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Frazione generatrice di un numero decimale periodico

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Academic year: 2021

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(1)

Frazione generatrice di un numero decimale periodico

Consideriamo un numero decimale periodico x

1 2 n 1 2 m

xq, a a ...a p p ...p (1)

in cui:

o q è la PARTE INTERA

o a1a2…ansono le n cifre dell’ANTIPERIODO o p1p2…pm sono le m cifre del PERIODO.

Moltiplichiamo entrambi i membri dell’uguaglianza (1) per 10 :n

1 2 1 2 1 2 1 2

10n x 10nq, a a ...a p p ...pn m qa a ...a ,p p ...pn m (2)

e poi anche per 10n m :

n m n m

1 2 n 1 2 m 1 2 n 1 2 m 1 2 m

10  x 10 q, a a ...a p p ...p qa a ...a p p ...p ,p p ...p (3)

Quindi eseguiamo la sottrazione tra il 1° termine delle uguaglianze (3) e (2) e pure quella tra i termini a destra delle uguaglianze:

 

n m n n m n

10  x 10 x  10 10 x (4)

1 2 n 1 2 m 1 2 m 1 2 n 1 2 m 1 2 n 1 2 m 1 2 n

qa a ...a p p ...p ,p p ...p qa a ...a ,p p ...p qa a ...a p p ...p qa a ...a (5)

Pertanto uguagliando le differenze ottenute (4) e (5) si ha:

10n m10n

 x qa a ...a p p ...p1 2 n 1 2 m qa a ...a1 2 n (6) e, dividendo il 1° ed il 2° membro della (6) per

10n m 10n

, si ottiene infine:

1 2 n 1 2 m 1 2 n

n m n

qa a ...a p p ...p qa a ...a

x 10 10

 

(7)

Il secondo termine della (7) è detto FRAZIONE GENERATRICE del numero decimale x.

ESEMPIO:

Supponiamo di voler determinare la frazione generatrice del numero x 1,23 . Avremo 10 x 12,3  e 100 x 123,3  .

Sottraendo membro a membro le due uguaglianze

100 10 x 123,3 12,3 123 12

     e quindi:

123 12 111 37

x 100 10 90 30

   

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