Prof. Roberto Capone Esercizi di Matematica 1 Corso di studi in Ingegneria Chimica
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Funzioni ed Equazioni Logaritmiche - Esercizi di consolidamento
1 Considera la funzione
𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥 ⋅ log2
𝑥 − 2 𝑥 + 2 a. Determina il Campo di esistenza della funzione
b. Studia il segno della funzione e rappresenta nel piano cartesiano le regioni cui appartiene il suo grafico. Specifica quali sono gli eventuali zeri della funzione c. Stabilisci se si tratta di una funzione pari o dispari.
d. Determina le coordinate del punto di intersezione del suo grafico con la bisettrice del secondo e del quarto quadrante.
e. Stabilisci se la funzione data è uguale a quella di equazione 𝑦 = 𝑥 ⋅ log2(𝑥 − 2) − 𝑥 ⋅ log2(𝑥 + 2)
giustificando la risposta 2 Considera le funzioni
𝑓(𝑥) = 2𝑥−1 e 𝑔(𝑥) = |log 2𝑥|
a. Traccia il grafico di ciascuna delle due funzioni, specificandone, in particolare, campo di esistenza e immagine.
b. Stabilisci graficamente il numero delle soluzioni dell’equazione 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) e un intervallo al quale appartengono le soluzioni.
c. Stabilisci quale delle due funzioni è invertibile; determina l’espressione analitica e il grafico dell’inversa
d. Determina l’espressione analitica di 𝑔 ∘ 𝑓 e tracciane il grafico. e. Determina l’espressione analitica 𝑓 ∘ 𝑔 e tracciane il grafico. 3 Dimostra che log56 è irrazionale
Risolvi la disequazione
log1 2
(𝑥2− 4𝑥) ≤ −5
4 Studia, al variare del parametro k, il campo di esistenza della funzione
𝑦 = 1
𝑒2𝑥− 𝑘
5 Determina il campo di esistenza della funzione 𝑦 =√𝑒
𝑥− 1 + √1 − 𝑙𝑜𝑔𝑥
𝑙𝑜𝑔𝑥
6 Senza utilizzare la calcolatrice, poni in ordine crescente i seguenti numeri, dando esauriente spiegazione del procedimento eseguito:
𝑙𝑜𝑔𝜋; log𝜋2𝜋 − log𝜋2 ; log𝜋𝑒 ; log
1 𝜋
7 Utilizzando opportune trasformazioni geometriche deduci, a partire dal grafico 𝑦 = log2𝑥
il grafico della funzione 𝑦 = 1 + log2 1
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2 8 Determina a e b in modo che la funzione
𝑦 = log2(
1
2𝑥 + 𝑎) + 𝑏
abbia come asintoto verticale la retta di equazione 𝑥 = −2 e come zero 𝑥 = 6. Traccia il grafico della funzione corrispondente a questi valori di a e b.
9 Risolvi la seguente equazione
log2(𝑥 + 4) + log1 2
(𝑥 + 3) = log2(𝑥 + 10) − 2
10 Date le funzioni 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑥 e 𝑔(𝑥) = |𝑥 − 1|, determinare l’espressione analitica e tracciare il grafico delle funzioni
𝑓 ∘ 𝑔 e 𝑔 ∘ 𝑓
MATEMATICA PER L’INGEGNERIA CHIMICA
Non scivolare sui fluidiLa viscosità di un liquido puro diminuisce all’aumentare della temperatura; una relazione
che interpola accuratamente i dati sperimentali è quella di Girifalco:
log 𝜇 = 𝐴 +
𝐵
𝑇
+
𝐶
𝑇
2dove T è la temperatura assoluta e A, B e C sono costanti caratteristiche di ciascun liquido,
la cui determinazione richiede la conoscenza della viscosità a tre differenti temperature. Per
liquidi non polari e non associati, C è praticamente nulla e la relazione di Girifalco si riduce
alla equazione di Andrade:
𝜇 = 𝛼 ∙ 𝑒
(𝛽 𝑇)
a. Rappresenta qualitativamente tale funzione in un diagramma (𝑙𝑜𝑔𝜇, 1/𝑇)
b.
Rappresenta la stessa funzione in un diagramma (𝜇, 𝑇)
Il pH
La concentrazione molare di ioni H
+presenti in una soluzione [H
+] varia da 1 (per una
soluzione di massima acidità) a 10
-14(per una soluzione di minima acidità). Per una
soluzione neutra la concentrazione di ioni H
+è 10
-7. Si definisce pH di una soluzione il
cologaritmo della concentrazione di ioni H
+.
𝑝𝐻 = −𝐿𝑜𝑔[𝐻
+]
a. Dato il pH delle seguenti soluzioni, distingui quali sono acide, basiche o neutre:
acqua di mare da 7.7 a 8.3; latte 6.5; saliva da 6.5 a 7.4; sapone da 9 a 10; succo di
mela 3.5; acido cloridrico 0.3.
b. Dato il pH di una soluzione, quanto vale la concentrazione di ioni H
+?
c. Un aumento del pH corrisponde a un aumento oppure a una diminuzione della
concentrazione [H
+]
d. La soluzione X ha il pH doppio della soluzione Y; cosa puoi dire della concentrazione
di ioni H
+presenti nelle due soluzioni?
e. Se un litro di soluzione ha pH=3, quale sarà il pH se vengono aggiunti 200 litri di
acqua?
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