www.matematicagenerale.it Esercizio 3
Calcolare il seguente integrale:
∫∫
A dxdy y x3cos2 1 dove A è la parte di piano delimitata dalle funzioni :x ar
y= cos ;
x ar
y = cos1 e dalla retta 4
π
= y
Il dominio A è normale rispetto all’asse delle y, pertanto la y varierà tra 0 e π/4 e la x varierà tra cosy e 1/cosy( ottenute ricavando la x in funzione di y day =arcosx e
x ar y = cos1):. Pertanto
∫
∫
∫∫
= 4 0 cos 1 cos 3 2 2 3cos cos 1 π y y A x dx y dy dxdy y xFacilmente si calcola il secondo integrale , ottenendo:
∫
∫
∫
∫
∫
= − − = − − = − = − 4 0 4 4 0 2 2 2 4 0 2 1 cos cos 2 4 0 cos 1 cos 3 2 cos 1 1 2 1 cos cos 1 cos 2 1 cos 2 cos π π π π dy y y dy y y y dy x x dx y dy x y y y Calcoliamo da parte∫
dy y 4 cos 1 Posto 2 2 2 2 2 1 ; 1 1 cos 1 1 cot t t seny t y t dy angt ar y t tgy + = + = + = = = si ha:www.matematicagenerale.it
∫
∫
∫
= + = + + + = 3 ) 1 ( ) 1 ( 1 1 1 cos 1 3 2 2 2 2 4 t t dt t dt t t dy y Ritornando alla variabile y :y tg tgy dy y 3 4 3 1 cos 1 = +
∫
Ritornando al nostro integrale :
3 2 8 6 1 2 1 2 1 3 1 2 1 cos 1 1 2 1 4 0 3 4 0 3 4 0 4 =− + − + + = − − − = − −
∫
π π π π y tg tgy y y tg tgy y dy y Esercizio 4Calcolare il seguente integrale:
