generalità sulle funzioni

(1)

(2)

Definizioni

Definizione di funzione

Rappresentazione e osservazioni Grafico di una funzione Esempio

Immagine Controimmagine Esempi

Proprietà delle funzioni Funzione composta e inversa

Definizione di funzione

Siano A e B due insiemi non vuoti. Una

funzione

(o

mappa

o

applicazione

) f di A

in B è una legge che ad ogni elemento di A

fa corrispondere un unico elemento di B:

∀ x ∈ A ∃! y ∈ B : y = f (x)

Notazione:

f

_{: A→ B}

x

_{7→ f (x)}

A

dominio

B

codominio

x

variabile

y

valore

di f in x

(3)

Definizioni

Rappresentazione e osservazioni

Grafico di una funzione Esempio

Rappresentazione

Utilizzando i diagrammi di Venn

x

b

c

f

(x)

f

(b)

f

(c)

d

A

f

B

(4)

Definizioni

Rappresentazione e osservazioni

Grafico di una funzione Esempio

Rappresentazione

Utilizzando i diagrammi di Venn

x

b

c

f

(x)

f

(b)

f

(c)

d

A

f

B

(5)

Definizioni

Definizione di funzione Rappresentazione e osservazioni

Grafico di una funzione

Esempio Immagine Controimmagine Esempi

Grafico di una funzione

Sia f : A → B una funzione

L’insieme

G

_{= {(x, y) ∈ A × B : y = f (x)}}

= {(x, f (x)) : x ∈ A}

(6)

Definizioni

Grafico di una funzione

Sia f : A → B una funzione

L’insieme

G

_{= {(x, y) ∈ A × B : y = f (x)}}

= {(x, f (x)) : x ∈ A}

si chiama

grafico

di f

b b b

Esempio di grafico

(7)

Definizioni

Grafico di una funzione

Sia f : A → B una funzione

L’insieme

G

_{= {(x, y) ∈ A × B : y = f (x)}}

= {(x, f (x)) : x ∈ A}

si chiama

grafico

di f

x

f

(x)

(x, f (x))

b b b

Esempio di grafico

(8)

Definizioni

Definizione di funzione Rappresentazione e osservazioni Grafico di una funzione

Esempio

(9)

Definizioni

Esempio

(10)

Definizioni

Esempio

Grafico di f(x) = x

2 x

y

x

y

= x

2

1

2

(11)

Definizioni

Esempio

Grafico di f(x) = x

2 x

y

x

y

= x

2

1

2 −1

1

(12)

Definizioni

Esempio

Grafico di f(x) = x

2 x

y

x

y

= x

2

1

2 −1

1

1.2

1.44

(13)

Definizioni

Esempio

Grafico di f(x) = x

2 x

y

x

y

= x

2

1

2 −1

1

1.2

1.44

0.5

0.25

(14)

Definizioni

Esempio

Grafico di f(x) = x

2 x

y

x

y

= x

2

1

2 −1

1

1.2

1.44

0.5

0.25

(15)

Definizioni

Definizione di funzione Rappresentazione e osservazioni Grafico di una funzione Esempio

Immagine

Controimmagine Esempi

Immagine

Sia f : A → B e sia C ⊆ A. L’insieme

f

(C) := {f (x) : x ∈ C}

(16)

Definizioni

Immagine

Sia f : A → B e sia C ⊆ A. L’insieme

f

(C) := {f (x) : x ∈ C}

si dice

immagine

di C mediante f

a

b

e

f

(a)

f

(b)

f

(e)

d

A

f

B

(17)

Definizioni

Immagine

Sia f : A → B e sia C ⊆ A. L’insieme

f

(C) := {f (x) : x ∈ C}

si dice

immagine

di C mediante f

a

b

e

f

(a)

f

(b)

f

(e)

d

A

B

C

f

C

= {a, b}

(18)

Definizioni

Immagine

Sia f : A → B e sia C ⊆ A. L’insieme

f

(C) := {f (x) : x ∈ C}

si dice

immagine

di C mediante f

a

b

e

f

(a)

f

(b)

f

(e)

d

A

B

C

f

C

= {a, b}

(19)

