Aleph: revista dels estudiants de matemàtiques, Núm. 12

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~ Aleph Revista

deIs ~tudiants de Matematiques

_{número 12- Abri11987}

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Fa temps ja que la Facultat de Matematiques viu un procés de progressiva degeneració. Aquesta promoció insulsa que repta amargada per les aules esperant l'aprovat que alleugeri les seves penes a les darreries de la pr..mavera. Cap díbuix. a l'Aleph per alegrar la vista. Cap concert a l'Abril per deleitar la seva orella, cap resta general, partít de futboI. costellada, ...Cap alegria. Cap

pena.

Valer, valem molt els matematics; voler, volem molt el matematics. Pero fer, que en fem de

ben poc els matematics.

Aleshores surt la veu al vent i diu: Pero si g'han organitzat excursions, si l' AIeph surt periOdicament, si es fan concursos de go, si els matematics jugen més be que mai al futboL. Pero siguem sincers: si cinc organitzem excursions, si entre uns deu montem l'Aleph, si uns quants eix.erits engeguen fascinants partides de go i si tenim un fabulós equip de futboI. a part d'uns quants que tenim representant-nos a les diferentes cornissions, que fan la resta deIs sis-cents rnatematics de la casa, incluint-hi eIs professors ?

EOU1P ALEPll 1 2 5 7 8 9 12 14 17 20 23 Editorial TeIenotícies Matematic

Todo 10 que usted quería saber sobre el 4341 y aunque se atrevía a preguntar nadie podía contestar

~fedio año en la facultad de matemáticas

Reflexiones

Inf onnática El profesor

C.EoAoBo:Un deIs pioners en la recerca sobre inteloligencia artificial en el nostre país

A on som?

Si un enigma necessites '00 Jocs i divertiments

Portada: El cercle de Feuerbach. Té les propietats següents: El centre esta en el punt mig del segment que uneix l'ortocentre, el circuncentre i que a més conté al baricentre. Passa pels peus de les al~ades, pels punts mitjos deIs costats i per el punts mitjos deIs segments que uneixen l'ortocentre amb el vértex.

Revista editada pels estudiants de la Facultat de Matematiques de la Universitat de Barcelona Gran Vía de les Corts Catalanes 585

08007 Barcelona

@ Abril de 1987

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~ AIeph Revista

deIs

estudiants

de Matematiques

número 12- Abril 1987

El dia 19 de Desembre per acomiadar l'any hom organitza una obra teatral que refeÍa els contes infantils donant-los un senri.t matematÍc. A més els profesors Antoni Benseny, August Palanques i Josep Pla van voler participar-hi i van protagonitzar el telenoticies que tot seguit us transcrivim.

BLOC NACIONAL

-Un equip de redactoIS del nostre telenotícies ha investigat la qüestió delttasllat de la facultat de Matematiques. És falsque hom vulgui instal.lar-la a l'antiga maternitat; els nous locals seran a l'edh,ci veí, el frenopatic municipal.

-El comite executiu d'Alianza Popular ha desmentit que la dimissió de Manuel Fraga ~,gui cap relació amb la deIs degans de MatemAtiques. Alberto Ruiz-Gallardón ha precisat: "La situació es ben diferent, aquí tothom vol ésser president i aila ningú vol ésser dega".

-Entre la classe polític~ la gran pregunta d'aquests darrers dies és la seguent: ¿Que tindrenl abans, nou govern a Euskadi o nou dega a Matematiques ?

-Noves regles parlamentarles. Felix Pons, president del Congrés deIs Diputats, ha dit: "Un conjunt de diputats podra fonnar grup parlamentari si i només si el seu cardinal és primer o múltiple de tres".

BLOC INTERN ACION AL

-El secretari d'estat nordameric~ George SchuItz, ha fet unes declaracions contUndents: "SoIs negociarem amb Espanya aqueiles bases que siguin ortonormals".

-.A.fer Irangate. Larry Speakes. portantveus presidencial. declara: "Ronald Reagan no sabia res; la Casa Blanca no és connexa".

-Segueix la campanya anti-alcoholica a la Unió Sovietica. Des d'ara., el vodka es podra comprar solament en botelles de K1ein.

-Continua la islamització a!ran. L'aiatollah Jomeini ha dit: "Si les coniques i quadriques no es posen xador, suprimirem la geometría". Recordem a1s espectadors que la. Infornlanca ha estat suprimida per occidentalitzant i l' Anilisi per ésser obra de Satan.

SUCCESSOS

-La policia ha detingut, fa poques hores, tres coneguts matematics per proposicions deshonestes i abusos de llenguatge.

-Greus enfrontaments entre forces d'ordre públic i estudiants incontrolats que pretenien aconseguir un lloc a ¡'examen de Geometria n. Més de 1.000 persones han passat a disposició

judicial

.-La guardia urbana ha capturat un menor d'edat que atracava come~os i farmacies armat d'un espatlocalment punxegut

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~ AIeph Revista

deis estudiants

de Matematiques

-L 'insigne escultor Piltrafa exposa els seus daITers plans projectius a la Galena Kaos.

-Si mai tenim nova facultat de Matematiques, el conegut artista Christo, que havia d'embolicar el monument a Colom, esta disposat a cobrir el non edifici amb llistats infonnatics, amb el nou dega a dins.

-Música Popo "Toreros Muertos" ja no és el grup de moda. Ara el jovent escolta els nous grups "Matemáticos en Paro", "Cateaáa Total" i "Repetidore:s Pennanentes".

-Enorme exit a l'estrena de la darrera obra teatral de Mélrguerite Duras7 titulada "Le lemme de Zom dans Calcutta. désert".

-L'escriptor nordamerica Charles Bukowski ha publicat la seva darrera novel.1a, amb ritol "Homotopies, homologies i cohomologies"; la crítica de Nova- York ha sigut unanim, aquesta obra es pomografia pura.

ESPORTS

-Importants victOries deIs equips de ~fatematiques. EIs contrincants declaren: "Les samarretes que porten ens fan perdre l'orientació".

FETSIGE~

-Un cas de sadisme: un jove regala a. la seva. promesa. un anell no conmutatiu.

-Un professor de la Universitat que treballa a l'edifici (:entral tI1lca a l'extensió 2106, Serveis Femmins, per demanar un massatge tailandes i s'hi posa la sienyora deis lavabos.

-Un portantveus de la Zarzuela ha declarat: "Si no trobem pretendents per a les infantes a les cases reals europees, els cercarem a les cases imaginaries".

-Millorament informatic a les grans empreses estatals. A partir d'ara, eIs rebuts de llum, telefon, aigua i gas aITibaran a l'usuari ~n llenguatge maquina.

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AJeph Revista deIs estudiants de Matematiques _{número 12- Abril 1987}

Todo

lo gu~ usted Quería saber sobre

el 4341 1

au~~ue ~e .atI;e~ia .~ ure1!untar nadie uodía cont

(Consultorio informático-sentimental del (:onde Víctor)Debido al número abromador de preguntas que ha recibido esta sección (concretamente 3) el redactor-jefe de esta maravillosa publicación ha insinuado que quizas podría dejarlo y dedicarme a cosas más productivas como, por ejemplO,la venta de cupones de la O.N.C.E.Sin embargo, ya pesar de que I.B.M. (Industrias Bovinas Martinez) ha dejado de patrocinarm~ pienso seguir en mi puesto, calmando dudas y sembrando la paz y el optimismo en vuestros corazones. (De todas maneras no estaría de más que alguien me prestara algunos durillos, más que nada para tabaco y quinielas). Y ahí van las preguntas:

Pl: ¿Por qué echaron al monitor? Un pelota.

Rl: Hay que decir que el chico, gracias a su indudable capacidaá para cor.fundir a la gente y a. su reconocida ignorancia. profunda. se ganó el afecto de todos. A estas alturas nadie va a negar su diligencia a la hora de servir café a todo aquél que se 10 pedía, y el esmero con el que limpiaba los zapatos, incluso a alumnos de primero.

