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(1)

FACOLTA’ DI INGEGNERIA

Corso di Fisica Tecnica Ambientale

E

SERCIZI SVOLTI

(2)

Determinare il flusso termico per unità di superficie che attraversa in regime permanente una lastra piana omogenea dello spessore di 38 mm con le due facce mantenute alle temperature di 311 K e 294 K (k = 0.19 W/mK). 1 T x  T₂ k





2 2 1 85 038 . 0 ) 294 311 ( 19 . 0 m W m K mK W x T T k A q      

(3)

Il coefficiente di trasmissione del calore per convezione forzata per un fluido caldo che scorre alla temperatura di 394 K su una superficie fredda vale 227 W/m2_{K. Sapendo che la temperatura} della superficie è 283 K, determinare il flusso termico unitario trasmesso dal fluido alla superficie. f T Tp _h





227 ₂ (394 283) 25197 ₂ 25,2 ₂ m kW m W K K m W T T h A q p f      

(4)

Determinare il raggio critico per un tubo ricoperto di isolante (k = 0.208 W/mK) esposto ad aria sapendo che il coefficiente di scambio termico convettivo dell’aria è 8.51 W/m2_K.

h k cm m K m W mK W h k r 0.0244 2.44 51 . 8 208 . 0 2    

(5)

Un forno industriale è costruito con una muratura di mattoni spessa 0.22 m, avente coefficiente di conducibilità termica k1 = 0.95 W/mK, ed è ricoperto all’esterno da uno strato di 0.03 m di materiale isolante, avente conducibilità termica k2 = 0.06 W/mK. La superficie interna del muro si trova alla temperatura di 1000°C, mentre quella esterna dell’isolante a 40°C. Calcolare la quantità di calore trasmessa per unità di superficie e la temperatura interfacciale fra il muro e l’isolante. 1 T _T 2 T3 1 x  x₂ k1 k2          mK W m mK W m K k x k x T T A q 06 . 0 03 . 0 95 . 0 22 . 0 ) 40 1000 ( 2 2 1 1 3 1 K m W 2 1312 A q _ _ _ _ _ _ _ _ _    C mK W m m W T k x A q T k x T T 40 06 . 0 03 . 0 1312 ₂ 3 2 2 2 2 2 3 2 C  696

(6)

Un cilindro di rame ha raggio interno di 1 cm ed esterno di 1.8 cm, la superficie interna e quella esterna sono mantenute rispettivamente a 305 K e 295 K e la conducibilità termica k varia linearmente con la temperatura secondo la legge k = k0 (1+ b Tm) dove k0 = 371.9 W/mK e b = -9.25 x10-5_K-1_{. Valutare le perdite di calore per unità di lunghezza.}

2 r 1 r k m k r r T T L q  2 ) / ln( ₂ ₁ 2 1   con: ) 1 ( _m o m k bT k   essendo 2 2 1 T T T_m   K K 300K 2 295 305    . Pertanto:    _o(1 _m) m k bT k 371.9    K  K  mK W 300 ) 10 25 . 9 1 ( 5 1 361.58 mK W









m W mK W m m K L q 65 . 38 58 . 361 2 0 01 . 0 018 . 0 ln 295 305     

(7)

Un tubo di acciaio con diametro esterno di 7.5 cm è ricoperto con uno strato di 1.25 cm di materiale plastico, avente conducibilità termica pari a 0.207 W/mK, il quale è a sua volta ricoperto da uno strato di 5 cm di lana di vetro, la cui conducibilità termica vale 0.055 W/mK. Sapendo che le temperature esterne del tubo di acciaio e della lana di vetro valgono rispettivamente 200°C e 35°C, determinare il flusso termico per metro lineare e la temperatura interfacciale fra il materiale plastico e la lana di vetro.

1 T T₂ T₃ 1 r r2 r₃ L k_am k_lv

Il flusso lineare può essere valutato attraverso i due strati di materiale plastico e lana di vetro, ai cui estremi sono note le temperature:

















m W mK W m m mK W m m K k r r k r r T T L q 85 . 73 0548 . 0 2 05 . 0 1 . 0 ln 207 . 0 2 0375 . 0 5 0 . 0 ln ) 35 200 ( 2 ln 2 ln 2 2 3 1 1 2 3 1           

Per valutare la temperatura interfacciale tra materiale plastico e lana di vetro si sfrutta la conduzione attraverso uno dei due strati, ad esempio il primo:

   kL r r T T q  2 ) / ln( 3 2 3 2 T2 = T3 + kL r r q  2 ) / ln( ₃ ₂ =     ln(10 /5 ) 055 . 0 2 85 . 73 35 cm cm mK W m W C  183.66°C

(8)

Un muro di calcestruzzo spesso 15 cm, con conduttività termica k = 0.87 W/mK, è esposto dal lato interno ad aria a 25°C e dall’altro ad aria a 0°C. Il coefficiente di scambio termico convettivo per l’aria interna vale 10.46 W/m2_{K mentre per quella esterna vale 52.3 W/m}2_{K. Determinare il} flusso termico e la temperatura sulle due facce del muro.

