Parte I 1 Cap 6 - Sistemi di punti materiali

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Nicola GigliettoA.A. 2017/18 3 6.2- IL CENTRO DI MASSA

Parte I

1 Cap 6 - Sistemi di punti materiali

Cap 6 - Sistemi di punti materiali

Il punto materiale è un’astrazione alla quale pochi casi si possono assimi- lare. La maggior parte degli oggetti reali sono invece costituiti da un insieme di punti materiali o da un continuo di punti materiali. Nonostante questa sia in genere una notevole complicazione, vedremo come un sistema di punti materiali (almeno nei moti di traslazione) si muove come se tutta la sua massa fosse concentrata in un solo punto particolare detto centro di massa. Questa proprietà permetterà di ricondurre la descrizione del moto di un sistema di punti al moto di un punto materiale.

2 6.1- Sistemi punti, forze interne ed esterne

Consideriamo n punti materiali interagento tra loro e con il resto dell’uni- verso. Se ~Fi `e la risultante delle forze agenti sull’i-simo punto possiamo distinguere per ognuno dei punti il contributo delle forze esterne ed interne:

F~i= ~Fêxt_i + ~Fînt_i Ma per quanto riguarda le forze interne si può applicare il principio di azione e reazione che stabilisce che le forze interne sono dirette lungo la congiungente i punti e uguali e opposte (a 2 a 2) Per cui la risultante di tutte le forze interne agenti sul sistema: ~Rînt=P

iR~^int_i = 0 Per il sistema di punti allora definiamo le grandezze meccaniche totali del sistema:

quantita di moto totale P~ =P

ip~i=P

im_i~v_i momento angolare totale ~L=P

iL~i =P

ir~i× miv~i

energia cinetica totale E_k=P

iE_k,i=P

i1 2m_iv_i²

3 6.2- Il centro di Massa

6.2 Centro di Massa

Definiamo il Centro di Massa (CM)quel punto la cui posizione `e de- finita da una media pesata delle posizioni di ciascun punto materiale del

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Nicola GigliettoA.A. 2017/184 SECONDA LEGGE DINAMICA PER I SISTEMI DI PUNTI MATERIALI

sistema; ad esempio nel caso di N punti materiali definiamo la coordinata x del C.M. come

~ r_cm=

P

im_ir~i

P

im_i = m₁r~₁+ m₂r~₂+ . . . + m_Nr~N

m₁+ m₂+ . . . + m_N (1) Che proiettando sugli assi diventano:

x_CM = P

imixi

P

im_i y_CM =

P

imiyi

P

imi z_CM = P

imizi

P

im_i

Come si interpreta il C.M.? Supponiamo di avere solo 2 masse e scegliamo un riferimento coincidente con una delle due masse (ad es. m1 ⇒ x1 = 0).

In questo caso x_cm= _m^m²

1+m2x₂ ⇒0 ≤ x_cm≤ x₂ Pertanto si possono avere i seguenti casi:

• se m₁ ≫ m₂ ⇒ ( oppurem₁ → ∞) ⇒x_cm→ x₁ = 0

• se m₁ ≪ m₂⇒ ( oppure m₁ → 0)⇒x_cm→ x₂

• se m1 = m2 ⇒xcm→ ^x₂²

In definitiva il centro di massa tende a disporsi dove vi `e pi`u concentra- zione di massanel sistema di punti materiali.

4 Seconda legge dinamica per i sistemi di punti materiali

Se i punti del sistema sono in movimento possiamo verificare qual’`e la velocit`a del CM:

~v_CM = d ~rCM

dt = P

imid ~r_i dt

P

im_i = P

im_i~v_i M = P~

M (2)

La quantità di moto totale del sistema è data dalla quantità di moto del CM P~ = M~v_CM analogamente per l’accelerazione si ha:

~a_CM = d ~vCM

dt = P

im_i^d~_dt^vⁱ P

im_i = P

im_i~a_i M

Per cui nel caso di sistemi di riferimento inerziali: m_i~a_i = ~f_i = ~f^(E)_i + ~f^(I)_i