Por otro lado es una de las personas que con mayor gracia y simpatía sabía decir "No 10 sé" a. cualquier tipo de pregunta. que se le hiciese, por complicada que ésta fuera. Todo el mundo reconoce también su enonne sentido de la puntualidad. Prácticamente no llegó a la hora ni un solo áía, y cuando así 10 hizo fue increpado convenientemente por el alumnado, amante de la buenas costumbres, como debe ser. Pero si hay algo que todos ec1.1amos en falta son sus ronquidos, con los cuales nos deleitaba a todas horas y con los que se conseguía el tono de trabajo adecuado a la velocidad del ordenador.

Por todas estas características y algunas otras que no se pueden explicar en una revista. como ésta nos parece injusto que un chico tan claramente ineficaz haya sido apartado de un cargo de tan alta responsabilidad. No obstante, las malas lenguas dicen que puede optar a más altos cargos en el LabomartLrio. No cabe duda que las cualidades ya la reúne.

P2: ¿Por qué no echaron antes al monitor? El Ala Dura de la Sala de Tenninales. R2: En todos los colectivos siempre hay ovejas negras que con sus insultos y provocaciones pretenden romper el clima de paz y annonía. Corramos, pues, un tupido velo.

P3: ¿Cuándo me van a pagar? El ex-monitor. R3: Estimado señor don monito-R:

Según las últimas estimaciones del ICE parece ser que hacia el año 90 conseguirán ceuar los presupuestos de 1962. Es pues, previsible, que puedas cobrar tarde o temprano, aunque sea a título póstumo.

P4: ¿Cuándo instalarán una máquina de tabaco! en la S.T.? Francisco Hernández Boncalo.

R4: Parece ser que la gerencia de la U.B., dentro de su línea general de preocupación por el alumnado ha decidido establecer una red telecomunicada de máquinas de tabaco, invocables directamente desde la ternlinal. El problema principal que está aún sin resol ver es si este tabaco será virtual (como de costumbre) o se podrá fumar de verdad. Seguramente será virtual, claro. Otro problema accesorio es cómo retirar de la S. T. los cadá.veres de aquellos que perezcan con el Sindrome de Abstinencia provocado por la velocidad de respuesta del ordenador. Se rumorea que podría crearse una beca para solucionar este inconveniente.

También se habla de instalar una barra americana para solaz de los alumnos.

P5: ¿Por qué no prohiben fumar en la S.T.? Jordi Drogasparaqué Vivelavida.

RS: Con este señor, que sin duda pertenece al Ala Dura, me gustaría llegar a las manos en el plazo más breve posible. Parece ser que esta mente retrógrada no comprende la importancia del tabaco en Informática. Por un lado el humo provoca cancer en los ojos, que impide la formación de lesiones ilTeversibles debidas al fósforo verde de las pantallas. Por otro lado el humo consigue crear un ambiente de trabajo exagerado, con el cual se logra simular que el ordenador funciona.

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~ Aleph Revista

deIs estudiants

de Matematiques

Además, exhalando el humo en la dirección adecuada es posible que alguien se vaya, lo cual empieza a ser de agradecer.

P6: ¿Cuándo me van a dar código? Un retrasado. R6: Te veo mal.

P7: ¿Cada cuánto se limpian las pantallas? i'Aanue1 Truque, director general de KAM R7: Es un fenómeno vagamente periódico, que viene a. ocurrir cada 40 ó 50 años. Claro ~stá que esto era en tiempos de Franco.

P8: He venido observando últimamente- e:1 ordenador y he llegado a conclusiones sorprendentes. ¿Podría ser que la velocidad del ordenador vulnerase-la ley de vulnerase-la Revulnerase-latividad? Alberto Haistein.

R8: Realmente éste es un tema que se está investigarldo actualmente. Se han revisado los manuscritos de Einstein y se ha especulado sobre la posibilil:iad de que efectivamente Don Albert, cuando hablaba de c no se refiriera a la velocidad de la luz como se ha venido creyendo hasta ahora sino a la velocidad de comunicación del Aula de Terrninale:s (Sala de Alumnos) con el 4341(13) situado en Pedralbes. Seguiremos informando sobre el tema.

P9: ¿Por qué se oyen tantas palabras malsonantes en la S. T .? Purita de Blanco

Candor.

R9: Creo que estás equivoc~ hija mía. Lo que tú ÍIltc:rpretas como "palabras malsonantes" no son más que palabras de cariño. piropos dirigidos al maravilloso engendro con la sana intención de dar1e ánimos y alentarle a realizar las faenas que se l~: encomiendan. En ningún momento pretenden ser ofensivas, sino todo 10 contrario. Otro problema es que tú no sepas que la computadora es hija de padre desconocido, y que su madre fuera de moral más bien relajada. Supongo que ahora comprendes que esas palabras que tú entiendes como insultos no son más que reconocimientos a la condición del ordenador.

De todas fonnas rogaríamos a los alumnos nacidos en "Ses Illes" que tradujeran algunas de sus locuciones para que todos pudiésemos usé1rlas. Muchas ~~ias.

P10: ¿Qué es el REDUCE? Alain Petit

RIO: Es una maravillosa adquisición del ClUB cuyo pI1ncipal objetivo consiste en reducir al mínimo la capacidad de ejecución del ordenador, y de ahí S:1l nombre. Sín duda es un recurso que debería ser más utilizado porque por lo visto aún tlay personas que pueden ejecutar clandestinamente programas en PUlo FORTRAN. Estos d'esrnanes, sin embargo, acabarán tarde o temprano.

Pl1: ¿Qué es el reader? A. Nónimo.

Rl1: Es como un servicio de correos, pero a la españobi. O sea, que de todo 10 que envías, lo poco que se recibe llega tarde y mal.

P12: ¿Por qué huele tan malla S.T.? Un asfixiao.

R12: Esta pregunta me parece indignante.No entiendo c:ómo aún hay quien piensa que la S. T. huele mal, cuando todo el mundo sabe que huele a tigre (haría falta reunir muchos tugurios del bamo chino para conseguir ese grado de fetidez que caracteriza nuestra querida Sala).

El motivo de tal olor es, sin embargo, obvio. No es, clomo alguien indica por ahí, que en la. S. T. no hay extractores (que no los hay), ni las montaña:s de basura que se acumulan en los rincones (y que cada día crecen más ); ni siquiera la ausencia de higiene de los usuarios (que en algunos casos raya en los límites de 10 irreal).Como habrá adivinado todo el mundo el olor proviene de la propia máquina ,y es que nadie ha pensado q111e ella también tiene sus necesidades. Desde aquí hago un llamamiento público a las autoridades pertinentes para la instalación de un servicio de orinales cibeméticos que faciliten a la computadora la satisfacción de sus más íntimas necesidades. (A pesar de todo, algo olerá siempre mal en el agujero.Fdo:E1 Ala Dura ).

P14: ¿Por qué el batch tiene máxima prioridad? Bartolo Tchong R14: Porque si no el sistema sería eficiente.

~~LES DIEZ

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~ AIeph Revista

deIs estudiants

de Matematiques

_{número 12- Abril 1981}

Nuestra vida, igual que la sociedad en general, está evolucionando sin in~pción. Pero hay momentos en que esta evolución se convierte en un cambio brusco que si no se sabe aceptar convenientemente nos lleva a estrellamos una y otra vez de forma inexorable contra la realidad. Pero empezar algo nuevo i es tan difícil y asusta tanto!

El primer día de clase en la Universidad me sentí invadida. Entré en el aula, me senté en el primer sitio que encontré y no sabía bien qué hacía., ni dónde estaba. Me sentí, valga la comparación, como el día que me fui a comprar un abrigo y me probé uno grande, muy grande. Yo no me veía allí dentro. Me sobraba abrigo por todos los ~¡itios. Era muy largo, las mangas me tapaban las manos, la espalda me quedaba muy anch~... Bueno, os lo podéis imaginar. Pues el primer día de clase en la facultad de matemáticas me senn i~~, abrumada por el peso del núedo y la duda. Pero, aquel día, cuando me compré el abrigo, pude elegir una talla más pequeñ~ pude elegir un abrigo a mi medida. Con la Universidad supe que ésa no iba a ser posible. No había otra talla más pequeña para alcanzar mi objetivo y por eso me di (:uenta de que lo que tenía que hacer era crecer yo, adaptarnle a esa nueva vida que comenzaba.

