tra le aree attivate (mappe di attivazione cerebrali) è necessario realizzare degli studi di integrazione funzionale. Oggetto di questo lavoro è lo studio di modelli che investigano le in uenze presenti tra serie temporali misurate in dierenti aree cerebrali (connettività funzionale) e in particolare di come un sistema neurale esercita la sua in uenza su un altro (connettività eettiva) [1]. Ai ni di mappare la connettività eettiva e funzionale delle aree cerebrali in esame sono stati sviluppati molteplici algoritmi. Scopo di questo studio è la valutazione delle dierenze e delle prestazioni di ciascun modello.
Implementazione dei modelli
Gli algoritmi utilizzati si suddividono in due classi: modelli parametrici e non parametrici.
La prima classe si basa sul concetto di causalità introdotto da Granger [2]basato sull'assunzione che dato un processo multivariato costituito da due serie temporali x e y, la serie x(n) `implica' y(n) (quindi esiste un'in uenza diretta di x su y) se la conoscenza dei valori passati di x(n) permettono di trovare il valore corrente di y(n). I segnali fMRI possono essere cosi modellizzati come un sistema autoregressivo multivariato stazionario n-dimensionale di ordine p (VAR[p]) a cui è possibile applicare i seguenti algoritmi parametrici per l'analisi delle reti neurali cerebrali:
1. Granger Causality in tempo e frequenza (GC) [2, 3]. 2. Conditional Granger Causality [4].
3. Direct Transfer function (DTF) [5].
4. Direct Directed Transfer Function (dDTF).
La Conditional GC e la dDTF vengono utilizzate per ovviare al problema delle correlazioni spurie, infatti in un sistema multivariato costituito da tre o più serie temporali i metodi GC e DTF possono trovare delle in uenze spurie tra le serie temporali dovute alle interazioni che si creano nella modellizzazione del processo VAR.
La seconda classe degli algoritmi detti non parametrici sono basati sull'analisi in frequenza dei segnali (trasfor-mata di Fourier e wavelet) e sono rispettivamente :
1. Coherence con il corrispettivo studio dello spettro di fase [6]. 2. Conditional Partial Coherence (PC).
3. Non Parametric Granger Causality [7].
Questi algoritmi non si basano su processi di tipo VAR ma sulle correlazioni trovate basandosi sullo spettro di frequenza. La Coherence in particolare permette di determinare il modulo e la fase della cross - correlazione in frequenza tra due serie temporali mediante il calcolo del cross-spectrum. Anche per questo algoritmo esiste la variante condizionata per ovviare alla presenza delle correlazioni spurie. Inoltre il segno della pendenza della fase indica la direzione della connessione e il suo valore fornisce un'indicazione del ritardo esistente tra le due serie temporali. La Non Parametric Granger Causality invece, si basa su un'analisi tempo frequenza dei segnali tramite trasformata Wavelet. Da essa si risale alla matrice della densità spettrale di potenza dei segnali e tramite gli indici di Granger viene calcolata la misura di causalità. I vantaggi di questo metodo sono che esso non richiede ipotesi di stazionarietà dei segnali e non è necessario de nire un modello VAR del sistema. Al contempo richiede una elavata risoluzione temporale dei segnali.