Definizioni

Immagine

Sia f : A → B e sia C ⊆ A. L’insieme

f

(C) := {f (x) : x ∈ C}

si dice

immagine

di C mediante f

a

b

e

f

(a)

f

(b)

f

(e)

d

A

B

C

f

(C)

f

C

= {a, b}

f

(C)

= {f (a), f (b)}

(20)

Definizioni

Immagine

Sia f : A → B e sia C ⊆ A. L’insieme

f

(C) := {f (x) : x ∈ C}

si dice

immagine

di C mediante f

a

b

e

f

(a)

f

(b)

f

(e)

d

A

B

C

f

(C)

f

C

= {a, b}

f

(C)

= {f (a), f (b)}

L’

immagine di f

è f(A)

(21)

Definizioni

Immagine

Come si trova l’immagine di una funzione

f

: A 7→ R conoscendone il grafico?

(22)

Definizioni

Immagine

Come si trova l’immagine di una funzione

f

: A 7→ R conoscendone il grafico?

A

(23)

Definizioni

Immagine

Come si trova l’immagine di una funzione

f

: A 7→ R conoscendone il grafico?

A

■

si considera il dominio A

■

si traccia il grafico di f

(24)

Definizioni

Immagine

Come si trova l’immagine di una funzione

f

: A 7→ R conoscendone il grafico?

A

■

si considera il dominio A

■

si traccia il grafico di f

(25)

Definizioni

Immagine

Come si trova l’immagine di una funzione

f

: A 7→ R conoscendone il grafico?

A

f

(A)

■

si considera il dominio A

■

si traccia il grafico di f

■

si proietta il grafico sull’asse delle ordinate

■

l’insieme ottenuto è

f

(A)

(26)

Definizioni

Immagine

Come si trova l’immagine di una funzione

f

: A 7→ R conoscendone il grafico?

A

(27)

Definizioni

Immagine

Come si trova l’immagine di una funzione

f

: A 7→ R conoscendone il grafico?

A

(28)

Definizioni

Immagine

Come si trova l’immagine di una funzione

f

: A 7→ R conoscendone il grafico?

(29)

Definizioni

Immagine

Come si trova l’immagine di una funzione

f

: A 7→ R conoscendone il grafico?

f

(A)

(30)

Definizioni

Immagine

Controimmagine

Esempi

Controimmagine

Sia f : A → B e sia D ⊆ B. Si chiama

controimmagine

o

immagine inversa

di D

mediante f il sottoinsieme di A

(31)

Definizioni

Immagine

Controimmagine

Esempi

Controimmagine

Sia f : A → B e sia D ⊆ B. Si chiama

controimmagine

o

immagine inversa

di D

mediante f il sottoinsieme di A

f

−1

_{(D) = {x ∈ A : f (x) ∈ D}}

a

b

c

d

y

z

w

A

f

B

(32)

Definizioni

Immagine

Controimmagine

Esempi

Controimmagine

Sia f : A → B e sia D ⊆ B. Si chiama

controimmagine

o

immagine inversa

di D

mediante f il sottoinsieme di A

f

−1

_{(D) = {x ∈ A : f (x) ∈ D}}

a

b

c

d

y

z

w

A

B

D

f

D

= {y, z}

(33)

Definizioni

Immagine

Controimmagine

Esempi

Controimmagine

Sia f : A → B e sia D ⊆ B. Si chiama

controimmagine

o

immagine inversa

di D

mediante f il sottoinsieme di A

f

−1

_{(D) = {x ∈ A : f (x) ∈ D}}

a

b

c

d

y

z

w

A

B

D

f

D

= {y, z}

(34)

Definizioni

Immagine

Controimmagine

Esempi

Controimmagine

Sia f : A → B e sia D ⊆ B. Si chiama

controimmagine

o

immagine inversa

di D

mediante f il sottoinsieme di A

f

−1

_{(D) = {x ∈ A : f (x) ∈ D}}

a

b

c

d

y

z

w

A

B

f

−1

(D)

D

f

−1

(D)

= {a, b, d}

D

= {y, z}

(35)

Definizioni

Immagine

Controimmagine

Esempi

Come si trova la controimmagine di D

conoscendo il grafico di f : A 7→ R ?