Pero también era consciente de que este crecimiento ncl lo podía llevar a cabo sol~ ya que yo, como cada uno de nosotros, soy una nada elevada a una ~)tencia infInita. Era necesario hacerla con mis compañeros, y tambíén con el resto de la facultad., ayudándonos mutuamente en todos los

aspectos.

Podía y puedo, claro está., utilizar mi pasado para seguir adelante. Pero no como un peso muerto sino como una experiencia concreta que me lanza ha,cia. el futuro. Como una historia que, si bien no puedo repetir, me hace mirar de otra manera el hoy Y' el mañana.

Han pasado ya casi cinco meses desde que comenzamos y me alegra darnle cuenta de que la facultad de matemáticas no es algo tan lejano como yo pensaba y que aquel abrigo tan grande de un principio ya no me agobia tanto. .

Me ha alegrado comprobar que aquí hay gente diSPUeslta a hacer todo tipo de actividades que hacen de la facultad un lugar mucho más ameno y agrada;ble. Valga como ejemplo el teatro de Navidad o el propio Aleph. Esto demuestra que la facultad está viva yeso, cómo no, me gusta y me ayuda a sentirme mucho mejor.

Es cierto que también la facultad está llena de cosas clue no marchan bien y que es posible mejorarla en todos los sentidos, pero hay también, como ya he dicho, proyectos y actitudes que vale la pena potenciar más. Y aunque aquí, como en todas partes, la ilusión y las ganas de salir ;!~lante están unidas a la desesperación, no por eso son lIleIl:os poderosas ni menos importantes.

Mtllltse y.e/a del Olmo ~!curso

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~ Aleph Revista

deIs

estudiants

de Matematiques

número 12- Abri11987

Reflexiones (Se2:unda narte).

.1ESUS GONZALEZ

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~ AIeph Revista

deIs estudiants

de Matematiques

_{número 12- AbrJ 1987}

¿ Qué os parecería una sección dedicada a la publicación de programas para vuestro microordenador?

Si tienes un Oric, Comodore, Spectrum o Apple, si programas en Basic, Pascal o código máquina, si has creado algún programa interesante y quieres publicarlo, adelante~ esta es tu

sección.

Los usuarios del Spectrum habreis experimentado las limitaciones de la máquina en cuanto a capacidad de sonido. Si uno intenta crear un prograIrul para ttansformar el teclado en un órgano se encuentra con el síguiente problema.

Es sabido que la instrucción beep requiere dos argumentos. Uno la altura del sonido (real de rango entre -60 y 70 ), otro la duración de la nota (real de rango entre O y 10). Pues bien~ este es el problema. La duración de la nota debe deternrinarse pre\iamente a la ejecución.

Lo que nosotros pretendemos es que la nota dure mientras la tecla correspondiente permanezca pulsada y esto resulta imposible de realizar en Basic.

Existen dos soluciones, sin embargo. Una; en lugar de emitir un sonido continuo realizar una serie de pulsaciones intermitentes, verificando entre cada pulsación si la tecla sigue pulsada. La segunda es comprar un órgano electrónico de verdad.

Parece, pues, que debemos confonnarnos con los resultados, más bien pobres, obtenidos. Pues no. No nos vamos a conformar, vamos a intentar que nuestro micro se comporte como un auténtico órgano y para ello vamos a utilizar otro lenguaje de programación: el código máquina. El código máquina puede parecer más dificil que el Basic, pero tiene una ventaja; nos pennite programar directamente el rnicroporcesador evitando la estulticia del interprete Basic.

Bueno, hasta aquí todo es fácil de ,comprender. Sólo hay que reseñar brevemente la labor del

inteIprete.

.

El interprete es un progra.TI1ay creado por los ingenieros de Sinclair, residente el la ROM, y que tiene como misión traducir el programa Basic a código máquina. el único lenguaje que entiende el rnicroprocesador. Pero como ya se ha dicho no vamos a usar el intérprete.

Cuando el intérprete registra una orden beep toma sus argumentos, cargando en el registro In.. el valor ( 437.500 I frecuencia) -30,25 y en el registro DE el valor frecuencia x tiempo. A continuación llama a la subl"'.ltina beeper de la ROM. Bien, ¿ Y cómo actua la beeper ? Muy fácil. Beeper activa y desactiva el altavoz o zumbador mediante una instrucción del tipo OUT (FE),A~ es decir, poniendo alto ( al) el bit D4 del bus de datos y luego bajo ( a O) y haciendo salir este valor por el puerto de la dirección FE ( hexadecimal ). Por ejemplo, si queremos ejecutar la nota DO de frecuencia 523,87 Hz., el zumbador ha de ser activado y desactivado sucesivamente cada. 11 ( 523,87 x 2 ) segundos. Sabiendo que el reloj del Spectrum funciona a una velocidad de 3,5 :rvD1z., un rápido cálculo demuetra que entre cada operación de activado/desacrivado que podemos llamar flip/flop, han de ttanscurrir exacarnente 3341 ciclos del reloj o T -estados, como se llaman en realidad. Por tanto es necesario esperar entree cada flip/flop un cierto tiempo y para ello crearemos una rutina de retardo. Beeper usa DE como contador efectuando un retorno al programa principal cuando se da la condición de O.

Nosotros escribiremos en la RAM nuestro propio beeper, poniendo como condición de retorno que la tecla no esté pulsada.

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~ Aleph Revista

deIs estudiants

de Matematiques

A continuación el listado.

; Dirección del código RAL\tL

; Desconecta inten-upciones. ; Media fila Q- T

; ¿ Q pulsada ?

; Salta a OOUP si Q pulsada. ; Nueva exploración. ;F1ip D4 ; 7 T-estados ; 7 T-estados ; 13.FE+8 T-estados ; 4 T-estados ; 4 T-estados ; 4 T-estados ; 12+7 T -estados 10 ORG FOOO

.,

0. ¿. , 30 DI

40; LECfOR DEL TEa..ADO.

50 KEY ID A,FB 60 IN A, (FE) 70 BIT O,A 80 JR Z,DOUP 90 JR KEY 100; SUBRUTINA" BEEPER ". 11000UP ID A,11 120 OUT (FE),A

130 ; BUCLE DE RE! ARDO

140 ID C,2 150LPDOl ID B,FF 160 LNDOI DJNZ L~1 170 NOP 180 NOP 190 DEC C 200 JR NZ,LPDO 1 210 ; 220 ID A,7 230 OUT ( FE ), A 240 ; SE~1DQ RETARDO 250 ID C,2 260 LPDO2 ID B,FE 270 LND02 DJNZ LNDO2 280 DEC C 290 JR NZ,LPD02 300 NOP

310; CONTROL PARA RETO&""iO

320 ID A,FB 330 IN A,( FE ) 340 BIT O,A 350 JR Z,DOUP 360 JP KEY ; Flap D4 ; ¿ Q pulsada?

; Salta a DOUP si Q pulsada ;SaltaaKEY

Para ejecutar el programa hay que salir del ensamblador y ejecutar RANDOMIZE USR 61.440. Para obtener nuevas notas cambiar los retardos y emplear nuevas teclas.

El código fuente ha sido ensamblado con el ensamblador Devpac. Si no disponéis de éste, podéis ensamblar a mano y entrarlo en vuestro micro mediante un cargador Basic.

Como veis el programa es muy sencillo, apenas sobrepasa los 30 bytes. Primero comprueba la fila de teclas de Q hasta T, y si Q está pulsada emite la nota DO. Pone alto D4, (activa el zumbador), efectua un retardo, pone bajo el zumbador, (lo desactiva), realiza el segundo retardo, (dentro del cual, hábilmente, hemos introducido el control de retorno ), y repite.

Para salir del programa hay que desconectar el ordenador. Un procedimiento menos drástico consiste en introducir en la rutina de exploración del teclado una serie de instrucciones que nos permitan abandonar el programa cuando, por ejemplo, pulsamos W. Es así de fácil:

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~ Alepb Revista

deIs

estudiants

de Matematiques

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Brr O,A JRZ,DüUP BIT 1,A JR Z,END JR KEY

.

70 80 81 82 90 ; Verifica W ; Fmalizar si W pulsada 350 360 370 ; 380 END 390 JR Z,DOUP JR KEY El

RET ; Reactivar interrtlpciones; Retorno al BASIC

Podeis experimentar nuevos sonidos variando el contenido de los registros B y C I eso alterará los retardos). También se p11eden añadir nuevas notas creando otras subrutinas. Para los que se atrevan ahí van otras frecuencias.

RE=587.14 :MI=660.75 FA=698.74 50L= 781.07 LA=881.83 51=989.53 DO#-REb=553.70 RE#-MIb=624.98 F A#-SOLb= 735.13 SOL#-LAb=833.13 LA#-SIb=934.57 Ser~io Raimi ]2 Curso l' ICALt.A-)L_--; (.(' U ~ é37'1M" S I1JVAol =tlJQo

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11 pago

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Recordaba ahora su primer año en la facul~ los nervios del primer día y el disgusto de aquel muchacho al que había estado a punto de suspender. Recordaba aquellos tenibles días del encieITo. Había sido el único profesor que permaneció con los alumnos dentro de la facultad durante la noche trágica. La policía los había desalojado y su intento de hacer valer sus derechos se había saldado con lli' brazo roto, parecía estar viendo todavía a aquel gorila golpeando con su porra a todo lo que se movía. Uno de los chicos tendría que pasar por el quirófano para que le recompusieran el rostro.

-No pongas esa cara hombre. Ahora es cuando empezamos a vivir. -Ya 10 sé querida.

-Pues anímate, por favor.

Sara conocía perfectamente a su marido. Sabía que hoy era un día trágico para él. Intentaba por todos los medios que pareciera un día normal, pero en su interior soportaba la misma tristeza, la misma resignación, la misma incertidumbre. Con él había compartido muchos años de alegría y sinsabores, y también muchos años de su trabajo. Siempre estuvo al corriente de todos sus problemas y le aconsejaba en deternrinadas decisiones. Para él era su mejor colaboradora. A partir de hoy habría que llenar un profundo hueco, y no sabía bien cómo. Aquel beso en la frente llevaba toda su alma.

Antes de salir' recibió la visita de su hija y de su nieto. El chiquillo, de sólo cuatro años de edad, no paraba de revolotear alrededor de su abuelo. El profesor ador.a.ba al pequeño y pensó que ahora tendría más tiempo para estar con él, se alegró por ello.

y por fm llegaron a la facultad; El aula magna parecía reventar, no se esperaba una despedida. tan cálida y los aplausos de los numerosos y alborotadores alumnos le infundieron el valor que necesitaba para enfrentarse al ocaso. Los discursos se sucedieron. El decano alabó "toda una vida dedicada al saber". El secretario destacó "sus grandes virtudes humanas" y el director de departamento " su privilegiada sensibilidad" .El apenas hacía caso de lo que decían, miraba a sus alumnos y pensaba que era 10 único que echaría de menos, a sus amigos ya los habían jubilado y por la vía rápida, igual que a él.

Llegó su turno. La numerosa audiencia aguardaba en silencio sus palabras. No tenía nada preparado, por un momento pensó en cantar todas las verdades. Que le habían echado d.os años antes de 10 previsto, que en el departamento apenas simpatizaba con nadie, que muchos profesores le envidiaban por su facilidad para ganarse a los alumnos, que los anteriores discursos eran preciosos pero apestaban a cinismo. Se subió al estrado y captó la compasiva y triste mirada de Sara, en décimas de segundo cambió sus intenciones.

-Muchas gracias por esta despedida. Creo que no es para tanto. A los chicos un consejo, estudiad mucho pero no os divirtáis menos, se pueden compaginar ambas cosas. y nada más. Mejor que 10 que yo pueda decir estará el vino que nos tomaremos a continuación. Gracias otra vez.

La ovación de los alumnos fue atronadora, la cara de los profesores perpleja, y la sonrisa de Sara le pareció más bonita que nunca.

M. Santia~n Pa7:

~! cursa;

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~ Aleph Revista

deIs

estudiants

de Matematiques

El passat dijous 5 de marc;, els alumnes de qu~-t i cinque varem anar de visita al Centre d'Estudis Avan~ats de Blanes, a la secció de recercade intel.ligencia artificial (l.A.).

L'objectiu era i és veure de prop l'aplicació infonnatica a1s alts nivells d'investigació i més en un camp tan variant coro el de la LA.; els temes d'estudi varien amb el temps; quan una tecnica s'ha desenvolupat suficientment i es transfonna en practica COITent, deixa de pertanyer a la LA.

Abans de tractar d'una manera bastmt senzilla els projectes que s'estan treballant en C.E.A.B. anem a veure, per sobre, el que és la I.A., coro va apareixer i la seva situació a Espanya.

L'intel.ligencia artificial (l.A) és una disciplina que va néixer amb l'objecte d'estudiar activitats humanes per a les quals no es disposava de metodes ben dermits que pennetessin descriure com es realitzaven El seu neixement en el camp infonnatic (1956) va provenir de la falta d'algorismes per poder descriure alguns problemes, per exemple, reconeixer visualrnent un objecte, compren~--e elllenguatge parlat i escrit, diagnosticar ma1alties,etc...

En els principis de la I.A. van confluir dos punts de vista: el científic i el de l'enginyeria. L'objecte del primer ha estat comprendre els mecanismes de la intel.ligencia humana, fent servir ordinadors.El de l'enginyeria ha estat el de dotar l'ordinador d'unes capacitats intel.lectuals el més a prop possible de les nostres. Com veurem més endavant, en eIs nos tres dies sembla una mica. absurd preguntar si les maquines pensen. Veurem que la LA. ha evolucionat en aquest camp en la construció de maquines i programes que "pensen", en uns entorns molt concrets, per ara.

A fmals deIs anys seixanta, els esfor¡;os es varen dirigir cap a l'estudi de sistemes intel.ligents per a la robótica i va apareixer la necessitat de incorporar als sistemes gran quantitat de coneixements específics sobre uns problemes a resoldre. Així va comen~ar l'estudi deIs sistemes experts (S.E.), camp on la r.A. s'ha desenvolupat de gran manera. De fet tot aquest desenvolupament ha servit per renovar la logica, fins ara "classica", amb unes logiques anomenades no classiques ( no monotones, modals, fuzzy,...), que s'han comen~at a desenvolupar rnpidament.

La investigació en el camp de la r.A. a Espanya es troba encara en una fase inicial respecte a altres palsos. Hi ha , aproximada.'nent, uns vint investigadors amb experiencia, alguns deIs quals tenen certa reputació internacional; també hi ha una altra vintena en formació. Estan repartits en diferents grops, centrats en:

-Barcelona: U.P.B. i C.S.I.C. (centre de Blanes). -Madrid: U.C.M., U.P.M. i C.S.I.C.

-L1s palmas de Gran Canaria, San Sebastián, Valencia i Zaragoza.

Aquests grups no han agafat encara el nivell ni tampoc disposen deIs mitjans que tenen els centres estrangers.

El Centre d'Estudis Avan~ats de Blanes (CEAB) pertany al CSIC i és el centre que es dedica a la investigació de r.A. més gran que tenim al país.

Pero aquest centre també es dedica a d'altres investigacions que no teneD res a veure amb la LA.(ecologia marina, oceanografia).