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Nicola GigliettoA.A. 2017/18 6 ESEMPI DI CALCOLO DI CM

5 Seconda Legge della dinamica per i sistemi di punti (teorema del moto del centro di massa)

e sostituendo si ottiene:

Seconda Legge di Newton per i sistemi di punti (teorema del moto del centro di massa)

M~a_CM =X

i

m_i~a_i =X

i

( ~f^(E)_i + ~f^(I)_i ) = ~R^(E)+ ~R^(I)

e dal momento che la risultante delle forze interne ~R^int= 0 si ottiene R~^(E) = M~a_CM = d ~P

dt (3)

in definitiva si ha che il CM si muove come un punto materiale in cui sia concentrata tutta la massa del sistema e vi sia applicata la risultante delle forze esterne al sistema

6 Esempi di calcolo di CM

Esempio 1: Tre particelle sono collegate ai vertici di un triangolo equi- latero ed hanno masse m1=1.2Kg, m2=2.5Kg e m3=3.4Kg. Se il lato

del triangolo `e a=1.4m dove si trova il C.M.?

m1 m2

m3

Usando un sist. di rif. centrato sulla particella in basso a sinistra (m1) abbiamo che le coordinate dei punti sono:

m¹ (0, 0) m2 (^a₂,^a^√₂³) m³ (a, 0)

per cuixcm= ^0+m_m₁²_+m^·a/2+m₂_+m₃³^·a =2.5·0.7+3.4·1.4

1.2+2.5+3.4 = ^6.51_7.1 = 0.92 meycm= ^0+2.5·^1.4·

√3

2 +0

7.1 = 0.43 m

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Nicola GigliettoA.A. 2017/18 8 PROBLEMA 9.5

Parte II

7 6.3-Conservazione della quantit` a di moto

Come caso particolare se la risultante delle forze esterne è nulla allora si ha: ~F_ext = 0 → ^{d ~}_dt^P = 0 → ~P = ~cost Quindi se un sistema è chiuso (le particelle non possono uscire o entrare dal sistema) ed isolato (F~_ext= 0) allora la quantità di moto del sistema si conservain altre parole possiamo scrivere che se sono verificate queste condizioni allora la quantità di moto iniziale e finale sono le stesse ~P_i = ~P_f e di conseguenzail CM si muove di moto rettilineo ed uniforme

8 Problema 9.5

Una scatola di massa M=6 Kg scivola lungo un pavimento orizzontale e privo di attrito alla velocit`a v =4m/s lungo il verso positivo dell’asse x.

Improvvisamente la scatola si rompe in 2 pezzi, uno dei due di massa m1 = 2 Kg si muove lungo x e nel verso positivo, con velocità v1 = 8m/s. Qual’è la velocità del secondo frammento? Il sistema è isolato (intervengono solo forze interne) per cui si conserva la q.di moto. In questo caso il moto (fine-inizio) si svolge sull’asse x per cuiP_i = P_f diventa M · v = m₁v₁+ m₂v₂ da cui v₂ = ^{M v−m}_{M −m}¹^v¹

1 = ²⁴⁻¹⁶₄ = 2 m/s (in generale una equazione per ogni componente)

Problema 9.7

Un fuoco artificiale di massa M e posto sul pavimento liscio, si spacca in 3 pezzi A,B,C che si allontanano come in figura. Sapendo che m^c = 0.3M ha v^c = 5m/s, qual’è la velocità del frammento B, di massa m^b = 0.2M ? (L’angolo tra il framm A e C è 100^◦, l’angolo tra C e B è 130^◦ Nella scelta del sist. di riferimento (arbitrario) conviene far coincidere una delle velocità dei frammenti con un asse. Scegliamo ad esempio l’asse x nella direzione di A. Avremo allora che~v_A= −v_Aîmentre la velocità di B è 50^◦sotto l’asse x e la direzione di C è con angolo 80^◦sopra l’asse x. Il sistema