(36)

Definizioni

Immagine

Controimmagine

Esempi

Come si trova la controimmagine di D

conoscendo il grafico di f : A 7→ R ?

(37)

Definizioni

Immagine

Controimmagine

Esempi

Come si trova la controimmagine di D

conoscendo il grafico di f : A 7→ R ?

D

(38)

Definizioni

Immagine

Controimmagine

Esempi

Come si trova la controimmagine di D

conoscendo il grafico di f : A 7→ R ?

D

■

si considera l’insieme D nel codominio

■

si proietta D orizzontalmente

(39)

Definizioni

Immagine

Controimmagine

Esempi

Come si trova la controimmagine di D

conoscendo il grafico di f : A 7→ R ?

D

■

si considera l’insieme D nel codominio

■

si proietta D orizzontalmente

(40)

Definizioni

Immagine

Controimmagine

Esempi

Come si trova la controimmagine di D

conoscendo il grafico di f : A 7→ R ?

D

■

si considera l’insieme D nel codominio

■

si proietta D orizzontalmente

■

si prende la parte di grafico di f nella striscia

■

la si proietta sull’asse delle ascisse

(41)

Definizioni

Immagine

Controimmagine

Esempi

Come si trova la controimmagine di D

conoscendo il grafico di f : A 7→ R ?

D

f

−1

(D)

■

si considera l’insieme D nel codominio

■

si proietta D orizzontalmente

■

si prende la parte di grafico di f nella striscia

■

la si proietta sull’asse delle ascisse

(42)

Definizioni

Immagine Controimmagine

Esempi

applicazione costante:

ogni funzione

definita in A con la proprietà

(43)

Definizioni

Esempi

applicazione costante:

ogni funzione

definita in A con la proprietà

f

(x

₁

) = f (x

₂

) ∀ x

₁

, x

₂

∈ A

Esempio: grafico di f(x) = 1

x

y

1 f

: R → R

x

7→

y

= 1

(44)

Definizioni

Esempi

applicazione costante:

ogni funzione

definita in A con la proprietà

f

(x

₁

) = f (x

₂

) ∀ x

₁

, x

₂

∈ A

Esempio: grafico di f(x) = 1

x

y

1 f

: R → R

x

7→

y

= 1

(45)

Definizioni

Esempi

applicazione costante:

ogni funzione

definita in A con la proprietà

f

(x

₁

) = f (x

₂

) ∀ x

₁

, x

₂

∈ A

Esempio: grafico di f(x) = 1

x

y

1 f

: R → R

x

7→

y

= 1

(46)

Definizioni

Esempi

applicazione costante:

ogni funzione

definita in A con la proprietà

f

(x

₁

) = f (x

₂

) ∀ x

₁

, x

₂

∈ A

Esempio: grafico di f(x) = 1

x

y

1 f

: R → R

x

7→

y

= 1

(47)

Definizioni

Esempi

applicazione costante:

ogni funzione

definita in A con la proprietà

f

(x

₁

) = f (x

₂

) ∀ x

₁

, x

₂

∈ A

Esempio: grafico di f(x) = 1

x

y

1 f

: R → R

x

7→

y

= 1

(48)

Definizioni

Esempi

applicazione costante:

ogni funzione

definita in A con la proprietà

f

(x

₁

) = f (x

₂

) ∀ x

₁

, x

₂

∈ A

Esempio: grafico di f(x) = 1

x

y

1 f

: R → R

x

7→

y

= 1

(49)

Definizioni

Esempi

applicazione costante:

ogni funzione

definita in A con la proprietà

f

(x

₁

) = f (x

₂

) ∀ x

₁

, x

₂

∈ A

identit`a:

id

A

: A → A definita da

(50)

Definizioni

Esempi

applicazione costante:

ogni funzione

definita in A con la proprietà

f

(x

₁

) = f (x

₂

) ∀ x

₁

, x

₂

∈ A

identit`a:

id

A

: A → A definita da

id

A

(x) = x

Esempio: grafico di idR

x

y

idR : R → R

x

7→

x

(51)

Definizioni

Esempi

applicazione costante:

ogni funzione

definita in A con la proprietà

f

(x

₁

) = f (x

₂

) ∀ x

₁

, x

₂

∈ A

identit`a:

id

A

: A → A definita da

id

A

(x) = x

successioni in A:

sono le funzioni

a

: N → A

Si indicano con a

₁

, a

₂

, . . . , a

_n

, . . .

anziché a(1), a(2), . . . , a(n), . . .

(52)

Definizioni

Esempi

applicazione costante:

ogni funzione

definita in A con la proprietà

f

(x

₁

) = f (x

₂

) ∀ x

₁

, x

₂

∈ A

identit`a:

id

A

: A → A definita da

id

A

(x) = x

successioni in A:

sono le funzioni

a

: N → A

Grafico: ad esempio

a

_{: N → R}

a

(n) =

_n+1

n

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

b b b b b b b b b b

(53)

Definizioni

Proprietà delle funzioni

Funzioni iniettive

Grafico di un funzione iniettiva Funzioni suriettive

Funzioni biiettive Osservazioni

Funzione composta e inversa

(54)

Definizioni

Funzioni iniettive

Una funzione f : A → B si dice

iniettiva

se ad elementi distinti corrispondono valori

distinti, cioè per ogni x

₁

, x

₂

∈ A

(55)

Definizioni

Funzioni iniettive

Una funzione f : A → B si dice

iniettiva

se ad elementi distinti corrispondono valori

distinti, cioè per ogni x

₁

, x

₂

∈ A

x

₁

_{6= x}

₂

_=⇒

f

_(x

₁

_{) 6= f (x}

₂

₎

oppure equivalentemente

(56)

Definizioni

Funzioni iniettive

Una funzione f : A → B si dice

iniettiva

se ad elementi distinti corrispondono valori

distinti, cioè per ogni x

₁

, x

₂

∈ A

x

₁

_{6= x}

₂

_=⇒

f

_(x

₁

_{) 6= f (x}

₂

₎

oppure equivalentemente

f

(x

₁

) = f (x

₂

) =⇒ x

₁

= x

₂

a

d

c

y

z

w

v

A

B

f

Funzione iniettiva

(57)

Definizioni

Funzioni iniettive

Una funzione f : A → B si dice

iniettiva

se ad elementi distinti corrispondono valori

distinti, cioè per ogni x

₁

, x

₂

∈ A

x

₁

_{6= x}

₂

_=⇒

f

_(x

₁

_{) 6= f (x}

₂

₎

oppure equivalentemente

f

(x

₁

) = f (x

₂

) =⇒ x

₁

= x

₂

a

d

c

y

z

w

v

A

B

f

Funzione iniettiva

a

d

c

y

z

w

v

A

B

g

(58)

Definizioni

Proprietà delle funzioni Funzioni iniettive

Grafico di un funzione iniettiva

Funzioni suriettive Funzioni biiettive Osservazioni

Grafico di un funzione iniettiva

Come riconoscere dal grafico se una funzione

f

: A 7→ R è iniettiva?

(59)

Definizioni

Grafico di un funzione iniettiva

Come riconoscere dal grafico se una funzione

f

: A 7→ R è iniettiva?

Per definizione, se ogni elemento b di R è il

corrispondente di al più un elemento a di A

(60)

Definizioni

Grafico di un funzione iniettiva

Come riconoscere dal grafico se una funzione

f

: A 7→ R è iniettiva?

Per definizione, se ogni elemento b di R è il

corrispondente di al più un elemento a di A

Ciò accade se ogni retta orizzontale interseca

il grafico in al massimo un punto

(61)

Definizioni

(62)

Definizioni

(63)

Definizioni

Ad esempio

(64)

Definizioni

Ad esempio

■

questa retta interseca il grafico in un punto

■

questa retta interseca il grafico in un punto

(65)

Definizioni

Ad esempio

■

questa retta interseca il grafico in un punto

■

questa retta interseca il grafico in un punto

■

questa retta interseca il grafico in un punto

(66)

Definizioni

Ad esempio

■

questa retta interseca il grafico in un punto

■

questa retta interseca il grafico in un punto

■

questa retta interseca il grafico in un punto

■

questa retta non interseca il grafico. . . ma

(67)

Definizioni

Ad esempio

(68)

Definizioni

Ad esempio

Ciò accade per ogni retta orizzontale

Questo è quindi il grafico di una funzione

iniettiva

(69)