El grup de recerca d'I.A. i logica (GRIAL) esta fonnat per dotze investigadors, i diversos científics que estan coLlaborant de manera periOdica. El GRIAL enfoca la seva recerca només en tres ~ees de la r.A. : raonament aproximat, aprenentatge simbolic i adquisició del coneixement, i programació logica. El cap del grup és en Ramon López de Mántaras Badia (Dr. en In!ormatica).

Dintre del centre, el camp més desenvolupat és el del raonament aproximat, degut a un estudi amb aplicació sobre dj:agnostic medic (aplicació del projecte tvlILORD).

Simplificant idees es tracta que a partir d'una base de ~remises a~roxirnades i fent st:.rvir una logica no classica (que té el seu punt fort en les tuncions de posibilitat en [0,1]), treure unes

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~

AIeph Revista deis estudiants de Matematiques _{número 12- Abril 1987} solucions a~roximades.

L'area de l'aprenentatge simbolic i adquisició del coneixement esta en relació amb l'anterior pel que fa al projecte i\tm...ORD, que s'esta aplicant en el di,agnostic i ttactament de pneumonies extrahospitalaries. L'eina forta d'aquesta area són els sist:emes experts (S.E.). Simplificant el concepte de S.E.,es tracta d'un sistema que analitzales d.ades d'un expert huma i va buscant relacions amb les bases que ja tenia, implantant uns lligams jlogics (amb una cerca jerarquica).

Pero per concretar una mica més les idees sobre el que és un S.E., anem a veure el que és : Un S.E. pot considerar-se com un intermediari entre un expert huma, que trasmet el seu

coneixement al sistema, i un usuari huma que se serveix del S.E. per resoldre el seus propis problemes amb l'eficacia d'un entes. Els S.E. constitueixen simultaniament una eina d' execució i de transmisió d'un saber.

Mentre que en la programació "classica" distingim el programa i les dades , en un S.E. es distingeixen tres components:

BASE DE CONEIXEMENTS: conté el conjunt de les informacions específiques del camp desitjat. Esta escrita en un llenguatge de representació deIs coneixements en el que l'expert pot definir el seu. vocabulari .Les infonnacions entran tal com venen , ja que !'ordre no influeix en ~ls resultats.

BASE DE FETS:(memoria de treball) conté les dades propie.\ del problemes que sfban de tractar. Es pot fer servir com a memoria auxiliar. Memoritzant tots els resultats intennitjos~ la memoria del treball conserva el senyal del raonaments efectuats.

Pot utilitzar-se simultaniament per explicar l'origen de les informacions deduides alllarg d'una sessió i per descriure el comporrament del sistema.

MOTOR D'INFERE1~CIA : programa que utilitza els coneixements i els "heurístícs"C*) continguts en la base de coneixements per resoldre el problema especificat per les dades que conté la base de fets. Molts cops , la base de coneixements esta constituida perregles del tipus a->b,que expressen que quan A és valid, pot deduir-se B. En aquest cas , el motor d'inferencia selecciona i posa en acció algunes d'aquestes regles a ti d'arribar a la solució del problema.

La. base de coneixements i la base de fets són propis del camp deIs experts.. El motor d'inferencia és molt general i pot utilitzar-se en aplicacions molt variades: geologia, medicina,. control de centrals nuclears, jocs de cartes,...

La fmalitat de tot aixo seria que no res falta un expert, sinó que d'una manera automatica el mateix sistema anés enriquint els seus coneixements, adonant-sedels errors que realitzés (tot aixo partint d'uns certs coneixements).

L'aprenentatge simbolic tracta que un sistema a partir d'una serie d'exemples i de contraexemples, doni una certa "teoria" general, és a dir, ha d'anar induint regiego

L'adquisició de coneixementS tracta de preparar les eines necessaries per poder parlar amb l'expert que se seu davant de l'ordinador.

(*) Tradicionalment el! programes informatics ejecuten operacionalment un saber, mentre que les obres ~niques tI'anSInCten aquest saber. Si han estat concebuts sistemes cap~os d'efecluar alhora aquestes operacions és perqut durant la creacÍó de programes informatics s'ha vist que era necesari fer intervenir uns procediments que generaiment no estan descrits en els llibres. Aquests procediments consisteixen en un conjunt de mctodes diferents, definits malament e imprecisos. anomenats heurístics. Els heurístics designen els mecanismes específics que intervenen durant un procés de descobriment. No ens ajuden en res a la sistematització, per que freqüenunent estaD ausents de les presentacioQs acad~miques. tot i que són indispensables en la simulació d'un raonament perqu~ solament ells permeten restringir l'espai de les investigacions i limitar-los a les úniques direccions versemblants.

C.E.A.B. ~ Centre d'Estudis Avanyats de Blanes

C.S.I.C. ~ Consejo Superior de Investigaciones Científicas

r

U.P.B. ~ Universitat Poli~cnica de Barcelona U.CM. = Universidad Complutense de Madrid U.P.M. ~ Universidad Poli técnica de Madrid

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~ Aleph Revista

deIs estudiants

de Maternatiques

La tercera area és la programació logica. Fa servir ell1enguatge PROLOG, que serveix pel caIcul de predicats, i en concret per la demostració automarica de teoremes.

El PROLOG té limitacions: no manipula la igualtat (una implementació matematica és que la igualtat és ineficient a mida de caIculs). Pero la unificació que teniem es complica de manera algorítmica quan admetem la igualtat (logica equacional). Llavors l'objectiu és ter un entom de programació (llenguatge i quelcom més) tal que admeri la igualtat com a predicat.

Aquestes són, d'una manera molt resumida, les arees de recerca que s'estan estudiant en el centre. Pero el que porta Inés temps fent-se i en el que centren més dedicació és en el sistema que diagnostica i tracta les pneumonies extrahospitalaries. Aixo és un exemple molt cIar de S.E. L'expert humA és un metge de La Alianza Mataronina. Estan aproxjmadament a la meitat de 1reball i encara els falta tractar les pneumonies interhospitaIaries. El sistema, mitjanc;ant l'ordinador, va fent una serie de preguntes (per cada cas ó malalt) i quan acaba de preguntar et diu quina possible classe de pneumonia és (segons el criteri de l'expert). Aquest projecte es fa conjuntament amb l'Hospital del Mar de Barcelona. És una aplicació del projectc Mll..ORD (motors d'inferencia amb raonament aproximat): es desenvolupen motars d'inferencia amb raonament aproximat sobre logiques fuzzy.

Pero tata aquesta reina de recerca ha estat possible gracies a l'ajut del material informatic que poseeixen, encara que sigui deficitari:

-1 VAX lln85 amb VAX-LISP.

-2 DEC Al V AX station: una amb VMS i l'altra amb ULTRIX. Cal dir que en el nostre país només hi ha 6 V AX station i que les dues primeres que van instal.lar-se foren les del Centre de Blanes.

-Diversos micro-ordinadors.

Per ter-se una idea de la potencia que tenen, cal dir que poseeix 9 megas de memoria central i disposa de 2 discs, amb capacitat cada un d'ells d.e 71 megas.

Tenen instal.lat, de fa poc, un modem per poder-se conectar i comunicar amb altres llocs. Poden fer-ho de dues formes:

-Comunicació directa: la pantalla de l'ordinador es transforma en dos: una on escrivim ej. nostre missatge i l'aItra perque ens escrigui al moment la resposta o el missatge del nostre "interlocutor'.

-Comunicació indirecta: ens deixen els misatges en una "bústia electrOnica" (reader).

El Centre és molt nou (fa dos anys que funciona) i només acullla m=itat de la seva capacitat (hi ha lloc per uns 40 investigadors i només hi ha uns 20, comptant els d'oceanografia).

Esperem que dintre d'uns anys (no molts) poguem arribar al mateix nivell que els homolegs estrangers i que un centre d'aquesta "envergadura" no sigui un cas aillat, com ho és ara, en el nostre país.

M.ASSUMPCTO

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~ AIeph Revista

deIs estudiants

de Matematiques

A on som ?

