Esercizi sui circuiti in alternata

Corso di Elettrotecnica 1 - Cod. 9200 N

Diploma Universitario Teledidattico in

Ingegneria Informatica ed Automatica

Polo Tecnologico di Alessandria

A cura di Luca FERRARIS

Scheda N° 11

Circuiti in Corrente Alternata:

Determinare Z1, Z2 e Z3 (intese come serie di R e X) sapendo che: P P P Q Q Q 1 2 3 1 2 3 0 20 10 10 10 10 = = =     = − = =     W W W VAr VAr VAr Soluzione Z3

( )

R P I X Q I j 3 3 3 2 3 3 32 3 10 10 10 1 = = = =       ⇒ = + Z Ω Ω Ω Z2

( )

r r V =V₂=Z ⋅ = ⋅ + = ⋅I₃ j ⋅ej4π A₂= P₂2+Q₂2 = ⋅10 5 VA I A V 2 2 2 1 58 = = , A

(

)

R P I X Q I j 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8 4 8 4 = = = =       ⇒ = + Z Ω Ω Ω Z1

( )

r r r r r I I I V Z I j j j 1 2 3 2 2 3 10 1 8 4 1 5 2 = + = + = ⋅ + + + = + A = 2,55 e⋅ ° A j11,31 R P I X Q I j 1 1 1 2 1 1 1 2 1 0 1 538 1 538 = = = = −       ⇒ = − ⋅ Z Ω Ω Ω , ,

(

)

Z₁= = +    -j1,538 Ω_Ω I3 = 1 A Z3 Z2 Z1 A B

Determinare Vr_BC e Vr_AB sapendo che:

• VAC = 200 V

• Q = 0 VAr

• XL = R

Soluzione

L’impedenza equivalente del parallelo di R e XL (che sono uguali in modulo) vale:

Z_{/ /} = +R jXL 2 Z_tot =Z −jX_C = R +jXL −X_C   / / 2 2 Q=0 ⇒ =0 ⇒ = R 2

X_tot Z_tot (Xtot = 0 ⇒ risonanza ⇒ comportamento resistivo)

Si ponga Vr_AC sull’asse Reale ⇒ anche la corrente entrante rI_C nel circuito sarà reale (in quanto il bipolo, nel complesso, è solo resistivo):

r I V R C = ⋅ AC 2

(

)

_{( )}

r r r V Z I R jR V R V j V e e BC C AC AC AC j j = / /⋅ = + ⋅ ⋅ = ⋅ + = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ 2 2 1 2 4 2 200 4 π π V r r r r r V j X I j X V R j X V X j V e AB C C C AC C AC C AC j = − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅2⋅ = − ⋅ ⋅ = − ⋅ =200⋅ − π2 _V r r V e V e BC j AB j = ⋅ ⋅ = ⋅ − 2 200 200 4 2 π π V V B C A XL XC R Q IC VBC VAB IC Re VAC

Determinare XL e XC sapendo che: • I = 1 A • P = 100 W • Q = 100 Var • R = 100 Ω Soluzione

La potenza attiva P entrante nel circuito è tutta assorbita dalla resistenza R, per cui si può calcolare la corrente che la percorre:

I P

R

R = =1 A

la potenza apparente entrante nel circuito vale: A= P2+Q2 =100⋅ 2 VA

per cui la tensione ai morsetti AB di ingresso sarà:

V A

I

AB = =100⋅ 2 V

la stessa tensione è quella che si ha sul ramo con R e C, per cui:

(

)

V_AB= R−jX_C ⋅I_R = R2+X_C2 ⋅I_R ⇒ 1002+X_C2 =100⋅ 2 V da cui: XC = 100 Ω

Per determinare XL si valutino le potenze reattive:

Q V X X Q X I X Q Q X L L X C R C X X L L C L C = = ⋅ = − ⋅ = − + =          ⇒ = 2 4 2 2 10 100 100 VAr X Ω X_L=100Ω VAB I IR B A P XL XC R Q

Calcolare I1, P e Q sapendo che: R I V V Z = = = −     = = ∠ = ° ∠ =         10 10 100 2 100 0 3 X X A V L C Ω Ω Ω r r _π Soluzione

La tensione V è sull’asse reale Vr =100⋅ej0° =100 V è nota la fase dell’impedenza, ma non il suo modulo: Z r Zr = ⋅Z er jπ3 Ω

r r r _r I V Z _{Z e}j e j = = ⋅ = ⋅ − 100 2 3 3 π π A

per cui si può ricavare il modulo di Z :r Zr V r

I Z e j = =100= ⇒ = ⋅ 2 50 50 3 Ω π Ω r

Z è in serie alla resistenza R: Zr'= + =Zr R

(

35+j43 3 ,

)

Ω da cui il parallelo ai morsetti MN:

(

) (

)

(

) (

) (

)

r Z j j j j j MN = + ⋅ − + + − = + 35 43 3 100 35 43 3 100 78 82 27 71 , , , , Ω

e l’impedenza totale del circuito: Zr_tot =

(

78 82, + ⋅j 37 71,

)

Ω.

La tensione tra i nodi MN vale: Vr_MN = ⋅ =Z Ir r'

(

55 67, ⋅ej⋅51 05,

)

⋅ ⋅_2 e−jπ3_{ =}111 35, ⋅ej⋅8 94, ° _V da cui la corrente nel condensatore C: rI V

j j e e C MN j j = − ⋅100= ⋅111⋅ ⋅ ° =111⋅ ⋅ ° 8 94 81 06 , , , , A e quella totale Ir₁= +r rI I_C =1 33, ⋅e− ⋅j28 37, A P R I Q X I TOT TOT TOT TOT = ⋅ = = ⋅ = 1 2 12 139 4 66 7 , , W VAr r I₁=1 33, ⋅e−j28 37, A Z I R XC V N M P XL Q I1

Determinare Z (intesa come serie di R e X)r sapendo che: I V Q = = = = =          5 400 1600 20 200 A V VAr X R L Ω Ω Soluzione A V I Q = ⋅ = − = 2 1200 2 kVA P = A2 W Q X I Q Q Q X L X L L = ⋅ = ⇒ = − = ⇒ + = 2 2 500 1100 1627 8 VAr Q VAr A'= P2 VA ' ' ,

(avendo indicato con il pedice ’ la sezione dopo l’induttanza)

La tensione sarà pertanto: V A I '= '=325 57 V, P V R P P P Q Q P R R Z R R Z R Z R Z = = ⇒ = − = =    ⇒ =       = ° ' arctg , 2 530 670 1100 58 65 W W VAr ϕZ I P V P I Q I Z Z Z Z Z Z Z = ⋅ = ⇒ = = = =       ' cos , , , ϕ 3 95 42 8 70 28 2 2 A R X Z Z Ω Ω

(

)

R X j Z Z = =    ⇒ + ⋅ 42 8 70 28 42 8 70 28 , , Z = , , Ω Ω Ω Z IZ R V XL Q I V’

Determinare V sapendo che: R R X VAr 1 2 C = = = − = −     100 100 10 Ω Ω Q Soluzione

Poichè l’intera potenza reattiva Q è da imputare al condensatore, la tensione sarà: V_C = Q X⋅ _C =31 62, V

da cui la corrente nella resistenza R2 e nel condensatore C:

I V R I Q X R C C C 2 2 0 316 0 316 = = = =        , , A A

le 2 componenti (di pari modulo) sono in quadratura tra loro, per cui il modulo della corrente complessiva sarà: r I = I_R +I_C = ⋅ 2 2 2 0 316, 2 A L’impedenza totale del circuito vale:

(

)

Z j j j tot = + − ⋅ ⋅ − ⋅ = − ⋅ 100 100 100 100 100 150 50 Ω e quindi la tensione all’ingresso:

V = ⋅ =Z I 70 7, V V =70 7, V VC V Q XC R2 R1