CD06 - Progetto mediante il luogo delle radici

Ing. Cristian Secchi Tel. 0522 522235 e-mail: cristian.secchi@unimore.it http://www.dismi.unimo.it/Members/csecchi

CONTROLLI DIGITALI

Laurea Magistrale in Ingegneria Meccatronica

PROGETTO MEDIANTE IL

LUOGO DELLE RADICI

Proprietà dei sistemi in retroazione

L’equazione caratteristica del sistema chiuso in retroazione è:

Le radici sono i poli del sistema in retroazione

k G(s)

r + e u y

CD -- 3 Cristian Secchi

Esempio: Sistemi del primo ordine

k

r + e u y

-

Esempio: Sistemi del secondo ordine

k

r + e u y

-

δ

=1.25

ω

n=2

Radici reali distinte p₁=-1 p₂=-4

CD -- 5 Cristian Secchi

Proprietà dei sistemi in retroazione

k G(s)

r + e u y

-

•  I poli del sistema in retroazione sono le radici dell’equazione caratteristica:

•  I poli del sistema in retroazione variano al variare del guadagno k da 0 a 1

Luogo delle radici

Al variare del parametro k i poli del sistema chiuso in retroazione descrivono un luogo di punti. Tale luogo è detto Luogo delle radici.

Il luogo delle radici descrive il luogo delle radici di un sistema chiuso in retroazione unitaria al variare del guadagno.

Il luogo delle radici gode di svariate proprietà che ne consentono il tracciamento senza la necessità di un approfondito studio analitico dell’equazione caratteristica.

CD -- 7 Cristian Secchi

Luogo delle radici: proprietà

1.  Ha tanti rami quanti sono i poli del sistema in catena aperta

•  Ciascun polo, spostandosi, traccia un ramo

2.  Ogni ramo:

•  Parte (k=0)dalla posizione di un polo in catena aperta

•  Termina (k=1)nella posizione di uno zero del sistema o va all’infinito

3.  Il luogo è simmetrico rispetto all’asse reale

4.  Un punto dell’asse reale appartiene al luogo se lascia a destra un numero dispari di singolarità (poli e zeri)

5.  Ha un numero di asintoti pari alla differenza tra il numero di poli e il numero di zeri (grado relativo) del sistema in catena aperta.

Luogo delle radici: proprietà

6.  Gli asintoti formano una stella con centro nel punto dell’asse reale:

7.  Gli asintoti formano con l’asse reale gli angoli

Dove n e m rappresentano rispettivamente il numero di poli e il numero di zeri del sistema in catena aperta.

CD -- 9 Cristian Secchi

Luogo delle radici: tracciamento

Utilizzando le proprietà enunciate è possibile tracciare rapidamente il luogo delle radici. I passi da seguire sono:

1.  Tracciare sul piano di Gauss zeri e poli del sistema in catena aperta, contrassegnando i poli con una X e gli zeri con un O.

2.  Ricavare il numero di asintoti facendo la differenza tra il numero di poli e il numero di zeri del sistema in catena aperta.

3.  Trovare il punto di incrocio degli asintoti e gli angoli che formano con l'asse reale.

4.  Trovare i punti dell'asse reale che stanno sul luogo delle radici 5.  Tracciare il luogo delle radici tenendo conto che esso deve essere

simmetrico rispetto all'asse reale.

CD -- 11 Cristian Secchi

Matlab e il luogo delle radici

Matlab può essere utilizzato per tracciare il luogo delle radici. Il comando principale è rlocus.

Sintassi: >> rlocus(num,den)

Plotta il luogo delle radici del sistema:

k

r + e u y

-

Matlab e il luogo delle radici

Il comando può essere usato in diversi modi. Ad esempio:

>> rlocus(num,den,k1)

>>[r,g]=rlocus(num,den)

Plotta la posizione dei poli corrispondenti ad un guadagno statico k1.

