minima la potenza dissipata per effe@o Joule

Problema 1

•  calcolare le corren- nei due rami

•  calcolare il lavoro compiuto dal generatore di f.e.m. in 30 minu-

•  dimostrare che la corrente si ripar-sce tra le due resistenze R ₁ ed R ₂ in modo tale che è

minima la potenza dissipata per effe@o Joule

Da- numerici:

R

=400 Ω, R

=720 Ω

ε=15 V

Da- numerici:

R

=400 Ω, R

=720 Ω ε=15 V

Calcoliamo inizialmente come si ripar-scono le due corren- i=i

+i

i

=ε/R

i

=ε/R

ài

R

= i

R

; i

/i

= R

/R

(nella resistenza più piccola scorre una corrente più intensa)

i₁=15/400=0.0375 A = 37.5 mA

i₂=15/720 = 20.8 mA P₁= εi₁ = 0.56 W P₂= εi₂ = 0.31 W

P=P₁+P₂= 0.87 W In un tempo Δt di 30 min = 1800 s, l’energia termica prodo@a per effe@o Joule vale: P Δt = 0.87 *1800 = 1566 J

Essa è pari al lavoro svolto dal generatore di f.e.m.

resta da dimostrare che la corrente si è ripar-ta in modo da minimizzare l’energia spesa per effe@o Joule:

Assumiamo nota e fissate lacorrente i ed esprimiamo tu@o in funzione di i

(sarà i

=i-i

)

P = P

+ P

= R

i

+ R

(i − i

)

calcoliamo la derivata di P rispe@o ad i_i ed imponiamo che sia nulla (avremo un massimo oppure un minimo della funzione P(i₁)

dP

di

= 0 .... (alla lavagna) ... → ⁱ

^=R

^/(R

^+R

⁾ⁱ

Calcolando il segno della derivata seconda per il valore trovato di i_i si può verificare che si tra@a di un minimo

i

=R

/(R

+R

)i d

P

di

= 2(R

+ R

) > 0

Esercizio 2

•  Nel circuito in figura, le resistenze valgono R ₀ =20 Ω, R ₁ =30 Ω, R ₀ =50 Ω

•  Determinare il valore di R in modo che sia massima

V₀

R₁

R₂ R₀

R

i I’

A

B

Esercizio 3

•  Calcolare il campo ele@rico di una distribuzione filiforme di carica (filo di lunghezza 2a) in tu_ I pun- dello spazio

x y

P

A ds B

s θ

x

P

A ds B

s θ

dE

dE_x dE_y

P(x,y)

r

dE

= λ 4 πε

(x − s)ds [(x − s)

+ y

]

dE

= λ

4 πε

yds

[(x − s)

+ y

]

che vanno integrate in ds tra –a ed a

(risultato alla prossima pagina)

Casi par-colari:

x=0 (sull’asse y)

y=0 (sull’asse x)

E = E

= 2a λ

4 πε

^y(a

+ y

)

= q

4 πε

^y(a

+ y

)

E = E

= q

4 πε

^(x

− a

)

Esercizio 4

Una carica pun-forme di valore q

=10

C è posta al centro di una sfera carica nega-va, distribuita con densità uniforme

(volumetrica). Il valore complessivo della carica (nega-va) è q

= -8Ÿ10

C. Il raggio della sfera è R=1cm.

De@a r la distanza dal centro del sistema determinare se esiste , per una generica carica pun-forme q

, che non

perturba il sistema, una posizione di equilibrio in un punto P(r).

Bisogna trovare il luogo dei pun- in cui il campo totale si annulla.

Il campo, per il principio di sovrapposizione, è dato dalla somma dei campi genera- dalla carica posi-va e dalla sfera carica nega-vamente.

Sia all’esterno che all’interno il campo avrà direzione radiale per ragioni di simmetria All’esterno della sfera, il campo totale avrà intensità

E_tot = 1

4πε₀

q⁺ − q⁻ r² e sarà “uscente” perché q⁺ + q^- > 0

All’interno della sfera, applicando la legge di Gauss, come già fa@o a lezione, il campo dovuto alla sola sfera nega-va vale (RICHIAMARE la LEGGE DI GAUSS ALLA LAVAGNA):

E

(r) = q

4 πε

^R

^r

Per la carica pun-forme

E

= 1 4 πε

q

r

La condizione da imporre è la seguente:

E

= E

che va risolta rispe@o all’incognita r (svolgimento alla lavagna)

q

4 πε

^R

^{r =}

1 4 πε

q

r

r

= q

q

R

Esercizio 5

Esercizio 6

Esercizio 7