prestazione di diverse tipologie di controllori predittivi per processi lineari multivariabili vincolati

Prestazione di Diverse Tipologie di Controllori Predittivi per

Processi Lineari Multivariabili Vincolati

Francesco Fiorenzani

Universit`a di Pisa

Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria dell’Automazione

Relatori: Ch.mo Prof. Ing. M. Innocenti, Ch.mo Prof. Ing. G. Pannocchia

Obiettivi del Lavoro di Tesi

Obiettivi della tesi

1 _{Introduzione e approfondimento sulModel Predictive Control}

2 _{Formulazione di diverse tipologie dicontrollori predittivi}

3 Realizzazione di un modello di simulazione in anello chiuso con MPC in

Simulink

4 _{Analisi delleprestazioni tramite simulazioni}

5 Calcolo della FdT dei controllori predittivi nel caso_{unconstrained} e analisi

Sommario della Presentazione

Indice

Model Predictive Control Elementi Essenziali del MPC Formulazioni di MPC Simulatore

MPC unconstrained Simulazioni Conclusioni

Model Predictive Control

MODEL: `e richiesto un modello del processo da controllare per prevedere il comportamento futuro del processo stesso

PREDICTIVE: l’ottimizzazione `e basata sull’evoluzione futura del processo (predetta tramite il modello)

Filosofia del Receding Horizon

Al tempok si risolve un problema

dicontrollo ottimosu un orizzonte

futuro diNpassi

minimizza f (|y − r |,u) soggetto ai vincoli

sul modello sulle MV

sulle variazioni delle MV sulle CV

Si applica solamente la prima azione di controllo ottimauk

Ottenute nuove misure, si ripete l’ottimizzazione al tempok+1

Vantaggio dell’ottimizzazione in linea: feedback per compensare errori nel

Vantaggi del Controllo Predittivo

Vantaggi del Controllo Predittivo

risolve problemi di controllo per i quali la sintesi (off-line) risulta difficile se non addirittura impossibile

risolve problemi di controlloMIMOnon quadrati, vincolati con ritardi finiti

e/o a fase non minimaCV

Svantaggi del Controllo Predittivo

Svantaggi del Controllo Predittivo

necessit`a di dover calcolare le azioni di controlloin lineatramite la

risuluzione di un problema di ottimo vincolato

richiede tempo per diventarefamiliareal personale tecnico

Struttura Controllore Predittivo

I Vincoli

Hard Constraintnon possono essere violati

umax, umin, ∆umax, ∆umin

Soft Constraintle violazioni sull’orizzonte di predizione sono penalizzate all’interno della funzione obiettivo

CV non controllate al set-point

CV non controllate al set-point:

l’utente ha la possibilit`a dinonassegnare un valore diset-point ad una o

pi`u uscite lasciandoleliberedi assumere un qualsiasi valore.

Ci`o pu`o essere utile in quei contesti in cui non `e necessario che una CV

raggiunga uno specifico set-point, ma piuttosto assuma valori all’interno di unrangedefinibile tramite i vincoli come ad esempio nelcontrollo in temperatura.

Analisi di Stabilit`

a Senza Vincoli

Nel casouncostrained`e possibile esprimere l’ingresso di controllo come vk= K1wk+ K2vk−1 Dove wk= xk− xs, vk= uk− usponendo ξk=  wk vk−1 

la cui evoluzione `e data da

ξk+1=  A 0 0 0  ξk+  B I  vk Sostituendo si ottiene ξk+1=   A 0 0 0  +  B I   K1 K2   ξk=  A+ BK1 BK2 K1 K2  ξk= Aξk

Il sistema in anello chiuso `e stabilese e solose gli autovalori di A sono interni al cerchio unitario. Tale condizione dipende dalle matrici dei pesi e dalla lunghezzaNedLdegli orizzonti di predizione e controllo.

Feed Forward e MV bloccate

Feed Forward Control: inclusione degli effetti del disturbo misurato nelle predizioni

xk+1=  A 0 0 Adm  | {z } A xk+  B 0  | {z } B uk+  Bd 0  | {z } Bd dk|k+  0 Bdm  | {z } Bdm dkm yk= C Cdm  | {z } C xk+ Dddk|k+ Ddmdkm

nell’ipotesi che il disturbo venga misuratoprimache entri nel sistema

MV bloccate:

`e possibile in qualsiasi istantenon considerareai fini del controllouna o pi`u MV.

