Uso della trasformata di Laplace
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Testo completo
(2) Uso delle trasformate • Applichiamo la trasformazione al primo ed al secondo membro della ODE. IMPORTANTE! VARIABILI DEVIATE! • La condizione iniziale implica che:. • L’equazione è diventata algebrica nell’incognita T’(s)..
(3) Uso delle trasformate • La risoluzione è elementare e fornisce nel dominio di Laplace l’incognita:. • Se vogliamo conoscere la funzione T’(t) dobbiamo antitrasformare la precedente equazione. Per il momento procediamo a “mano”.
(4) Uso delle trasformate • Per ispezione possiamo antitrasformare ricordando la proprietà di linearità della trasformazione:.
(5) Uso delle trasformate • Il modo di procedere è il seguente: – Si trasformano le equazioni (le condizioni iniziali sono utilizzate nelle derivate) – Si risolve l’equazione algebrica (o il sistema di equazioni algebriche) – Si antitrasforma (stadio in genere difficoltoso) • Un modo di antitrasformare efficiente passa per una espansione in fratti semplici. Infatti in genere si perviene a problemi posti nella forma:. • Dove Q e P sono polinomi di grado q e p con p>q (in genere).
(6) Uso delle trasformate • Il rapporto tra polinomi può essere espanso in fratti semplici:. – ri sono polinomi di grado basso 1,2 • Per poter procedere si devono determinare le costanti ci e poi antitrasformare. • Le radici di P(s) hanno importanza nel determinare il tipo di funzione x(t) nel dominio del tempo..
(7) Uso delle trasformate • Radici reali e distinte. • Quando antitrasformiamo. • Sono tutti esponenziali.
(8) Uso delle trasformate • Per determinare le costanti:. – Moltiplichiamo ambo i membri per (s-1). – L’uguaglianza deve valere per ogni s. Scelgo s=1, quindi. – Procedendo in maniera analoga ottengo:.
(9) Uso delle trasformate • Radici complesse e distinte. • Procediamo in modo identico al precedente. • NB: Anche i coefficienti sono complessi e coniugati.
(10) Uso delle trasformate •. Si ottiene:. •. Conviene manipolare la soluzione:. •. Quindi:. •. NB: radici complesse implica risposta con andamento periodico.
(11) Uso delle trasformate • Radici multiple. • c4 si determina al solito modo: • Poi moltiplichiamo per (s+1)3:. • Ponendo s=-1 si ricava c3:.
(12) Uso delle trasformate • Per determinare le altre costanti dobbiamo procedere diversamente per evitare infiniti. • Deriviamo rispetto ad s la seguente equazione:. • Ponendo s=-1 si ricava c2: • Differenziando nuovamente si ottiene c1:.
(13) Uso delle trasformate • Quindi si ricava x(t):.
(14) Uso delle trasformate •. Riassumiamo alcune proprietà: – Radici reali e distinte: esponenziali • Radici negative esponenziali negativi • Radici positive esponenziali positivi – Radici complesse coniugate: funzioni periodiche • Radici con parte reale negativa risposte oscillatorie non divergenti • Radici con parte reale positiva risposte oscillatorie divergenti • Radici immaginarie risposte periodiche – Radici multiple: esponenziali moltiplicati per tn • Radici negative esponenziali negativi • Radici positive esponenziali positivi.
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