T_i T_e h_i h_e 1 x  T₂ T₁ _k 2 2 2 1 . 87 46 . 10 1 87 . 0 15 . 0 3 . 52 1 ) 0 25 ( 1 1 m W K m W mK W m K m W K h k x h T T A q e i e i           C K m W m W C A h q T T h T T A q i i i i           16.7 46 . 10 1 . 87 25 1 2 2 1 1 C K m W m W C A h q T T h T T A q e e e e           1.7 3 . 52 1 . 87 0 1 2 2 2 2

(9)

Del vapore scorre in un tubo di acciaio avente raggio interno pari a 5 cm ed esterno pari a 5.7 cm, rivestito da uno strato di isolante di 2.5 cm. I coefficienti di scambio termico convettivo interno ed esterno valgono rispettivamente 87.1 W/m2_{K e 12.43 W/m}2_{K, mentre i coefficienti di} conducibilità per l’acciaio e per l’isolante valgono rispettivamente 45 W/mK e 0.071 W/mK. Determinare il coefficiente globale di scambio termico.

1 T T₂ T3 i T e T 1 r r₂ _r 3 L 1 k k2 i h e h









K m W K m W mK W m m m mK W m m m K m W m m h k r r r k r r r h r r U e i 2 2 2 2 2 3 3 1 1 2 3 1 3 5 . 0 43 . 12 1 071 . 0 ) 57 . 0 / 082 . 0 ln( 082 . 0 45 ) 05 . 0 / 057 . 0 ln( 082 . 0 1 . 87 05 . 0 082 . 0 1 1 ln ln 1            

(10)

Sia dato un muro piano costituito da uno strato di pietra ed uno di calcestruzzo, di spessore uguale e pari a 10 cm, separati da un’intercapedine d’aria di 30 cm. Il muro separa due ambienti a temperatura rispettiva di 40°C e 20°C, aventi coefficiente di scambio convettivo pari rispettivamente a 30 e 5 W/m2_{K. Sapendo che i coefficienti di conducibilità della pietra, del} calcestruzzo e dell’aria valgono rispettivamente 1.5 W/mK, 1.2 W/mK e 0.022 W/mK, determinare il flusso scambiato e l’andamento della temperatura nei casi in cui:

a) l’aria non dia luogo a moti convettivi

b) l’aria dia luogo ad uno scambio per convezione con coefficiente h pari a 2.5W/m2_K.

a) T_i T_e h_i h_e 1 x  x₂ x₃ k₁ k₂ k₃ T₁ T2 T3 T₄ ) (T_e T_i U A q   dove K m W K m W mK W m mK W m mK W m K m W h k x k x k x h U e i 2 2 2 3 3 2 2 1 1 07 . 0 5 1 2 . 1 1 . 0 022 . 0 3 . 0 5 . 1 1 . 0 30 1 1 1 1 1              

avendo supposto l’aria in quiete e quindi lo scambio attraverso di essa per conduzione. Pertanto:

) (Te Ti U A q   0.07 ₂ (40 20) 1.4 ₂ m W K K m W   

(11)

C K m W K m C A h q T T T T A h q e e e e           39.95 30 4 . 1 40 ) ( 2 2 1 1 C C K m W K m W T A h q T T T A h q i i i i           20 20.28 5 4 . 1 ) ( 2 2 4 4

Per determinare T2 e T3 si sfrutta invece la conduzione, rispettivamente attraverso gli strati 1 e 3:

C mK W m K m W C k x A q T T k x T T A q C mK W m K m W C k x A q T T k x T T A q                          4 . 20 2 . 1 1 . 0 4 . 1 28 . 20 86 . 39 5 . 1 1 . 0 4 . 1 95 . 39 2 3 3 4 3 3 3 4 3 2 1 1 1 2 1 1 2 1 b) Ti Te hi he 1 x  x₂ x₃ k1 k3 T₁ T₂ T₃ T₄ haria

Procedendo come nel caso precedente:

K m W x x U 2 3 1 26 . 1 1 1 . 0 1 1 . 0 1 1 1 1 1 1             

(12)

