Appunti di Analisi Matematica
Prof. Chirizzi Marco
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CAPITOLO I
Funzioni di una variabile
1.1 Concetto di funzione
Una variabile y si dice funzione di una variabile x quando esiste una legge, di natura qualsiasi, la quale faccia corrispondere ad ogni valore di x , appartenente ad un insieme I , uno ed un solo valore di y. Per denotare che y è una funzione di x , si scrive:
), (x f y= oppure: ) ( :x f x f →
La lettera x prende il nome di variabile indipendente; la lettera y prende il nome di variabile
dipendente. L’insieme I , che compare nella definizione di funzione, si chiama dominio della
funzione. L’insieme dei valori di una funzione, si chiama condominio della funzione stessa.
1.2 Funzioni esprimibili analiticamente
Fra le funzioni esprimibili analiticamente, esistono quelle il cui valore può essere ottenuto eseguendo un numero finito di operazioni matematiche ( somme, prodotti, quozienti, potenze,
logaritmi e funzioni goniometriche ) sul valore della variabile indipendente . Queste funzioni si
dicono elementarmente calcolabili. Un esempio di funzione elementarmente calcolabile è la seguente:
5
− = x y
il cui insieme I di definizione è:
[
+∞[
= 5,
Esistono, però, delle funzioni y= f(x), il cui valore si deduce da quello dato alla x eseguendo su questo valore operazioni diverse da quelle sopra enunciate.
Le funzioni analitiche sono di due tipi: algebriche e trascendenti. Una funzione si dice algebrica se può essere ridotta ad una equazione algebrica di grado qualsiasi nelle variabili x ed y . Esempi di funzioni algebriche sono:
Una funzione si dice trascendente se non è algebrica. Esempi di funzioni trascendenti elementari sono: le esponenzia funzione a con a x f aritmica funzione a e a con x x f ca goniometri funzione x x f ca goniometri funzione x sen x f x a ) 0 ( ) ( log ) 1 0 ( log ) ( ; cos ) ( ; ) ( > = ≠ > = = =
1.3 Insiemi di esistenza di una funzione
L’insieme di esistenza di una funzione y= f(x) è l’insieme dei valori di x che rendono possibili tutte le operazioni matematiche che bisogna eseguire su di essa per avere il valore della variabile y . E’ bene ricordare che le operazioni di somma, differenza e prodotto sono sempre possibili, mentre la divisione perde di significato quando il divisore è nullo.
e irrazional funzione x x f fratta razionale funzione x x x f razionale funzione x x x f 5 3 4 5 12 8 ) ( ; 2 ) ( ; 3 4 ) ( − = + = − + =