Simulazioni
Scopo di questo studio è l'esplorazione tramite algoritmi di connettività, delle in uenze dirette presenti tra popo-lazioni di neuroni utilizzando dati fMRI. Gli algoritmi implementati sono stati applicati a un modello che simula due popolazioni neuronali interagenti x e y e a due modelli che simulano tre popolazioni neuronali interagenti x, y e z ( g. 1) per investigare la presenza di interazioni spurie tramite l'indagine condizionata degli algoritmi [4]. In
Figura 1: Modello 1: interazione tra 2 regioni (e.g. popolazioni di neuroni) x e y dove x implica y. Modello 2: modello di iterazione sequenziale. X esercita un'in uenza su y che a sua volta esercita un'in uenza su z. Modello 3: modello di interazione dierenziale. X esercita un'in uenza su y e z
0 10 20 30 40 50 0 5 F x -> y f(Hz) 0 10 20 30 40 50 0 5 F y -> x f(Hz) 0 10 20 30 40 50 0 5 F x -> z f(Hz) 0 10 20 30 40 50 0 5 F z -> x f(Hz) 0 10 20 30 40 50 0 1 2 F y -> z f(Hz) 0 10 20 30 40 50 0 2 4 F z -> y f(Hz) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0 1 2 3 4 5 F x -> z f(Hz) Granger Causality x->z 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0 0.5 1 F x z c y f(Hz) Conditional Granger Causality x->zcy
1.4 1.6 1.8 2 2.2 0 100 200 Fx->y 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0 200 400 600 Fy->x 0.9 1 1.1 1.2 1.3 0 100 200 Fx->z 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0 500 Fz->x 1.4 1.6 1.8 2 0 100 200 Fx->z 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0 500 Fz->x 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 0 50 100 150 200 Fx->z 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0 200 400 600 Fx->zcy
Figura 2: a) GC per ciascuna combinazione delle serie temporali simulate x, y, z. Si può notare la presenza di un'in uenza spuria di x su z. b) In alto è replicata l'in uenza spuria di x su z, la quale è annullata se eettuiamo le misure di GC tra x e z condizionate da y (in basso). c) d) Stessi risultati ottenuti applicando gli algoritmi GC nel tempo
3. Convoluzione dei segnali ottenuti con una determinata funzione emodinamica HRF (Hemodinamical Response Function) basata sulla funzione gamma
4. Normalizzazione e successiva aggiunta di rumore gaussiano bianco per simulare il rumore siologico acquisito con lo scanner di risonanza
5. Sottocampionamento per simulare il campionamento dello scanner fMRI
6. Normalizzazione e successiva aggiunta di rumore bianco gaussiano per simulare il rumore introdotto dalla tecnologia dello scanner
A questo punto sono stati applicati gli algoritmi (GC, DTF e Coherence e le rispettive varianti condizionate). Ai ni di validare i risultati ottenuti è stato necessario iterare gli algoritmi 50 volte per il data set realizzato e calcolare la media e la deviazione standard per ciascuna frequenza. Inoltre per ogni algoritmo si è proceduto a calcolare una distribuzione nulla tramite metodo di bootstrapping. Quest'ultima è stata realizzata nel caso dei modelli parametrici ricampionando n volte le serie temporali ottenute dai modelli VAR imposti e nel caso dei metodi non parametrici ricampionando n volte le fasi delle serie temporali per eliminare ogni correlazione tra esse. In seguito per ogni campionamento ottenuto sono stati applicati i rispettivi algoritmi e sono state calcolate la media e la deviazioni standard di ogni frequenza del campionamento stesso. In g.3, sono riportati i risultati ottenuti sul secondo modello per un tempo di campionamento TR = 10 ms. I risultati sono congruenti con quelli ottenuti nel caso di popolazioni neurali. Si può notare che le misure di PC forniscono uno spettro di coerenza e uno spettro di fase dal quale si può ricavare la direzione dell'interazione e il relativo ritardo presente tra le serie temporali. Ai ni di veri care questo aspetto, considerando il primo modello che coinvolge due regioni, le serie temporali ottenute sono state ritardate di 100 ms l'una dall'altra. I risultati sono mostrati in g. 4, come si può notare l'agoritmo di GC identi ca la corretta direzione dell'in uenza (x causa y) ma non permette di stimare questo ritardo, mentre lo spettro di fase ottenuto con le misure di Coherence permette di ottenere, oltre alla direzione dell'in uenza data dal segno della pendenza della fase, una stima del ritardo imposto per costruzione. Infatti il valore della pendenza della retta è pari a 130 ms in accordo con il valore imposto.
Il modello a due regioni è stato inoltre utilizzato per l'implementazione dell'algoritmo di GC nel caso non parametrico. Dopo aver applicato la funzione Wavelet ai segnali e aver ottenuto la matrice delle densità spettrali di potenza congiunte, sono state calcolate le misure di GC. I risultati sono mostrati in g. 5. Come si può vedere si ha in uenza solo da x verso y per un range di frequenza coerente con il reale segnale fMRI. Purtroppo non è possibile utilizzare questo metodo in un esperimento reale di fMRI, in quanto l'analisi deve essere eettuata sulla media dei singoli trial che solitamente sono costituiti da pochi punti a bassa risoluzione temporale.
Le simulazioni realizzate si basano sull'assunzione di avere la stessa funzione emodinamica (BOLD) per ciascuna regione cerebrale. Ai ni di veri care questa ipotesi si è quindi proceduto a simulare vari casi in cui, considerato il primo modello composto da due sole regioni di interesse in cui è presente una causalità a livello neuronale da x verso y, il segnale BOLD è dierente da regione a regione. In particolare si è osservato che ritardando il segnale BOLD per la regione x rispetto alla regione y di 500 ms (quindi la funzione emodinamica di y precede quella della regione x) gli algoritmi individuano una direzione di interazione opposta rispetto a quella imposta dal modello. Per questo motivo, al ne di una corretta applicazione dei metodi, è necessario assumere l'ipotesi molto restrittiva di considerare la stessa funzione emodinamica per ciascuna regione cerebrale.
In ne per poter simulare un data set che approssima al meglio quello reale, si è proceduto a sottocampionare i segnali per un range che va da 10 ms a 2 s. Il sottocampionamento eseguito rappresenta infatti il reale TR (tempo di acquisizione) dello scanner fMRI. I risultati riportati ( g. 6) rappresentano le misure di GC, DTF e PC per un valore di TR pari a 1.5 s in accordo con il TR dell'esperimento utilizzato in seguito. E' possibile notare che nel caso condizionale, i valori di in uenza (GC) e di coerenza (PC) non sono strettamente zero. Per ovviare a questo
a) b)
c) d)
Figura 3: a) GC per ciascuna combinazione delle serie temporali simulate x, y, z. Si può notare la presenza di un'in uenza spuria di x su z. b) In alto è replicata l'in uenza spuria di x su z, la quale è annullata se eettuiamo le misure di GC tra x e z condizionate da y (in basso). c) Coherence e spettro di fase per ciascuna combinazione delle serie temporali simulate x, y, z. Si può notare la presenza di un'in uenza spuria di x su z. d) In alto è replicata l'in uenza spuria di x su z, la quale è annullata se eettuiamo le misure di PC tra x e z condizionate da y (in basso)
Figura 4: Spettri di coerenza e di fase per le serie temporali x e y simulate dal primo modello di g. 1. A sinistra il ritardo tra le due serie è pari a zero, a destra il ritardo tra x e y è pari a 10 ms. La pendenza della retta della fase è aumentata
Figura 5: Risultati tempo-frequenza dell'algoritmo di GC non parametrico applicato al modello costituito da due regioni di g. 1. Il valore dell'in uenza è indicata in scala di blu. Si ha in uenza di x su y (celeste chiaro in gura ) e non viceversa
a) b)
c) d)
Figura 6: Stessi risultati di g. 2 con TR = 1.5 s
problema si è proceduto a calcolare una soglia di signi catività per ciascuna misura di in uenza come la dierenza tra la distribuzione stessa e la distribuzione nulla diviso due volte la deviazione standard. Nel caso del metodo DTF si denota che per i TR reali dello scanner i risultati non sono più validi poichè i livelli di signi catività ottenuti sono comparabili tra di loro per ciascuna direzione di in uenza delle tre regioni considerate. In conclusione quindi solo i metodi GC e Coherence possono essere correttamente utilizzati su dati fMRI reali.
Esperimento fMRI di 'mental imagery'
Nell'ultima fase del lavoro gli algoritmi di Granger Causality, Conditional Granger Causality e Coherence sono stati applicati a dati reali di un esperimento di riconoscimento e immaginazione di scene complesse (`mental imagery') realizzato tramite risonanza magnetica funzionale. I soggetti, in una fase di traning, sono stati familiarizzati con tre scene di luoghi associate ad un determinato stimolo auditivo. In fase di test ai soggetti è chiesto di immaginare la relativa scena a seguito dello stimolo auditivo presentato. Dall'analisi fMRI funzionale ( g.7) sono state localizzate e selezionate sei regioni di interesse (AC = corteccia auditiva, SMA = area supplementaria motoria, CalS = solco calcarino, PPA = paraippocampo e PAR = lobi parietali). Per ogni regione si è proceduto a calcolare le distribuzioni
Figura 7: Protocollo di stimolazione (in alto) e risultati funzionali (in basso) dell'esperimento di 'Mental Imagery' utilizzato
di Granger e gli spettri di coerenza e di fase per ciascuna combinazione delle regioni con il seed (regione scelta come origine). Per ogni in uenza trovata si è calcolato un livello di signi catività come in simulazione. Inoltre per ciascuna combinazione delle regioni si è considerata la direzione di massima signi catività. I risultati ottenuti forniscono una mappa di attivazione delle aree cerebrali coinvolte nel meccanismo di immaginazione per ciascun algoritmo ( g.8) e la successione di attivazione delle stesse con i relativi ritardi tra le VOI (volumi di interesse) considerati. La mappa dei ritardi è stata ottenuta solamente tramite algoritmo PC. L'algoritmo di GC nel caso condizionato cancella le in uenze spurie.
