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1. Considerare la successione di funzioni

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Academic year: 2021

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Prima prova in itinere — 12 ottobre 2002

1. Considerare la successione di funzioni

f n (x) = n α xe −nx , x, α ∈ R.

Mostrare che la successione:

a) converge a 0 ∀x ∈ [0, +∞[ per ogni α.

b) converge uniformemente in [1, +∞[ per ogni α.

Discutere inoltre la convergenza uniforme in [0, 1] al variare di α.

2. Data la serie di funzioni

X ∞ n =1

(x log x) n

determinare un intervallo [a, b] in cui ci sia convergenza uniforme.

3. Determinare lo sviluppo di Taylor centrato nell’origine della derivata della funzione

g (x) = xe −x

2

4. Data la serie di potenze

X ∞ n =1

x n log(1 + n)

calcolare il raggio di convergenza ρ e studiare la convergenza nei punti ±ρ.

Riferimenti

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