`e isolato quindi la q.di moto si conserva e avremo:

x : 0 = −mava+ mcvccos 80^◦+ m_bv_bcos 50^◦ y : 0 = +mcvcsin 80^◦− mbvbsin 50^◦

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Nicola GigliettoA.A. 2017/18 9 6.4-TEOREMA DEL MOMENTO ANGOLARE

da cui

+0.5M v_a= 0.3M · 5 cos 80^◦+ 0.2M v_bcos 50^◦ 0.3M vcsin 80^◦ = 0.2M v_bsin 50^◦ ⇒v_b = 9.64m/s

9 6.4-Teorema del momento angolare

Ricaviamo il teorema del momento angolare (vedi 4.7) anche per un sistema di punti. Consideriamo ~L=P

iL~_i =P

ir~i× m_iv~i A differenza del par.4.7 il polo del calcolo pu`o non essere fisso e non coincide con l’origine. Per cui derivando rispetto al tempo

d~L dt =X

i

d~ri

dt × m_iv~i+X

i

~

ri× m_id~vi

dt

Il primo termine `e quello che abbiamo trattato nei moti relativi ed `e ^d~_dt^rⁱ =

~

vi− ~vO mentre ^d~_dt^vⁱ = m_i~a_i= ~F^(E)_i + ~F^(I)_i ne segue che:

d~L dt =X

i

(~v_i− ~v_O) × m_i~v_i+X

i

~

r_i× ( ~

F_i^(E)+ ~ F_i^(I)) =

X

i

~v_i× m_i~v_i−X

i

~

v_O× m_i~v_i+X

i

~r_i× ~F^(E)_i +X

i

~

r_i× ~F^(I)_i =

− ~v_O×X

i

mi~v_i+ ~M^(E)+ ~M^(I) =

− ~v_O× M~v_CM + ~M^(E)+ ~M^(I)

con ~M^(E) = P

ir~i × ~

F_i^(E) ovvero il momento delle forze esterne e M~^(I) =P

ir~i× ~

F_i^(I)ilmomento delle forze internema guardiamo cosa succede al momento delle forze interne andando ad esaminare le forze su

due generici punti i e j:

O ri

rj i

j Fij

Fji

rij

le forze interne

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Nicola GigliettoA.A. 2017/18 10 6.5 CONSERVAZIONE DEL MOMENTO ANGOLARE

sono di azione-reazione e dirette lungo la congiungente, inoltre ~M_i,j = ~r_i× F~_i,j+ ~r_j× ~F_j,i con ~F_i,j = − ~F_j,i per cui M~ _i,j = ~r_i× ~F_i,j − ~r_j × ~F_i,j = (~r_i − ~r_j) × ~F_i,j = ~r_i,j × ~F_i,j ma dalla regola del parallelogramma ~r_ij `e anch’esso lungo la congiungente per cui si ottiene che ogni momento delle forze interne `e a coppie di punti nullo. Pertanto ~M^(I)= 0 Di conseguenza

d~L

dt = ~M^(E)− ~v_O× M~v_CM

Teorema del Momento angolare

Se il termine~v_O× M~v_CM = 0 si ottiene il Teorema del Momento angolare:

d~L

dt = ~M^(E) (4)

Il termine ~v_O× M~v_CM = 0 quando:

• v0= 0 il polo `e fisso

• vCM = 0 il CM `e in quiete nel sistema di riferimento O

• O ≡ CM

• ~v_CM parallelo a ~v_O

Per cui possiamo dire che se il polo O `e fisso oppurecoincide con il CM, anche se quest’ultimo `e in generale un punto mobile e accelerato, il cambiamento del momento angolaredipende solo dal momento delle forze esterne

Parte III

10 6.5 Conservazione del momento angolare

Se ci troviamo nella situazione in cui vale la eq.4 ^d~_dt^L = ~M^(E) nel caso in cui ~M^(E) = 0 ⇒ ^d~_dt^L = 0 ⇒ ~L = costante che costituisce il Principio di conservazione del momento angolare La condizione si verifica

• quando il sistema `e isolato (risultante forze esterne e momenti nulli);

in questo caso qualunque polo si scelga si ha R^(E)= 0 ⇒ ~P_CM = cost e ~L=costante

• oppure quando il momento `e nullo rispetto ad un polo O; la conservazione del momento angolare in tal caso vale solo rispetto al polo considerato

