Capitolo 5

Capitolo 5

Deduzione del modello evolutivo

5.1 Considerazioni generali

Un sistema reale da modellare è di fatto una entità che può essere definito ‘astratto’. Infatti non può mai essere perfettamente identificato: ciò a causa del fatto che spesso non si conoscono con esattezza le leggi biologico-fisiche che lo governano. Una volta determinato un modello, uno dei metodi tipicamente utilizzati per la sua validazione è l’analisi del relativo comportamento di fronte all’introduzione di nuovi dati o rispetto alla sua capacitò predittiva nei confronti di successivi a quelli a disposizione.

5.2 Descrizione dell’ evoluzione del sistema biologico

Nel campo delle scienze biologiche, il ciclo di divisione e moltiplicazione batterica è molto studiato. In particolare per il batterio Escherichia Coli viene proposta la seguente descrizione:

• Fase 1: ‘Lag phase’

Fig. 5.1

La prima fase è denominata ‘di ritardo’ o ‘di latenza’ (‘Lag phase’). E’ caratterizzata da uno stato di quiescenza in cui i batteri, una volta inoculati nella coltura, si adattano al nuovo ambiente che li ospita. Inizialmente quindi essi reperiscono gli elementi nutritivi e la loro crescita è lenta.

• Fase 2: ‘Log phase’

Una volta adattatisi, i batteri iniziano velocemente a dividersi e moltiplicarsi con velocità ‘esponenziale’ grazie al loro metabolismo rapidissimo. Questa fase è tipicamente indicata come ‘Log phase’ (fase di veloce crescita). In questa fase, la velocità con cui la popolazione batterica evolve dipende essenzialmente dalle condizioni di coltura.

• Fase 3: ‘Stationary phase’

Man mano che incrementano il loro numero, i batteri sono sempre più in competizione tra loro per spazio ed elementi nutritivi. In questa fase quindi il numero di individui continua a crescere ma con velocità sensibilmente inferiore (fase denominata ‘stazionaria’). In rosso è

Fig. 5.2

individuata il tratto di curva corrispondente. La consistenza della fase stazionaria dipende dal tipo di batterio e dalle condizioni ambientali in cui è inserito.

• Fase 4: ‘Death phase’

A causa del loro numero elevato, l’ambiente che li circonda si satura velocemente di prodotti di scarto da metabolismo (tipicamente acetati) e si impoverisce di elementi nutritivi (tipicamente glucosio): ne segue una forte diminuzione del ph e quindi l’instaurarsi di condizioni sfavorevoli alla sopravvivenza (fase di ‘morte’ degli individui). Progressivamente quindi i batteri muoiono, per cui la curva prosegue nel modo indicato in figura:

Fig. 5.3

Fase 3:

‘Stationary phase’

Fig. 5.4

I dati sperimentali a disposizione si riferiscono alle prime tre fasi evolutive; ne segue che il modello dedotto non può tenere conto dell’ultima fase descritta, a cui non è quindi applicabile.

5.3 Verifica dei risultati e deduzione del modello

5.3.1 Risultati

Di seguito sono riportati i dati sperimentali raccolti. I primi tre gruppi si riferiscono al conteggio eseguito per ispezione visiva, in tre momenti diversi e dal medesimo operatore, su immagini della coltura scattate ad intervalli di un’ora. I restanti due si riferiscono al conteggio eseguito attraverso le tecniche di media e di correlazione sulle medesime immagini. Come valore di riferimento, in seguito, si considererà la media dei cinque valori per ciascun campione.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Gruppo 1 15 16 21 28 41 80 152 467 1282 1524 Gruppo 2 15 19 25 31 57 96 216 487 1323 1584 Gruppo 3 14 15 19 27 44 75 165 413 1195 1379 Gruppo 4 12 17 22 25 48 70 180 402 1083 1248 Gruppo 5 13 16 24 30 50 82 201 398 1210 1320 V.Medio 14 17 23 29 48 81 183 434 1219 1411