Definizioni

(70)

Definizioni

(71)

Definizioni

Altro esempio

(72)

Definizioni

Altro esempio

■

questa retta interseca il grafico in un punto

■

questa retta non interseca il grafico

(73)

Definizioni

Altro esempio

■

questa retta interseca il grafico in un punto

■

questa retta non interseca il grafico

(74)

Definizioni

Altro esempio

■

questa retta interseca il grafico in un punto

■

questa retta non interseca il grafico

■

questa retta interseca il grafico in due punti

Quindi non è il grafico di una funzione

iniettiva

(75)

Definizioni

Funzioni suriettive

Una funzione f : A → B si dice

suriettiva

se il codominio B coincide con

l’immagine f(A), cioè

(76)

Definizioni

Funzioni suriettive

Una funzione f : A → B si dice

suriettiva

se il codominio B coincide con

l’immagine f(A), cioè

∀ y ∈ B ∃ x ∈ A : y = f (x)

cioè ogni elemento di B è il

corrispon-dente di almeno un elemento di A

(77)

Definizioni

Funzioni suriettive

Una funzione f : A → B si dice

suriettiva

se il codominio B coincide con

l’immagine f(A), cioè

∀ y ∈ B ∃ x ∈ A : y = f (x)

cioè ogni elemento di B è il

corrispon-dente di almeno un elemento di A

a

d

c

e

v

z

w

A

B

f

Funzione suriettiva

(78)

Definizioni

Funzioni suriettive

Una funzione f : A → B si dice

suriettiva

se il codominio B coincide con

l’immagine f(A), cioè

∀ y ∈ B ∃ x ∈ A : y = f (x)

cioè ogni elemento di B è il

corrispon-dente di almeno un elemento di A

a

d

c

e

v

z

w

A

B

f

Funzione suriettiva

a

f

c

e

v

z

w

u

C

D

g

(79)

Definizioni

Funzioni biiettive

Osservazioni

Funzioni biiettive

Una funzione f : A → B si dice

(80)

Definizioni

Funzioni biiettive

Osservazioni

Funzioni biiettive

Una funzione f : A → B si dice

biiettiva

se è sia iniettiva che suriettiva,

equivalentemente se

(81)

Definizioni

Funzioni biiettive

Osservazioni

Funzioni biiettive

Una funzione f : A → B si dice

biiettiva

se è sia iniettiva che suriettiva,

equivalentemente se

∀ b ∈ B ∃ ! a ∈ A : f (a) = b

cioè se ogni elemento di B è il

corrispon-dente di esattamenente un elemento di A

(82)

Definizioni

Funzioni biiettive

Osservazioni

Funzioni biiettive

Una funzione f : A → B si dice

biiettiva

se è sia iniettiva che suriettiva,

equivalentemente se

∀ b ∈ B ∃ ! a ∈ A : f (a) = b

cioè se ogni elemento di B è il

corrispon-dente di esattamenente un elemento di A

a

d

c

y

z

w

A

B

f

Funzione biiettiva

(83)

Definizioni

Funzioni biiettive

Osservazioni

Dominio e codominio sono parte

integrante della funzione

(84)

Definizioni

Funzioni biiettive

Osservazioni

Dominio e codominio sono parte

integrante della funzione

Ad esempio

f

: R→ R

x

7→ x

2 g

: R

+

→ R

x

7→ x

2 h

: R

+

→ R

+

x

7→ x

2 definiscono funzioni diverse con diverse

(85)

Definizioni

Funzioni biiettive

Osservazioni

Dominio e codominio sono parte

integrante della funzione

Ad esempio

f

: R→ R

x

7→ x

2 g

: R

+

→ R

x

7→ x

2 h

: R

+

→ R

+

x

7→ x

2 definiscono funzioni diverse con diverse

proprietà:

■

f

non è iniettiva né suriettiva

x

2

(86)

Definizioni

Funzioni biiettive

Osservazioni

Dominio e codominio sono parte

integrante della funzione

Ad esempio

f

: R→ R

x

7→ x

2 g

: R

+

→ R

x

7→ x

2 h

: R

+

→ R

+

x

7→ x

2 definiscono funzioni diverse con diverse

proprietà:

■

f

non è iniettiva né suriettiva

■

g

è iniettiva ma non suriettiva

x

2

(87)

Definizioni

Funzioni biiettive

Osservazioni

Dominio e codominio sono parte

integrante della funzione

Ad esempio

f

: R→ R

x

7→ x

2 g

: R

+

→ R

x

7→ x

2 h

: R

+

→ R

+

x

7→ x

2 definiscono funzioni diverse con diverse

proprietà:

■

f

non è iniettiva né suriettiva

■

g

è iniettiva ma non suriettiva

■

h

è biiettiva

x

2

(88)

Definizioni

Funzione composta

Funzione inversa

Proprietà della funzione inversa Grafico della funzione inversa

Funzione composta

Siano f : A → B e g : B → C

Diremo

funzione composta

di f e g la

funzione

g

◦ f : A→ C

(89)

Definizioni

Funzione composta

Funzione inversa

Funzione composta

Siano f : A → B e g : B → C

Diremo

funzione composta

di f e g la

funzione

g

◦ f : A→ C

x

7→ g ◦ f (x) := g f (x)

(90)

Definizioni

Funzione composta

Funzione inversa

Funzione composta

Siano f : A → B e g : B → C

Diremo

funzione composta

di f e g la

funzione

g

◦ f : A→ C

x

7→ g ◦ f (x) := g f (x)

(91)

Definizioni

Funzione composta

Funzione inversa

Funzione composta

Siano f : A → B e g : B → C

Diremo

funzione composta

di f e g la

funzione

g

◦ f : A→ C

x

7→ g ◦ f (x) := g f (x)

(92)

Definizioni

Funzione composta

Funzione inversa

Funzione composta

Siano f : A → B e g : B → C

Diremo

funzione composta

di f e g la

funzione

g

◦ f : A→ C

x

7→ g ◦ f (x) := g f (

x

)

A

f

B

g

C

(93)

Definizioni

Funzione composta

Funzione inversa

Funzione composta

Siano f : A → B e g : B → C

Diremo

funzione composta

di f e g la

funzione

g

◦ f : A→ C

x

7→ g ◦ f (x) := g

f

(x)

A

f

B

g

C

(94)

Definizioni

Funzione composta

Funzione inversa

Funzione composta

Siano f : A → B e g : B → C

Diremo

funzione composta

di f e g la

funzione

g

◦ f : A→ C

x

7→ g ◦ f (x) :=

g f

(x)

A

f

B

g

C

(95)

Definizioni

Funzione composta

Funzione inversa

Funzione composta

Siano f : A → B e g : B → C

Diremo

funzione composta

di f e g la

funzione

g

◦ f : A

→

C

x

7→

g

◦ f (x)

:= g f (x)

A

f

B

g

C

x

f

(x)

g(f (x))

g

◦ f

(96)

Definizioni

Proprietà delle funzioni Funzione composta e inversa Funzione composta

Funzione inversa

Poiché una funzione f : A → B è biiettiva se

∀ b ∈ B ∃ ! a ∈ A : f (a) = b

(97)

Definizioni

Funzione inversa

Poiché una funzione f : A → B è biiettiva se

∀

b

∈ B

∃ ! a ∈ A : f (a) = b

A

f

B

(98)

Definizioni

Funzione inversa

Poiché una funzione f : A → B è biiettiva se

∀ b ∈ B ∃ !

a

∈ A

: f (a) = b

A

f

B

a

(99)

Definizioni

Funzione inversa

Poiché una funzione f : A → B è biiettiva se

∀ b ∈ B ∃ ! a ∈ A :

f

(a) = b

A

f

B

a

(100)

Definizioni

Funzione inversa

Poiché una funzione f : A → B è biiettiva se

∀ b ∈ B ∃ ! a ∈ A : f (a) = b

si può considerare la

funzione inversa di f

f

−1

_{: B 7→ A}

che associa ad ogni b quell’unico elemento

a

_{∈ A tale che f (a) = b}

A

f

B

a

= f

−1

(b)

(101)

Definizioni

Proprietà delle funzioni Funzione composta e inversa Funzione composta Funzione inversa