Ci`olimita i gradi di libert`a del controllorema pu`o consentire il proseguio del lavoro anche nei casi in cui uno o pi`u attuatori dell’impianto non siano in funzione

Formulazioni MPC

Le tipologie di controllo predittivo analizzate sono

MPC con i moduli diTarget Calculatione diDynamic Optimization

MPC senza il modulo diTarget Calculation

MPC con TC e DO: Target Calculation

Lafunzione obiettivo relativa alTarget Calculation

min us,ǫs 1 2 h (us− us,old)TRs(us− us,old) + ǫTsQsǫs i soggetta a xs= Axs+ Bus+ Bddk+ Bdmdkm−→stazionariet`a ¯

yc= Hy[Cxs+ Dddk] −→errore nullo al set-point

umin≤ us≤ umax −→valori delle MV

−∆umin≤ us− us,old≤ ∆umax −→variazioni delle MV

ymin− ǫs≤ Cxs+ Dddk≤ ymax+ ǫs−→valori delle CV

MPC con TC e DO: TC infeasibility

Lafunzione obiettivo viene cos`ı riformulata min us,ǫs,zs 1 2 h (us− us,old)TRs(us− us,old) + ǫTsQsǫs+ zsTPszs i soggetta a xs= Axs+ Bus+ Bddk+ Bdmdkm ¯ yc = Hy[Cxs+ Dddk] + zs umin≤ us≤ umax Huus,old= Huus

−∆umin≤ us− us,old

MPC con TC e DO: Funzione Obiettivo Dynamic Optimization

min {vj,ǫj}N−1_j=0 (_N−1 X j=0 wjTQxwj+ vjTRuvj+ ∆vjTS∆vj+ ǫTjW ǫj ) + wNTPwN soggetta a wj+1= Awj+ Bvj umin− us≤ vj≤ umin− us

−∆umin≤ ∆vj≤ ∆umax

ymin− ys− ǫ ≤ Cwj≤ ymax− ys+ ǫ

dove

MPC senza TC: Funzione Obiettivo

Lafunzione obiettivo del controllo predittivosenza Target Calculation risulta

min {uj,ǫj} k+N−1 j=k (k+N−1 X j=k h yj− yTc  Qy  yj− yTc  + ∆ujTS∆uj+ ǫTj W ǫj i) soggetta a xj+1= Axj+ Buj+ Bddk umin≤ uj≤ umax

−∆umin≤ ∆uj≤ ∆umax

MPC con TC e DO incorporati: Funzione Obiettivo

I target di stazionario nel controllo predittivo conTarget Calculation e Dynamic Optimization incorporati soddisfano  A − In B 0 HyC 0 −I  | {z } M   xs us ys   | {z } Zs =  −Bddk− Bdmdkm −HyDddk  | {z } G −→ Zs= M†G | {z } Ψ + M⊥ |{z} Φ θ

Si pu`o quindi scrivere xs= Ψx+ Φxθ, us= Ψu+ Φuθ, ys= Ψy+ Φyθ. Lafunzione obiettivorisulta

min n uj ,ǫo k+N−1_j=k ,θ (N+k−1 X j=k h (xj− xs)TQx(xj− xs) + (uj− us)TRu(uj− us) + ǫTj W ǫj i + (zc− zs)TPs(zc− zs) + (xN− xs)TP(xN− xs) )

soggetta ai vincoli seguenti

xj+1= Axj+ Buj+ Bddk

Schema di Controllo

MODEL PREDICTIVE CONTROL

IMPIANTO dkm dknm uk yk GESTIONE OUTPUT yk FromUtente ABILITAZIONE MPC Abilita Tuning Riferimento <Tuning> <Riferimento> uk uk dkm dkm dkm FromUtente FromUtente dknm yk yk yk Abilitazione

Inizializza.m

Tspasso di campionamento in minuti

Nlunghezza dell’orizzonte di predizione in campioni

lper definire l’orizzonte di controllo.

MPCtypeper indicare il tipo di algoritmo MPC da utilizzare modello lineare discretizzato dell’impianto: A,B,C,D Bd,Ddmodello del disturbo non misurato

modello lineare discretizzato del disturbo misurato:Adm,Bdm,Cdm,Ddm LxeLdguadagno dell’osservatore

Specifica dei vincoliumax,umin,∆umax,∆umin,ymax,ymin Pesirelativi alle funzioni obiettivo

Analisi del Controllo Predittivo in Assenza di Vincoli

Nel casouncostrained`e possibile ricavare la FdT dei controllori predittivi in forma di stato: K= ss(A,B,C,D)

L’obiettivo `e duplice

Effettuare untuning veloceper capire il posizionamento dei poli del sistema in ciclo chiuso al variare dei pesi

Effettuare un’analisi di robustezzache pu`o essere articolata in due modi diversi Se si ha incertezza strutturata, attraverso la verifica del posizionamento dei poli in ciclo chiuso del sistema, nei casi in cui i parametri non conosciuti assumano modulo massimo.

Attraverso criteri conservativi come ilSmall Gain Theorem

∆ W Yc _{K PLANT} uk uk yc yk

Tuning S : MPC

=1

Tuning Q

: MPC

=1

Tuning W : MPC

=1

Vincoli sul valore delle MV

Vincoli sulle variazioni delle MV

CV senza set-point

Conclusioni

I principali risultati dellavoro di tesi sono stati

la formulazione di diverse tipologie dicontrollori predittivi

la realizzazione di unoschema simulink per l’analisi in simulazione di

diversi algoritmi MPC

la realizzazione di Matlab function per il calcolo delleFdT dei controllori