Si dice che la serie (0.1) converge puntualmente (o uniformemente) assolutamente se la serie P∞ k=0|fk(x)| converge puntualmente (o uniformemente)

Serie di funzioni

Sia I ⊂ R, per ogni k ∈ N, data la successione di funzioni (fk)k con fk : I → R, consideri- amo la serie di funzioni

(0.1)

∞

X

k=0

f_k(x)

e definiamo la successione delle somme parziali sn(x) =Pn

k=0fk(x).

Diremo che la serie (0.1) converge puntualmente in x0∈ I se esiste il limn→∞sn(x0) ∈ R La serie (0.1) converge puntualmente ad f in J ⊂ I se la successione sn converge puntual- mente ad f in J , cio`e se limn→∞sn(x) = f (x) per ogni x ∈ J .

Si dir`a che la serie (0.1) converge uniformemente ad f in J ⊂ I se la successione snconverge uniformemente ad f in J , cio`e se limn→∞sup_x∈J|sn(x) − f (x)| = 0.

La funzione f `e detta a seconda che la convergenza sia puntuale o uniforme somma puntuale o uniforme della serie (0.1).

Si dice che la serie (0.1) converge puntualmente (o uniformemente) assolutamente se la serie P∞

k=0|fk(x)| converge puntualmente (o uniformemente).

Osservazione

Come nel caso delle successioni di funzioni la convergenza uniforme implica quella puntuale.

Inoltre la convergenza assoluta puntuale (o uniforme) implica convergenza puntuale (o uni- forme).

Un altro tipo di convergenza per le serie `e la convergenza totale e si dice che la serie (0.1) converge totalmente in J ⊂ I se P∞

k=0sup_x∈J|fk(x)| converge. Spesso utilizzeremo la no- tazione kfkkJ al posto di sup_x∈J|fk(x)|.

Com’`e facile osservare la convergenza totale implica quella uniforme e quella assoluta.

Un modo per stabilire che una serie converge totalmente `e fornito dal seguente criterio.

Criterio di Weierstrass La serie (0.1) converge totalmente in J ⊂ I se esiste (Mk)k

successione numerica tale che |fk(x)| ≤ Mkper ogni x ∈ J e k ∈ N eP∞

k=0Mk`e convergente.

A differenza della convergenza totale, non ci sono molti criteri per stabilire la convergenza uniforme di una serie; tuttavia se si ha una serie a termini tutti positivi (o tutti negativi), una strategia possibile consiste nello studiare la convergenza totale anche se questo non garantisce di trovare tutti i sottoinsiemi di R in cui si ha convergenza uniforme. Se invece la serie `e a segni alterni si pu`o utilizzare il criterio di Leibniz.

Qui di seguito uno schema dei diversi topi di convergenze e le relative implicazioni:

Convergenza assoluta puntuale ⇒ Convergenza puntuale

⇑ ⇑

Convergenza assoluta uniforme ⇒ Convergenza uniforme

⇑

Convergenza totale

Esercizio 0.1. Si studi la serie

∞

X

n=1

f_n(x) =

∞

X

n=1

x + n² x²+ 3n⁴ Le funzioni f_n sono definite in tutto R. Per ogni x ∈ R si ha

x + n² x²+ 3n⁴

≤|x + n²| 3n⁴ ≤ |x|

3n⁴ + n² 3n⁴ ≤ |x|

3n² + 1

3n² = |x| + 1 3n²

e ^|x|+1_3n2 `e il termine n−esimo di una serie convergente, per cui la serie converge assolutamente puntualmente in x ∈ R.

Verifichiamo la convergenza totale e calcoliamo kfnkR. La derivata f_n⁰(x) = ^−x_(x²⁻²ⁿ2+3n^2x+3n4)^{2 4}

si annulla in x1= n²e x2= −3n² per cui kfnkR= max{|f (x1)|, |f (x2)|, lim

x→∞|fn(x)|, lim

x→−∞|fn(x)|} = max

 1 2n², 1

6n², 0, 0



= 1 2n² che `e il termine di una serie convergente e quindi la serie converge totalmente. Dunque vi `e anche convergenza uniforme in R.

Esercizio 0.2. Studiare convergenza puntuale assoluta e determinare eventuali sottoinsiemi di R, in cui si ha convergenza uniforme.

(0.2)

∞

X

n=0

√1 − x²ⁿ 3ⁿ .