Nella tabella che segue i risultati ottenuti nel precedente capitolo vengono messi a confronto. Di ciascuna funzione analizzata si riporta il

valore corrispondente a ciascun campione. Questi vengono confrontati con i valori sperimentali e ne viene calcolato lo scarto. Come misura della bontà di ciascun modello viene determinato la norma di ordine 2 del residuo, espresso secondo la relazione:

Campione _{1 2 3 4 5 6 7 8 9 10} V.Medio 14 17 23 29 48 81 183 434 1219 1411 P.ord 2 132 -11 -82 -82 -11 132 346 631 988 1416 |Diff.| 118 28 105 111 59 51 163 197 231 5 403 P.ord 3 23 26 9 -2 21 101 265 540 951 1525 |Diff.| 9 9 14 31 27 20 82 106 267 114 324 P.ord 4 -17 75 47 -8 -20 61 258 578 1000 1485 |Diff.| 31 57 24 37 68 20 76 144 219 74 301 Exp -26 -24 -17 -3 31 106 263 564 1039 1404 |Diff.| 40 51 40 32 17 25 80 130 180 7 252 Tan.Ip(1) 10 10 10 11 17 44 166 558 1121 1413 |Diff.| 4 7 13 18 31 37 17 124 98 2 168 Tan.Ip(2) 30 30 30 32 38 70 215 655 1200 1441 |Diff.| 16 13 17 3 10 11 32 221 19 30 228 Tan.Ip(3) 25 25 26 26 30 55 186 655 1233 1447 |Diff.| 11 8 3 3 18 26 3 221 14 36 227 Tan.Ip(4) 15 15 15 16 22 50 172 566 1133 1427 |Diff.| 1 2 8 13 26 31 11 132 86 16 164

ErrorF(1) 25 25 25 25 26 30 127 641 1289 1484 |Diff.| 11 8 2 4 22 51 56 207 70 73 244 ErrorF(2) 29 29 29 29 29 37 191 833 1430 1554 |Diff.| 15 12 16 0 19 44 8 399 211 143 476 ErrorF(3) 26 26 26 26 26 36 183 750 1324 1476 |Diff.| 12 9 3 3 22 45 0 316 105 65 343

La precedente tabella mette in evidenza come il modello di tipo tangente iperbolica riesca maggiormente a descrivere il modello biologico analizzato. Infatti sono ben due i modelli di questo tipo che riescono a minimizzare in modo efficace la norma 2 del residuo. Per contro, il modello polinomiale risulta del tutto insufficiente presentando valori che si discostano molto dai dati sperimentali.

Per meglio evidenziarne le caratteristiche, nella figura seguente si riportano i migliori due andamenti di tipo iperbolico determinati secondo la tecnica dei minimi quadrati, messi a confronto con il migliore di tipo esponenziale e di tipo ‘funzione errore’.

5.3.2 Introduzione di nuovi dati sperimentali

Il modello che sinora ha descritto in modo migliore il problema biologico in esame è quello di tipo tangente iperbolica. Al fine di verificarne l’attendibilità, se ne analizza il comportamento di fronte alle seguenti due situazioni:

1. Introduzione di un dato sperimentale intermedio: si ha a disposizione una rilevazione effettuata dopo 7 ore e 30 minuti a

partire da quella iniziale. Il relativo campione si va quindi ad inserire tra i precedenti ottavo e nono.

2. Analisi della capacità predittiva rispetto ad un campione successivo a quelli a disposizione. Si andrà ad analizzare il valore previsto dal modello per un tempo pari alla decima ora e confrontato con il corrispondente dato sperimentale a disposizione.

