Materiali e Risorse

Insiemi e Numeri

Lezione 1

Prof. Rocco Romano1

1_{Dipartimento di Farmacia}

Università degli Studi di Salerno

Corso di Matematica, 2019/2020

Definizione di Insieme

Il concetto di insieme è un concetto primitivo: in modo efficace possiamo dire che un insieme è una collezione di elementi.

Gli insiemi saranno indicati con lettere maiuscole A, B, C, . . . , mentre gli elementi con lettere minuscole a, b, x , . . . ,

Ad esempio: l’insieme A dei primi 4 numeri dispari 1, 3, 5, 7; l’insieme B delle vocali a, e, i, o, u

Il modo più semplice di descrivere un insieme, nel caso di un numero finito di elementi, è quello di elencare semplicemente gli elementi

Ad esempio, l’insieme A dei primi 4 numeri dispari lo descriveremo come: A = {1, 3, 5, 7}; l’insieme B delle vocali come B = {a, e, i, o, u}

L’insieme privo di elementi si chiama insieme vuoto e si denota con il simbolo ∅

Descrizione

Nella descrizione indicata, l’ordine degli elementi non ha nessuna importanza, per cui {1, 3, 5, 7} e {7, 1, 5, 3} descrivono lo stesso insieme A dei primi 4 numeri dispari

Ripetere, nella descrizione, più volte un elemento non cambia l’insieme. Ad esempio: {1, 3, 5, 7, 1, 1, 5} e {1, 3, 5, 7, 3, 7, 5} e {1, 3, 5, 7}

descrivono sempre lo stesso insieme A dei primi 4 numeri dispari. Se l’insieme ha un numero grande o addirittura infinito di elementi, descriverlo elencando gli elementi sarebbe improponibile! In questi casi, un insieme può essere descritto individuando una proprietà, p(x ), che gli elementi x dell’insieme possono possedere o meno.

Ad esempio: l’insieme C = {1, 2, 4, 11, 22, 44} è descritto anche dalla proprietà p(x ) = "x è divisore di 44"

Potremo, allora, descrivere l’insieme C mediante la scrittura: C = {x ∈ N| "x è divisore di 44"}, dove N è l’insieme di tutti i numeri naturali.

In generale, quindi, un insieme I può essere rappresentato come I = {x |p(x )}, ovvero l’insieme degli elementi che godono della proprietà p(x )

Appartenenza a un Insieme

Appartenenza

Se x è un elemento dell’insieme P, potremo indicare la circostanza scrivendo:

x ∈ P

che si legge x appartiene a P ;

Se x non è un elemento di P, si può indicare la circostanza in simboli:

x /∈ P

che si legge x non appartiene a P

Example

Dato l’insieme C = {x | "x è divisore di 44"}, evidentemente

Inclusione

Inclusione

Un insieme A è un sottoinsieme dell’insieme B, circostanza indicata scrivendo:

A ⊆ B

che si legge A è incluso in B, quando ogni elemento x che appartiene ad A appartiene anche a B.

In simboli:

A ⊆ B ⇔ ∀x ∈ A ⇒ x ∈ B

che si legge: A è incluso in B se e solo se (⇔) per ogni (∀) x che appartiene ad A l’appartenenza implica (⇒) che x appartiene anche a B

Con X indicheremo l’insieme universo, di cui gli insiemi che consideriamo sono sottoinsiemi. Ad esempio, l’insieme A = {1, 2, 5, 6} è un sottoinsieme dell’insieme N dei numeri naturali, insieme universo.

Esempio di Inclusione

Example

L’insieme A = {1, 3, 5} è incluso nell’insieme B = {1, 2, 3, 4, 5} perché ogni elemento di A è anche elemento di B : A ⊆ B

L’insieme C = {1, 3, 5, 7} non è incluso nell’insieme B = {1, 2, 3, 4, 5} ( C * B) perché c’è almeno l’elemento 7 che appartiene a C (7 ∈ C), ma non

appartiene a B (7 /∈ B).

Bisogna fare attenzione a non confondere i concetti di appartenenza e di inclusione.

Example

L’insieme D = {7} è incluso nell’insieme C = {1, 3, 5, 7}, e si può scrivere {7} ⊆ {1, 3, 5, 7}, mentre è errato scrivere {7} ∈ {1, 3, 5, 7}.

Allo stesso modo, l’elemento 7 appartiene all’insieme C e pertanto è corretto scrivere 7 ∈ {1, 3, 5, 7}, ma è completamente sbagliato scrivere

7 ⊆ {1, 3, 5, 7}.

Uguaglianza

Uguaglianza

Due insiemi A e B sono uguali se e solo se contengono gli stessi elementi: A = B

che si legge l’insieme A è uguale a all’insieme B, quando ogni elemento x che appartiene ad A appartiene anche a B e viceversa. In simboli:

A = B ⇔ ∀x ∈ A ⇒ x ∈ B ∧ ∀x ∈ B ⇒ x ∈ A dove il simbolo ∧ significa ’e’, o, equivalentemente:

A = B ⇔ A ⊆ B ∧ B ⊆ A

Example

{1, 3, 5, 7} = {3, 7, 1, 5} {1, 3, 5, 7} = {3, 7, 1, 5, 3, 7, 3} {1, 3, 5, 7} 6= {2, 7, 1, 3}

Unione di Insiemi

Unione

Dati due insiemi A e B, la loro unione, indicata con il simbolo A ∪ B, è l’insieme cui appartengono tutti gli elementi dell’insieme A e dell’insieme B :

U = A ∪ B

che si legge l’insieme U è uguale a all’insieme unione di A unito B, quando ogni elemento x ∈ U appartiene o all’insieme A o all’insieme B. In simboli:

U = A ∪ B ⇔ ∀x ∈ U ⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B dove il simbolo ∨ significa ’o’ (inclusivo)

Example

Intersezione di Insiemi

Intersezione

Dati due insiemi A e B, la loro intersezione, indicata con il simbolo A ∩ B, è l’insieme I cui appartengono solo gli elementi che appartengono sia all’insieme A sia all’insieme B :

I = A ∩ B In simboli:

I = A ∩ B ⇔ ∀x ∈ I ⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B

Se l’insieme intersezione I = A ∩ B = ∅, gli insiemi A e B non hanno elementi in comune e si dicono disgiunti.

