5 IL METODO DI SIMULAZIONE DIRETTA DI MONTE CARLO (DSMC) 5

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5 IL METODO DI SIMULAZIONE DIRETTA DI

MONTE CARLO (DSMC)

5.1 Introduzione

Il metodo di simulazione diretta di Monte Carlo (DSMC) formulato da Bird nel 1970 diede soluzioni pratiche a importanti problemi ingegneristici di flussi rarefatti. In seguito, fu dimostrato che erano possibili soluzioni a flussi molto complessi (come quelli che includono reazioni chimiche, alti gradi di non equilibrio molecolari e ionizzazione).

Nel 1970, l’interesse per fenomeni di gas non all’equilibrio fu stimolato dal bisogno pressante di valutare l’aerodinamica di veicoli spaziali durante il rientro. Le soluzioni ottenute usando i metodi di Navier-Stokes si dimostrarono inadeguati, e le soluzioni pratiche alla equazione di governo di Boltzmann erano completamente al di fuori dell’ambito di metodi analitici. Il nuovo schema di Bird baipassò la soluzione diretta di questa equazione con una simulazione probabilistica, che fu ottenuta calcolando i moti di un grande numero di molecole simulatrici. Inizialmente il numero era di centinaia di migliaia, ma con i computer di oggi può essere di 106. Queste molecole simulatrici si muovono e collidono con ogni altra entro lo spazio fisico in modo realistico.

Il metodo DSMC di Bird aveva un vantaggio numerico molto significativo sugli altri schemi rivali e per questo motivo fu possibile applicarlo a flussi molto complessi, ottenendo buone stime delle proprietà del flusso. Esso poteva anche essere esteso a flussi multispecie con reazioni chimiche, il che era estremamente significativo poiché i flussi ad alta temperatura intorno ai veicoli spaziali di

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rientro inevitabilmente includevano dissociazione e altri effetti chimici che non dovevano essere ignorati.

Ma anche Bird non fu senza critiche: la più importante di queste, la sua incapacità di fornire una dimostrazione formale che i suoi risultati numerici erano equivalenti a quelli che sarebbero stati ottenuti dall’equazione di Boltzmann; questo fu lasciato agli sperimentali.

Alla fine nel 1990 fu pubblicata una dimostrazione analitica (Wagner, W.), ma fu limitata solo a una rappresentazione semplificata delle molecole di gas, e non è possibile stabilire l’accuratezza del metodo in situazioni complesse dove, per esempio, si hanno reazioni.

5.2 Il metodo DSMC

Il solo modo preciso di prevedere i flussi che sono in non-equilibrio termodinamico e/o rarefatti (per esempio, quando il numero di Knudsen è dell’ordine di 0.001 o più grande ) è usare un metodo basato sulle ipotesi dell’equazione di Boltzmann.

Solo quando il numero di Knudsen è molto piccolo è lecito oltrepassare la formulazione dell’equazione di Boltzmann e usare invece le equazioni di Navier-Stokes.

Una possibile alternativa alla soluzione diretta dell’equazione di Boltzmann è un gruppo di metodi di simulazione numerica. Questi metodi riconoscono la particolare natura del gas e lo descrivono in termini di informazione (valori di velocità, posizione, energia, ecc.) su un insieme di particelle campione (o

simulatrici) che si muovono attraverso il dominio computazionale. Queste

particelle campione imitano bene l’avanzamento delle molecole di gas nel flusso reale. Poiché, anche nei casi di gas molto rarefatti di interesse ingegneristico, il campo di flusso contiene un enorme numero di molecole, siamo obbligati a usare un numero relativamente piccolo di simulatrici per rappresentare le particelle reali quando esse si muovono attraverso il dominio fisico di interesse.

Simulazioni di questo tipo hanno dimostrato di avere enormi vantaggi su qualsiasi tentativo di soluzione diretta dell’equazione di Boltzmann in quanto essi

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Capitolo 5 - IL METODO DI SIMULAZIONE DIRETTA DI MONTE CARLO (DSMC)

possono risolvere problemi complicati e sono riducibili a una modellazione realistica del complesso scambio di energia molecolare e dei processi chimici.