La serie `e definita per valori di x tali che 1 − x<sup>2n</sup> ≥ 0 cio`e per x ∈ [−1, 1]. Inoltre per ogni n ∈ N risulta

√1 − x²ⁿ 3ⁿ

≤ 1 3

n

e la serieP∞ n=0

1 3

ⁿ

converge perch´e serie geometrica di ragione ¹₃ quindi per il criterio di Weierstrass, la serie data converge totalmente in [−1, 1] e di conseguenza assolutamente e uniformemente in [−1, 1].

Esercizio 0.3. Studiare convergenza puntuale, uniforme e totale della serie.

(0.3)

∞

X

n=1

(−1)ⁿx²+ n n² .

Per stabilire la convergenza puntuale, fissiamo x ∈ R e osserviamo che f_n(x) = (−1)^{n x2}_n⁺ⁿ₂

`

e una successione numerica a segni alterni. Verifichiamo che si possa applicare il teorema di Leibniz o equivalentemente che la successione (f_n(x))_nsia infinitesima e decrescente. Poich´e

(i) limn→∞x²+n n² = 0 (ii) _(n+1)^x2 2 +_n+1¹ ≤^x_n²2 +_n¹

ne segue che la serie data converge puntualmente ad una funzione f (x), x ∈ R.

Dal teorema di Leibniz si riesce anche a stimare il resto della serie numerica. Infatti fissato x ∈ R, risulta

∞

X

k=n+1

(−1)^kx²+ k k²

=     

∞

X

k=1

(−1)^kx²+ k k² −

n

X

k=1

(−1)^kx²+ k k²

≤ x²+ (n + 1) (n + 1)² Per stabilire la convergenza assoluta, osserviamo che

∞

X

n=1

(−1)ⁿx²+ n n²

=

∞

X

n=1

x²+ n n² e ^x2_n⁺ⁿ2 ∼= ¹_n per n → ∞, pertanto la serie P∞

n=1 x²+n

n² ha lo stesso carattere della serie armonica P∞

n=1 1

n che diverge. La serie data non converge assolutamente in R e neppure totalmente in R, n´e in alcun sottoinsieme di R.

Vediamo se la serie data converge uniformemente. Consideriamo intervalli [a, b] ⊂ R, risulta

n→∞lim sup

x∈[a,b]

|f (x) − sn(x)| = lim

n→∞ sup

x∈[a,b]

∞

X

k=n+1

(−1)^kx²+ k k²

≤ lim

n→∞ sup

x∈[a,b]

x²+ (n + 1) (n + 1)²

≤ lim

n→∞

max{a², b²} + n + 1 (n + 1)² = 0

pertanto la serie data converge uniformemente negli intervalli chiusi e limitati di R.

Esercizio 0.4. Studiare la seguente serie di funzioni

(0.4)

∞

X

n=1

sinⁿ⁻¹x, x ∈ R

Fissiamo x ∈ R, il termine generale della serie tende a zero per valori di x tali che

| sin x| < 1 cio`e per x 6= ^π₂ + kπ, k ∈ Z.

Osserviamo che se x = kπ, k ∈ Z, sin x = 0, la serie `e a termini nulli e converge banalmente a zero. La serie

∞

X

n=1

sinⁿ⁻¹x =

∞

X

n=0

sinⁿx

converge assolutamente puntualmente per x 6= ^π₂+ kπ, k ∈ Z. La serie converge totalmente in intervalli del tipo [^π₂ + kπ + ε,³₂π + kπ − ε], k ∈ Z.

Esercizio 0.5. Studiare la seguente serie di funzioni

(0.5)

∞

X

n=1

x n(1 + nx²) Fissato x ∈ R si ha

x n(1 + nx²)

∼= 1 n²

e dato che P∞ n=1

1

n² converge, la serie data converge assolutamente puntualmente in R.

Vediamo se c’`e convergenza totale in R cio`e se

∞

X

n=1

sup

x∈R

x n(1 + nx²)

converge in R.

Consideriamo la successione fn(x) = _n(1+nx^x 2). Si osservi che limx→±∞fn(x) = 0, inoltre f_n⁰(x) = 0 se e soltanto se x = ±^√1_n pertanto sup_x∈R|fn(x)| = fn(^√1_n) = _2n^1√_n. Dal mo- mento che P∞

n=1 1

n^3/2 converge, la serie data converge totalmente in R.