Example

Siano A = {1, 3, 5, 7} e B = {2, 3, 1, 5, 9}, I = A ∩ B = {1, 3, 5} Siano A = {1, 3, 5, 7} e F = {2, 4, 6, 8}, I = A ∩ F = ∅

Differenza

Differenza

Dati due insiemi A e B, la loro differenza, indicata con il simbolo A \ B, è l’insieme D cui appartengono gli elementi che appartengono ad A, ma che non appartengono a B :

D = A \ B

L’insieme differenza si chiama anche insieme complemento di B in A. In simboli: D = A \ B ⇔ ∀x ∈ D ⇒ x ∈ A ∧ x /∈ B Example Siano A = {1, 3, 5, 7} e B = {2, 3, 1, 5, 9}, D = A \ B = {7} Siano A = {1, 3, 5, 7} e B = {2, 3, 1, 5, 9}, D = B \ A = {2, 9} Siano A = {1, 3, 5, 7} e F = {2, 4, 6, 8}, D = A \ F = {1, 3, 5, 7}

Complemento

Complemento di un Insieme

L’insieme differenza dell’ insieme A rispetto all’insieme universo X , X \ A, è detto insieme complemento, è indicato con il simbolo ∼ A ed è l’insieme degli elementi dell’universo che non appartengono all’insieme A.

In simboli:

∼ A = X \ A ⇔ ∀x ∈∼ A ⇒ x ∈ X e x /∈ A

Example

Sia A = {1, 3}, ∼ A = {x ∈ N : x 6= 1 e x 6= 3} è l’insieme di tutti i numeri naturali diversi da 1 e da 3.

Leggi di De Morgan

De Morgan

Molto importanti sono le seguenti relazioni, dette Leggi di De Morgan: A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C): la differenza di una unione è uguale all’intersezione delle differenze

A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C): la differenza di una intersezione è uguale all’unione delle differenze

Example I legge di De Morgan: A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C) Siano A = {a, b, c, d , e, f , g}, B = {b, c, e, f }, C = {g, c, e, f }, da una parte A \ (B ∪ C) = {a, b, c, d , e, f , g} \ {b, c, e, f , g} = {a, d } dall’altra

(A \ B) ∩ (A \ C) = {a, d , g} ∩ {a, b, d } = {a, d } e quindi

Esempio Leggi di De Morgan

Example II legge di De Morgan: A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C) Siano A = {a, b, c, d , e, f , g}, B = {b, c, e, f }, C = {g, c, e, f }, da una parte A \ (B ∩ C) = {a, b, c, d , e, f , g} \ {c, e, f } = {a, b, d , g} dall’altra

(A \ B) ∪ (A \ C) = {a, d , g} ∪ {a, b, d } = {a, b, d , g} e quindi

A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C)

Le leggi di De Morgan valgono anche per un numero infinito (numerabile) di insiemi. Valgono, inoltre, anche nel caso di complementi:

∼ (B ∪ C) = (∼ B) ∩ (∼ C): il complemento di una unione è uguale all’intersezione dei complementi

∼ (B ∩ C) = (∼ B) ∪ (∼ C): il complemento di una intersezione è uguale all’unione dei complementi

Numeri Naturali N

L’insieme dei numeri naturali è l’insieme, infinito, dei numeri con i quali siamo abituati a contare; si denota con N = {0, 1, 2, 3, . . .}

si possono descrivere i sottoinsieme di N mediante le proprietà dei loro elementi:

Example

I numeri naturali dispari: {2 · n + 1|n ∈ N} = {1, 3, 5, . . .}

Example

I numeri naturali pari: {2 · n|n ∈ N} = {0, 2, 4, . . .}

Example

Numeri Interi Z 1/3

Nell’insieme dei numeri naturali è sempre possibile eseguire l’addizione (l’addizione di due numeri naturali è sempre ancora un numero naturale) Non è sempre possibile, invece, eseguire la sottrazione:

Example

minuendo > sottraendo:

∀a, b ∈ N, a − b ∈ N ⇐⇒ a > b 5 − 3 = 2 ∈ N

Nel caso, invece, in cui il minuendo sia maggiore del sottraendo, il risultato della sottrazione non è un numero naturale

Example

minuendo < sottraendo: ∀a, b ∈ N, a < b −→ a − b 6∈ N 3 − 5 6∈ N

Numeri Interi Z 2/3

Per rendere sempre possibile l’operazione di sottrazione, è sufficiente

introdurre i numeri negativi, ottenuti anteponendo il segno0−0_{ai numeri}

naturali

L’insieme ottenuto considerando l’insieme unione dei numeri naturali e dei numeri negativi si chiama insieme dei numeri interi (relativi) e si denota con:

Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}

Evidentemente, nell’insieme dei numeri interi è sempre possibile eseguire l’operazione di sottrazione: se il sottraendo è minore del minuendo, il risultato sarà un numero negativo

Example

∀a, b ∈ Z, a < b −→ a − b = −(b − a) ∈ Z 3 − 5 = −(5 − 3) = −2

Numeri con lo stesso segno si dicono concordi, numeri con segno diverso discordi

Numeri Interi Z 3/3

Il numero senza segno si chiama valore assoluto e si denota con |a| ed è sempre maggiore di zero: ∀a ∈ Z, a > 0, |a| = a; a < 0, |a| = −a > 0 esempio: |7| = 7; | − 3| = −(−3) = 3

Un numero intero si può sempre scrivere come il suo segno (sign) per il suo valore assoluto: ∀a ∈ Z : a = sign(a) · |a| : −3 = −|3|; 5 = +|5| Si conviene di sottintendere il segno positivo: +5 = +|5| = 5 Numeri discordi con stesso valore assoluto si dicono opposti, ad esempio: 6, e −6 sono opposti, e la loro somma è uguale a zero Numeri interi si possono ordinare e, in particolare:

∀a, b ∈ Z a < 0, b < 0 : |a| < |b| −→ a > b ∀a, b ∈ Z a > 0, b > 0 −→ a > b ∨ b > a ∀a, b ∈ Z a > 0, b < 0 −→ a > b

Evidentemente ogni numero naturale è anche un numero intero, cioè ∀x ∈ N =⇒ x ∈ Z e quindi N ⊂ Z

Addizione in Z 1/2

Regole dell’addizione:

se i numeri a, b sono concordi (sign(a) = sign(b)), la loro somma è un numero che ha per valore assoluto la somma dei valori assoluti degli addendi e per segno lo stesso segno:

∀a, b ∈ Z, sign(a) = sign(b) =⇒ a + b = sign(a) · (|a| + |b|)

Example

Addizione di interi concordi 3 + 5 = 8; 7+2 = 9

Addizione in Z 2/2

Se i numeri sono discordi, la loro somma è un numero che ha per valore assoluto la differenza dei valori assoluti degli addendi e segno concorde con l’addendo del valore assoluto maggiore:

∀a, b ∈ Z, sign(a) 6= sign(b) =⇒ a + b = sign(max(|a|, |b|)) · |(|a| − |b|)|

Example

Addizione di interi discordi

-5 + 3 = - |(|-5| - |3|)| = - |(5 -3)| = -|2| = -2 -3 + 5 = +|(|-3| - |5|)| = +|(3 - 5)| = +|-2| = +2 = 2;

In Z, addizione e sottrazione sono un’unica operazione, detta somma algebrica: sottrarre significa addizionare al sottraendo l’opposto del minuendo: ∀a, b ∈ Z, a − b = a + (−b)

Example

Sottrazione di interi -5 - (+3) = -5 + (-3) = -8 -5 -(-3) = -5 + (+3) = -5 + 3 = -2;

Il prodotto e il quoziente in Z

Il prodotto (il quoziente) di due numeri interi relativi è un numero che ha per valore assoluto il prodotto (il quoziente) dei valori assoluti e per segno il segno positivo se i numeri sono concordi, segno negativo se i numeri sono discordi:

∀a, b ∈ Z, sign(a) = sign(b) =⇒ a · b = +|a| ∗ |b| (a/b = +|a|/|b|)

Example

Prodotto (quoziente) di interi concordi

−5 · (−3) = +(| − 5| · | − 3|) = +(5 · 3) = +15 = 15 6/2 = +(|6|/|2|) = +(6/2) = +3 = 3

∀a, b ∈ Z, sign(a) 6= sign(b) =⇒ a · b = −|a| ∗ |b| (a/b = −|a|/|b|)

Example

Prodotto (quoziente) di interi discordi 5 · (−3) = −(|5| · | − 3|) = −(5 · 3) = −15 −6/2 = −(| − 6|/|2|) = −(6/2) = −3

Numeri Razionali Q 1/4

Nell’insieme dei numeri interi è sempre possibile eseguire il prodotto (il prodotto di due numeri interi è sempre ancora un numero intero) Non è sempre possibile, invece, eseguire la divisione:

∀a, b ∈ Z : a/b ∈ Z ⇐⇒ ∃m ∈ Z : a = m · b

Example

dividendo è un multiplo intero del divisore: 6/3 = 2 ∈ Z

Nel caso, invece, in cui il dividendo non sia un multiplo intero del divisore, il risultato della divisione non è un numero intero

Example

dividendo non è un multiplo intero del divisore: 3/5 6∈ Z

Numeri Razionali Q 2/4

Consideriamo le coppie ordinate (a, b) ∈ Z × Z − {0} e la relazione < : ∀(a, b), (c, d ) ∈ Z × Z − {0} : (a, b)<(c, d) ⇐⇒ ad = bc

La relazione < gode delle proprietà:

Riflessiva: (a, b)<(a, b); infatti, evidentemente, ab = ba

Simmetrica: (a, b)<(c, d ) =⇒ (c, d )<(a, b); infatti, evidentemente, ad = bc ⇐⇒ bc = ad

Transitiva: (a, b)<(c, d ) e (c, d )<(e, f ) =⇒ (a, b)<(e, f ); infatti, da ad = bc e cf = de → ad = bde/f → af = be

La relazione < è una relazione diequivalenzae gli elementi che sono

nella relazione < si dicono appartenere alla stessaclasse di equivalenza

Una relazione diequivalenzadivide gli elementi di un insieme inclassi di

equivalenzadisgiunte, che non contengono, cioè, elementi comuni Le classi di equivalenza, rispetto alla relazione <, delle coppie

(a, b) ∈ Z × Z − {0} si chiamanonumeri razionalie costituiscono

Numeri Razionali Q 3/4

Example

Esempi di numeri razionali: A, B, C

A = {(2, 3), (6, 9), (−2, −3), (−6, −9), (10, 15), . . .} B = {(−3, 7), (6, −14), (3, −7), (−6, 14), (9, −21), . . .} C = {(−3, 4), (6, −8), (15, −20), (−30, 40), (−18, 24), . . .}

Per ogni coppia ordinata (a, b) ∈ Z × Z − {0}, la classe di equivalenza di (a, b) rispetto a < si indica con

a b

Example

A = {(2, 3), (6, 9), (−2, −3), (−6, −9), (10, 15), . . .} si indica con una delle frazioni 2₃, 6₉, −2₋₃, −6₋₉, 10₁₅

B = {(−3, 7), (6, −14), (3, −7), (−6, 14), (9, −21), . . .} si indica con una delle frazioni −3₇, −₁₄6, −3₇, −₁₄6, −₂₁9

Numeri Razionali Q 4/4

Non bisogna confondere il concetto di numero razionale con il concetto di frazione: sono due cose diverse!

Infatti, a ogni frazione corrisponde un unico numero razionale, mentre a un numero razionale corrispondono infinite frazioni!

