL

= dE

L

+ L

= E

− E

separando tra lavoro delle forze esterne ed interne

Il teorema dell’energia cinetica

dL = dL

=

i

∑ ^dE

⁼

i

∑ ^dE

L = E

− E

dL

+ dL

= dE

L

+ L

= E

− E

separando tra lavoro delle forze esterne ed interne

o  Il lavoro complessivo fatto dalle forze esterne ed

interne che agiscono su un sistema di punti materiali è uguale alla variazione dell’energia cinetica dello

stesso sistema

teorema dell’energia cinetica

o   Se sia le forze interne che quelle esterne sono

conservative, si ottiene il teorema di conservazione dell’energia meccanica del sistema:

Il teorema dell’energia cinetica

o   Il lavoro complessivo fatto dalle forze esterne ed

interne che agiscono su un sistema di punti materiali è uguale alla variazione dell’energia cinetica dello

stesso sistema

teorema dell’energia cinetica

o  Se sia le forze interne che quelle esterne sono

conservative, si ottiene il teorema di conservazione dell’energia meccanica del sistema:

n  E

= E

à E

+ E

= E

+ E

o  Se non tutte le forze sono conservative, abbiamo invece:

n  ΔE = L à ΔE + ΔE = L

Esempio 6.13

o  Calcolare l’energia

potenziale della forza peso per un sistema di punti materiali

Soluzione: E_P=mgz_CM

Sistemi di forze: coppia di forze

o  Coppia di forze è un sistema di due forze di pari intensità, stessa direzione e versi

opposti, aventi una diversa linea di azione

n  due forze opposte che non hanno stessa retta d’azione

Se abbiamo un sistema di forze, possiamo definire la risultante ed il momento risultante rispetto ad un polo O

H

O O’

P M₀ F

M_0’

M!_O = !

M_O' + OO'× ! F se si cambia polo:

La risultante è nulla

Il momento di una coppia non dipende dal polo O scelto, è diretto perpendicolarmente al piano che contiene le due forze ed ha modulo M=bF

proprietà

Sistemi di forze parallele

o   tutte le forze hanno stessa direzione, individuata dal vettore u: F

=F

u

o  la risultante vale R=Σ

F

u o   il momento è dato da

n  M è ortogonale ad u M = ! !

r

× F

!

∑ u ⁼ ( ∑ ^F

^{r !}

) ^{× u !}

o   Voglio trovare un punto C tale che M sia pari ad OC x R

F

! r

( ∑ ) ^{× u = OC × ! R = OC × !} ( ^{∑ F}

) ^{u = !} ( ^{∑ F}

) ^{OC × u !}

F

! r

( ∑ ) ⁼ ( ^{∑ F}

) ^{OC OC =}

F

! r

( ∑ )

∑ F

( ) ⁼

F

!

r

+... + F

!

r

F +... + F

Sistemi di forze parallele

OC = F

! r

( ∑ )

F

( ∑ ) ⁼

F

!

r

+... + F

! r

F

+... + F

Il punto C è detto centro delle forze parallele

Possiamo “ridurre” un sistema di forze parallele, sostituendo a tutte le forze la sola risultante ed immaginandola applicata in C

•  La risultante applicata in C ha lo stesso

momento rispetto al polo O ed a ogni altro polo (come si potrebbe facilmente dimostrare)

Si potrebbe poi anche dimostrare che un generico sistema di forze è

Baricentro o centro di gravità

r

= OC = m

g ! r

∑

m

g

∑ ⁼

m

g ! r

∑

m

g

∑ ⁼

m

! r

∑

m

∑ ^{= r}

Il centro delle forze peso è dato da

Un caso particolare di forze parallele è quello della forza peso (fig. 6.25 b)

F_i=m_i g , R = m g (m=m₁+…+m_n)

Il centro delle forze peso, detto anche centro di gravità o baricentro, coincide con il centro di massa

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