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Nicola GigliettoA.A. 2017/18 11 6.6 SISTEMA DI RIFERIMENTO CM

Parte IV

11 6.6 Sistema di riferimento CM

Sistema di riferimento CM

Il sistema di riferimento connesso al CM pur essendo mobile e quindi non inerziale in genere, in base alle relazioni che abbiamo trovato, risulta godere di propriet`a particolari. Se scegliamo un sistema la cui origine `e il CM e gli assi sono paralleli a quelli di un sistema inerziale e vediamo le relazioni che otteniamo:

~

r_i = ~r^′_i+ ~r_CM

~

v_i = ~v^′_i+ ~v_CM Ma essendo ilsistema mobile centrato sul CM ⇒

~

r^′_CM = 0 ~v_CM = 0 ⇒ X

i

m_i~r^′_i = 0 e X

i

m_i~v^′_i= 0

Pertanto la quantit`a di moto totale del sistema calcolata nel sistema CM `e P~^′ =P

im_i~v^′_i= 0

Tuttavia per descrivere la dinamica relativa al CM, dobbiamo tener conto che il sistema `e comunque non inerziale perch`e accelerato quindi dobbiamo aggiungere le forze apparenti −m_i~a_t = −m_i~a_CM Quindi per ognuno dei punti del sistema avremo che: F~^(E)_i + ~F^(I)_i − m_i~a_CM = m_i~a^′_i Quindi sommando su tutti i punti si ha: ~R^(E)−P

im_i~a_CM = P

im_i~a^′_i ma abbiamo anche visto che R~^(E) = M~a_CM ⇒ per cui nel suo sistema P

imia~_′i= M~a^′_CM = 0 Infine si dimostra anche cheM~^′^(E)=P

ir~_′i× ~F^(E)_i senza contributi di forze apparenti ed inoltre se definiamo il momento angolare rispetto al CM L~^′ =P

ir~_′i× m_iv~_′i si ottiene: ^{d ~}_dt^L^′ = ~M^′^(E) Quindi il teorema del momento angolare vale anche nel caso in cui si scelga come polo il CM.

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Nicola GigliettoA.A. 2017/18 13 SECONDO TEOREMA DI K ¨ONIG

Parte V

12 6.7 - Teorema di K ¨ ONIG

Vediamo che relazioni ci sono quindi tra le quantit`a calcolate nel sistema inerziale e quelle calcolate nel CM. Assumiamo di calcolare le quantit`a nel sistema inerziale usando come polo l’origine del sistema.

~L=X

i

~

r_i× m_i~v_i⇒ L~ =X

i

(~r_′i+ ~r_CM) × m_i(~v_′i+ ~v_CM) = X

i

r~_′i× miv~_′i+X

i

r~_′i× mi~v_CM + X

i

~

r_CM× m_iv~_′i+X

i

~r_CM × m_i~v_CM

Il primo di questi 4 termini `e il ~L^′, mentre il secondo e terzo sono nulli perch`e P

ir~_′i × m_i~v_CM = P

im_ir~_′i × ~v_CMe P

im_ir~_′i = M ~r_CM^′ = 0 MentreP

i~r_CM × m_iv~_′i= ~r_CM ×P

im_iv~_′i = ~r_CM× M ~v^′_CM = 0 Primo teorema di K¨onig

~L= ~L^′+ ~r_CM× M~v_CM

13 Secondo teorema di K¨ onig

Il secondo teorema riguarda l’energia cinetica.