Un metodo di simulazione delle particelle che si è dimostrato particolarmente efficace è il DSMC di Bird. Nel DSMC il movimento delle particelle è disaccoppiato dalle loro collisioni avanzando ognuno di questi processi alternativamente e indipendentemente su piccoli, uguali incrementi di tempo. La grandezza del intervallo di tempo deve essere scelta significativamente più piccola del tempo di collisione medio locale.

I candidati per le collisioni intermolecolari sono scelti dalle particelle vicine in modo probabilistico confrontando un numero “random” con la probabilità di collisione di ogni coppia. Il risultato di ogni collisione deve essere determinato usando modelli appropriati, e sebbene le proprietà delle particelle dopo ogni collisione possano essere derivate deterministicamente, quasi sempre essi sono ottenuti usando metodi statistici. Questi metodi tipicamente definiscono funzioni di densità di probabilità dalle quali le proprietà di postcollisione (componenti di

velocità, energia interna, ecc) possono essere determinate con selezione “random”. Queste funzioni sono calcolate in anticipo per ogni fenomeno, e le

proprietà di postcollisione sono ottenute da esse con selezione random. A elevate entalpie per le coppie di particelle si devono considerare anche possibili reazioni

chimiche o anche ionizzazione a ogni collisione.

I modelli usati nel DSMC variano in complessità dal “simple hard spheres” e “inverse power law representation” ai potenziali di Morse e Lennard-Jones (attrazione a lungo “range” come pure repulsione a corto “range”); ma questi ultimi due impongono un calcolo complessivo eccessivo perché il loro uso sia giustificabile in un contesto ingegneristico.

Estensioni alternative ingegnose del modello “hard spere” sono stati proposti e si sono rivelate molto buone a riprodurre il comportamento macroscopico di un gas e rimangono tuttora computazionalmente efficienti:

il modello Variable Hard Sphere (VHS); introdotto da Bird. Questo modello assume una interazione a sfera dura tra le particelle, ma il loro diametro varia con l’energia di collisione secondo una certa legge di potenza. L’esponente è calcolato uguagliando la viscosità del gas simulato a quella del suo corrispondente reale.

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Il modello Variable Soft Sphere (VSS); una variante è stata ideata recentemente da Koura e Matsumoto, la quale è ora usata estensivamente. Questo modello aggiunge un secondo grado di libertà introducendo una dispersione anisotropa di postcollisione. Il secondo parametro libero del modello VSS è preso in modo che esso riproduce correttamente anche il coefficiente di diffusione del gas.

Per particelle poliatomiche deve essere considerato il trasferimento di

energia ai e dai modi interni. Il modello più comune è un modello stocastico

ideato da Borgnakke e Larsen, che si è dimostrato molto soddisfacente nel descrivere la distribuzione macroscopica di energia per collisioni senza reazioni, anche se il trattamento di collisioni singole non è rigoroso.

Per collisioni che includono reazioni chimiche emerge un quadro molto diverso. I metodi correnti ampiamente usati nei codici DSMC per modellare il rilascio termico di energia interna dovuto alle reazioni non sono rigorosamente corretti specialmente se il flusso è rarefatto. Nuovi modelli basati su concetti di entropia massima sono stati proposti nel tentativo di superare queste difficoltà [vedi Rif.10].

Gli errori che derivano dall’uso di modelli di collisione approssimati per le reazioni, in particolare quelli che impiegano distribuzioni di equilibrio, non sono stati quantificati.

C’è così una necessità pressante di eseguire esperimenti sufficientemente accurati per valutare il peso di questi imperfezioni nel contesto di applicazioni pratiche come il volo di rientro.

