Risposta in frequenza
• Abbiamo già visto la risposta in frequenza di un sistema del I ordine.
Risposta in frequenza
• Richiami di algebra complessa:
Risposta in frequenza
• Ottenere la risposta a tempi lunghi era stato particolarmente tedioso. Ma…
• Valutiamo la funzione di trasferimento per s=iω:
• Si può provare per qualsiasi sistema lineare fisicamente accettabile
Risposta in frequenza
• Esempi
• Sistema puramente capacitativo:
• II ordine
∠
Risposta in frequenza
• Esempi • Ritardo: • Controllore Proporzionale • Controllore Integrale • Controllore PI ∠ ∠ ∠ ∠Risposta in frequenza
• Esempi • Controllore Derivativo • Controllore PID ∠ ∠Risposta in frequenza
• Diagrammi di Bode: Log (AR/K) e φ su Log ωτ • Esempio:
Risposta in frequenza
Risposta in frequenza
Risposta in frequenza
Risposta in frequenza
Sintesi del controllore con la risposta
in frequenza
• Sollecitiamo il set point con un seno:
• In uscita a tempi lunghi:
• Possiamo scegliere la frequenza in modo che il ritardo di fase sia −π (ovvero ωco).
H(s) x y Gd(s) d G(s) GF(s) Gc(s) ys ym ε c ∠
Sintesi del controllore con la risposta
in frequenza
• Rimuoviamo il forzamento e chiudiamo il loop:
• La sollecitazione si amplifica o si riduce dipendentemente da AR/K: – AR/K>1: amplificazione – AR/K<1: contrazione H(s) x y Gd(s) d G(s) GF(s) Gc(s) ym ε c
Sintesi del controllore con la risposta
in frequenza
• CRITERIO DI BODE:
• Un sistema a loop chiuso è instabile se la risposta in frequenza della GOL ha una ampiezza maggiore di 1 alla frequenza di crossover, altrimenti è stabile. • Il ritardo di fase deve essere monotono
decrescente
Risposta in frequenza
Configurazione del controllore con la
risposta in frequenza
• Margine di fase e margine di guadagno
• Supponiamo che la GOL abbia una risposta in frequenza come in
figura
• Alla frequenza di cross-over AR vale A
– Se A>1 il sistema è instabile: il
controllore è stato mal configurato – Se A<1 il sistema è stabile
Configurazione del controllore con la
risposta in frequenza
• Intuitivamente se A è di poco più piccolo di 1 il sistema è “quasi
instabile”
• Conviene introdurre un fattore di sicurezza.
• Conviene regolare il controllore in modo che A disti a sufficienza da 1: MARGINE DI GUADAGNO =1.7
Configurazione del controllore con la
risposta in frequenza
• Il margine di guadagno è spesso dato in decibel:
• Un altro margine frequentemente usato per il design è quello di fase. • Si configura il controllore in modo
da avere un ritardo di fase
sufficientemente lontano da –180°. • In genere 30° da –180°
Configurazione del controllore con la
risposta in frequenza
• Esistono dei criteri che soddisfano i margini di fase e di guadagno ed inoltre determinano una adeguata risposta.
• Ziegler-Nichols (1942)
– Si diagramma Bode per la GOL senza il controllore
– Al cross-over si determina AR: nella logica del criterio di Bode siamo sulla soglia della instabilità quando AR=1/A
Configurazione del controllore con la
risposta in frequenza
• Ziegler-Nichols (1942)
– Con i parametri così determinati si entra nelle tabelle
– Nel caso di controllo proporzionale margine di guadagno 2 – Il contributo integrale introduce ritardo di fase a tutte le
frequenze quindi kc deve diminuire per mantenere il margine di guadagno
– Il contributo derivativo genera un anticipo e permette un più grande kc.
Configurazione con la risposta in frequenza
• Ziegler-Nichols (1942)
– Modifica dei settaggi originali
Configurazione del controllore con la
sintesi diretta
• Un modo diverso di configurare il controllore si basa sulla sintesi diretta.
• Si decide che tipo di risposta si vorrebbe avere e si configura il controllore in modo da soddisfare la
richiesta
• Problema SERVO
Configurazione del controllore con la
sintesi diretta
• Per l’assegnato processo si determina Gc in modo da avere la risposta desiderata:
Configurazione del controllore con la
sintesi diretta
• Esempio
Modello del processo non esistente
metodo della curva di reazione
• Si identifica la GOL
sollecitandola a step nel set-point
• Stima parametri
– α: disegnare la tangente nel flesso e misuro l’intercetta – K:
