Quartili Distribuzione di frequenza Distribuzione di frequenza unitaria Varianza Distribuzione di frequenza Distribuzione di frequenza unitaria Media

Media

Distribuzione di frequenza unitaria

1

1

ⁿ

i i

x x

n



 

Distribuzione di frequenza

1

1

^k

j j j

x x n

n

_

 

^dove

^{x x}

¹

^,

²

^{,..., x}

^k sono le k modalità distinte e

n  n

₁

 n

₂

  ... n

_k.

Varianza

Distribuzione di frequenza unitaria

2 2

1

1 ( )

n i i

x x

 n



  

^{2 2 2}

1

1

ⁿ

i i

x x

 n



  

Distribuzione di frequenza

2 2

1

1 ( )

k

j j

j

x x n

 n



  

^{o 2 2 2}

1

1

^k

j j j

x n x

 n



  

dove

x x

₁

,

₂

,..., x

_k sono le k modalità distinte e

n  n

₁

 n

₂

  ... n

_k.

Quartili

1

1

1 1

1

1 1

1

0.25

_Q

Q Q

Q Q

Q I F

F F





  

         

2

2 2

2 2

1 2

1

0.5 _Q

Q Q

Q Q

Me Q I F

F F





  

    

3

3 3

3 3

1 3

1

0.75 _Q

Q Q

Q Q

Q I F

F F





  

   

Qi

I

è l’estremo inferiore della classe dove cade l’i-esimo quartile

Qi

F

è la frequenza relativa cumulata della classe che contiene l’i-esimo quartile

i 1

F

Q_ è la frequenza relativa cumulata fino alla classe precedente a quella in cui cade l’i-esimo quartile

Qi



è l’ampiezza della classe dove cade l’i-esimo quartile

Concentrazione

 

1 1

1 1

R=

n

i i

i n i i

F Q F



 



 



dove i

F i

 n

_{, i} ⁱ

n

Q A

 A

_,

A

_i

  x

₁

x

₂

  ... x

_i e

x

₁

 x

₂

  ... x

_n

Associazione

'_ij n nⁱ0 0^j

n  n rappresentano le frequenze teoriche nel caso di indipendenza.

  

1

Cov(X,Y)= 1

n

xy i i

i

x x y y

 n



   

1

1

ⁿ

xy i i

i

x y xy

 n



  

xy xy

x y

 

  

Probabilità

A e B siano due eventi:

       

P A  B  P A  P B  P A  B

A e B sono eventi incompatibili se : A  B  

A e B sono eventi indipendenti se : P A   B   P A P B      La probabilità condizionata di A dato B è :   ^ _{ } ^

B P

B A B P

A

P  

 ^{A B}  ^P   ^{A B P}   ^{B P}   ^{B A P}   ^A

P   

V.c. Binomiale

( ) ! 0,1,...,

!( )!

x n x x n x

n n

p x p q p q x n

x x n x

 

         

V.c. Normale

 ^,

²



~ N  

X

standardizzazione

X ~ N   0 , 1

Z 



  ( ) z P Z ( z )

  

(1.282) 0.90

  (1.645)0.95 (1.96)0.975

(2.326) 0.99

   (2.575)  0.995

Stimatori

Lo stimatore T è uno stimatore corretto di



se E T( )



Distorsione di uno stimatore: B T( )E T( )



Errore quadratico medio di uno stimatore:

^{MSE T ( )  E } _  ^{T  } 

²

^ _ ^{ Var T ( )  B T ( )}

²

T

1 è più efficiente di

T

₂ se e solo se

MSE T ( )

₁

 MSE T ( )

₂

Lo stimatore

T

_n è consistente in media quadratica se

^{lim ( )}

n

^lim 

n



²

⁰

n

MSE T

n

E T 







     

^.

Intervallo di confidenza

Intervallo di confidenza della media

 della popolazione al livello

1   Varianza incognita(n >120) Varianza nota

/2 /2

(1 )

_n

-z S ;

_n

z S

IC x x

n n

 

 ^{ }

       (1 ) IC x

_n

-z

^/2

; x

_n

z

^/2

n n









 ^{ }

      

dove

  



 

 ⁿ

i

i x

n x S

1 2 2

1

1 _e

1

1 ⁿ

n i

i

x x

n _





Intervallo di confidenza per la proporzione

 di una popolazione bernoulliana al

livello 1   per n grande (n>30)

/2 /2

(1 ) (1 )

(1 )

_n

-z x

ⁿ

x

ⁿ

;

_n

z x

ⁿ

x

ⁿ

IC x x

n n

 

 ^{   }

    

 

dove

1

ˆ 1 o

n

n i

i

x x



n







^.

Verifica di ipotesi

Regione di rifiuto al livello di significatività  per la verifica d’ipotesi sulla media



della popolazione

Varianza incognita(n >120) Varianza nota

Statistica test X ⁰ Z S n



  Statistica test X ⁰

Z n





 

dove

1

1 ⁿ

i i

X X

n _





^.

 

0 0

1 0

: :

H R Z z

H

^

 

 

  



^{0 0}

 

1 0

: :

H R Z z

H

^

 

 

   



 

0 0

/2

1 0

: | |

:

H R Z z

H

^

 

 

  



Regione di rifiuto ad un livello di significatività  per la verifica d’ipotesi sulla proporzione  di una popolazione bernoulliana per n grande (n>30):

Statistica test ⁰

0(1 0) Z X

n



 

 



 

0 0

1 0

: :

H R Z z

H

^

 

 

  



^{0 0}

 

1 0

: :

H R Z z

H

^

 

 

   



 

0 0

/2

1 0

: | |

:

H R Z z

H

^

 

 

  



dove

1

ˆ 1 o

n i i

X X



n







^.