Ritorna nella matrice r i valori dei poli del sistema e nel vettore g i rispettivi valori del guadagno k.

CD -- 13 Cristian Secchi

Matlab e il luogo delle radici

Per l’utilizzo del luogo delle radici nel progetto del controllore è molto utile il comando rlocfind

Sintassi: >> [k,poles]=rlocfind(num,den)

Dopo aver fatto una rlocus(num,den), la chiamata di questo comando ci consente di selezionare un polo sul luogo delle radici e ritorna in k il valore del guadagno statico corrispondente al polo selezionato e in poles il valore dei poli del sistema corispondenti al guadagno k.

E' molto utile per sapere quale guadagno dobbiamo mettere nel loop di controllo per avere i poli in una certa posizione.

Progetto di un controllore in retroazione

G(s) C(s)

+ -

r(t) e(t) u(t) y(t)

L(s)=C(s)G(s),

Guadagno d’anello

Dato un plant G(s) costruire un controllore C(s) in modo che l’uscita y(t) del sistema chiuso in retroazione:

CD -- 15 Cristian Secchi

Specifiche di controllo

•  Specifiche statiche: specifiche relative al massimo errore a regime tollerato. Si risolvono facendo in modo che il guadagno d’anello abbia un numero opportuno di poli nell’origine oppure un guadagno a regime minore di un certo valore dipendente dalla specifica. Sono indipendenti dal

comportamento dinamico del sistema.

•  Specifiche dinamiche: specifiche relative al comportamento dinamico della risposta, cioè il suo andamento prima di raggiungere il valore a regime. Tipicamente queste specifiche vengono date in termini di massima

sovraelongazione percentuale e di tempo di assestamento.

Utilizzo del luogo delle radici

Per i sistemi elementari oppure approssimabili come sistemi elementari (cioè in presenza di poli dominanti) risulta semplice identificare regioni del piano in cui devono stare i poli del sistema in retroazione per soddisfare le specifiche.

Il luogo delle radici può essere usato per studiare il comportamento dei poli del sistema chiuso in retroazione e per disegnare un controllore in modo da fare in modo che , per certi guadagni, il sistema chiuso in retroazione abbia tutti i poli all’interno della regione desiderata.

CD -- 17 Cristian Secchi

Passi per la costruzione del controllore

1.  Esaminare la G(s) per determinare l’ordine (eventualmente

trascurando poli recessivi) del sistema

2.  Tracciare sul piano di Gauss le regioni relative alle specifiche di controllo

3.  Vedere se con una semplice azione proporzionale (C(s)=k) è possibile soddisfare le specifiche dinamiche, cioè far entrare i poli del sistema chiuso in retroazione nella regione desiderata. 4.  Se non è possibile soddisfare le specifiche con un semplice

controllore proporzionale, costruire, per tentativi, un controllore tale che esista un k per cui i poli del sistema controllato stiano nelle regioni desiderata. Nel disegno di C(s) tenere conto anche delle specifiche statiche ed, eventualmente, aggiungere poli nell’origine. 5.  Fare una verifica simulativa del controllore ottenuto

Il Luogo delle radici nei sistemi digitali

•

 

Il luogo delle radici è definibile anche per sistemi di controllo digitali

•

 

E sempre necessario considerare anche la dinamica del ricostruttore

•

 

La stabilità del sistema si deteriora al crescere del periodo di campionamento

G(s) C(z)

+ -

r(t) e(k) u(k) y(t)

H₀(s) Schema di controllo digitale:

CD -- 19

Il Luogo delle radici nei sistemi digitali

Cristian Secchi

Come è possibile definire il guadagno d anello in un sistema dove compaiono funzioni di trasferimento continue e funzioni di trasferimento discrete?

G(s) C(z)

+ -

r(t) e(k) u(k) y(t)

H₀(s) G(s) C(z) + - r(t) y(k) H₀(s) Campionatore Fittizio

Il Luogo delle radici nei sistemi digitali

G(s) C(z) + - r(t) y(k) H0(s) u(k) Sistema Discreto C(z) + - r(t) y(k) HG(z) u(k)

Sistema in Retroazione Discreto

Tutte le funzioni di trasferimento nell anello sono della stessa natura.