Risultati
Le simulazioni hanno confermato la validità dell'algoritmo di Granger Casuality nel trovare le in uenze dirette esistenti tra serie temporali (e.g. regioni cerebrali) e soprattutto, tramite l'utilizzo del caso condizionato, nel trovare e cancellare le in uenze spurie che si trovano in caso di più di due aree coinvolte. Per ovviare alle ipotesi di stazionarietà fatte sui segnali e alla stima dell'ordine del modello VAR imposto ai dati fMRI, come altro approccio è stata utilizzata la Non Parametric Granger Causality. Essa si basa sull'analisi Wavelet dei segnali e sulla successiva applicazione delle misure di Granger ad essa. I risultati sono molto robusti nelle simulazioni ed è possibile avere un'analisi tempo frequenza molto dettagliata. Il metodo presenta alcune limitazioni costituite dal numero di dati a disposizione per l'analisi, che deve essere elevato. La risonanza magnetica funzionale ha una scarsa risoluzione temporale che implica segnali temporali per trial costituiti da non molti punti. Anche la DTF non si è rilevata cosi e cace nel caso di simulazione di dati reali fMRI, a causa della scarsa risoluzione temporale. In ultimo, invece, la Coherence basata sullo studio della trasformata di Fourier dei segnali, oltre a determinare il grado e la direzione della correlazione tra le serie considerate, permette di visualizzare i ritardi presenti tra esse tramite lo studio dello spettro di fase. Inoltre, al contrario delle misure di Granger è un metodo libero da modelli da de nire e soprattutto da ordini del modello da stimare. Al contempo essa non fornisce indicazione di una reale causalità (in uenza) tra le regioni considerate. I risultati ottenuti dall'esperimento su dati reali confermano l'analisi precedentemente svolta.
Figura 8: In alto mappa delle in uenze tra le regioni considerate nel caso GC (sinistra) e Conditonal GC (destra). Il colore è proporzionale al livello di signi cativà tra le aree (alta signi catività in rosso, bassa signi catività in blu). In basso a sinitra mappa delle correlazioni (misure di Coherence) e a destra la mappa dei ritardi tra le aree considerando AC come seed (il primo stimolo è infatti auditivo)
Bibliogra a
[1] Horwitz B., Warner B., Fitzer J., Tagamets M.A., Husain F. T. and Long T.W., 2005. Investigating the neural basis for functional and eective connectivity. Phil. Trans. R. Soc. B 360, 1093-1108
[2] Granger C.W.J., 1969. Investigating causal relations by econometric models and cross-spectral methods. Econometrica 37, 424 438
[3] Geweke J.F., 1982. Measurement of linear dependence and feedback between multiple time series. J. Am. Stat. Assoc. 77, 304 324
[4] Chen Y., Bresslerb S., Dinga M., 2006. Frequency decomposition of conditional Granger causality and application to multivariate neural eld potential data. J. of Neur. Met. 150, 228237
[5] Astol L., Cincotti F., Babiloni C., Carducci F., Basilisco A., Rossini PM., Salinari S., Mattia D., Cerutti S., Ben Dayan D., Ding L., Ni Y., He B., Babiloni F., 2005. Estimation of the cortical connectivity by high-resolution EEG and structural equation modeling: simulations and application to nger tapping data. IEEE Trans Biomed Eng 52, 757768
[6] Sun F.T., Miller L.M., D'Esposito M., 2004. Measuring interregional functional connectivity using coherence and partial coherence analyses of fMRI data. Neuroimage
[7] Dhamala M., Rangarajan G., Ding M., et al., 2008. Analyzing information ow in brain networks with nonparametric Granger causality. NeuroImage 41, 354362
[8] Roebroeck A., Formisano E., Goebel R., 2005. Mapping directed in uence over the brain using Granger causality and fMRI. NeuroImage 25, 230 242