Poiché a ogni numero razionale corrispondono infinite frazioni equivalenti, quale scegliere come frazione che lo rappresenti?

Si prende la frazione che ha numeratore e denominatore primi fra loro, cioè tali che non abbiano divisori in comune

Il numero razionale corrispondente alla coppia (−15, 30) ∈ Z × Z − {0},

cui corrispondono le infinite frazioni −15

30, − 3 6, − 5 10, − 1 2, − 45 90, . . .si

rappresenta con la frazione −1₂,e, con le avvertenze precedenti, diremo

−1

2 ∈ Q

Il numero razionale (0, a) ∈ Z × Z − {0} con a qualunque, sarà l’elemento zero. Infatti, evidentemente, (0, a)<(0, b), ∀a, b ∈ Z − {0}

Somma algebrica in Q

Dati i due numeri razionali a

b, c

d,la loro somma algebrica è definita come:

a b+ c d = ad +cb bd

La somma algebrica gode delle proprietà: Commutativa: a b+ c d = c d + a b;infatti anche c d + a b = ad +cb bd Associativaa b+ ( c d + e f) = ( a b+ c d) + e f

Esiste l’elemento neutro, lo 0 ∈ Q : a b + 0 c = ac+0b bc = ac bc = a b

Esiste l’elemento opposto: −a

b è l’opposto di a b;infatti: a b+ (− a b) = ab−ab b2 =0

Prodotto in Q

Dati i due numeri razionali_ba,c_d,il loro prodotto è definito da:

a b · c d = ac bd

Il prodotto gode delle proprietà: Commutativa: a_b·c d = c d · a b;infatti anche c d · a b = ca bd = ac bd Associativaa b· ( c d · e f) = ( a b · c d) · e f

Esiste l’elemento neutro, 1 ∈ Q ⇐⇒ cc ∀c ∈ Z − {0}; a b· c c = ac bc = a b

Esiste l’elemento inverso: b_a è l’inverso di_ba;infatti: a_b·b a =

ab ba =1

L’elemento inverso di a

bsarà il suo reciproco e sarà denotato come ( a b)

−1

La divisione tra due numeri razionali è equivalente a moltiplicare il

dividendo per il reciproco del divisore: ab

c d = a b· ( c d) −1 ₌a b· d c = ad bc

Ordinamento in Q

Si definisca in Q la seguente relazione:

a b ≤

c

d ⇐⇒ ad ≤ bc

La relazione gode delle proprietà: Riflessiva: a b ≤ a b;infatti ab ≤ ba Atisimmetrica: (a b ≤ c d) ∧ ( c d ≤ a b) =⇒ (ad ≤ bc) ∧ (cb ≤ da) ⇐⇒ ad = bc ⇐⇒ a b = c d Transitiva: (a b ≤ c d) ∧ ( c d ≤ e

f) =⇒ (ad ≤ bc) ∧ (cf ≤ de) =⇒ (adcf ≤

bcde) ⇐⇒ (af ≤ be) ⇐⇒ a_b ≤e

f

Una relazione che gode delle tre proprietà suddette è una relazione d’ordine nell’insieme: l’insieme Q risulta così ordinato.

Evidentemente:

∀x, y ∈ Q, x ≥ y ⇐⇒ −x ≤ −y

∀x, y , z ∈ Q, x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z

∀x, y ∈ Q, x ≥ 0 ∧ y ≥ 0 ⇒ x · y ≥ 0

Proprietà di Q

Poiché il numero 1 ∈ Z − {0}, ∀a ∈ Z, (a, 1) ∈ Z × Z − {0}, cioè ogni

numero intero a si può pensare come il numero razionale a₁ =a

In questo modo, ∀x ∈ Z =⇒ x ∈ Q da cui N ⊂ Z ⊂ Q

I numeri razionali sono densi: dati due razionali diversi ne esiste sempre almeno uno intermedio

Il numero razionale intermedio è, ad esempio, la media aritmetica dei

numeri: ∀a b, c d ∈ Q a b ≤ c d → a b ≤ a b+ c d 2 ≤ c d Infatti, a b ≤ a b+ c d 2 ≤ c d ⇐⇒ a b ≤ ad +bc 2bd ≤ c d

che, da una parte, implica

2bda ≤ b(ad + bc) ⇐⇒ b(da + da) ≤ b(ad + bc) senz’altro vera,

essendo, per ipotesi a

b ≤ c

d ⇐⇒ ad ≤ bc.

Allo stesso modo, si ha

d (ad + bc) ≤ 2cbd ⇐⇒ d (ad + bc) ≤ d (bc + bc) vera per l’ipotesi ad ≤ bc.

Rappresentazione dei Numeri Q : Numeri Decimali

Finiti

Un numero che può essere rappresentato nella forma:

z + d1 101 + d2 102 + . . . + dm 10m dove z ∈ Z, m ∈ N e ∀k ∈ {1, 2, . . . , m}, dk ∈ {n ∈ N : n ≤ 9}, si chiama

numero decimale finitoe in genere è scritto: z.d1d2. . .dm

Example

Numeri decimali finiti

3.009 = 3 + 0 10+ 0 100 + 9 1000 =3.000 + 0.000 + 0.000 + 0.009 −5.403 = −(5 + 4 10+ 0 100 + 3 1000) = −(5.000 + 0.400 + 0.000 + 0.003)

Ogni numero decimale finito, in quanto somma di numeri razionali, è un numero razionale: non è vero il contrario

Numeri Decimali Periodici 1/2

Alcuni numeri razionali, infatti, non sono rappresentati da numeri decimali finiti!

Example

Numeri decimali periodici

Il numero razionale1₃ =0.333 . . . = 0.¯3, è rappresentato da un numero decimale non finito, in cui la cifra 3 si ripete infinitamente e prende il nome di periodo (numero periodico semplice)

Il numero razionale1

6 =0.1666 . . . = 0.1¯6, è rappresentato da un numero

decimale non finito, in cui la cifra 6 si ripete infinitamente e prende il nome di periodo, la cifra decimale 1, che precede il periodo, si chiama antiperiodo (numero periodico misto).

