Elementi di topologia e definizione di limite in R

Elementi di topologia e definizione di limite in R

Il concetto base per dare la definizione di intorno in R

` e quello di distanza tra due punti P = (x

, · · · , x

) e Q = (y

, · · · , y

). Definiamo

dist(P

, P

) := kP − Qk = p

(x

− y

)

+ · · · + (x

− y

)

.

Quindi, kP k rappresenta la distanza del punto P dall’origine. Ricordiamo alcune propriet` a della norma:

1. kP k = 0 ⇔ P = (0, · · · , 0) 2. kαP k = |α| kP k ∀α ∈ R 3. kP + Qk ≤ kP k + kQk

Dalla (2) (con α = −1) segue la propriet` a di simmetria della norma: kP − Qk = kQ − P k.

Osserviamo che per n = 1 si ottiene kxk = √

x

= |x|, cio` e la norma estende ad R

il concetto di modulo. Risulta quindi naturale dare la seguente definizione:

Definizione 1. Un insieme A ⊂ R

si dice limitato se esiste un numero K > 0 tale che kP k ≤ K per ogni P ∈ A.

Diamo ora la definizione di “intorno” di un punto.

Definizione 2. Dato un punto P

∈ R

, si chiama intorno di P

ogni insieme del tipo B(P

, δ) := {P ∈ R

: kP − P

k < δ}, δ > 0.

Utilizzando il concetto di intorno, diamo ora alcune definizioni riguardanti le propriet` a dei punti rispetto agli insiemi.

Definizione 3. Dato un punto P

∈ R

e un insieme A ⊂ R

, diremo che

• P

` e interno ad A se ∃δ > 0 : B(P

, δ) ⊂ A;

• P

` e esterno ad A se ` e interno a R

\ A, cio`e ∃δ > 0: B(P

, δ) ∩ A = ∅;

• P

` e di frontiera (o di bordo) per A se non ` e interno n´ e esterno ad A, cio` e B(P

, δ) ∩ A 6= ∅ e B(P

, δ) ∩ (R

\ A) 6= ∅, ∀δ > 0;

• P

` e di accumulazione per A se ogni suo intorno contiene punti di A diversi da P

, cio` e

B(P

, δ) ∩ A \ {P

} 6= ∅, ∀δ > 0;

• P

` e punto isolato di A se ∃δ > 0 : B(P

, δ) ∩ A = {P

}.

1

Inoltre, diremo che

• A ` e aperto se tutti i suoi punti sono interni;

• A ` e chiuso se contiene tutti i suoi punti di frontiera.

Dato un insieme A ⊂ R

, denoteremo con A

l’insieme dei suoi punti interni, con Fr(A) (oppure ∂(A)) l’insieme dei suoi punti di frontiera, con ¯ A = A ∪ Fr(A) la chiusura di A.

Si verifica facilmente che

- Fr(A) = Fr(R

\A) (cio`e la frontiera di un insieme e del suo complementare coincidono) - Fr(A) ∩ A

= ∅ (cio` e un punto non pu` o essere interno e di frontiera)

- A = (R ¯

\ A)

(cio` e la chiusura ` e l’interno del complementare) - A ` e chiuso se e solo se contiene tutti i suoi punti di accumulazione.

Esempi.

1. L’intorno B(P

, δ) di un punto P

` e un insieme aperto, la cui frontiera ` e l’insieme {P ∈ R

: kP − P

k = δ} dei punti a distanza δ da P

. Quindi la chiusura di B(P

, δ) ` e

B(P

, δ) = {P ∈ R

: kP − P

k ≤ δ}.

2. Consideriamo l’insieme A := {(x, y) : x

+y

< 1}∪{(x, 0) : x ∈ R} ⊂ R

, costituito dal cerchio (aperto) di centro l’origine e raggio 1, unito con l’asse x. Il bordo di tale insieme ` e costituito dalla circonferenza di centro l’origine e raggio 1, unito con le semirette [1, +∞) e (−∞, 1] dell’asse x, cio` e

Fr(A) = {(x, y) : x

+ y

= 1} ∪ {(x, 0) : |x| ≥ 1}.

Quindi, l’insieme A non ` e aperto n´ e chiuso, perch´ e contiene alcuni punti di frontiera (ma non tutti).

Osserviamo infine che A = {(x, y) : x

+ y

≤ 1} ∪ {(x, 0) : x ∈ R}, mentre A

= {(x, y) : x

+ y

≤ 1}, quindi in questo esempio A 6= A

.

Definizione 4. Un insieme chiuso A si dice dominio se A = A

, cio` e se la frontiera di A coincide con la frontiera del suo interno A

.

E possibile ampliare R `

con l’aggiunta di un elemento chiamato infinito, e denotato sempre col simbolo ∞ (senza segno), nel modo seguente. Si chiama “intorno” di ∞ ogni insieme del tipo

{P ∈ R

: kP k > r}, r > 0,

cio` e l’esterno di un intorno dell’origine. ` E facile verificare che ∞ ` e punto di accumulazione per un insieme A se e solo se A non ` e limitato, cio` e:

∀r > 0 ∃P

∈ A : kP

k > r.

2

I vari concetti sopra riportati si possono riguardare anche mediante le successioni, come in R. A tale scopo, iniziamo dando i concetti di successione convergente, divergente o indeterminata.