Hi ha moments de la vida en que ens presenten naves persones i establim amb elles relacions més o menys intenses, pero és ine'¡itable que en algún moment ens preguntin en que tl"eballem o estudiem, al esmentar que estudiem matematiques haureu pogut observar una serie de reaccions standard:

-Només ? (es la pregunta que ens fan els nois entre 10 i 17 anys ). -Es interessant ? (acostuma a preguntar el jovent de la nostra edat ). -I quan acabis que raras? (pregunten els senyors d'edat mitjana). -Es molt difícil (aseveran les dones madures ).

Respecte a aquesta última reacció nosaltres ben bé sabem que es una de les CarreTes tradicionalInent més difícils, o, si més no, la que desperta menys interes entre la població estudiantil en general; pero el que és més difícil de saber és quina és la situació de la gent a la facultat, i a més com estan les altres facultats. Les dades que us exposo a continuació van ser facilitades a tots els representants del Consell de la Divisió m pel seu president, per tant només podem saber l'estat de les facultats de ciencies. El número són els alumnes matriculats el curs 86/87 ales diferents assignatures; naturalment hi són inclosos els repetidors. Es ciar que la mitjana d'alumnes per curs és solament una indicació de la quantitat de gent que n'hi ha a cada curso pero és una dada prou interessant com per tenir-]a en compre.

EN SENYA MENT DE B 10 LOG IA ENSENY AMENT DE FISICA

PRllvIER CURS PRIMER CURS 898 928 1450 923 368 447 412 310 Biologia general Física general Matematiques Química general Algebra i geometría Analisi matematica Física general Química general

Nombre mig d'alumnes per curs = 1049 Nombre mig d'alumncs per curs = 304

SEGON CURS SEGON CURS

967 700 912 860 302 280 405 320 Mecanica i ones Met. mat. física 1 Met. mat. física 2 Termologia Bioestadística

Bicquímica

Botmnca general

CitoL i histologia

Nombre mig d'alumnes per curs = 859 Nombre mig d'alumnes per curs = 326

TERCER CURS TERCER CURS

Genetica Geologia Microbiolo~..a Zoologia general 804 598 708 599 Elec. i magnetisme Física quantica Met. mat. física 3 Optica

228 184 191

196

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deIs estudiants

de Matematiques

ENSENY AMENT DE GEOLOGIA ENSENY AMENT DE QUIMICA

PRllvIER CURS PRll\.1ER CURS 127 139 171 116 180 472 561 467 600 540 Biologia general CristaiJografia Física general Geologia general MatemAtiques Biologia general Física general Geologia Matematiques 1 Química general

Nombre mig d'alurnnes per curs = 146 Nombre mig d'alumnes per curs = 528

SEGON CURS SEGON CURS

422 407 418 525 490

78

72 116 99 103 Electticitatiaptica Marematiques 2 MecaDica Quúnica inorganica T ermodinamica Cartogra..tia geologica Geodinamica externa Geodinamica interna ~eralogia Química general

Nombre mig d'aiu..rnnes per curs = 93 Nombre mig d'alumnes per curs = 452 TERCER CURS TERCER CURS Es trati grafia Paleontologia Petrologia endOgena. Petrol. sedimentaria 77 87 71 75 307 315 324 327 Química Química Química Química

EN'SENY AMENT DE MA TEMA TIQUES PRIrvIER CURS 308 351 332 An~1isi matematica 1 Calcul numeric Geometría 1

Nombre mig d'alumnes per curs = 330

SEGON CURS Analisi mateInatica 2 Geometria 2 Topologia 149 150 138

analítica

física

organica tecnica

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~ AIeph Revista

deis estudiants

de Matematiques

TERCER CURS 114 52 76

93

AIgebra Analisi matematica 3

CUcul probo i esto

Física general

Un cop vist aixo, és interessant constatar ( com va fer el Dr. Simó en una reunió del Consen de Divisió), que si fem el quocient del número mig d'alumnes de tercer entre els de primer, ens dóna aproximadament el percentatge de gent que pass a de primer a tercer. Si preneu una calculadora podreU veure que:

BIOLOGIA FISICA GEOLOGIA QUIMICA MA TEMA TI Q UES 64.5% 51.8% 52.7% 60.2% 25.1%

Em sembla que ara ja tenim prou dades com per poder afIrmar que realment és molt dificil passar cursos. De tota manera. per no desmoralitzar-vos, us diré que entre els protessors es opinió

generalitzada que el segon cicle es més facil, potser es perque els que hi arriven ja estan ben

entrenats.

Fer una anilisi de les causes d'aquest desequilibri es una cosa que no en correspon a mí en concret, és un assumpte que se n'hauria de preocupar tothom, ni encara que si ens hi posessim les postures serien irreconciliables, per una banda els professors aflrmal'Íen que venim mal preparats del C.O.U. ( part de raó tindrien), i per altre nosaltres diriem que els examens no sempre corresponen a l'explicat a classe ( i també tindriem raó). Tampoc es tracta d'aprovar més a la gent, ja que aixo evidentment redundaría en perjudici del ensenyament en gener2l, es tractaria simplement d'ensenyar el que cal ( :;egons el pla d'estudis) i després mesurar si la gent ho ha assimilat o no. Aixo es molt difícil perO es pot intentar. Esperem que tots millorem una mica en la nostra actitud envers aquesta qüestió.

ANDREUFOLCH

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19 pago

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~

AIeph Revista deis estudiants de Matematiques número 12- Abril 1987

Des d'un passat remot ens ha arribat aquest contc. Hi trobareu un enigma matematic fo~a interessant.

Siuneni2ma

necessites ...

En un noc remot de l'Imperi Oriental hi ha una muntanya de diamant Cada matí, un ocellet,

generació rera generació,

ve per a es molar-s 'hi el bec. Quan la muntanyaja no hi sig~ haura transcorregut

un segon de l'Etemitat

Molt abans que els Babilonis constl1l1ssin els seu s Zigurats, abans i tot que les tribus de ia Siberia, seguint els ramats de cariboos, passessin per sobre deIs gels de l'ara anomenat estret de Behring, abans que Sarnath l'oblidada nasqués, per a desapareixer després, l'Imperi Oriental era el centre del món conegut.

Milers eren les caravanes que, cada creixent, es dirigien cap a les diverses ciutats lliures de l'Imperi. En elles hom hi trobava viatgers del temps, pelegrins, aventuren, comerciants, xamans, mariners que havien perdut la gracia del mar, caminants sense retom, soldats, fugitius, éssers de races ja extingides i gent més estranya encara.

A la nit, a la vora de les fogueres, senties parlar de les meravelles més diverses, d'histOries magiques, del món del somnis, de les pedres que caigueren desde l'InfInit, de totes aquelles coses que els humans després oblidaren. la de matinada, quan el grup deIs qui vetllavem era ja restringi4 la conversa esdevenia misteriosa. Hom hi esmentava els Temples de l'Inaudit, vigilats pels esfinxs i prohibits als SiIrJs Sense Pe! Que Caminen Drets, els Secrets que eIs Homes Savis de l'Imperi coneixien, les Portes d'Ivori de la Ciutat Sense Nom a la vora del riu Yann i també els gossos de Tindalos. Quan, de vegades, el silenci s'estenia al voltant de les fiames, tothom pensava en Ano Que No Es Pot Anomenar; els més agosarats, fins i tot, somniaven, per un instant, en Ano Que No Es Pot Pensar. Uavors, abans que no fos massa tard, calia trencar el silenci~ i cantar fins a l'arribada deIs primers raigs del SoL

Fou una d'aquestes nits quan vaig escoltar, per primer cap, el nom de la princesa que regnava a la ciutat d'Anrab, el port més oriental de l'Orient de l'Imperi, la ciutat de les tres muralles de porfir. Els jardins d'aquesta ciutat Iliure eren prou coneguts per les seves plantes de fruits enigmatics i flors encisadores, els seus carrers ho eren per llur estrany disseny, que feia que mai tornessis a una cruilla pel mateix camí, i els seus temples, constniits amb marbre negre, guardaven ídols de jade, deltats reía tempsoblidades.