Come può essere provato che il metodo DSMC fornisce risposte precise ai problemi di flusso reali? Confronti con corrispondenti soluzioni alla equazione di Boltzmann non sono una alternativa poiché questi non esistono. Le soluzioni di Navier-Stokes sono riconosciute come inaccurate nel intervallo del numero di Knudsen di interesse. Così il lavoro deve essere affrontato confrontando le soluzioni con prove sperimentali affidabili. Questo presuppone che sia le soluzioni numeriche che gli esperimenti siano eseguiti accuratamente.

Il metodo DSMC richiede abilità a implementare specialmente in termini di

definizione della griglia e del “time step”. Inoltre è spesso difficile ottenere una

soluzione adeguata all’interno di strati limiti in problemi complessi o decidere se una soluzione è correttamente risolta temporalmente e spazialmente. Per questo,

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quando possibile, soluzioni indipendenti allo stesso problema dovrebbero essere tentate per verificare i risultati.

Dal punto di vista sperimentale ci sono severe difficoltà di misura nell’ottenere dati di convalida di qualità per flussi a bassa densità.

Vediamo, come sommario, una gerarchia di livelli di complessità delle interazioni molecolari che sono coinvolte.

- Al livello più semplice abbiamo flussi che coinvolgono particelle monoatomiche, in cui solo l’energia traslazionale viene scambiata.

- Aumentando la complessità ci sono i flussi poliatomici in cui le collisioni sono

anelastiche e viene scambiata anche l’energia interna.

- Al livello successivo ci sono i flussi chimicamente reagenti in cui c’è il requisito di modellare sia la cinetica di reazione sia un nuovo set di complessi processi di scambio di energia interna che si svolgono assieme alle reazioni. - Al più alto livello abbiamo i flussi di plasma. Il livello di ionizzazione nei

fluidi che deve essere rappresentato può variare da insignificante a elevato. In tutti questi flussi, eccetto quelli per i quali può essere fatta l’approssimazione di diffusione bipolare, si deve tenere conto delle forze di Coulomb in aggiunta a tutti gli altri effetti che sono stati già elencati. Questo significa che l’influenza di collisioni a più lungo “range” deve essere inclusa nei calcoli e, come minimo, un risolutore di Poisson deve essere aggiunto al codice DSMC. Ovviamente questo aumenta in modo significativo la complessità.

5.3 Effetti di gas reale per flussi non reagenti

In realtà tutti i dati di convalida per il DSMC fin qui disponibili sono per flussi non reagenti.

Gli studi che sono stati fatti entro questa categoria generalmente possono essere divisi in 2 aree:

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Dove le prove sono ideate per stabilire che il metodo DSMC dà soluzioni legittime equivalenti a quelle che potrebbero essere ottenute usando l’equazione di Boltzmann.

Dove le prove sono eseguite per valutare l’accuratezza dei vari modelli molecolari approssimati (potenziale intermolecolare e scambio di energia interna) usati nei calcoli del DSMC.

Nella metà degli anni 70 un certo numero gallerie del vento per flussi a bassa densità e elevati numeri di Mach sono state costruite, e questi fornirono un utile mezzo per fare degli esperimenti agli appropriati numeri di Knudsen. Misure dirette di pressione superficiale e di trasferimento di calore furono possibili, ma grandi e incerte correzioni dovevano essere applicati a queste misure a causa degli

effetti di rarefazione.

Quindi l’accuratezza di questi dati era generalmente inaccettabile al fine di convalidare i codici. Tuttavia un nuovo metodo di misura, la tecnica di

fluorescenza della corrente dell’elettrone, era stata recentemente sviluppata, la

quale si dimostrò molto valida [vedi Ref.11].

In questo metodo un fascio di elettroni collimati viene acceso attraverso il gas in prova per produrre un filo di luce dal quale la densità e la temperatura possono essere dedotte usando le tecniche fotometriche e spettrometriche, rispettivamente. Il metodo è non intrusivo ed è stato usato per ottenere dati di sufficiente precisione in esperimenti in cui si vuole determinare la struttura di onde d’urto o ottenere profili di densità per lo strato limite di una piastra piana in un flusso ipersonico rarefatto.