Fig. 5.6

Campione _{1 2 3 4 5 6 7 8 NC1 9 10 NC2} Gruppo 1 _{15 16 21 28 41 80 152 467 968 1282 1524 1589} Gruppo 2 _{15 19 25 31 57 96 216 487 1004 1323 1584 1692} Gruppo 3 _{14 15 19 27 44 75 165 413 955 1195 1379 1443} Gruppo 4 _{12 17 22 25 48 70 180 402 923 1083 1248 1323} Gruppo 5 _{13 16 24 30 50 82 201 398 904 1210 1320 1415} V.Medio 14 17 23 29 48 81 183 434 951 1219 1411 1492

Nella figura che segue, la funzione iperbolica individuata viene messa a confronto con i nuovi dati sperimentali medi. Nella successiva tabella vengono evidenziati la distanza in valore assoluto da questi ultimi e il nuovo errore quadratico medio.

Tab. 3 Introduzione nuovi dati sperimentali

1 2 3 4 5 6 7 8 NC1 9 10 NC2 V.Medio 14 17 23 29 48 81 183 434 951 1219 1411 1492

Tan.Ip(4) 15 15 15 16 22 50 172 566 860 1133 1427 1506

|Diff.| 1 2 8 13 26 31 11 132 91 86 16 14 188

Si può notare come l’introduzione dei nuovi dati statistici causi un aumento della norma 2 del residuo di un fattore pari al 15%, passando dal valore 164 al valore 188. La capacità predittiva del fenomeno di saturazione risulta buona: infatti, lo scarto tra il valore previsto dal modello ed il dato sperimentale medio risulta dell’ 1%. Il modello appare comunque efficace anche nei confronti del campione intermedio, dal momento che lo scarto è dell’ordine del 10%.

Come ulteriore elemento di valutazione è possibile analizzare la rispondenza fra dati e funzione interpolante attraverso le bande di errore. Vista la natura sperimentale dei dati a disposizione, si ipotizza ammissibile un intervallo medio pari a ±2? = 10% rispetto al loro valore. Ciò porta al risultato visualizzato in figura 5.8.

5.3.3 Valutazioni conclusive

Le precedenti analisi portano a concludere che la famiglia di curve di tipo tangente iperbolica riesce, meglio delle altre funzioni considerate e con buona approssimazione, ad interpolare il problema biologico sotto esame. ) cosh( ) ( ) tanh( α α α = senh _{= α}α ₋−_αα

+

−

e

e

e

e

Eseguendo un confronto fra i risultati ottenuti ed i dati sperimentali, si evidenzia la difficoltà, visti gli strumenti di elaborazione a disposizione, nel determinare con esattezza la funzione che meglio interpola i dati raccolti nel senso dei minimi quadrati. Infatti, la natura non lineare del problema richiede una specifica routine per la sua soluzione. Le elaborazioni fornite da quella a disposizione sono risultate fortemente dipendenti dalle condizioni iniziali imposte, con conseguenti difficoltà nella determinazione di una soluzione ottimale. Un ulteriore fattore di miglioramento sarebbe sicuramente l’introduzione di un numero di dati sperimentali maggiore , in modo da avere un numero più consistente di dati rispetto ai quali eseguire la regressione.

E’ però comunque evidente, l’esistenza di una corrispondenza tra le fasi biologiche del problema e quelle della funzione di tipo tangente iperbolica proposta come modello. Infatti in entrambi i casi si susseguono una fase iniziale di lento incremento (fase biologica denominata ‘Lag phase’, di ritardo, latenza) in cui il numero di individui cresce piuttosto lentamente; una fase di rapida evoluzione (‘Log phase’), in cui la curva si impenna in modo molto evidente; una fase finale di saturazione (‘Stationary phase’) in cui la crescita rallenta velocemente fino ad arrestarsi.

Nella figura successiva, i dati sperimentali sono rappresentati insieme ad una famiglia di curve di tipo tangente iperbolica a conferma delle precedenti considerazioni.

Le due curve limite sopra rappresentate hanno equazione:

)

37

.

6

79

.

0

tanh(

*

57

.

736

34

.

781

1

=

+

α

−

y

)

77

.

6

78

.

0

tanh(

*

57

.

756

34

.

761

2

=

+

α

−

y

Esse racchiudono completamente i dati sperimentali a disposizione.

Fig. 5.9

Famiglia di curve di tipo tangente iperbolica che racchiudono i dati sperimentali