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SUCCESSIONI-SERIE-FORMULE DI EULERO

Siano le seguenti definizioni: Considero la successione

, , , … , , … ∊ ℝ di numeri reali.

Definizione 1

Si dice SERIE numerica la scrittura

= + + + ⋯ + + ⋯ (1)

(che ha un significato diverso dalla somma ordinaria).

Volendo dare un significato più preciso alla (1) procedo cosi: indico con

= , = + , = + + , = + + + ⋯ +

Ottenendosi, cosi, dei nuovi termini che vengono chiamati somme parziali. Considero la nuova successione delle somme parziali

, , , … , , … (2) Si hanno le ulteriori

Definizione 2

La serie (1) si dice CONVERGENTE se

lim

→ = ,

s si dice valore o somma della serie e si scrive, convenzionalmente

= + + + ⋯ + + ⋯ =

Definizione 3

La serie (1) si dice DIVERGENTE se

+∞ (positivamente divergente)

lim_→ = ∞

Definizione 4

La serie (1) si dice INDETERMINATA (o anche oscillante) se lo è anche la successione (2), se cioè non esiste Il limite della successione delle somme parziali.

SERIE DI POTENZE

Considero la successione di numeri reali

", , , , … , , … ∊ ℝ

Allora, per # ∊ ℝ, si abbia

"+ # + # + # + ⋯ + # + ⋯ =

Tale scrittura si dice SERIE di POTENZE nella variabile #.

I numeri _", , , , … , , … si dicono coefficienti della s.

SERIE DI MAC-LAURIN

Sia (#) una funzione definita in un intorno di I del punto 0 (zero) e supponiamo che in I la (#) ammetta

derivate di qualsiasi ordine. Costruisco i coefficienti numerici nel modo seguente:

"= (0), = %(0), =& ''_(") ! , = &'''_(") ! ,…., = &())_(") ! ,…. Allora (0) + %_{(0)# +} &''(") ! # + &'''_(") ! # +….+ &())_(") ! # + ….

Si dice SERIE di POTENZE di MAC-LAURIN relativa alla funzione (#).

Se poi (#) = (0) + %_{(0)# +} &''(") ! # + &'''_(") ! # +….+ &())_(") ! # + ….

Allora si dice che la funzione (#) è sviluppabile in serie di Mac-Laurin.

Adesso siamo pronti per affermare che le seguenti funzioni

a) * = +,

b) * = sin #

c) * = cos #

sono sviluppabili in serie di Mac-Laurin. Infatti, per la a):

" = 1, = %(0)# = #, =& ''_(") ! # = !# e cosi = ,1 ! , … = ,) ! , …

Per cui, ancora

+, _{= 1 + # +}# 2! +#3! + ⋯ +#! + ⋯ In particolare, per # = 1 si ha + = 1 + 1 +_{2! +}1 _{3! + ⋯ +}1 1_{! + ⋯} Per la b) si ha %_{( + #) = #,} %%_{( + #) = − + #,} %%%_{( + #) = − # e cosi via} "= + 0 = 0, = 0 ∙ # = #, = − + 0_{2! # = 0, = − 3! # =}0 _{3! # , … ,}1 =_{(2 + 1)! (−1) + ⋯}# Quindi + # = "+ + + ⋯ + + ⋯ = # −#_{3! +}# 5 5! −# 7 7! + ⋯ +(2 + 1)! (−1) + ⋯# Mentre per la c) # = 1 −#_{2! +}#_{4! −}9 #_{6! + ⋯ +}; _{(2 )! (−1) + ⋯}#

Osservo che lo sviluppo di # si ottiene semplicemente derivando ambo i membri della + # = # −,1

! + ,=

5!… FUNZIONE ESPONENZIALE NEL CAMPO COMPLESSO

Sia > = # + * e considero +? che si sviluppa in serie di Mac-Laurin come +, con # reale.

Ma +? = +, @A= +,∙ +@A. Svilupo in serie +@A:

+@A_{= 1 + * +}( *)

2! +( *)3! + ⋯ +( *)! + ⋯

Tenendo conto che = −1, = − , e cosi via, posso scrivere, dopo aver raccolto ,

+@A_{= B1 −}(*) 2! +(*) 9 4! − ⋯ C + B* −(*)3! +(*) 5 5! − ⋯ C = * + + * Cioè si ha +@A_{= * + + *}

Nella quale, sostituendo * = D, si ha

di qui

+@E _{= −1}

E quindi la notevole formula del grande Eulero

+@E_{+ 1 = 0}

FORMULE DI EULERO

Abbiamo visto che, mettendo # al posto di *,

(1) +@, = # + + #

Ma anche, mettendo – # al posto di #

(2) +G@, = cos(−#) − + # = # − + #

Addizionando e sottraendo le due precedenti formule si ottengono le seguenti altre

(3) # =HIJ HKIJ

(4) + # =HIJGH_@KIJ

Le (1), (2), (3) e (4) si dicono formule di Eulero Raccolgo

+@,= # + + # +G@,= # − + #

# =+@,+ +₂ G@,