1 ara una princesa governava Anrab i les sets valls que hi convergien. Els pocs que l'havien vist parlaven de la seva bellesa, d'uns ulls que, un cop vistos, ja no podies oblidar mai, i de la seva extraordinaria capacitat per a resoldre els més difícils enigmes. Cap deIs Homes Savis de l'Imperi n'havia trobat un que la Princesa no resolgués.

Fascinat pel que havia sentit, vaig canviar la meya ruta. Abandonant la caravana que es dirigia cap a Olathoe, la ciutat de les mi1 tCtTeS de gel, m'afegia ara a una que anava cap a llevant. El camí fou, com sempre, ric en perills i aventures. Passarcm per ciutats prodigioses, i les histories noctllInes foren més esbala:idores que mai. Em sentía, pero, fo~a indiferent. El meu esperit era a la ciutat d' Anrab i els meus ulls buscaven ja els dos estels que hi resplendien. Cap altra meravella em podia interessar.

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~ Aleph Revista

deIs

estudiants

de Matematiques

Una tarda arribarem al primer mur de pórfir i entrarem dins de la vila comercial. EIs dies que seguiren foren, per a mi, dies d'activitat febril. Durant elllarg viatge havia decidit que seria el primer en trabar un enigma que la Princesa no fos capa«; d'esbrinar. 1 res no em deturaria. Ni tan sois el fet prou conegut que fer perdre el temps a la Princesa amb enigmes babaus havia costat la vida a més d'un aventurer i a més d'un ambaixador de terres llunyanes. Així i tot, sabia que l'objectiu era ben difícil. DaITerament, el propi Gran Mag de R1yeh havia fracassat i ara retornava a Kad;1th humiliat i avergonyit.

V aig esm~ar la primera setmana en obtenir infonnació sobre la Princesa i els costurns de la seva esplendorosa cort. Entre els diversos fets i les moltes lloances que la gent contava sorgí la primera claror, la que em senyaIa. el cami I..a Princesa passava forces bares composant poesies aleatOries., i el procediment emprat era ben senzilL Possela unes tauletes d'or, cada. una grabada amb un ideograma diferent, i formava, pas a pas., les poesies, triant-ne cada cap un d'entre tots

ells.

Merces a la meya arnistat amb els membres de la. Gennandat Secreta del Homes Sense Passat, em fou possible creuar el segon mur de p<>rfIr i penetrar dins de la vila deIs Savis i deIs Artistes. Acabats els rituals de la Germandat, em pociia moure lliurement dins el segon recinte. Amb discrecció vaig obtenir el nom de l'orfebre que havia cisellat les tauletes de la Princesa, i a..'nb discreció el vaig anar a trobar.

El Destí volgué que aquest orfebre, anomenat Clobh, ros un antic company de confraria de l'n.lustre Lezah, que havia estat, anys enrera, mestre meu en l'art de la Disciplina de11\lIE. Em confirma que, com jo ja suposa~'a, la colecció de tauletes de la Princesa no inclOla certs símbols ideografics emprats solarnent a l'occident l1unyél, més enlla de les remes de Carcosa. Més encara, accepra gravar aquests símbols en unes tauletes d'or identiques i, en record de rll.lustre Lezah, ajorna el merescut pagamento

Un matí, amb les noves tauIetes d'or, em vaig presentar a les portes del tercer mur de pOrf1r, el que encerclava els palaus i els jardins sempre florits de la cort d' Anrab, anunciant que un viatger de terres Ilunyanes portava per a la Princesa un magnífic present i un enigma insoluble.

Degut a la proliferació de traginers d'enigmes, la Princesa no em va rebre fms al cap d'un parell de dies, un cop vistes la riquesa i la singularitat del present ofert. El fet que un visir de Palau ros membre de la Germandat m'ajuda també per a arribar a poder exposar davant de la Cort la meya

endevinaJ.]a.

La. Princesa m'esperava a. la Gran Sala de Cristall i Maragdes, envoltada d'un seguici tan distingit pel refinament com per la bellesa i la intel.ligencia. Semblava que el bo i millor de l'Imperi hagués decidit residir a Anrab. Entre moltes figures conegudes, ~/aig veure Nizereb, Gran Sacerdot de l'Imperi, Ekul, el General Victoriós que, recentment, havia sotmés les Tribus Verdes de les illes australs, Sune, la deesa vivent , Kilia, quina beIlesa cap artista havia aconseguit reflectir, i Noman, l'estrany viatger del futur que parlava amb signes i que tampoc havia reeixit a trobar un enigma adequat. Pero tot empal.lidia al costat de la Pr.ancesa i de l'orient deIs seus ulls.

El bufó !mot, en nom de la Princesa, em comunica que, si l'endevinaila era saber l'origen deIs nous ideogrames, el meu cap i el meu cos seguirien ben aviat camins diferents. Obviarnent no era aquest l'enigma. Un cop demanat que portes sin els altres ideogrames d'or, aix.í vaig parlar:

-Ara, vós i jo, Princesa, composarem poesies aleatories, fent servir tots els ideogrames, i no hi fa res quants n'hi ha de nous i quants n'hi ha de vells. L'única condició és flXar el nombre d'ideogrames que han de formar qualsevol de les poesies i demanar que aquest nombre sigui inferior al nombre de tauletes que us acabo de regalar.

Comen~areu vós, Princesa, i ho fareu usant els ideogrames que ja teniu. Fins i tot el bufó Imot sap quantes poesies diferents podrieu composar. lmagineu que les heu composat totes.

El següent tom ~m pcrtoca. Triaré aleatoriament una de les noves tauletes i l'afegiré a la colJecció primitiva. Quantes poesies diferents puc fonnar d'aquesta manera? Seria, per part meya, un insuIt imperdonable si cregués que no ho sabeu.

Després vós, Princesa, n'agafareu dues, de les noves tauletes, i les unireu a la col.leció que ja

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~ Aleph Revista

deIs estudiants

de Matematique:;

tenieu. Altre cap és senzill saber quantes poesies es poden 'Dbtenir d'aquesta In2.nera. Tot seguit jugaré jo, i seran tres els nous ideogrames a~ escollir.

1 així seguirem fins que, al darrer torn, vós ojo, se:gons el cas, prendrem totes les noves tauletes i, afegides a les antigues, formarem totes les poesi(:8 possibles.

1 ara, Princesa, digueu, qui n'ha fet més de poesies, vós ojo? Perque, Princesa?

Han passat setmanes, el meu cap segueix encar al seu lloc, Clobh ha esdevingut Orfebre Major d' Ar.rab i el meu nom ha quedat indestriablement unit al destí de la ciutat. PerO els dies i les nits que seguiren la presentació de l'enigma són ja una altra. histOria.

fER2'SAEM Viat~er ~r.e:lZlQ.t

La Redacció espera que, d'entre els nombrosos lectors de l' Aleph, apareixi algú que resolgui l'enigma. El primer, o primera, en fer-ho sera obsequiat amb un viatge a la Ciutat Secreta d'Anrab, acompanyat pel propi Pert.saem. .

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estudiants

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TRIAN G UL o ANTIr\IIA G 1 C O

Mágicas son las figuras donde las sumas en distintas direcciones dan valores iguales. Aquí se pide todo lo contrario. Situad los dígitos 1,2,3,4,5,6 en los círculos que confonnan el triángulo, de forma que cada linea de dos o tres dígitos (en cualquiera de las tres direcciones), los tres dígitos de los vértices y los tres dígitos interiores sumen difernte y que tales sumas sean valores

consecutivos. \.

~ O

O

0-1:-OOO~

¡t

í'

CRUCIGRAl"\1A NTJrvfERICO. Horizontales: Verticales:

A. Primo. A. P horizontal al revés. E. Sus cifras suman 15. B. Primo.

F. Potencia cuarta de R vertical. C. Raíz cuadrada de G vertical. H. Múltiplo de 11. D. M vertical al cuadrado. 1. Cuadrado perfecto. E. Múltiplo de 9.