Come per il caso a) per determinare T1 e T4 si sfrutta la convezione rispettivamente per l’aria esterna ed interna: C K m W K m W C A h q T T T T A h q e e e e           39.16 30 2 . 25 40 ) ( 2 2 1 1 C C K m W K m W T A h q T T T A h q _i i i i           20 25.04 5 2 . 25 ) ( 2 2 4 4

e per determinare T2 e T3 si sfrutta la conduzione rispettivamente attraverso gli strati 1 e 3:

C mK W m K m W C k x A q T T k x T T A q C mK W m K m W C k x A q T T k x T T A q                           6 . 27 2 . 1 1 . 0 2 . 25 04 . 25 48 . 37 5 . 1 1 . 0 2 . 25 16 . 39 2 3 3 4 3 3 3 4 3 2 1 1 1 2 1 1 2 1

(13)

Sia dato un muro di 50 cm che separa due ambienti rispettivamente a temperatura di 18°C e 40°C, aventi coefficienti di convezione pari rispettivamente a 3.5 e 29 W/m2_K.

Calcolare il flusso termico che attraversa il muro e l’andamento della temperatura nei tre casi: a) muro di pietra arenaria con coefficiente di conducibilità pari a 1.5 W/mK;

b) muro composto da tre strati (arenaria, mattoni forati, polistirolo) di spessore rispettivo pari a 30, 15 e 5 cm con coefficienti di conducibilità rispettivamente pari a 1.5 W/mK, 0.35W/mk, 0.0035 W/mK.

c) muro di arenaria con conducibilità termica variabile con la temperatura con la legge k = 1.5W/mK(1+10-3_K-1_T). a) T_i T_e h_i h_e 1 x  T₂ T₁ _k ) (T_e T_i UA q  2 2 2 2 2 66 . 33 ) 18 40 ( 53 . 1 53 . 1 29 1 5 . 1 5 . 0 5 . 3 1 1 1 1 1 m W K K m W A q K m W K m W mK W m K m W h k x h U e i            Pertanto: C W K m W C A h q T T T T A h q e e e e           38.84 29 66 . 33 40 ) ( 2 2 1 1

(14)

k1 x1  x2 x3 k2 k3 T_i T1 h_i h_e Te T2 T3 T4 ) (T_e T_i UA q  con 2 2 2 2 2 3 3 2 2 1 1 44 . 1 ) 18 40 ( 065 . 0 ) ( 065 . 0 29 1 0035 . 0 05 . 0 35 . 0 15 . 0 5 . 1 3 . 0 5 . 3 1 1 1 1 1 m W K K m W T T U A q K m W K m W mK W m mK W m mK W m K m W h k x k x k x h U i e e i                    Pertanto: C K m W K m W C A h q T T T T A h q e e e e           39.95 29 44 . 1 40 ) ( 2 2 1 1 C C K m W K m W T A h q T T T A h q _i i i i           18 18.41 5 . 3 44 . 1 ) ( 2 2 4 4 C mK W m K m W C k x A q T T x T T A q              39.66 5 . 1 3 . 0 44 . 1 95 . 39 ₂ 1 1 1 2 1 2 1

(15)

T_i T_e h_i h_e 1 x  T₂ T₁ _k mK W K K mK W T T b k k k k con h k x h U m i m e 53 . 1 ) 2 84 . 38 62 . 27 ( 10 1 5 . 1 2 1 2 1 1 1 1 3 2 1 0 2 1      _                         

Essendo T1 e T2 quelle determinate per il caso a). Pertanto:

2 2 2 2 2 1 . 34 ) 18 40 ( 55 . 1 ) ( 55 . 1 5 . 3 1 53 . 1 5 . 0 29 1 1 m W K K m W T T U A q K m W K m W mK W m K m W U i e         

(16)

Con riferimento alla parete composta schematizzata in figura si determini la potenza termica trasmessa per unità di superficie, sapendo che i coefficienti di conducibilità termica dei vari elementi valgono rispettivamente k1 = 175 W/mK, k2’ = 35 W/mK, k2’’ = 60 W/mK, k3 = 80 W/mK e che le temperature sulle facce esterne valgono rispettivamente 370°C e 66°C.

k₁ x₁  x₂ x₃ k"₂ k₃ k'₂ T₁ T₂ T₃ T₄ ) (T₁ T₄ UA T UA q    dove



 i R UA 1

Le resistenze sono rappresentabili per mezzo dell’analogia elettrica

1 T R1 T4 R'₂ R₃ R"₂ con W K m mK W m A k x R 0.0014 1 . 0 75 . 1 10 5 . 2 2 2 1 1 1       

(17)

