Esempio 1:
f (x)
=
x
x
! 0
1 x
= 0
"
#
$
lim
x
!0
f (x)
= 0
f (x)
=
1
x
2, x
! 0 lim
x"0f (x)
= +#
0.5 1 1.5 2 2.5 3Esempio 3
1 2 3 4 5 -2 -1 1f (x)
= ln(x) lim
x!0+ln(x)
= "#, lim
x!+#ln(x)
= +#
-1 -0.5 0.5 1 -10 -5 5 10 15
f (x)
=
1
x
lim
x!0+1
x
= +" lim
x!0#1
x
= #"
Piu` in generale, data ha senso chiedersi
quale sia il comportamento di f per punti arbitrariamente
vicini ad a.
f :(a,b) ! R
Sia A ! R, x0 "A, punto di accumulazione per A.
Sia f : A ! R # R. Diremo che f tende ad l per x che tende ad x0 se
$
%
> 0 &'
> 0 tale che $x "A \ {x0} : x "(x0 ('
, x0 +'
) ) f (x) "(l (%
,l +%
)Scriveremo: lim
x#x0 f (x) = l
Definizione di Limite
! + l ! " l l x0 x0 !" x0 +!
Esempio:
•
lim
x!13(x
2" 1)
x
" 1
= 6
3(x
2! 1)
x
! 1
=
3(x
+ 1)(x ! 1)
x
! 1
= ... se x " 1
3(x
+ 1) che tende a 6 se x tende ad 1
Osservazione: la definizione di limite non prende in considerazione
Il valore della funzione nel punto limite!
Esempio:
lim
x!01
x
2= ?
Quando x
! 0 i valori di f (x) =
1
x
2diventano sempre
piu` grandi.
Funzioni Divergenti Positivamente:
Sia A
! R, x
0"A, punto di accumulazione per A.
Sia f : A
! R # R. Diremo che f
diverge positivamente
per x che tende ad x
0se
$M > 0 %
&
> 0 tale che $x "A \ {x
0}, x
"(x
0'
&
, x
0+
&
)
( f (x) > M
Scriveremo: lim
x#x0
f (x)
= +)
Esempio: lim
x!01
x
2= +
"
M
!
Funzioni Divergenti Negativamente:
Sia A
! R, x
0"A, punto di accumulazione per A.
Sia f : A
! R # R. Diremo che f
diverge negativamente
per x che tende ad x
0se
$M > 0 %
&
> 0 tale che $x "A \ {x
0}, x
"(x
0'
&
, x
0+
&
)
( f (x) < 'M
Scriveremo: lim
x#x0
f (x)
= ')
Esempio: lim
x!0"
1
x
2= -
#
!M
!
Limiti a piu` e meno infinito
Sia f :[a,
+!) " R. Diremo che
f tende ad l
per
x che tende a
+ ! se
#
$
> 0 %
&
> 0 tale che #x 'A, x>
&
( f (x) '(l )
$
,l
+
$
)
Scriveremo: lim
x"+!
f (x)
= l
! + l ! " l l
Esempio:
lim
x!"f (x)
= l
Asintoto OrizzontaleEsempio: lim
x!+"1
x
= 0
Dim:
Sia
#
> 0 arbitrario, dobbiamo trovare un #
> 0 tale che
se x
>
$
% f (x) <
#.
Ora: f (x)
=
1
x
=
1
x
se x abbastanza grande (x
! +").
Quindi f (x)
<
#
&
1
x
<
#
& x >
1
#
.
Basta quindi prendere $
=
1
Riepilogo limiti
lim
x!*f (x)
= **
*
=
+"
#"
x
0$
%
&
'
&
**
=
l
+"
#"
n.e.
$
%
&&
'
&
&
Se f(x) è definita in allora potrò avvicinarmi a solo per valori ad esso superiori; eseguo, cioè, il cosiddetto limite destro:
se e solo se 0
( , )
x b
x
0 1 0lim ( )
x x! +f x
=
l
Limite Destro
!" > 0,#$ > 0 : !x % A :
x
> x
0, x
%(x
0&
$,x
0+
$) ' f (x) %(l
1&
",l
1+
")
Esempio:
lim
x!0+log x
= "#
Limite Sinistro
Identico al precedente è il discorso sul limite sinistro: se f(x)
è definita in
Se e solo se
0( ; )
a x
2 0lim ( )
x x" !f x
=
l
Esempio:
lim
1
= "#
!" > 0,#$ > 0 : !x % A :
x
< x
0, x
%(x
0&
$,x
0+
$) ' f (x) %(l
2&
",l
2+
")
Si parla di “limite” (senza specificare destro o sinistro) per
intendere il limite bilaterale.
E` facile dimostrare che:
lim
Operazioni sui Limiti
Se e sono definite in con
si ha
f (x)
g x
( )
A
x
0!D( A)
0 1lim ( )
x x!f x
=
l
0 2lim ( )
x x!g x
=
l
0 1 2lim[ ( )
x x!f x
+
g x
( )]
= +
l l
0 1 2lim[ ( )
x x!f x g x
"
( )]
= "
l l
lim[ ( ) ( )]
!f x g x
=
l l
(
l
"
0)
x
0!!, l
1,l
2!!
Operazioni in e forme indeterminate
• Il limite di una somma (differenza) è uguale alla somma (differenza) dei limiti tranne nel caso:
• NON sono invece forme indeterminate:
1
e
2(o viceversa)
FORMA INDETERMINATA
l
= +!
l
= "!
# ! " !
! + ! = +!
"! " ! = "!
!
• Il limite di un prodotto è uguale al prodotto dei limiti tranne nel caso:
• NON sono invece forme indeterminate:
1
0 e
2(o viceversa)
0
FORMA INDETERMINATA
l
=
l
= ±!
" #!
(regola dei segni)
0 0 0
! "! = !
" =
• Il limite di un quoziente è uguale al quoziente dei limiti tranne nel caso:
• NON sono invece forme indeterminate:
1 2 1 2
