Grafico della funzione f (x, y) := sin(2x

Prove scritte di

Analisi Matematica 2

Ingegneria Industriale a.a. 2007–2008 a.a. 2008–2009

Grafico della funzione f (x, y) := sin(2x

− y) cos(x − 2y

) in [ −π/2, π/2]

Raccolta delle tracce di “Analisi Matematica 2 ” per Ingegneria classe Industriale, corso

B, Facolt` a di Ingegneria, Universit` a degli Studi di Lecce

30 giugno 2008, traccia A

1. Determinare la soluzione del seguente problema di Cauchy

 



2y ^′ = 8y

4x ² − 8x + 3 + 3 − 2x , y(1) = 1 .

2. Determinare massimi e minimi assoluti per la funzione f (x, y) = y e ^y + x ² e ^x

nel rettangolo di vertici ( −1, −2), (1, −2), (1, 2), (−1, 2).

3. Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della seguente succes- sione di funzioni

f n (x) = 1 + nx

1 + n ² x , x > 0 .

4. Calcolare il seguente integrale doppio

∫∫

D

x ² + y ³

x ² + 4y ² + 1 dx dy .

dove D la parte di piano interna all’ellisse di equazione x ² + 4y ² = 4.

30 giugno 2008, traccia B

1. Determinare la soluzione del seguente problema di Cauchy

 



 

y ^′ = y ² 4x ² − 8x + 3 , y(1) = 1 .

2. Determinare massimi e minimi assoluti per la funzione f (x, y) = (2x + x ² ) e ^x + (y + 1) e ^y nel rettangolo di vertici ( −1, −2), (1, −2), (1, 2), (−1, 2).

3. Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della seguente succes- sione di funzioni

f n (x) = 1 + n ² x

1 + n ³ x ² , x ∈ R .

4. Calcolare il seguente integrale doppio

∫∫

D

x + y

9x ² + 4y ² + 1 dx dy .

dove D la parte di piano interna all’ellisse di equazione 9x ² +4y ² = 36.

18 luglio 2008, traccia A

1. Studiare la seguente successione di funzioni

f _n (x) = arctan nx ²

n ² x + 1 , x ≥ 0 .

2. Studiare il massimo ed il minimo assoluto della funzione f (x, y) = 4y ³ − 2y ² + y(1 + 4x ² ) − 2x ² − 1

2 nell’insieme E = {(x, y) ∈ R ² | x ² ≤ y ≤ 1} .

3. Calcolare il seguente integrale triplo

∫∫∫

D

z

x ² + y ² dx dy dz dove D = {1 ≤ x ² + y ² ≤ z ² + 1 , −1 ≤ z ≤ 1} . 4. Risolvere il seguente problema di Cauchy

 

 

 



y ^′ = y

x (1 + x ² ) + x ²

√ y

x ,

y(1) = 1 .

18 luglio 2008, traccia B

1. Studiare la seguente successione di funzioni f _n (x) = arcsin nx

n ² + x ² , x ≥ 0 . 2. Studiare il massimo ed il minimo assoluto della funzione

f (x, y) = 4y ³ − 2y ² + y(1 − 4x ² ) + 2x ² nel triangolo di vertici (0, 0), (0, 1) e (1, 0).

3. Calcolare il seguente integrale triplo

∫∫∫

D

z

x ² + y ² dx dy dz dove D = {z ² + 1 ≤ x ² + y ² ≤ 2 , −1 ≤ z ≤ 1} . 4. Risolvere il seguente problema di Cauchy

 



 

y ^′ = y

x (1 + x ² ) + y ² ,

y(1) = 1 .

8 settembre 2008, traccia B

1. Trovare l’insieme di convergenza della serie

∑ ∞ n=1

1 n

( x + 2 x ² + 1

) n

e calcolarne la somma in tale insieme.

2. Studiare il massimo ed il minimo assoluto della funzione f (x, y) = x + y ² + y

2 + sin x nel quadrato di vertici (0, 0), ( ^π ₂ , 0), ( ^π ₂ , ^π ₂ ) e (0, ^π ₂ ).

3. Calcolare il seguente integrale

∫

E

xe ^y dx dy

dove E ´ e il quarto di cerchio con centro l’origine e raggio 1 contenuto nel primo quadrante.

4. Integrare la seguente equazione differenziale y ^′ = x + y

x + 4y .

6 aprile 2009, traccia A

1. Trovare (se esistono) massimo e minimo assoluti della funzione f (x, y, z) = xyz log(x + y + z + 2)

nell’insieme E = {(x, y, z) : x + y + z − 1 ≤ 0, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0}.

2. Risolvere il P.d.C.

{

y ^′′ − 3y ^′ + 2y = 10 cos x + e ^x y(0) = 3, y ^′ (0) = −1 .

3. Calcolare l’integrale doppio

∫ ∫

D

log(x + y) dx dy , dove D = { (x, y) : 1 ≤ x + y ≤ 2, y ≤ 2x ≤ 2y}.

4. Sia f : R → R la funzione 1–periodica definita nell’intervallo [0, 1]

da f (x) = x − x ² . Dire se f ´ e sviluppabile in serie di Fourier e determinarne la serie.

Dedurre dal risultato precedente la somma della serie

+ ∞

∑

n=0

1

(2n + 1) ² .

6 aprile 2009, traccia B

1. Risolvere il seguente Problema di Cauchy : {

2yy ^′′ = 1 + (y ^′ ) ² y(0) = 1 , y ^′ (0) = 0.

2. Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della serie

+ ∞

∑

n=0

1 n!

( 1 − x ² 3x − 1

) n

.

Calcolarne la somma.

3. Calcolare il seguente integrale

∫

S

|x ² + y ² − 1| dxdy

dove S = {

(x, y); 0 ≤ x ≤ √

3, y ≥ 0, x ² + y ² ≤ 4 } .