K. Potencia quinta. G. Cuad.L~o de C vertical. N .Producto de las cifras de A horizontal. J. Cuadrado, de E horizontal. O. Cuadrado perfecto. L. Primo,al <ierecho y al revés. P. Primo, al derecho y al revés. M. Múltiplo de 23.

R Múltlipo de H horizontal. O. Diferencia entre 1 horizontal y A horizontal. S. N horizontal al revés. Q. Sus fllas suman 11.

T. Sus cifras suman 17. R. Es el resultado de las sumas de las cifras de F horizontal.

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A NE"N YORK crrY

Es conta de un ciutada de a peu que duia un D.N.1 amb la següent propietat: Tenia deu xifres totes diferents * * * * * * * * * * El seu D.N.l. era divisible per deu. Pero vet ací que si ti treies l'última xifra passava a ser divisible per nou. 1 si ti treies una altre, era divisible per vuit. 1 així successivament. Trobarem el seu D.N.1? O resultara que el ciutada neoyorkí era un fantasma. amb D.N.I. fals?

CAVAlLSIESCACS

Aquest és un tauler d'escacs de tres per quatre amb tres cavalls blancs amunt i tres cavalls negres avall.

Quins han de ser els moviments que han de seguir per tal de permutar les seves posicions sense

surtir del tauler i sense ocupar la mateixa posició en el mateix momento

HJNT: La primera solució que es va donar del problema feía ús de 34 moviments no obstant el més preciós de l'assumpte és que basten 16 moviments per dur a tem1e la pern1utació.

CONTADO EN EL "JOURNAL OFRECREAllONALl\t1ATHEMAllCS".

-"La. ma.temática. es la. ciencia más exacta, y sus conclusiones son .susceptibles de demostración absoluta. Pero eso se debe exclusivamente a que la matemática no intenta. obtener conclusiones absolutas. Todas las verdades matemáticas son relativas, condicionales."

Charles Protens Stelnmetz.

-El matemático Paul Erdos escribe que hace poco estaba asistiendo a una conferencia sobre-teoría. de números en la India, cuando alguien dijo que no lejos de allí vivía un hombre que podía comunicarse con los muertos. Un grupo fue hasta allí y le pidió que contactara con Fennat para saber nuevos datos sobre su famoso "Ultimo Teorema".Lo que se recibió fue lo siguiente:

"En v~ yo encontré un contraejemplo más bien largo, pero en vuestro uriverso marginal no hay el espacio suficiente para transmitírlo."

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~ AJeph Revista

deIs

estudiants

de Matematiques

SOLUCIONES AL NUMERO ANTERIOR

-Números cruzados

"EITOr" -> 1 horizontal 8->5 ; Verticales M es N.

~

-Los siete harenes.

Sea A la cantidad de mujeres del harén más pequeño .Entonces, el siguiente harén tendrá AxB mujeres, el otro AxBxC y así sucesivamente. La suma d.e los 7 harenes da. un total de 2879 mujeres.Es decir

A + AxB+ AxBxC+ AxBxCxD+ AxBxCxDxE+ AxBxCxDxExF + AxB xCxDxExFx 0=2879

<=>Ax(1+B+BxC+BxCxD+BxCxDxE+BxCxDxExF+BxCxDxExFxO)=2879.

Como 2879 es primo se deduce:

A=l y B+BxC+BxCxD+BxCxDxE+BxCxDxExF+BxCxDxExFxO=2879= 2x1439. Como 1439 es primo se deduce B=2.Repitiendo el razonamiento se obtiene:

C=2 , D=2 , E=2, F=2 , 0=88. .

por 10 tanto el primer harén tendrá una mujer; el segundo dos; el tercero cuatro; el cuarto ocho; el quinto dieciséis; el sexto treinta y dos y el séptimo dos mil ochocientas dieciseis mujeres.

-¿Paralelas o no?

No son paralelas. Si se prolongan se cortarán hacia el lado en que está el vértice del sector. Basta probar que d(C,D)<d(A,B):

Los arcos AB y CD miden 10 núsmo, según se deduce de los datos. Usando trigonometría elemental, puede verse que el ángulo X=1T/9 y luego se calculan las distancias anteriores.

Nota: para el que no lo haya solucionado, le advierto que las herramientas necesarias las dispone un alumno de 32 de B. U.P., o sea, que a 10 mejor tienes' que replantearte la carrera.

********

Construímos dos cuadrados nuevos (grandes). Los ángulos B y D son iguales por ser hom6logos en triángulos rectángulos semejantes.

Como A y D suman C, se deduce que A+B=C c.q.d.

~"

C' '1_"

Nota: Para el que no lo haya solucionado, sólo puedo decirle que este problemá'fue propuestO 1:) en una escuela de Moscú, a un curso de 52 de básica para subir nota. 1.\ ~

25

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~ Aleph Revista

deIs estudiants

de Matematiques

En el primer problema la solución única es 6.210.001.000. Demostración :Sea N el número buscado. Debe cumplirse que la suma de sus dígitos sea 10 (*). Sea R el dígito más alto que aparece en N. Supongamos R~6. Por (*) sólo podrá aparecer este dígito una vez y deberá hacerlo en la casilla del cero. En la casilla del uno deberá aparecer un 2 (no más, pues no se cumpliría (*» y en la del dos un 1.Con este razonamiento, encontramos la solución dada.

y si R ~5, se ve que no hay más soluciones porque faltan ceros, teniendo en cuenta (*). Al extender el problema a ottas bases obtenemos que no hay solución en base 1,2,3 y 6. En base 5 existe una 21.200.En base 4 dos: 1.210 y 2.020, y es la única base donde existe más de una solución. En todas las bases mayores de 6 existe una Única solución que es de la forma R21(0...0)1000 siendo R=(base de numeración)-4, y el número de ceros entre paréntesis, siete menos que la base.

CE1ARLAS ENTRE MA TEMA n c O S

Es ciar que ei producte deis dos nombres no pot sc:r primer ni producte de dos primers, perque aleshores s'hauria endevinat directament (suposem que cap deis dos nombres és 1). Aleshores és cl2r que el producte ha de ser un nombre que tingui com a mínim tres factors primers en la seva descomposició, o sigui, que es pugui descomposar de dues maneres diferentes en producte de dos nombres. Mirem quins són eis nombres més baixos que tenen aquesta propietats:

12 = 22 * 3 = 2 * 6 = 3 * 4

16 = 24 = 2 * 8 = 4 * 4

18 = 2 * 32 = 2

Supos~ per exemple, que el producte deIs dos nombres és dotze. Aleshores és cIar que la. suma deis dos nombres és 7 Ó bé és 8. Suposem que és 8. El matematic que coneix la suma raona així: "La suma és 8, per tant pot ser 2 i 6, 3 i 5 Ó 4 i 4.3 i 5 no pot ser (el producte seria 15=3*5), per tant són 2 i 6 Ó 4 i 4.. Aleshores no puc saber-ho ". Si la suma hagués esta! 7 , diria : "Pot ser només 2 i 5 Ó 3 i 4. 2 i 5 no , aleshores 3 i 4". Per tant , no és possible que la suma sigui 7. Aleshores és 8, i aixo ho pot raonar el primer matematic, que ja sap els nombres. 1 sabent que ho sap, el segon ja diu : si ros 4 i 4, el primer sabria que el producte és 16 i tampoc ho hagués pog'.lt saber: 16 = 2 * 8 = 4 * 4

2,8

3,7 4,6 5,5 2 * 8 = 16 <--3 * 7 = 21 4 * 6 = 24 <-5*5=25 8 = 10 2,6 3,5 4,4 2 * 6 = 12 <--3 * 5 = 15 4 * 4 = 16 <--4 = 8

Per tant, en ho sap. Es 12.

Seguint aquest raonament, de;xo al lector el demostrar que no hi ha cap altre paren de nombres que quedi determinat per aql1estes frases.

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