E_k =X

i

1

2m_i|~v_i|² =X

i

1

2m_i|~v^′_i+ ~v_CM|² =

=X

i

1

2m_i(~v^′_i+ ~v_CM) · (~v^′_i+ ~v_CM) = X

i

1

2m_i(v^′_i)²+X

i

1

2m_i(v_CM)²+X

i

1

2m_i2(~v_′i· ~v_CM)

Il primo di questi termini è l’energia cinetica calcolata rispetto al CM, l’ultimo è nullo perchè rappresenta ~P^′ = 0

Secondo teorema di K¨onig

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Nicola GigliettoA.A. 2017/1815 6.8 TEOREMA LAVORO-ENERGIA CINETICA (SISTEMI PTI)

E_k = E_k^′ +1

2M v²_CM = E_k+ E_k,CM

L’energia cinetica `e pari alla somma dell’energia cinetica calcolata nel sistema CM sommata all’energia cinetica del CM

Parte VI

14 Considerazioni sui teoremi di K¨ onig

Dal punto di vista delle velocità e delle forze agenti sul sistema, i teoremi visti stabiliscono che il moto del sistema è riassunto dal CM: ~F^(E)= M~a_CM, P~ = M~v_CM e ~P^′ = 0 se calcolato nel CM. Ma per quanto riguarda il momento angolare e l’energia cinetica questo non è sufficiente. Infatti i due teoremi stabiliscono che bisogna aggiungere la descrizione del moto del sistema attorno al CM

15 6.8 Teorema Lavoro-energia cinetica (sistemi pti)

Calcoliamo i lavori infinitesimi su ogni punto del sistema: dL = ~F_i· ~dsi = ( ~F^(E)_i + ~F^(I)_i ) · ~dsi = dL^(E)+ dL^(I) Questa volta il lavoro delle forze interne non si annulla infatti sommiamo i due contributi di coppie di punti i-j:

F~_i,j· d~s_j+ ~F_j,i· d~s_i = ~F_i,j· (~s_j− ~s_i) = ~F_i,j· ~s_ij e questi termini indicano gli spostamenti relativi dei punti i-j e danno dei termini in generale non nulli.

Il lavoro allora delle forze interne `e legato all’eventuale cambiamento delle distanze relative tra i punti del sistema. Se queste non cambiano (come nei corpi rigidi) allora risulter`a L^(I) = 0 Per i casi generali possiamo solo dire

Teorema dell’energia cinetica

L^(E)+ L^(I)= ∆Ek

Se tutte le forze (incluse quelle interne) sono conservative avremo la conservazione dell’energia meccanica L^(E)+ L^(I) = −∆Ep = ∆E_k⇒

∆E = 0 mentre se agiscono forze non conservative si potr`a dire che L_nc =

∆E

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Nicola GigliettoA.A. 2017/1817 6.10 SISTEMI DI FORZE APPLICATE IN PUNTI DIFFERENTI

16 6.9 Sommario Dinamica dei sistemi punti ma- teriali

Per i sistemi di punti materiali quindi le equazioni che descrivolo la loro dinamica sono:

R~^(E) = M~a_CM = d ~P dt M~^(E) = d~L

dt equazioni che in genere sono indipendenti

17 6.10 Sistemi di forze applicate in punti diffe- renti

In generale il momento complessivo dipende dalla scelta del polo infatti:

M~_O = P

i~r_i × ~F_i per cui se scegliamo un altro polo O’ si ha M~ _O = P

i( ~OO^′ + ~r_′i) × ~F_i = OO~ ^′×P

iF~_i+P

ir~_′i × ~F_i = OO~ ^′ × ~R+ ~M_O′

essendo ~R la risultante delle forze rispetto ad O Il momento dipende dalla scelta del polo a meno che non risulti ~R = 0 Una importante applicazione riguarda la coppia di forze

Coppia di forze

Si definisce coppia di forze un insieme di due forze uguali e opposte ma

diversa retta di azione.

b F

F

La distanza tra le due rette d’azione delle forze è detta braccio della coppia, b. In questa situazione la risultante delle forze è nulla ed il momento della coppia è in modulobFcon direzione perpendicolare al piano individuato dalle due rette d’azione.

Sistemi di forze equivalenti

I sistemi di forze si dicono essere equivalenti rispetto ad un sistema di punti materiali o per un corpo rigido se applicati al sistema causano la

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Nicola GigliettoA.A. 2017/18 18 SISTEMA DI FORZE PARALLELE

stessa dinamica. Questo implica che i due sistemi di forze devono avere la stessa ~R^(E) e lo stesso momento di forze ~τ^(E)

L’applicazione della propriet`a `e nel prossimo esempio nel quale sostituia- mo un insieme di forze con una sola forza in modo da risultare equivalente ai fini della dinamica.