Esercizio 0.6. Studiare convergenza puntuale e uniforme della serie

(0.6)

∞

X

n=1

x

ne^−nx, x ∈ R

Osserviamo che per x < 0, la serie non converge perch´e il termine generale non `e in- finitesimo. Per x ≥ 0 il termine generale tende a 0 per n → ∞ e la serie si comporta puntualmente come la serie numericaP

n 1

neⁿ che converge. Pertanto la serie data converge puntualmente per x ≥ 0. Per stabilire se si ha convergenza totale studiamo la serie numerica

∞

X

n=1

sup

x≥0

x ne^−nx

Risulta che f_n(x) = ^x_ne^−nx`e una successione crescente per x ≤ _n¹, quindi sup

x≥0

x

ne^−nx= 1 en² e la serie ¹_eP

n 1

n² converge. Concludiamo allora che la serie data converge totalmente in [0, +∞) e quindi ivi anche uniformemente.

Esercizio 0.7. Studiare convergenza puntuale, uniforme e totale della serie

(0.7)

∞

X

n=1

(−1)ⁿ 1

log(n + x²) x ∈ R

La serie non converge assolutamente puntualmente perch´e fissato x ∈ R 

(−1)ⁿ 1 log(n + x²)

∼= 1 log n e la serie P

n 1

log n non converge in nessun sottoinsieme di R. Pertanto la serie data non converge totalmente. La serie converge puntualmente ad una funzione f per il teorema di Leibniz, infatti fissato x ∈ R

(i) _log(n+x¹ ₂₎ ≥ 0 per ogni n ∈ N

(ii) lim_{n→∞log(n+x}¹ ₂₎ = 0

(iii) (_log(n+x¹ ₂₎)_n decrescente

E possibile inoltre stimare il resto n-esimo` 

∞

X

k=n+1

(−1)^k 1 log(k + x²)

≤ 1

log(n + 1 + x²) x ∈ R, n ∈ N pertanto

0 ≤ lim

n→∞sup

x∈R

|sn(x) − f (x)| = lim

n→∞sup

x∈R

∞

X

k=n+1

(−1)^k 1 log(k + x²)

≤ lim

n→∞

1

log(n + 1 + x²) = 0 da cui si deduce la convergenza uniforme in R della serie data.

Esercizio 0.8. Studiare la seguente serie di funzioni (0.8)

∞

X

n=1

nx²cos(nx²) n³+ 1

Verifichiamo la convergenza puntuale; fissato x ∈ R risulta 

nx²cos(nx²) n³+ 1

≤ x² 1

n²+ 1/n≤ x² n² pertanto, poich´e la serie P

n 1

n² converge la serie converge assolutamente puntualmente.

Inoltre dato che sup_x∈R|fn(x)| = +∞ (infatti lim sup_x→∞fn(x) = ∞), la serie non converge totalmente in R. La serie data non converge neppure uniformemente in R infatti essendo sup_x∈R|fn(x)| = +∞, il resto della serie non pu`o convergere. D’altra parte se sup_x∈R|fn(x)|

non `e infinitesimo per n → ∞ allora la serie non pu`o converge uniformemente, infatti

|fn(x)| = |

∞

X

k=n

fk(x) −

∞

X

k=n+1

fk(x)| ≤ |

∞

X

k=n

fk(x)| + |

∞

X

k=n+1

fk(k)|

Se la serie converge uniformemente sup_x∈R|P∞

k=nfk(x)| deve tendere a zero per n → ∞ e quindi anche sup_x∈R|fn(x)|. Per x ∈ [−a, a] risulta

nx²cos(nx²) n³+ 1

≤ na² n³+ 1 e

X

n

sup

x∈[−a,a]

|f_n(x)| ≤ a²X

n

n n³+ 1 quindi si ha convergenza totale nei compatti di R.

Esercizio 0.9. Studiare convergenza puntuale uniforme e totale della serie

(0.9)

∞

X

n=1

n^xxⁿ

Fissato x ∈ R, osserviamo che per |x| > 1 limn→∞|fn(x)| = ∞, mentre per |x| < 1, applicando il criterio della radice si ha

limn

pn

n^x|x|ⁿ = lim

n |x|(√ⁿ

n)^x= |x|

essendo limn ⁿ

√n^α = 1 per ogni α ∈ R, pertanto per |x| < 1 la serie data converge assolu- tamente puntualmente. Per x = 1 la serie diventa P

nn che diverge, mentre per x = −1 la serie diventa P

n(−1)^{n 1}_n che converge per Leibniz. La serie non converge totalmente in [−1, 1) infatti sup_x∈[−1,1)|fn(x)| ≥ f_n(1) = n, inoltre poich´e ||f_n|| non `e infinitesimo la serie non converge uniformemente. Fissato a < 1 si ha

sup

x∈[−1,a]

|fn(x)| = max{1

n, 0, n^aaⁿ} = 1 n

ma 1/n non `e il termine generale di una serie convergente. Se ci restringiamo ulteriormente sup

x∈[−a,a]

|fn(x)| = n^aaⁿ

e n^aaⁿ `e il termine generale di una serie convergente, pertanto la serie data converge total- mente in intervalli del tipo [−a, a] con 0 < a < 1

Esercizio 0.10 (Traccia d’esame (13 Luglio 2007)). Determinare l’insieme di convergenza puntuale e totale della serie

(0.10)

∞

X

n=1

x²ⁿ+ (2x)ⁿ n

Fisso x ∈ R, affinch´e il termine generale della serie sia infinitesimo per n `e necessario restringere il dominio a valori x tali che

 |x²| < 1

|2x| < 1

che `e soddisfatto per x ∈ (−1/2, 1/2). Osserviamo che per x = <sup>1</sup><sub>2</sub>, la serie pu`o essere minorata da una serie divergente, infatti

∞

X

n=1

(¹₄)ⁿ+ 1 n >

∞

X

n=1

1 n

quindi la serie data non converge in ¹₂. Invece per x = −¹₂, la serie diventa

∞

X

n=1

(¹₄)ⁿ+ (−1)ⁿ

n .

che converge perch´e somma di due serie convergenti. Tuttavia la serie data non converge assolutamente puntualmente per x = −¹₂ infatti il termine generale

₄¹n + (−1)ⁿ 

n =

( ₁₊ 1 4n

n n pari

1−_4n¹

n n dispari e per n sufficientemente grande 1 ± ₄¹_n ≥¹₂ quindi

₄¹n + (−1)ⁿ 

n ≥1

2 1 n

pertanto la serie data non converge assolutamente in −¹₂. Inoltre per x ∈ (−1/2, 1/2) la serie pu`o essere scritta come somma di due serie di potenze convergenti puntualmente pertanto la serie data converge puntualmente in (−1/2, 1/2). La convergenza `e totale (quindi uniforme) nei compatti contenuti in (−1/2, 1/2) infatti se [a, b] ⊂ (−1/2, 1/2)

∞

X

n=1

sup

x∈[a,b]

x²ⁿ+ (2x)ⁿ n

≤

∞

X

n=1

 sup

x∈[a,b]

x²ⁿ n

+ sup

x∈[a,b]

(2x)ⁿ n



=

∞

X

n=1

sup

x∈[a,b]

x²ⁿ n

+

∞

X

n=1

sup

x∈[a,b]

(2x)ⁿ n

< ∞.

Esercizio 0.11 (Traccia d’esame (17 Novembre 2008)). Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della serie

(0.11)

∞

X

n=1

5ⁿ

xⁿ+ 3ⁿ, x > 0.

Fisso x > 0, dal momento che 5ⁿ xⁿ+ 3ⁿ

∼=

 5

(max{x, 3})

ⁿ

si ha che

se x ≤ 3, allora max{x, 3} = 3 e la serie P

n 5 3

n

non converge se 3 < x ≤ 5, allora max{x, 3} = x e la serieP

n 5 x

n

non converge.

Si potrebbe anche osservare che per 0 ≤ x ≤ 5 la successione _xn⁵+3ⁿⁿ = ¹

(^x₅)ⁿ⁺(³₅)ⁿ non `e infinitesima per n tendente all’infinito in quanto ^x₅
ⁿ

+ ³₅
ⁿ

≤ 2 e ¹

(^x₅)ⁿ⁺(³₅)ⁿ ≥¹₂. Infine se x > 5 la serie data converge puntualmente perch´e si comporta come la serie geometrica di ragione minore di 1. Non si ha convergenza totale perch´e

sup

x>5

fn(x) = lim

x→5⁺

fn(x) = 5ⁿ

5ⁿ+ 3ⁿ = 1 1 + (3/5)ⁿ e la serie P

n 5ⁿ

5ⁿ+3ⁿ non converge perch´e il termine generale non va a zero. Inoltre poich´e sup_x>5fn(x) non tende a zero per n → ∞ non si ha neppure convergenza uniforme in (5, +∞). Se si fissa a > 5 la serie converge totalmente in [a, +∞), infatti

sup

x≥a

fn(x) = fn(a) = 5ⁿ aⁿ+ 3ⁿ

e la serie P

n 5ⁿ

aⁿ+3ⁿ converge perch´e _an⁵₊₃ⁿ_n < ⁵_a
ⁿ eP

n 5 a

ⁿ

converge. Pertanto la serie data converge totalmente e quindi anche uniformemente in [a, +∞) per a > 5.