Numeri Decimali Periodici 2/2

I numeri decimali periodici misti sono numeri razionali il cui valore assoluto si rappresenta nella forma

z.a1a2. . .asp1p2. . .pmp1p2. . .pm. . .

o anche

z.a1a2. . .asp1p2. . .pm

z ∈ Z è la parte intera del numero; ∀i ∈ {1, 2, . . . , s}, ai ∈ {n ∈ N : n ≤ 9}

sono le cifre dell’antiperiodo e ∀k ∈ {1, 2, . . . , m}, pk ∈ {n ∈ N : n ≤ 9},

sono le cifre del periodo

Example

Numeri decimali periodici

Il numero decimale periodico misto 7.32956, ha parte intera 7, antiperiodo 32 e periodo 956

Il numero decimale periodico semplice −5.413, ha parte intera −5, e periodo 413

Numero Razionali e Numeri Decimali 1/7

Ogni numero razionale può essere rappresentato come un numero decimale finito oppure come un numero decimale periodico In particolare, si può vedere che:

Se il denominatore contiene solo potenze di 2 o potenze di 5, si ha un decimale finito: 7 16=0.4375 8 25 =0.32 11 50 =0.22

Se il denominatore non contiene potenze di 2 né di 5, allora si ha un periodico semplice: 11 7 =1.571428 8 3 =2.¯6 16 21=0.761904

Se il denominatore contiene potenze di 2 o di 5 e altri numeri primi, si ha un numero periodico misto:

11 14=0.78571428 8 15=0.5¯3 16 42 =0.38095238

Numero Razionali e Numeri Decimali 2/7

Viceversa, ad ogni numero decimale finito o periodico corrisponde un numero razionale, che si chiama frazione generatrice del numero decimale

Nel caso di un numero decimale finito la frazione generatrice si ottiene facilmente

Example

Frazioni generatrici di numeri decimali finiti 3.765 = 3 + 7 10+ 6 100+ 5 1000 = 3000+700+60+5 1000 = 3765 1000 2.53 = 2 +₁₀5 +₁₀₀3 =200+50+3₁₀₀ = 253₁₀₀

La frazione generatrice di un numero decimale finito è la frazione che ha per numeratore il numero costituito da tutte le cifre senza la virgola e per denominatore 1 seguito da tanti zeri quante sono le cifre decimali (potenza di dieci con esponente uguale al numero delle cifre decimali)

Numero Razionali e Numeri Decimali 3/7

Caso di un numero decimale periodico semplice: z.p1p2. . .pm

Dimostrazione.

Detta a_bla frazione generatrice, sarà a_b =z.p1p2. . .pm→

10m a b =10 m_z.p 1p2. . .pm→ 10m a_b =zp1p2. . .pm,p1p2. . .pm→ 10m a b− a b =zp1p2. . .pm,p1p2. . .pm− a b → (10m− 1)a b =zp1p2. . .pm,p1p2. . .pm− z.p1p2. . .pm→ (10m_{− 1)}a b =zp1p2. . .pm− z → a b= zp₁p₂...pm−z 10m₋₁ Example

Sia dato il numero 3.45, la frazione generatrice sarà: a_b =345−3

102₋₁ =

342 99

Dato il numero −7.421, la frazione generatrice sarà:

a b = −7421−(−7) 103₋₁ = −7421+7 999 = − 7414 999

Numero Razionali e Numeri Decimali 4/7

Dato un numero decimale periodico semplice: z.p1p2. . .pm,la frazione

generatrice a_b è:

a b =

zp1p2...pm−z

10m₋₁

Più semplicemente, la frazione generatrice di un numero decimale periodico semplice è una frazione che ha:

come numeratore, il numero che si ottiene dalla differenza tra il numero formato da tutte le cifre (parte intera e periodo) e il numero costituito solo dalla parte intera;

come denominatore, tanti 9 quante sono le cifre del periodo

Example

Sia dato il numero 1.571428, la frazione generatrice sarà:

a b =

1571428−1

106₋₁ = 1571427₉₉₉₉₉₉ = 11₇

Sia dato il numero −2.6, la frazione generatrice sarà:

a b = −26−(−2) 101₋₁ == −26+2 9 = − 24 9 = − 8 3

Numero Razionali e Numeri Decimali 5/7

Caso di un numero decimale periodico misto: z.a1a2. . .asp1p2. . .pm

Dimostrazione.

Detta a

bla frazione generatrice, sarà a

b =z.a1a2. . .asp1p2. . .pm→

10s a_b =10sz.a1a2. . .asp1p2. . .pm→ 10s a_b =za1a2. . .as,p1p2. . .pm

ma za1a2. . .as,p1p2. . .pm=za1a2...asp1₁₀p2...pm₋₁m−za1a2...as da cui 10s a

b =

za1a2...asp1p2...pm−za1a2...as

10m₋₁ →

a b=

za1a2...asp1p2...pm−za1a2...as

(10m₋₁₎₁₀s

Example

Sia dato il numero 3.1645, la frazione generatrice sarà: _ba =₍₁₀31645−3162₋₁₎₁₀2 =31329₉₉₀₀ Dato il numero −7.32421, la frazione generatrice sarà:

a b =

−732421−(−732)

Numero Razionali e Numeri Decimali 6/7

Dato un numero decimale periodico misto: z.a1a2. . .asp1p2. . .pmla

frazione generatrice a_b è:

a b =

za1a2...asp1p2...pm−za1a2...as

(10m₋₁₎₁₀s

Più semplicemente, la frazione generatrice di un decimale periodico misto è una frazione che ha:

come numeratore il numero che si ottiene dalla differenza tra il numero formato da tutte le cifre (parte intera, antiperiodo e periodo) e il numero costituito dalla parte intera e dall’antiperiodo;

come denominatore tanti 9 quante sono le cifre del periodo seguiti da tanti zeri quante sono le cifre dell’antiperiodo

Example

Sia dato il numero 0.78571428, la frazione generatrice sarà:

a b =

78571428−78

(106₋₁₎₁₀2 =78571350_99999900 =11₁₄

Dato il numero −0.5¯3, la frazione generatrice sarà:

a b = −53−(−5) (101₋₁₎₁₀1 = −53+5 90 = − 48 90 = − 8 15

Numero Razionali e Numeri Decimali 7/7

Un numero periodico semplice è il caso particolare di un numero periodico misto per cui s = 0, per cui cioè non si ha antiperiodo

Per s = 0, il un numero decimale periodico misto: z.a1a2. . .asp1p2. . .pm

si riduce a z.p1p2. . .pme la frazione generatrice _ba che è:

a b =

za1a2...asp1p2...pm−za1a2...as

(10m₋₁₎₁₀s si riduce a a b = zp1p2...pm−z (10m₋₁₎

rispettivamente, numero periodico semplice e sua frazione generatrice. Più semplicemente, la frazione generatrice di un decimale periodico è una frazione che ha:

come numeratore, il numero che si ottiene dalla differenza tra il numero formato da tutte le cifre (parte intera, antiperiodo e periodo) e il numero costituito dalla parte intera e dall’antiperiodo (l’antiperiodo può non esserci); come denominatore, tanti 9 quante sono le cifre del periodo seguiti da tanti zeri quante sono le cifre dell’antiperiodo (nel caso non ci sia l’antiperiodo, ci sono solo i 9)

I Numeri Decimali con Periodo 9 1/2

Si consideri un numero periodico del tipo z.a1a2. . .as9, cioè di periodo 9

La frazione generatrice a_b sarà :

a b =

za1a2...as9−za1a2...as

(101₋₁₎₁₀s =

10·za1a2...as+9−za1a2...as

9 10s 9·(za1a2...as+1) 9 10s = (za1a2...as+1) 10s =z.a1a2. . .as−1(as+1) si riduce a a b =z.a1a2. . .as−1(as+1)

numero decimale finito.

Example

Sia dato il numero 0.789, la frazione generatrice sarà: a_b =0.79 infatti

a b = 789−78 900 = 711 900 =0.79

Dato il numero −0.5¯9, la frazione generatrice sarà: a_b = −0.6 infatti

a b = −59−(−5) 90 = − 54 90= −0.6

I Numeri Decimali con Periodo 9 2/2

Dagli esempi precedenti segue che −0.5¯9 e −0.6 sono due

rappresentazioni di uno stesso numero razionale

Allo stesso modo 0.78¯9 e 0.79 sono due rappresentazioni di uno stesso

numero razionale

Quindi, una frazione non potrà mai rappresentarsi come un decimale periodico di periodo 9 perché un decimale periodico di periodo 9 è lo stesso di un numero decimale finito

I Numeri Irrazionali

I numeri decimali periodici illimitati sono una rappresentazione dei numeri razionali. Non tutti i numeri decimali illimitati sono periodici

Esistono numeri decimali illimitati che, non essendo periodici, non

rappresentano un numero razionale: questi numeri sono iNumeri

Irrazionali

Un classico esempio è il numero che si ottiene facendo il rapporto tra la circonferenza di un cerchio e il diametro dello stesso:

π =3.14159265359 . . .

√

2 Numero Irrazionale

Facciamo vedere che effettivamente esistono numeri che non si possono

esprimere come frazioni. Facciamo vedere, ad esempio, che√2 è un numero

irrazionale.

Dimostrazione.

Supponiamo, per assurdo, che√2 = m_n con m, n ∈ Z e primi tra loro;

da√2 = m_n ⇒ 2 = m2

n2 ⇒ m2=2n2,da cui segue che m2è un numero

pari, e quindi m è un numero pari.

Essendo m pari, ∃c : m = 2c e quindi m2_=4c2_=2n2_{⇒ n}2_=2c2_e

quindi n2_{è un numero pari e quindi n è un numero pari. Ma questo}

contraddice l’ipotesi che m, n sono primi tra loro.

Non esiste alcuna frazione che rappresenti√2, ovvero√2 è un numero

Minimo e massimo di un insieme ordinato

Dato un insieme X ordinato, è facile vedere che esiste al più, se esiste,

un elemento p ∈ X tale che p ≤ x ∀x ∈ X

Se detto elemento esiste, si chiama minimo di X

Allo stesso modo, dato un insieme X ordinato, è facile vedere che esiste al più, se esiste, un elemento p ∈ X tale che x ≤ p ∀x ∈ X

Se detto elemento esiste, si chiama massimo di X

Estremo inferiore (superiore) di un insieme ordinato

Dato un insieme S ordinato, si dice che il sottoinsieme X di S è

inferiormente limitato se esiste un elemento a ∈ S : a ≤ x ∀x ∈ X

Se detto elemento a esiste, esso si chiama minorante di X

Osserviamo che mentre il minimo di un insieme, se esiste, è un punto dell’insieme, un minorante di un insieme, se esiste, non è detto che appartenga all’insieme

Si chiama estremo inferiore dell’insieme X il massimo, se esiste, dei minoranti dell’insieme

Dato un insieme S ordinato, si dice che il sottoinsieme X di S è

superiormente limitato se esiste un elemento a ∈ S : b ≥ x ∀x ∈ X

Se detto elemento b esiste, esso si chiama maggiorante di X Si chiama estremo superiore dell’insieme X il minimo, se esiste, dei maggioranti dell’insieme X

Estremo inferiore (superiore) di un insieme ordinato e

minimo e massimo

Se un insieme X è dotato di massimo, allora il suo massimo coincide con l’estremo superiore. Viceversa, se un insieme è superiormente limitato e il suo estremo superiore appartiene all’insieme, allora l’estremo superiore coincide con il massimo dell’insieme.

Tuttavia, non bisogna confondere i concetti di massimo e di estremo superiore: un insieme può essere dotato di estremo superiore, ma non di massimo.