W K m mK W m A k x R 0.00625 1 . 0 80 10 5 2 3 3 3       ed W K W K W K R R R 0.0158 025 . 0 1 043 . 0 1 1 ' ' 1 ' 1 1 2 2 2      Pertanto: W K W K R R R R_TOT  ₁  ₂  ₃ (0.00140.01580.00625) .0234 44 10 7 . 22 1 1 3     



W K R UA i K W kW K K W T T UA q ( 1  4)44 (37066) 13.4

(18)

Determinare le temperature nodali dei punti a, b, c, sapendo che il materiale è omogeneo ed isotropo e che le temperature delle superfici interna ed esterna valgono rispettivamente 150°C e 50 °C. a b c c' b' Ti Te nodo a: T_b'T_bT_iT_e4T_a 0 nodo b: T_i T_c T_a T_e4T_b 0 nodo c: T_b T_i T_eT_b 4T_c 0 sostituendo: nodo a: T_b' T_b 50504T_a 0 nodo b: 150T_c T_a504T_b 0 nodo c: T_b 15050T_b4T_c 0

ed essendo il corpo omogeneo ed isotropo

' b b T T  e Tc Tc'. Pertanto : 0 4 100 2T_b   T_a  2T_a T_b 50 0 4 100   T T T 4T T 200

(19)

Derivare l’equazione della temperatura nodale per il caso di un nodo in un angolo esterno con: a) uno dei lati contigui isolato e l’altro soggetto ad un trasporto termico convettivo;

b) con ambedue i lati contigui isolati.

a) 1 2 e x n h k x b) 1 2 x x n k a)     x T T x k ( _n) 2 1 2     x T T x k ( _n) 2 2 2 0 2 ) ( 2   x T_e T_n h







   T Tn x k 1 2







  n T T x k 2 2





0 2 2   x T_e T_n h





0 2 1        _n _n T_e T_n k x h T T T T 0 2 2 1        _       _e T_n k x h T k x h T T b)     x T T x k ( _n) 2 1 2 0 ) ( 2 2 2     x T T x k _n 0 2 1TnT Tn  T 0 2 2 1T  Tn T

(20)

Stimare per il caso a) dell’esercizio 13 lo scambio convettivo nel punto n sapendo che le temperature dei punti 1 e 2 e quella esterna valgono rispettivamente 80°C, 100°C e 40°C, che il coefficiente di scambio termico convettivo è pari a 12 W/m2_{K è che il numero di Nusselt è pari a} 6. 1 2 e x n h k x

Utilizzando il risultato trovato nell’esercizio 13, si ha:

0 2 2 1        _       _e T_n K x h T K x h T T T₁T₂NuT_e



2Nu



T_n 0 e sostituendo:



2 6



0 40 6 100 80     T_n  C T_n 52.5 Pertanto:



Tn Te



h x q A q     ₂ 12 ₂



52.5 40



150 ₂ m W C C K m W      

(21)

Stimare il flusso termico che attraversa le superfici a e b in corrispondenza dei punti 5, 6, 7 ed 8 relativamente alla configurazione di figura, la cui conducibilità termica è pari a 2W/mK, sapendo che la temperatura del punto 4 è 150°C e che quella delle superfici esterne è pari rispettivamente a: Ta = 200°C, Tb = 200°C Tc = 200°C Td = 200°C. b a d c 2 1 4 3 6 5 7 8 T_b T₄ T_c T_d T_a k L L

L’equazione del flusso termico che attraversa le superfici a e b in corrispondenza dei punti 5, 6, 7 ed 8 può scriversi:







1 5



15 5 1 2 15 k T T L q T T L kL q      e analogamente:



1 7



17 T T k L q _ _ ; 26



₂ ₆



T T k L q _ _ ; 38



₃ ₈



T T k L q _ _

Occorre preliminarmente scrivere le equazioni dei punti nodali per determinare le temperature dei punti 1, 2 e 3. : : : 3 2 1 T T T                     0 4 0 4 0 4 3 8 4 1 2 1 4 6 1 7 3 2 5 T T T T T T T T T T T T T T T c d : : : 3 2 1 T T T                     0 4 150 100 100 0 4 150 200 200 0 4 100 200 3 1 2 1 1 3 2 T T T T T T T             550 0 300 4 1 3 2 1 T T T T T

(22)

0 300 4 350 4 550 4 1 1 1        T T T C T₁ 110.7 C T₂ 165.2 C T₃ 115.2 Pertanto:



1 5



15 T T k L q  





m W C C mK W 6 . 178 200 7 . 110 2      



2 6



26 T T k L q  





m W C C mK W 6 . 69 200 2 . 165 2      



1 7



17 T T k L q  





K W C C mK W 4 . 21 100 7 . 110 2      



3 8



38 T T k L q  





m W C C mK W 4 . 30 100 2 . 115 2      