Esercizio 0.12 (Traccia d’esame (17 Aprile 2007)). Studiare la convergenza puntuale, uni- forme e totale della serie

(0.12)

∞

X

n=1

1

1 + (3x)ⁿ, x ≥ 0.

Fisso x ≥ 0, il termine generale della serie converge a zero per 3x > 1, cio`e per x > ¹₃, inoltre dato che

1

1 + (3x)ⁿ ≤ 1 3x

ⁿ

e la serie P

n 1 3x

n

converge per x > 1/3, la serie data converge puntualmente per x ∈ (1/3, +∞).

Vediamo se si pu`o stabilire la convergenza totale. Calcoliamo sup<sub>x>1/3</sub>fn(x), osserviamo che lim<sub>x→+∞</sub>f<sub>n</sub>(x) = 0 e f<sub>n</sub>(x) `e una funzione decrescente, pertanto

sup

x>1/3

f_n(x) = lim

x→1/3⁺

f_n(x) =1 2 e la serie P

n 1

2 non converge, quindi la serie data non converge totalmente in (1/3, +∞) e neppure uniformemente dal momento che sup_x>1/3fn(x) non tende a zero per n → ∞.

Fissiamo a > 1/3 e osserviamo che

∞

X

n=1

sup

x≥a

fn(x) =

∞

X

n=1

fn(a) =

∞

X

n=1

1 1 + (3a)ⁿ. La serie P

n 1

1+(3a)ⁿ converge perch´e `e possibile stimare il suo termine generale con il ter- mine generale di una serie convergente, infatti _1+(3a)¹ _n ≤ _3a^1
n

. La serie data converge totalmente in intervalli del tipo [a, +∞) con a > 1/3.

Esercizio 0.13 (Traccia d’esame (5 Febbraio 2007)). Studiare la convergenza puntuale, uniforme e totale delle serie

(0.13)

∞

X

n=1

cos(nx)e^−n|x|, x ∈ R.

Per x = 0 si ha fn(x) = 1 per cui la serie diverge. Per ogni x ∈ R \ {0} possiamo stimare il termine della serie nel seguente modo

| cos(nx)e^−n|x|| ≤ e^−n|x|

per cui la serie converge assolutamente puntualmente in x ∈ R \ {0}. Abbiamo poi kfnk_R\{0}= 1 per cui non vi `e convergenza totale. La convergenza non `e nemmeno uniforme in quanto condizione necessaria per la convergenza uniforme `e che si abbia limn→∞kfnk = 0.

Per`o negli intervalli del tipo I = (−∞, −a] ∪ [a, +∞) con a > 0 abbiamo kfnkI ≤ e^−na che

`

e il termine di una serie convergente. Per cui c’`e convergenza totale negli intervalli di tipo I.

Esercizio 0.14 (Traccia d’esame (9 Settembre 2008)). Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della serie

(0.14)

∞

X

n=1

nxⁿ 1 + n²x².

Per |x| > 1 il termine generale della serie non `e infinitesimo, per cui la serie non converge.

Se |x| < 1 abbiamo che x²< 1 e quindi 

nxⁿ 1 + n²x²

≤    

nxⁿ x²+ n²x²

≤ |xⁿ⁻²| n

1 + n² ≤ |xⁿ⁻²| (0.15)

che `e il termine di una serie convergente.

Per x = −1 la serie diventa P∞

n=1(−1)ⁿ_1+nⁿ2 che `e una serie a segni alterni, inoltre limn→∞ n

1+n² = 0 e la successione _1+nⁿ2 `e decrescente; per il criterio di Leibniz la serie converge. La serie non converge assolutamente in quanto

(−1)ⁿ_1+nⁿ2

  ≥ 1/n.

Per x = 1 la serie non converge.

La serie dunque converge puntualmente in [−1, 1[ e assolutamente puntualmente in ] − 1, 1[.

La serie converge totalmente negli intervalli di tipo I = [−a, a] con 0 < a < 1 in quanto kfnkI ≤ aⁿ⁻².

Si lascia per esercizio lo studio della convergenza uniforme in [−1, a] con 0 < a < 1.