4. Calcolare il massimo ed il minimo della funzione f (x, y) = 3x ² − 2y ² + 3y nell’insieme A = {

(x, y); x ≥ 0, y ≥ x, 4x ² + y ² ≤ 4 }

.

30 giugno 2009, sede di Brindisi

1. Risolvere il seguente problema di Cauchy:

{ y ^′ − 2e ^x y = e ^x y ² , y(1) = 1 .

2. Calcolare il seguente integrale

∫

E

(x ² + y ² − 1)dx dy dove E = {

(x, y); 0 ≤ x ≤ √

3, y ≥ 0, x ² + y ² ≤ 4 } . 3. Studiare la seguente serie

∑ +∞

n=1

( √

x (n + 1) n

) n

.

13 luglio 2009

1. Risolvere il problema di Cauchy

{ y ^′ = 2y tan x + √ y y(0) = 1 .

2. Calcolare il seguente integrale triplo

∫

E

log(x ² + y ² + z) dxdydz , dove E = {(x, y, z) ∈ R ³ : 1 ≤ x ² + y ² ≤ 2, 1 ≤ z ≤ 2}.

3. Trovare il massimo e il minimo assoluti e relativi (se esistono) della funzione

f (x, y) = x log(x ² + y ² )

nell’insieme E = {(x, y) ∈ R ² : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x}.

4. Studiare la convergenza della seguente serie di funzioni

∑ ∞ n=1

arctan 1

n ² x ² .

13 luglio 2009, sede di Brindisi

1. Risolvere il seguente problema di Cauchy:

{ y ^′ = 2y sin x + √ y sin x , y(0) = 1 .

2. Calcolare il seguente integrale

∫

E

log(x ² + y ² ) dx dy , dove E = {(x, y) ∈ R ² : 1 ≤ x ² + y ² ≤ 2}.

3. Studiare la seguente serie

+ ∞

∑

n=0

arctan ⁿ x

n + 1 .

25 novembre 2009, sede di Brindisi

1. Risolvere il seguente problema di Cauchy:

 



y ^′′ − 3y ^′ + 2y = x e ^x , y(0) = 1 ,

y ^′ (0) = 0 .

2. Determinare massimi e minimi relativi ed assoluti della funzione f (x, y) = x ³ + y ³

x ² + y ² ,

nella corona circolare E = {(x, y) ∈ R ² : 1 ≤ x ² + y ² ≤ 4}.

3. Calcolare il seguente integrale doppio

∫∫

A

e ^x+y cos(x + y) dx dy ,

dove A = [ −π, π] × [−π, π].

Cenni sulla soluzione del 25 novembre 2009, sede di Brindisi 1. Risolvere il seguente problema di Cauchy:

 



y ^′′ − 3y ^′ + 2y = x e ^x , y(0) = 1 ,

y ^′ (0) = 0 .

Il polinomio caratteristico ` e λ ² −3λ+2 = 0 ed ha come soluzioni λ = 1 e λ = 2. Quindi le soluzioni dell’omogenea sono

y = c ₁ e ^x + c ₂ e ^2x .

Per determinare la soluzione particolare bisogna tener presente che 1 ` e soluzione di molteplicit` a 1 del polinomio caratteristico e quindi la so- luzione particolare ` e del tipo ¯ y = x(ax + b)e <sup>x</sup> con a, b ∈ R. Calcolando le derivate prima e seconda e sostituendo nell’equazione si ricavano le costanti A e B e quindi la soluzione particolare. A questo punto la soluzione generale ` e y = c ₁ e ^x + c ₂ e ^2x + ¯ y(x). Imponendo le condi- zioni iniziali si ottiene un sistema lineare di due equazioni nelle due incognite c 1 e c 2 dal quale si ricavano le costanti c 1 e c 2 .

2. Determinare massimi e minimi relativi ed assoluti della funzione f (x, y) = x ³ + y ³

x ² + y ² ,

nella corona circolare E = {(x, y) ∈ R ² : 1 ≤ x ² + y ² ≤ 4}.

Annullando le derivate parziali si ottengono le soluzioni y = x e rispet- tivamente y = −x e quindi i punti interni sulle diagonali sono stazio- nari. In tali punti la funzione vale x e rispettivamente −x e quindi essi non sono di massimo e minimo relativo. Sulla frontiera, trasformando in coordinate polari, si ottengono le funzioni φ ₁ (x) = cos ³ x + sin ³ x e φ ₂ (x) = √

2(cos ³ x + sin ³ x) e quindi basta confrontare i valori di f sulle intersezioni della frontiera con le diagonali.

3. Calcolare il seguente integrale doppio

∫∫

A

e ^x+y cos(x + y) dx dy , dove A = [ −π, π] × [−π, π].

Tenendo presente che, integrando due volte per parti

∫

e ^x cos x dx = e ^x sin x −

∫

e ^x sin x dx

= e ^x sin x + e ^x cos x −

∫

e ^x cos x dx

si ottiene ∫

e ^x cos x dx = e ^x

2 (sin x + cos x) . Analogamente

∫

e ^x sin x dx = −e ^x cos x +

∫

e ^x cos x dx

= −e ^x cos x + e ^x sin x −

∫

e ^x sin x dx

da cui ∫

e ^x sin x dx = e ^x

2 (sin x − cos x) . A questo punto si ha

∫∫

A

e ^x+y cos(x + y) dx dy =

∫∫

A

e ^x e ^y (cos x cos y − sin x sin y) dx dy

=

∫ _π

−π e ^x cos x dx

∫ _π

−π e ^y cos y dy −

∫ _π

−π e ^x sin x dx

∫ _π

−π e ^y sin y dy = 0 .