Proprietà della funzione inversa

Grafico della funzione inversa

Proprietà della funzione inversa

È immediato verificare che

■

per definizione

(102)

Definizioni

Proprietà della funzione inversa

È immediato verificare che

■

per definizione

x

= f

−1

(y)

⇐⇒

f

(x) = y

■

dalla definizione segue che

f

−1

◦ f (a) = a ∀a ∈ A

f

◦ f

−1

(b) = b ∀b ∈ B

(103)

Definizioni

Proprietà della funzione inversa

È immediato verificare che

■

per definizione

x

= f

−1

(y)

⇐⇒

f

(x) = y

■

dalla definizione segue che

f

−1

◦ f (a) = a ∀a ∈ A

f

◦ f

−1

(b) = b ∀b ∈ B

(104)

Definizioni

Proprietà della funzione inversa

È immediato verificare che

■

per definizione

x

= f

−1

(y)

⇐⇒

f

(x) = y

■

dalla definizione segue che

f

−1

◦ f (a) = a ∀a ∈ A

f

◦ f

−1

(b) = b ∀b ∈ B

■

anche f

−1

è biiettiva

(105)

Definizioni

Grafico della funzione inversa

Se f è invertibile allora

y

_{= f (x) ⇐⇒ x = f}

−1

_(y)

b b b b b b b b b b b b

(106)

Definizioni

Grafico della funzione inversa

Se f è invertibile allora

y

_{= f (x) ⇐⇒ x = f}

−1

_(y)

quindi il grafico di f

−1

_{si può ottenere da}

quello di f scambiando gli assi

(107)

Definizioni

Grafico della funzione inversa

Se f è invertibile allora

y

_{= f (x) ⇐⇒ x = f}

−1

_(y)

quindi il grafico di f

−1

_{si può ottenere da}

quello di f scambiando gli assi, oppure

riflettendo simmetricamente il grafico di f

rispetto alla bisettrice del I e III quadrante

(108)

Definizioni

Grafico della funzione inversa

Se f è invertibile allora

y

_{= f (x) ⇐⇒ x = f}

−1

_(y)

quindi il grafico di f

−1

_{si può ottenere da}

quello di f scambiando gli assi, oppure

riflettendo simmetricamente il grafico di f

rispetto alla bisettrice del I e III quadrante

x

y

= f (x)

Consideriamo

ad

esempio

il

grafico

della

seguente

fun-zione

invertibile

(109)

Definizioni

Grafico della funzione inversa

Se f è invertibile allora

y

_{= f (x) ⇐⇒ x = f}

−1

_(y)

quindi il grafico di f

−1

_{si può ottenere da}

quello di f scambiando gli assi, oppure

riflettendo simmetricamente il grafico di f

rispetto alla bisettrice del I e III quadrante

x

y

= f (x)

Consideriamo

ad

esempio

il

grafico

della

seguente

fun-zione

invertibile

e

operiamo la simmetria

rispetto alla bisettrice

(110)

Definizioni

Grafico della funzione inversa

Se f è invertibile allora

y

_{= f (x) ⇐⇒ x = f}

−1

_(y)

quindi il grafico di f

−1

_{si può ottenere da}

quello di f scambiando gli assi, oppure

riflettendo simmetricamente il grafico di f

rispetto alla bisettrice del I e III quadrante

x

y

= f (x)

Preso un punto del

gra-fico di f

(111)

Definizioni

Grafico della funzione inversa

Se f è invertibile allora

y

_{= f (x) ⇐⇒ x = f}

−1

_(y)

quindi il grafico di f

−1

_{si può ottenere da}

quello di f scambiando gli assi, oppure

riflettendo simmetricamente il grafico di f

rispetto alla bisettrice del I e III quadrante

x

y

= f (x)

Preso un punto del

gra-fico di f individuiamo il

suo simmetrico rispetto

all’asse di simmetria

(112)

Definizioni

Grafico della funzione inversa

Se f è invertibile allora

y

_{= f (x) ⇐⇒ x = f}

−1

_(y)

quindi il grafico di f

−1

_{si può ottenere da}

quello di f scambiando gli assi, oppure

riflettendo simmetricamente il grafico di f

rispetto alla bisettrice del I e III quadrante

x

y

= f (x)

Preso un punto del

gra-fico di f individuiamo il

suo simmetrico rispetto

all’asse di simmetria

(113)

Definizioni

Grafico della funzione inversa

Se f è invertibile allora

y

_{= f (x) ⇐⇒ x = f}

−1

_(y)

quindi il grafico di f

−1

_{si può ottenere da}

quello di f scambiando gli assi, oppure

riflettendo simmetricamente il grafico di f

rispetto alla bisettrice del I e III quadrante

x

y

= f (x)

Si possono trovare i

punti simmetrici di altri

punti del grafico di f

(114)

Definizioni

Grafico della funzione inversa

Se f è invertibile allora

y

_{= f (x) ⇐⇒ x = f}

−1

_(y)

quindi il grafico di f

−1

_{si può ottenere da}

quello di f scambiando gli assi, oppure

riflettendo simmetricamente il grafico di f

rispetto alla bisettrice del I e III quadrante

x

y

= f (x)

Si possono trovare i

punti simmetrici di altri

punti del grafico di f

(115)

Definizioni

Grafico della funzione inversa

Se f è invertibile allora

y

_{= f (x) ⇐⇒ x = f}

−1

_(y)

quindi il grafico di f

−1

_{si può ottenere da}

quello di f scambiando gli assi, oppure

riflettendo simmetricamente il grafico di f

rispetto alla bisettrice del I e III quadrante

x

y

= f (x)

Si possono trovare i

punti simmetrici di altri

punti del grafico di f

(116)

Definizioni

Grafico della funzione inversa

Se f è invertibile allora

y

_{= f (x) ⇐⇒ x = f}

−1

_(y)

quindi il grafico di f

−1

_{si può ottenere da}

quello di f scambiando gli assi, oppure

riflettendo simmetricamente il grafico di f

rispetto alla bisettrice del I e III quadrante

x

y

= f (x)

Si possono trovare i

punti simmetrici di altri

punti del grafico di f

(117)

Definizioni

Grafico della funzione inversa

Se f è invertibile allora

y

_{= f (x) ⇐⇒ x = f}

−1

_(y)

quindi il grafico di f

−1

_{si può ottenere da}

quello di f scambiando gli assi, oppure

riflettendo simmetricamente il grafico di f

rispetto alla bisettrice del I e III quadrante

x

y

= f (x)

Si possono trovare i

punti simmetrici di altri

punti del grafico di f

(118)

Definizioni

Grafico della funzione inversa

Se f è invertibile allora

y

_{= f (x) ⇐⇒ x = f}

−1

_(y)

quindi il grafico di f

−1

_{si può ottenere da}

quello di f scambiando gli assi, oppure

riflettendo simmetricamente il grafico di f

rispetto alla bisettrice del I e III quadrante

x

y

= f (x)

Si possono trovare i

punti simmetrici di altri

punti del grafico di f

(119)

Definizioni

Grafico della funzione inversa

Se f è invertibile allora

y

_{= f (x) ⇐⇒ x = f}

−1

_(y)

quindi il grafico di f

−1

_{si può ottenere da}

quello di f scambiando gli assi, oppure

riflettendo simmetricamente il grafico di f

rispetto alla bisettrice del I e III quadrante

x

y

= f (x)

Si possono trovare i

punti simmetrici di altri

punti del grafico di f

(120)

Definizioni

Grafico della funzione inversa

Se f è invertibile allora

y

_{= f (x) ⇐⇒ x = f}

−1

_(y)

quindi il grafico di f

−1

_{si può ottenere da}

quello di f scambiando gli assi, oppure

riflettendo simmetricamente il grafico di f

rispetto alla bisettrice del I e III quadrante

b b b b b b b b b b b

b

Se facciamo questo per

ogni punto del grafico

di f otteniamo il grafico

della funzione inversa

(121)

Definizioni

Grafico della funzione inversa

Se f è invertibile allora

y

_{= f (x) ⇐⇒ x = f}

−1

_(y)

quindi il grafico di f

−1

_{si può ottenere da}

quello di f scambiando gli assi, oppure

riflettendo simmetricamente il grafico di f

rispetto alla bisettrice del I e III quadrante

y

x

= f

−1

(y)

Grafico di f

−1