Sebbene concettualmente tutte le componenti di temperatura possono essere derivate dalla fluorescenza, il valore rotazionale per un gas biatomico è il più semplice da ottenere, seguito in ordine dalle componenti vibrazionali e

traslazionali.

Altre tecniche ottiche non intrusive sono ora possibili per la diagnosi del flusso. Varie manifestazioni del metodo LIF (laser-induced fluorescence) sono le più sviluppate e ampiamente usate negli esperimenti di aerodinamica. Queste tecniche contano sulla presenza di certe specie specifiche, per esempio, ossido di azoto (NO). In flussi a elevata entalpia l’ossido di azoto è un prodotto di reazione transitorio, ed esso è presente anche durante la combustione. Le varie tecniche LIF sono generalmente inadatte per convalidare i codici di flussi non reagenti. Inoltre, siccome c’è qualche dubbio circa la precisione assoluta della tecnica e

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poiché esso non è ben adatto a flussi a bassa densità, nessun tentativo finora sembra essere stato fatto per usare essa per convalidare i codici DSMC.

5.4 Il metodo DSMC e il programma DS2G

Il lavoro computazionale associato alla simulazione fisica diretta diventa possibile quando la densità del gas è sufficientemente bassa.

Esso inoltre diventa necessario in queste condizioni poiché le equazioni di Navier-Stokes non forniscono un modello valido per i gas rarefatti, e i metodi CFD (Fluido Dinamica Computazionale) convenzionali sono incapaci di far fronte al grande numero di variabili indipendenti che sono coinvolte in applicazioni dell’equazione di Boltzmann ai reali problemi multi-dimensionali.

Le equazioni di Navier-Stokes sono valide quando il numero di Knudsen è molto piccolo in confronto all’unità, e il limite quando il numero di Knudsen tende a zero, può essere identificato con il limite non viscoso che è modellato dalle equazioni di Eulero.

Il limite opposto quando il numero di Knudsen tende all’infinito è il limite di flusso a molecola libera o non collisionale in cui le collisioni intermolecolari possono essere trascurate.

Il regime di flusso tra molecola libera e il limite di validità delle equazioni di Navier-Stokes è generalmente riferito come regime di flusso di transizione.

Un numero di Knudsen di 0.1 è stato indicato tradizionalmente come il limite tra i regimi continuo e transitorio, ma la dimensione caratteristica di campi di flusso complessi può essere specificata in molti modi diversi e l'uso di un numero di Knudsen totale può indurre in errore.

Le equazioni di conservazione della fluidodinamica sono valide per tutti i regimi di flusso, ma le equazioni di Navier-Stokes dipendono anche dalla teoria di Chapman-Enskog per le tensioni di taglio, i flussi di calore e le velocità di diffusione come funzioni lineari della velocità, temperatura e gradienti di concentrazione. La teoria di Chapman-Enskog assume che la distribuzione di velocità è una piccola perturbazione della distribuzione di equilibrio o Maxwelliana.

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La formulazione della distribuzione di Chapmann-Enskog considera numeri

di Knudsen locali che sono i rapporti dei cammini liberi medi locali con i fattori di

scala dei gradienti di velocità e di temperatura.

Si è trovato che gli errori diventano significativi quando questi numeri di Knudsen locali superano 0.1. I termini delle proprietà di trasporto diventano zero in un flusso isoentropico e si potrebbe pensare che l’equazione di Eulero dia risultati corretti a tutti i numeri di Knudsen.

Tuttavia, quando la densità diminuisce, il tasso di collisione nel gas alla fine diventa troppo bassa per mantenere l’isotropia del tensore di pressione. Un

parametro di “breakdown” può quindi essere definito come il rapporto del tempo

di scala della densità che segue l’elemento di fluido con il tasso di collisione media. Per un flusso stazionario, questo parametro può essere messo in relazione al numero di Knudsen locale basato sul fattore di scala della densità.