)

(

)

(

)

(

z

C

z

HG

z

L

=

CD -- 21

Il Luogo delle radici nei sistemi digitali

Cristian Secchi

Se il periodo di campionamento T è scelto in modo opportuno, non c è una perdita significativa di informazioni nel passaggio tempo continuo – tempo discreto. Pertanto, considerare y(t) o y(k) è la stessa cosa. L uso del campionatore virtuale consente di rendere omogenee le funzioni di trasferimento nell anello di retroazione e di definire agevolmente il guadagno d anello.

Per costruire il luogo delle radici di un sistema discreto in retroazione, si considera il guadagno d anello L(z) e si usano le stesse regole che si usavano per i sistemi continui in retroazione

Periodo di campionamento e stabilità

Si consideri un sistema di controllo digitale con C(z)=1, con un ricostruttore di ordine zero e con

)

1

(

)

(

+

=

s

s

k

s

G

CD -- 23

Periodo di campionamento e stabilità

Cristian Secchi

All aumentare del periodo di campionamento, il valore del guadagno critico Kc diminuisce a causa del maggiore ritardo introdotto dal ricostruttore.

Progetto del controllore discreto

Il progetto del controllore discreto segue esattamente gli stessi passi concettuali che si usano per il progetto del controllore continuo ricordando che:

1. Occorre considerare HG(z) e non semplicemente G(z)

2. Le specifiche statiche sono legate al numero di poli in 1 del guadagno d anello

3. I luoghi a sovraelongazione costante e a tempo d assestamento costante sono diversi da quelli usati nel continuo (ricordare la corrispondenza tra il piano s e il piano z!!)

CD -- 25

Esempio:Controllo di posizione di un antenna

Cristian Secchi

Si desidera controllare l altezza di un antenna affinchè essa possa seguire un satellite.

L antenna ha un momento di inerzia J e un coefficiente d attrito viscoso B. E mossa da un motore DC che impone una coppia T_c

Il sistema deve portarsi nella posizione desiderata con una

sovraelongazione inferiore al 10%, in un tempo di assestamento inferiore a 5 s. e con errore di posizione nullo.

Esempio:Controllo di posizione di un antenna

θ

c

T

B

J

θ





+

θ



=

u

a

=

+

θ

θ







J

B

a =

J

T

u

c

=

Siccome di solito J>>B, a<<1. Nelle simulazioni che seguono è stato preso a=0.1

)

1

.

0

(

1

)

(

)

(

)

(

+

=

Θ

=

s

s

s

U

s

s

G

CD -- 27

Esempio:Controllo di posizione di un antenna

Cristian Secchi

Si desidera progettare un controllore digitale mediante l uso del luogo delle radici. Il ricostruttore da usare nel loop digitale è di ordine 0.

Seguendo gli stessi ragionamenti fatti nel blocco di slides precedente, possiamo considerare un periodo di campionamento T=0.2 s per l implementazione del controllore digitale.

)]

(

)

(

[

)

(

z

Z

H

₀

s

G

s

HG

=

Esempio:Controllo di posizione di un antenna

) 1 . 0 ( 1 1 ) ( ) ( 2 . 0 0 + − = − s s s e s G s H s

(

)

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − = − ) 1 . 0 ( 1 1 ) ( 1 ₂ s s Z z z HG

s

c

s

c

s

c

s

s

22 2 21 1 2

₍

₀

_.

₁

₎

₀

_.

₁

1

+

+

+

=

+

100

)

1

.

0

(

1

)

1

.

0

(

1 . 0 | 2 1

⎥

=

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

+

=

− = s

s

s

s

c

10

)

1

.

0

(

1

0 | 2 2 21

⎥

=

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

=

= s

s

s

s

c

100

)

1

.

0

(

1

0 | 2 2 22

⎥

=

−

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

=

= s

s

s

s

ds

d

c

s

s

s

s

s

100

10

1

.

0

100

)

1

.

0

(

1

2 2

+

−

+

=

+

CD -- 29

Esempio:Controllo di posizione di un antenna

Cristian Secchi 1 100 ) 1 ( 2 9802 100 100 10 1 . 0 100 ) 1 . 0 ( 1 2 2 2 − − − + − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + z z z z z z s Z s Z s Z s s Z ) 9802 . 0 )( 1 ( 02 . 1 02 . 0 ) ( − − + = z z z z HG ) 9802 . 0 )( 1 ( 02 . 1 02 . 0 ) ( ) ( ) ( ) ( − − + = = z z z z C z HG z C z L

Il sistema chiuso in retroazione è di tipo 1 senza che sia necessario nessun intervento da parte del controllore. Pertanto, le specifiche statiche del problema sono risolte senza che sia necessario inserire poli in 1 tramite il controllore

Esempio:Controllo di posizione di un antenna

Considerando un controllore proporzionale C(z)=k l equazione caratteristica è ) 9802 . 0 )( 1 ( 02 . 1 02 . 0 1 ) ( 1 − − + + = + z z z k z kHG

CD -- 31

Esempio:Controllo di posizione di un antenna

Cristian Secchi

Il sistema chiuso in retroazione ha due poli e, pertanto, possiamo utilizzare le regole valide per i sistemi del secondo ordine per

determinare le regioni entro cui devono stare i poli affinchè le specifiche dinamiche siano soddisfatte

Esempio:Controllo di posizione di un antenna

s

T

_a

<

5

Per i sistemi del secondo ordine tempo continui, T_a<5 se

5

3

<

n

δω

σ

<

−

0

.

6

-0.6 _Re Im Re Im 1 88 . 0 6 . 0 = − T e sT

e

z =

CD -- 33

Esempio:Controllo di posizione di un antenna

Cristian Secchi

%

10

% ≤

S

Per i sistemi del secondo ordine tempo continui, T_a<5 se

10

100

₁ 2

≤

− − δ πδ

e

δ

≥0.6 Re Im 6 . 0 arccos Re Im 1 sT

e

z =

ϕ ϕ _j e e z 10.36 6 . 0 tan − − = ω ϕ=0.2

Esempio:Controllo di posizione di un antenna

Occorre progettare un controllore C(z) tale che i poli del sistema chiuso in retroazione siano nell’intersezione delle zone trovate sul piano z

Re Im

CD -- 35

Esempio:Controllo di posizione di un antenna

Cristian Secchi

Non è possibile soddisfare le specifiche dinamiche con un semplice controllore statico (cioè proporzionale). Mentre entrambi i poli sono nella zona in cui è soddisfatta la specifica sulla sovraelongazione per k bassi, essi non entrano mai nella zona in cui è soddisfatta la specifica sul tempo di assestamento.

Esempio:Controllo di posizione di un antenna

2 . 0 9802 . 0 ) ( + − = z z k z C ( ) 0.02_{( 0.2}1₎₍.02 ₁₎ − + + = z z z k z L

Esistono dei guadagni k per cui i poli del sistema in retroazione sono dentro entrambe le regioni

CD -- 37

Esempio:Controllo di posizione di un antenna

Cristian Secchi

Una possibile soluzione è data da:

2 . 0 9802 . 0 1719 . 13 ) ( + − = z z z C y(k) y(t)

Esercizio

20 4 1 ) ( 2 + + = s s s G

Controllare mediante un controllore digitale il sistema descritto da

Ing. Cristian Secchi Tel. 0522 522235 e-mail: cristian.secchi@unimore.it http://www.dismi.unimo.it/Members/csecchi

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PROGETTO MEDIANTE IL

LUOGO DELLE RADICI