Lo stesso vale per il minimo e l’estremo inferiore

L’insieme dei numeri reali R

Considerando l’unione dei numeri razionali e dei numeri irrazionali si può costruire l’insieme dei numeri reali R.

l’insieme dei numeri reali ha una proprietà importante: la completezza. Nell’insieme dei numeri reali, infatti, per ogni insieme X non vuoto e superiormente limitato esiste l’estremo superiore di X

L’insieme dei numeri razionali, invece, non è completo

La completezza dell’insieme dei numeri reali fa si che i numeri reali possano rappresentare tutti i punti di una retta, mentre i numeri razionali non bastano allo scopo.

Troncata di un Numero Reale 1/2

Un numero reale può essere razionale (esprimibile mediante un numero decimale finito o un numero decimale periodico, entrambi rappresentabili da una frazione generatrice) o irrazionale (esprimibile con un numero decimale non finito, e quindi non rappresentabile sotto forma di frazione)

Esempi di numeri irrazionali sono√2 = 1.414213562373095 . . . ,

π =3.141592653589793 . . . , e = 2.718281828459045 . . .

Dato un numero reale r formato dalla serie decimale r = I.r1r2r3r4r5r6. . .

si definisce la sua troncata per difetto di ordine n e si indica

[r ]n=I.r1r2. . .rn

il numero decimale finito (razionale) che si ottiene scrivendo il numero fino alla n−esima cifra decimale.

ad esempio: [e]4=2.7182, [e]5=2.71828, [

√

2]7=1.4142135,

[√2]0=1

Evidentemente [r ]n≤ r , ∀n ∈ N

Inoltre, la differenza tra il numero e la sua troncata di ordine n è sempre tale che r − [r ]n=0.0102. . .0nrn+1≤ 0.0102. . .0n−11 = 10−n

Troncata di un Numero Reale 2/2

Dato un numero reale r formato dalla serie decimale r = I.r1r2r3r4r5r6. . .

si definisce la sua troncata per eccesso di ordine n e si indica

[r ]n_=I.r

1r2. . .rn+10−n

il numero decimale finito (razionale) che si ottiene scrivendo il numero fino alla n−esima cifra decimale aumentata di una unità

ad esempio: [e]4_{=2.7183, [e]}5_{=2.71829, [}√_2]7_=1.4142136,

[√2]0₌₂

Evidentemente r ≤ [r ]n_{, ∀n ∈ N; e quindi [r ]}

n≤ r ≤ [r ]n, ∀n ∈ N

inoltre, [r ]n− [r ]n=10−n, ∀n ∈ N : un numero reale è approssimato con

Uguaglianza di Numeri Reali

Dati due numeri reali a e b si dicono uguali se:

a = b ⇐⇒ ∀n ∈ N [a]n− [b]n≤ 10−n

Due numeri reali sono uguali quando sono uguali la loro parte intera e tutte le cifre decimali

Di conseguenza due numeri reali a e b saranno diversi se esiste almeno

una cifra decimale, e quindi una troncata di ordine n∗,diversa:

a 6= b ⇐⇒ ∃n∗_{∈ N | [a]}

n∗− [b]_n∗| > 10−n ∗

I numeri r1=7.54872413 . . . , r2=7.54872212 . . . sono diversi in

quanto |[r1]6− [r2]6| = 0.00000201 > 0.000001 = 10−6

Relazione d’Ordine in R

Dati due numeri reali, x e y , diremo che x ≤ y :

x ≤ y ⇐⇒ x = y ∨ ∀n ∈ N [x]n≤ [y ]n

Esempio: i numeri r1=2.7634123, r2=3.7634123 sono

evidentemente tali che r2≥ r1in quanto [r2]0=3 ≥ [r1]0=2, e

∀n ∈ N, n > 0, [r2]n≥ [r1]n.

Infatti [r2]0> [r1]0+1, e ∀n ∈ N, [r1]n− [r1]0>10−1; [r2]n− [r2]0>10−1.

Da tutto ciò segue che ∀n ∈ N, n > 0, [r2]n>10−1+ [r2]0>

10−1+ [r1]0+1 > 10−1+ [r1]n− 10−1+1 = [r1]n+1

Esempio: i numeri r1=2.7634123, r2=2.7533123 sono evidentemente

tali che r1≥ r2in quanto [r1]0=2 ≥ [r2]0=2, [r1]1=2.7 ≥ [r2]1=2.7, e

[r1]2=2.76 ≥ [r2]2=2.75, e ∀n ∈ N, n > 2, [r1]n≥ [r2]n.

Infatti [r1]2> [r2]2+0.01, e

∀n ∈ N, n > 2, [r1]n− [r1]2>10−3; [r2]n− [r2]2>10−3.Da tutto ciò segue

che ∀n ∈ N, n > 2, [r1]n>10−3+ [r1]2>10−3+ [r2]2+0.01 >

10−3+ [r2]n− 10−3+0.01 = [r2]n+0.01

Relazione d’Ordine in R

Evidentemente valgono le seguenti relazioni:

x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z ∀z ∈ R x ≤ y ⇐⇒ −x ≥ −y x ≤ 0 ⇐⇒ −x ≥ 0 x ≥ 0 ∧ y ≥ 0 ⇒ x · y ≥ 0 x ≤ 0 ∧ y ≤ 0 ⇒ x · y ≥ 0 x ≥ 0 ∧ y ≤ 0 ⇒ x · y ≤ 0 x ≥ y ∧ z ≤ 0 ⇒ x · z ≤ y · z x ≥ y ∧ z ≥ 0 ⇒ x · z ≥ y · z

Intervalli di Numeri Reali R 1/4

Esistono sottoinsiemi di R molto utili ai nostri scopi, chiamati intervalli. Siano a, b ∈ R, l’insieme: {x ∈ R|a < x < b} = (a, b) si chiama intervallo aperto di estremo inferiore a ed estremo superiore b

Il numero a è un minorante dell’intervallo, infatti a < x ∀x ∈ (a, b), ma non appartiene all’intervallo. Inoltre, è il più grande dei minoranti, perché qualunque minorante dell’intervallo deve essere minore di a. Quindi, a è l’estremo inferiore dell’intervallo (a, b), ma l’intervallo non ha il minimo. Allo stesso modo, si vede che b è l’estremo superiore dell’intervallo (a, b) Un intervallo siffatto, si dice intervallo limitato aperto