Sebbene fu dimostrato molti anni fa che l’espansione di Chapmann-Enskog per la funzione distribuzione di velocità non è uniformemente valida, tentativi vengono ancora fatti per estendere l’intervallo di validità delle equazioni di Navier-Stokes a densità più basse.

Tuttavia, gli effetti di bassa densità come lo sviluppo di un tensore di pressione anisotropo sono di carattere fondamentale ed è improbabile che molti progressi vengano fatti per flussi stazionari che non siano unidimensionali.

In aggiunta, effetti come la diffusione termica e di pressione diventano più prominenti a basse densità e queste non sono generalmente incluse nelle formulazioni di Navier-Stokes.

E’ certo che le necessarie estensioni aumenteranno moltissimo la difficoltà dell’approccio continuo.

D’altra parte, una volta che la densità diventa sufficientemente bassa perché la soluzione DSMC sia computazionalmente possibile, esso è un metodo molto più facile da applicare.

Le ragioni principali di questo sono le seguenti:

- Il calcolo è sempre non stazionario con il tempo fisico come una delle variabili principali nella simulazione. Un flusso stazionario è ottenuto come condizione stazionaria a lungo periodo del flusso non stazionario. Il metodo non richiede una approssimazione iniziale del campo di flusso e non c’è una procedura iterativa per la convergenza a una soluzione finale.

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- Effetti aggiuntivi, così come la chimica di non-equilibrio, possono essere inclusi semplicemente aumentando la complessità del modello molecolare ed il fatto che questi possono cambiare la natura basilare delle equazioni del continuo non ha nessuna conseguenza. La più importante, non ci sono instabilità numeriche.

Il disaccoppiamento del moto molecolare e delle collisioni molecolari su piccoli intervalli di tempo e la divisione del campo di flusso in piccole celle sono le ipotesi computazionali chiave associate con il metodo DSMC.

L’intervallo di tempo deve essere molto più piccolo del tempo di collisione medio e una dimensione di cella tipica deve essere più piccola del cammino libero medio locale. La dimensione della cella deve essere più piccola anche della distanza in cui c’è una significativa variazione delle proprietà del flusso. Questa seconda condizione detterà la dimensione della cella in flussi ad elevato numero di Knudsen.

L’ intervallo di tempo è preso tale che una tipica molecola si muove di circa un terzo della dimensione della cella a ogni intervallo di tempo. Questo soddisfa il requisito di cui sopra per la dimensione del intervallo di tempo in flussi stazionari a bassi numeri di Knudsen ed è conservativo per gas in movimento e elevati numeri di Knudsen.

Le conseguenze statistiche della sostituzione del numero estremamente grande di molecole reali con un numero molto più piccolo di molecole simulate devono sempre essere ricordate.

La dispersione statistica generalmente decresce come la radice quadrata della dimensione del campione e, per ottenere una deviazione standard sufficientemente piccola, il programma impiega o medie temporali per flussi stazionari o medie di insieme per flussi non stazionari. Il problema statistico più serio si ha quando un effetto significativo nel gas reale è una conseguenza delle poche molecole verso le estremità della distribuzione [Vedi Rif.1]

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5.5 Lo scopo del programma DS2G

5.5.1 La geometria

Il programma DS2G ha un sistema flessibile per specificare la geometria del flusso. Questo permette di applicare il programma ad una grande varietà di flussi che vanno dal flusso su corpi aerodinamici e flussi di plume del razzo attraverso flussi interni in esperimenti a elevato vuoto. Il flusso può essere o un flusso bidimensionale piano o un flusso assialsimmetrico. Ci possono essere componenti di velocità nella direzione normale al piano o, nel caso di flussi assialsimmetrici, componenti di velocità circonferenziali. Tuttavia, non devono esserci gradienti di flusso in queste direzioni. Le proprietà medie del flusso possono essere campionate se il flusso è tale che esso diventa stazionario dopo tempi lunghi. Alternativamente, una media di insieme può essere fatta su molteplici simulazioni di un flusso non stazionario.

