(Seminario)

(1)

Risposta meccanica di

un elastomero reale

Studente: Giovanni Rillo

Relatore: Dr. Tullio Scopigno

(2)

Perché la gomma?



Esempio di sistema termodinamico

(f, L, T)



Proprietà macroscopiche peculiari



Modello microscopico basato su

macromolecole (polimeri)

Alta

elasticità

Coefficiente di dilatazione

termica negativo

(3)

Equilibrio termodinamico

In condizioni di equilibrio termodinamico possiamo studiare il

comportamento elastico dell’elastomero

Misure statiche: forza vs elongazione

Condizioni dinamiche

In condizioni dinamiche l’elastomero non è un sistema conservativo: possiamo studiare il suo comportamento viscoelastico

Misure dinamiche: forza vs tempo a elongazione costante

(4)

Il modello di Kuhn:

un network di catene



La singola molecola può essere assimilata a una lunga

catena: i legami tra i singoli atomi costituenti la catena

possono ruotare liberamente.



Deboli forze tra le singole catene



Le catene sono tra di loro connesse in pochi punti, detti

(5)

La singola catena

La singola catena consta di n giunzioni di lunghezza l: ogni

giunzione ha una direzione completamente random nello spazio.

Tale assunzione porta alla densità di probabilità di un estremo

della catena nello spazio:

dxdydz

z

y

x

b

dxdydz

z

y

x

p

(

,

)

exp{

2

(

2 2 2

)}

2 3 3









2 2

2

3 nl

b



Entropia

Definizione di Boltzmann: s=k ln(N) N configurazioni 2 2 2 2

_ln

cost

ln

[ p(x,y,z

) dV]

k

(

)-kb

r

k

( dV)

c-kb

r

k

s







(6)

Processo di deformazione

X= 1 X0 Y= 2 Y0 Z= 3 Z0

}

)

1 (

)

1 (

)

1 {(

₁2 ₀2 2₂ ₀2 ₃2 ₀2 2 0

kb

x

y

z

s





















•Deformazione affine: il rapporto L/L₀ è uguale per la singola catena e per il materiale nel suo insieme

•Il volume del materiale rimane costante durante il processo di deformazione (___=1)

(7)

Entropia e forza

Posto che la direzione di una catena nello spazio sia completamente casuale, si ha      



2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 3 1 3 1 r N r z y x

)

3 (

2

1

₂ 3 2 2 2 1













S



s

Nk



Configurazioni assumibili da catene

sono isoenergetiche

dw





Tds





d

(

Ts

)

Tcost

Mancanza di interazione

W





TS

Derivando i i

W

f







)

1 (

₂ 1 1 1

 G





_

f

G



NKT

(8)

Dati sperimentali

Fit eseguito a partire dalla funzione

)

(

₂ 2 0 0

L

G

f





N

G



1 .

01 

0 .

02 cm

L

₀



7 .

06 

0 .

10

Risultati: Confrontabile con il valore di L₀ misurato sperimentalmente:

cm

1 .

0

7 .

7 

(9)

Il modello di

Mooney-Rivlin

Rivlin

Assunzioni: •Isotropia •Incompressibilità

•Invarianza sotto rotazioni attorno a un asse

Dipendenza da _i2

È quindi possibile cercare opportune funzioni W a partire dai più semplici polinomi rispondenti a queste caratteristiche:

. 2 3 2 2 2 1 1













I

₂





₁2



2₂





2₂



₃2





₃2



₁2

I

₃





₁2



2₂



₃2

(10)

Il modello di Mooney-Rivlin:

la forza

La generica funzione W_ sarà esprimibile come

j i j i ij

I

C

W

(

₁

3 )

(

₂

3 )

0 , 0







  

La funzione lineare di I₁ e I₂ più generale è invece

3)

-1

1

1 (

C

)

3 (

C

3)

-(I

C

3)

-(I

C

2 3 2 2 2 1 01 2 3 2 2 2 1 10 2 01 1 10















W

Nel caso di estensione semplice, derivando rispetto a _otteniamo

)

)(

1 (

2

1 01 10 2 1 1

_



C

f







(11)

Dati sperimentali

Fit eseguito a partire dalla funzione

)

)(

(

2

0 01 10 2 2 0 0

L

C

L

f







N

C

0 .

909

0 .

009

2

₁₀





cm

L

₀



8 .

01 

0 .

04

Risultati:

N

C

0 .

78

0 .

04

2

₀₁





(12)

Seconda parte: panoramica

dei rilassamenti

Elastico sollecitato a lunghezza costante

•Sollecitazioni termiche, effettuate riscaldando la gomma •Sollecitazioni meccaniche, effettuate contraendo e rilassando rapidamente la gomma

(13)

Rilassamenti termici

fdl

Q

dU







cost , cost , 













l p T p

T

f

l

S

Nel modello di Kuhn S=S(S(l)

Variazione di forza esercitata dall’elastomero ricondotta alla variazione di temperatura nel processo

cost 



T

_l

f

T

h

dt

T

d

C

dt

dQ











(

)

 t

e

T









(

0 )

(14)

Solido standard lineare

Teoria viscoelastica lineare: Oggetto schematizzabile come insieme di molle e dissipatori viscosi variamente connessi

•Molla: f =-kx •Dissipatore: f=-x’

Insieme di equazioni lineari























0

2 1 2 1

x

kx



 t

e

f

t

x

k

x

k

f

 













))

(

)

0 (

(

)

(

|

₃ ₁ ₁

(15)

Dati sperimentali

Rilassamenti termici:

Lo schema basato sul trasporto conduttivo riproduce bene i risultati sperimentali

s

20

15 





Rilassamenti viscoelastici:

Il modello dei solido standard lineare non riesce a riprodurre il rilassamento.

(16)

Il modello di Maxwell

generalizzato

Presupponendo più tempi caratteristici di rilassamento una generalizzazione naturale è quella mostrata in figura