Universit`a dell’Aquila - Elettromagnetismo e Fisica 2 Prova scritta - 18/01/2016
Problema 1
Una distribuzione ha simmetria planare ed ha una den-sit`a che diminuisce esponenzialmente a partire dalla regione centrale:
ρ = ρ0e−|x|/a
Con a = 2 mm, ρ0 = 1.1 · 10−5 C/m3.
Determinare a) il campo elettrico al centro e in x = a (4 punti); b) il campo elettrico a grande distanza x >> a (3 punti); c) la differenza di potenziale tra 0 e x = a (3 punti).
Problema 2
Un guscio semisferico di silicio di resistivit`a ρSi = 20 Ω · m, ha le superfici interna ed esterna
ricoperte di uno strato metallico che le rende equipotenziali. Il raggio interno vale r1 = 2 cm
e l’esterno r2 = 4 cm. Determinare a) la resistenza del guscio (4 punti); b) la potenza totale
dissipata se viene connesso ad un generatore di f.e.m. = 9 V (2 punti); c) le densit`a di corrente attraverso le superfici estreme con il generatore del punto b (4 punti).
Problema 3
Lo schema mostrato in figura `e quello di una delle quat-tro bobine eguali di un motore passo-passo, che `e un particolare tipo di motore in corrente continua. La bo-bina `e rappresentata dall’induttanza L = 2.4 mH, che ha in serie la resistenza R3 = 0.95 Ω (che rappresenta la
resistenza del filo con cui `e fatta l’induttanza), in paral-lelo vi `e una resistenza R2 = 30 Ω. Per potere fornire
la coppia necessaria alla rotazione `e necessario che nella bobina scorra una corrente di Ic = 2.4 A.
L’interrutto-re viene chiuso per un certo tempo tc fino a portare la
corrente a Ic e poi aperto.
Determinare a) la costante di tempo di scarica τs (quando l’interruttore viene aperto) (2
punti); b) il valore di R1 affinch`e 3τs sia pari alla costante di tempo di carica τc ( 3 punti);
c) il valore di f che permette di raggiungere la corrente di soglia Ic con un tempo tc= τc(3
punti); d) la corrente fornita dal generatore quando `e trascorso un tempo τc dalla chiusura
Soluzioni: Problema 1
a)
Al centro il campo `e nullo, anche se viene usa-to il teorema di Gauss a una regione cilindrica simmetrica attorno al centro di altezza 2x:
2SEx = 2S εo Z x 0 ρ0e−x 0/a dx0 Ex = ρ0a εo 1 − e−x/a che `e nullo per x = 0.
Mentre per x = a vale:
Ex(a) = 1.57 kV /m
b)
A grande distanza cio`e per x a si ha: Ex =
ρ0a
εo
= 2.5 kV /m c)
La differenza di potenziale tra x e 0: DV (x) = Z x 0 ρ0a εo 1 − e−x0/adx0 = ρ0a 2 εo e−x/a Quindi se x = a: DV (a) = ρ0a 2 εo e−1 = 1.83 V Problema 2 a)
La resistenza di un guscio infinitesimo di raggio r compreso tra r1 ed r2 vale:
dR = ρ dr 2πr2 Quindi: R = Z r2 r1 ρ dr 2πr2 = ρ 2π 1 r1 − 1 r2 = 80 Ω b)
Quindi la potenza totale dissipata vale:
P = f.e.m
2
R = 1 W
c)
Mentre la corrente vale:
I = f.e.m
R = 0.11 A
Quindi sulla superficie interna scorre una densit`a di corrente pari a: J1 =
I
2πr12 = 45 A/m
2
sulla superficie esterna:
J2 = I 2πr2 2 = 11 A/m2 Problema 3 a)
La costante di tempo di scarica `e: τs=
L R2+ R3
= 78 µs b)
La resistenza equivalente del circuito vale: Rth = R3+
R1R2
R1+ R2
La costante di tempo di carica `e:
τc= L R3+RR11+RR22 Imponendo che: 3τs = τc segue che: 3 L R2+ R3 = L R3+ RR11+RR22 R1 = R2 2− 2R2R3 2(R2+ R3) = 13.6 Ω τc = 233 µs Rth= R3+ R1R2 R1+ R2 = 10.3 Ω c)
Il generatore di Thevenin equivalente vale: fth =
f R1+ R2
R2
Imponendo che dopo un tempo τc la corrente nella bobina sia Ic:
Ic= fth Rth (1 − e−1) = f R2 (R1 + R2)Rth (1 − e−1) f = Ic(R1+ R2)Rth R2(1 − e−1) = 57 V d)
Chiamo I1 la corrente nel ramo del generatore, I2 quella in R2 ed I3 = Ic, le equazioni di
Kirchhoff sono: I1 = I2+ Ic f = R1I1+ R2I2 da cui: f = R1I1+ R2I1− R2Ic I1 = f + R2Ic R1+ R2 = 3 A