5.5.2 Il modello del gas

Il programma impiega i modelli fisici del gas che sono stati descritti e convalidati da Bird (1994). Il gas può essere una miscela dei modelli VHS (Variable Hard Sphere) o VSS (Variabile Soft Sphere) e le sezioni trasversali, l'indice viscosità-temperatura (che determina il modo in cui la sezione trasversale varia con la velocità relativa) ed il VSS “scattering parameter” possono essere specificati separatamente per ogni combinazione di specie molecolare. Il modello classico di Larsen-Borgnakke viene impiegato per i gradi di libertà rotazionali, mentre il modello quantistico è usato per i modi vibrazionali. Il modello di reazione chimica calcola le sezioni trasversali reattive che sono compatibili con le costanti di velocità misurate.

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5.5.3 Interazioni gas-superficie

Il classico diffuse reflection model con completo adattamento del gas alla temperatura superficiale è appropriato per superfici ingegneristiche che non sono state esposte per un lungo periodo a vuoto estremamente elevato. L’altro classico modello di riflessione speculare può essere specificato per il caso artificiale di completo scorrimento e non trasferimento di energia alla superficie.

5.5.4 Descrizione generale del programma DS2G

Per l’opzione bidimensionale il flusso è nel piano x-y. Alternativamente in G2, l'asse di un flusso assialsimmetrico giace lungo l'asse x e la coordinata y è un raggio che parte da questo asse.

Il campo di flusso è diviso in un certo numero di regioni con quattro lati, i quattro lati essendo numerati da 1 a 4 in senso orario come mostrato in Fig.5.1.

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I lati 1 e 3 di ogni regione possono essere curvi, ma non devono essere rientranti. Questi lati sono divisi in un certo numero di segmenti di cella o elementi e il numero di elementi su ogni lato deve essere lo stesso.

La struttura a celle è definita unendo i punti corrispondenti su ogni lato con linee rette e poi dividendo ognuna di queste linee nello stesso numero di elementi di cella. I lati 2 e 4 devono quindi essere diritti.

Ci sono un numero di opzioni connesse al modo in cui queste geometria è definita, e le celle possono essere completamente irregolari, finchè nessuna delle linee di unione si interseca.

Le linee delle celle nella direzione dei lati 1 e 3 sono indicate come “righe” e linee nella direzione dei lati 2 e 4 come “colonne.” La numerazione delle celle è lungo righe successive, cominciando dalla cella all'intersezione dei lati 1 e 2. Le celle vengono usate per il campionamento dell'informazione sul flusso e per determinare il tasso di collisione.

L’orientazione di una regione rispetto agli assi x e y è completamente arbitraria e ogni faccia di una regione può interfacciare con più di una delle altre regioni. Un tipico insieme di regioni viene mostrato in Fig.5.2.

Fig.5.2 Tipico arrangiamento delle regioni

I files impiegati dal programma DS2G e la loro interazione (che porta a capire come questo software lavora) sono schematizzati in Fig.5.3.

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Fig.5.3: Files associati con il programma DS2G (files ASCII nelle forme rettangolari e files binari

nelle forme arrotondate).

Infine, le variabili standard del flusso che vengono plottate - quando il calcolo è terminato - sono le seguenti:

X coordinata x (m)

Y coordinata y o, per flussi assialsimmetrici, il raggio (m) N number density (molecole/m³)

DN densità (Kg/m³)

U componente di velocità in direzione x o in direzione assiale. V componente di velocità in direzione y o in direzione radiale (m/s) TT temperatura traslazionale (K)

TR temperatura rotazionale (K) TV temperatura vibrazionale (K) T temperatura totale (K) M numero di Mach del flusso

MC numero medio di molecole simulate per cella

CTR rapporto del intervallo di tempo DTM con il tempo di collisione medio locale (1/ν)

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