18 Sistema di forze parallele

Nel caso in cui agisca un sistema di forze parallele (tipo la forza di gravit`a ) potremo scrivere che ogni ~F_i = F_iu per il calcolo dei momenti alloraˆ risulta: M~ _O = P

i~r_i × (F_i · ˆu) = (P

i~r_iF_i) × ˆu e risulta ortogonale ad ˆ

u e a ~R Possiamo trovare il punto generico C nel quale applicare tutta la risultante ~R affinch`e il momento complessivo non cambi cio`e M~ _O = OC~ × ~R= ~r_c× ~R= ~r_c× (P

iF_i)ˆu Per cui confrontando le due espressioni si ha: (P

i~r_iF_i) × ˆu = ~r_c× (P

iF_i)ˆu =P

iF_i~r_c× ˆu ⇒ da cui ~r_c =

P

i~riFⁱ P

iFi

Il punto cos`ı trovato viene detto centro delle forze parallele Come caso particolare la forza peso costituisce un sistema di forze parallele. In questo caso ~r_c =

P

i~r_iFi

P

iFi = ^~

P

irimig P

imig =

P

imi~r_i

M e il punto trovato viene chiamato baricentro o centro di gravit`a

Esercizio 9.3

In figura sono mostrate le forze esterne agenti su un sistema di 3 punti, con F¹= 6 N F²= 12 N F³= 14 N,m¹= 4 Kg m²= 8 Kg m³= 4 Kg.

Qual’`e l’accelerazione del centro di massa?

F1

F2

F3

M~a_cm= ~F₁+ ~F₂+ ~F₃ scomponiamo sugli assi:

x : ax= ₁₆¹ [F1x+ F2x+ F3x] = ^−6+12cos45₁₆ ^◦⁺¹⁴

8+12√ 2/2

16 =+1.03 m/s² y : a_y = ^0+12sin45₁₆ ^◦⁺⁰ =0.53 m/s²

a =q

a²_x+ a²_y =1.16 m/s² L’angolo formato da ~a con l’asse x `eθ = arctan(^a_a^y

x) = 27^◦

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Nicola GigliettoA.A. 2017/18 19 PROBLEMA 19P

19 problema 19P

Esercizio 19P -vedi anche esempio 6.7

Un cane di massa 4.5, si trova su una zattera di massa 18 kg in una posizione distante 6.1 m dalla riva. Il cane cammina verso riva per 2.4 m e poi si ferma. Trascurando

tutti gli attriti, a che distanza da riva si trova il cane?

Nel sistema non agiscono forze esterne ed era inizialmente fermo per cui si ha

x_cm= cost ⇒ x_cm= M_cx_c+ M_bx_b

Mc+ M_b = M_cx^′_c+ M_bx^′_b Mc+ M_b ⇒

M_c(x_c− x^′_c) = M_b(x^′_b− x_b) con (x_c− x^′_c) = 2.4 m

⇒ x^′_b− x_b = 4.5

18 · 2.4 = 0.6 m per cui x^′_c= xc− d + (x^′_b− x_b) = 4.2 m

Problema 25E

Un uomo di massa 75 kg sta su un carrello di massa 39 kg che viaggia a 2.3 m/s. Ad un tratto salta giù con velocità orizzontale zero rispetto al terreno. Di quanto fa cos`ı variare la velocità del carrello? Cons. q. di m.

(m_u+ m_c)v_c= m_uv_u+ m_cv^′_c⇒v^′_c= −^m^c_m^+m^u

c v_c= (1 + ⁷⁵₃₉) · 2.3 = 6.72 m/s

∆vc = 4.4 m/s Esercizio 30P

Un pacco di massa 4.0 Kg, che sta scivolando su un piano privo d’attrito, esplode dividendosi i due parti di 2.0 kg ciascuna, una diretta verso nord alla velocità di 3.0 m/s e l’altra con velocità 5.0 m/s in direzione formante 30^◦da nord verso est. Quanto valeva la velocità del pacco? Sol.3.5m/s