Intervalli di Numeri Reali R 2/4

Siano a, b ∈ R, l’insieme: {x ∈ R|a ≤ x ≤ b} = [a, b] si chiama intervallo chiuso di estremo inferiore a ed estremo superiore b

Il numero a è un minorante dell’intervallo, infatti a ≤ x ∀x ∈ [a, b], e appartiene all’intervallo. Inoltre, è il più grande dei minoranti, perché qualunque minorante dell’intervallo deve essere minore di a. Quindi, a è l’estremo inferiore dell’intervallo [a, b], e poiché appartiene all’intervallo è anche il minimo dell’intervallo

Allo stesso modo, si vede che b è l’estremo superiore e massimo dell’intervallo [a, b]

Un intervallo siffatto, si dice intervallo chiuso e limitato.

Intervalli di Numeri Reali R 3/4

Siano a, b ∈ R, l’insieme: {x ∈ R|a ≤ x < b} = [a, b) si chiama intervallo chiuso a sinistra, di estremo inferiore a, e aperto a destra, di estremo superiore b

Il numero a è l’estremo inferiore e anche il minimo dell’intervallo [a, b) Il numero b è estremo superiore dell’intervallo aperto a destra [a, b)

Intervalli di Numeri Reali R 4/4

Sia a ∈ R, l’insieme: {x ∈ R|a ≤ x} = [a, +∞) è un insieme non limitato superiormente, non ha, cioè, un estremo superiore

Il numero a è l’estremo inferiore e anche il minimo dell’intervallo [a, +∞), chiuso a sinistra

Sia a ∈ R, l’insieme: {x ∈ R|a < x} = (a, +∞) è un insieme non limitato superiormente, non ha, cioè, un estremo superiore

Il numero a è estremo inferiore dell’intervallo aperto (a, +∞)

Allo stesso modo, sia b ∈ R, l’insieme: {x ∈ R|x ≤ b} = (−∞, b] è un insieme non limitato inferiormente, non ha, cioè, un estremo inferiore b in questo caso è estremo superiore e massimo dell’intervallo, chiuso a destra

Allo stesso modo, sia b ∈ R, l’insieme: {x ∈ R|x < b} = (−∞, b) è un insieme non limitato inferiormente, non ha, cioè, un estremo inferiore b in questo caso è estremo superiore dell’intervallo aperto (−∞, b)

Valore Assoluto di un Numero Reale 1/2

Si chiama valore assoluto del numero x ∈ R, e si denota con |x| : |x| =  x se x ≥ 0 −x se x < 0 Evidentemente: |x| ≥ 0 ∀x ∈ R (1) |x| = 0 ⇐⇒ x = 0 (2) |x| = | − x| ∀x ∈ R (3) |x| ≥ x ∀x ∈ R (4)

Dalle Eqs. (3,4) segue:

|x| = | − x| ≥ −x ∀x ∈ R ⇐⇒ x ≥ −|x| ∀x ∈ R e quindi

Valore Assoluto di un Numero Reale 2/2

Si può verificare che:

∀y ≥ 0, |x| ≤ y ⇐⇒ −y ≤ x ≤ y (6)

Dimostrazione.

Per la (5), da |x | ≤ y ⇒ −y ≤ x ≤ y , infatti, da una parte x ≤ |x | ≤ y , dall’altra x ≥ −|x | ≥ −y

Per y ≥ 0, è evidente che −y ≤ x ≤ y ⇒ |x | ≤ y se x ≥ 0

Se x < 0, |x | = −x e basta osservare che −y ≤ x ⇒ −x ≤ y ed essendo −x = |x| ⇒ |x| ≤ y

Disuguaglianza Triangolare 1/2

Si può verificare la cosiddettaDisuguaglianza Triangolare:

|x + y | ≤ |x| + |y | ∀x, y ∈ R (7)

Dimostrazione.

Per la (5), si ha

−|x| ≤x ≤ |x| −|y | ≤y ≤ |y |

Per cui −(|x | + |y |) ≤ x + y ≤ (|x | + |y |) che, per l’Eq. (6), implica |x + y | ≤ |x| + |y |

Disuguaglianza Triangolare 2/2

Si può verificare che:

|x + y | ≤ |x| + |y | ⇐⇒ |x − y | ≥ ||x| − |y || ∀x, y ∈ R (8)

Dimostrazione.

Dalla disuguaglianza triangolare si ha:

|(x − y ) + y | ≤ |x − y | + |y | ⇒ |x| ≤ |x − y | + |y | ⇒ |x − y | ≥ |x| − |y | Vale a dire |x − y | ≥ |x | − |y | ∀x , y ∈ R

Scambiando le variabili:

|x −y | = |y −x| ≥ |y |−|x| = −(|x|−|y |) ⇐⇒ |x|−|y | ≥ −|x −y | ∀x, y ∈ R Per cui −|x − y | ≤ |x | − |y | ≤ |x − y | da cui, per l’eq. (5),

||x| − |y || ≤ |x − y | ∀x, y ∈ R

Reciprocamente, dalla Eq.(8) si ha |(x + y ) − y | ≥ ||x + y | − |y || ⇐⇒ |x| ≥ ||x + y | − |y || ≥ |x + y | − |y | ⇐⇒ |x| + |y | ≥ |x + y | ∀x, y ∈ R e quindi l’equivalenza

Esercizi

Esercizi: 1 _{0.3¯2 − 5.3 + x = 0 [x = 4.9¯7]} 2 x + 4.352 > 2.3¯1 [x > −2.041] 3 |x − 3.4¯_{6| = 2.534 [x} 1=0.932, x2=6.001] 4 _{|x − 3.05¯2| ≥ 1.3 [x ≤ 1.75¯2 ∪ x ≥ 4.35¯2]} 5 _{3.3¯2 − x > 2.1 [x < 1.¯2]}

Fine Lezione 1!