Definizione 5. Una successione (P

)

, P

= (x

, · · · , x

), di punti in R

si dice convergente a P

= (x

, · · · , x

) , e si scrive P

→ P

, se ogni successione componente (x

)

converge alla i−esima componente di P

, cio` e se

x

→ x

, i = 1, · · · , n.

La successione si dice divergente , e si scrive P

→ ∞, se

∀r > 0 ∃¯ k ∈ N : ∀k ≥ ¯k si ha kP

k > r.

Infine, la successione si dice indeterminata se non ` e convergente n´ e divergente.

Come si verifica immediatamente dalla definizione di norma, una successione (P

)

converge a P

se e solo se kP

− P

k → 0 in R.

Analogamente, la successione (P

)

diverge a ∞ se e solo se kP

k → +∞ in R. Si pu`o anche dimostrare che se tutte le successioni componenti (x

)

divergono in R (a +∞

o a −∞), allora la successione (P

)

diverge (in R

). Viceversa, non ` e vero in generale che se la successione (P

)

diverge, allora tutte le successioni componenti divergono: ad esempio per la successione P

:= (k, (−1)

·k) in R

si ha che kP

k = √

2k

→ +∞, quindi (P

)

diverge, ma la seconda componente ((−1)

· k)

` e indeterminata. Ci` o dipende dalla diversa estensione fatta in R, con l’aggiunta di due diversi infiniti, rispetto a quella fatta in R

, con un unico infinito.

Mediante le successioni, possiamo dire che un punto P

∈ R

∪{∞} `e di accumulazione per un insieme A se esiste una successione (P

)

di punti di A, diversi da P

, tale che P

→ P

.

Possiamo ora dare la definizione di limite per funzioni di pi` u variabili, analogamente a quanto fatto per funzioni di una sola variabile.

Definizione 5. Data una funzione f : A → R, con A ⊂ R

, e un punto P

∈ R

∪ {∞}, di accumulazione per A, si dice che lim

P →P0

f (P ) = ` ∈ ˜ R se

∀(P

)

⊂ A, con P

6= P

∀k e P

→ P

, si ha f (P

) → `.

L’esistenza di almeno una successione (P

)

⊂ A, con P

6= P

∀k e P

→ P

, ` e garantita dal fatto che P

` e di accumulazione per A.

Come nel caso di funzioni di una sola variabile, la definizione di limite si pu` o dare anche mediante gli intorni che, a seconda che P

sia finito o ∞, e che ` sia finito oppure

±∞, diventa:

3

• lim

P →P0

f (P ) = ` ∈ R ⇔

∀ε > 0 ∃δ = δ

> 0 : ∀P ∈ A con 0 < kP − P

k < δ si ha |f (P ) − `| < ε

• lim

P →P0

f (P ) = +∞ [−∞] ⇔

∀K > 0 ∃δ = δ

> 0 : ∀P ∈ A con 0 < kP −P

k < δ si ha f (P ) > K [f (P ) < −K]

• lim

P →∞

f (P ) = ` ∈ R ⇔

∀ε > 0 ∃M = M

> 0 : ∀P ∈ A con kP k > M si ha |f (P ) − `| < ε

• lim

P →∞

f (P ) = +∞ [−∞] ⇔

∀K > 0 ∃M = M

> 0 : ∀P ∈ A con kP k > M si ha f (P ) > K [f (P ) < −K]

Esempi.

1. lim

(x,y)→(0,0)

(x

+ y

)

= 0, infatti la disuguaglianza (x

+ y

)

< ε ` e soddisfatta se px

+ y

< √

ε. Dato che kP k = px

+ y

, preso δ

:= √

ε si ha che 0 < kP k < δ ⇒ |f (P )| < ε.

2. lim

(x,y)→(0,0)

1

x

+ y

= +∞, infatti la disuguaglianza 1

x

+ y

> K vale se x

+ y

<

, cio` e se px

+ y

<

. Preso allora δ

:=

, si ha che

0 < kP k < δ ⇒ f (P ) > K.

3. lim

(x,y)→∞

e

= 0, infatti la disuguaglianza e

< ε vale se x

+y

> − log ε, cio` e se px

+ y

< p| log ε| (limitandoci a considerare 0 < ε < 1). Preso allora M

:= p| log ε|, si ha che

kP k > M ⇒ |f (P )| < ε.

Come nel caso reale, se esistono due restrizioni della funzione ad insiemi A

, A

⊂ A, per i quali P

` e ancora punto di accumulazione, che ammettono limiti diversi per P → P

, cio` e

P →P

lim

f (P ) = `

e lim

P →P0,P ∈A2

f (P ) = `

con `

6= `

,

allora il limite globale non esiste. Ad esempio, la funzione f (x, y) = x

− y

definita in R

non ammette limite per (x, y) → ∞. Infatti, scelti A

:= {(x, 0) : x ∈ R} e A

:= {(0, y) : y ∈ R} (gli assi coordinati), si ha

lim

(x,y)→∞,(x,y)∈A1

f (x, y) = lim

x→+∞

f (x, 0) = lim

x→+∞

x

= +∞, mentre

lim

(x,y)→∞,(x,y)∈A2

f (x, y) = lim

y→+∞

f (0, y) = lim

y→+∞

−y

= −∞, quindi non esiste il limite globale lim

(x,y)→∞

f (x, y).

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