6. MATEMATICA - Classe III B Liceo Scientifico ''C. Darwin'' di Roma

Testo completo

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FIBONACCI:

Dalla Sezione Aurea al

Trading

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Leonardo Fibonacci detto Leonardo Pisano, matematico italiano (Pisa 1170-1240), figlio di Guglielmo Bonacci, nacque a Pisa intorno al 1170. Suo padre era segretario della Repubblica di Pisa e responsabile a partire dal 1192 del commercio pisano presso la colonia di Bugia, in Algeria, dove i Pi-sani intrattenevano fiorenti traffici commerciali. Alcuni anni dopo il 1192, Bonacci portò suo figlio con lui a Bugia.

Il padre voleva che Leonardo divenisse un mercante e così provvedette al-la sua istruzione nelle tecniche del calcolo, specialmente quelle che riguar-davano le cifre indo-arabiche, che non erano ancora state introdotte in Eu-ropa. In seguito Bonacci si assicurò l'aiuto di suo figlio per portare avanti il commercio della repubblica pisana e lo mandò in viaggio in Egitto, Siria, Grecia, Sicilia e Provenza. Leonardo colse l'opportunità offertagli dai suoi viaggi all'estero per studiare e imparare le tecniche matematiche impiega-te in quesimpiega-te regioni. Utilizzò quesimpiega-te esperienze per migliorare le impiega-tecniche del calcolo commerciale che già conosceva e per estendere le ricerche dei matematici classici, tra i quali i greci Diofanto ed Euclide. Intorno al 1200, Fibonacci tornò a Pisa, dove per i seguenti venticinque anni lavorò alle sue personali composizioni matematiche.

A trentadue anni nel 1202 pubblicò la prima edizione del Liber Abaci ("Il Li-bro dell'Abaco"), un saggio che rivoluzionava i sistemi di numerazione e al-lo stesso tempo era un manuale di calcoal-lo ad uso dei mercanti. Nel Liber

Abaci, Fibonacci espone i fondamenti di algebra e matematica usati nei

paesi Arabi.

Fibonacci introdusse il sistema decimale e l'uso delle cifre arabe in Europa basandosi sulle nozioni di aritmetica e di algebra che aveva accumulato durante i suoi viaggi. Scrisse di problemi pratici di matematica finanziaria e di agrimensura, di problemi di enigmistica. I suoi indovinelli matematici, che venivano spesso presentati sotto forma di storia, divennero classici già nel XIII secolo.

Un problema esposto nel Liber Abaci riguarda sette vecchie che andavano a Roma, ognuna con sette muli, ogni mulo carico di sette sacchi, ogni sac-co sac-contenente sette pani, per ogni pane sette sac-coltelli, ogni sac-coltello in sette foderi. Ci si domanda quanti oggetti sono stati trasportati globalmente e

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l'autore fornisce la risposta applicando il concetto della "serie geometrica" con valore iniziale 7 e ragione 7, i cui 6 termini devono essere sommati e come totale si ottiene 137.256 oggetti (comprese le 7 vecchie.)

È del 1220 il De practica geometriae, nel quale applicò il nuovo sistema aritmetico alla risoluzione di problemi geometrici.

Nel 1225 Fibonacci pubblicò il Liber quadratorum che costituisce un bril-lante lavoro sulle equazioni indeterminate di 2° grado nel quale è visibile l'influsso della tradizione culturale araba.

La reputazione di Leonardo come matematico divenne così grande che l'imperatore Federico II gli chiese un'udienza nel 1223. Durante il soggior-no a Pisa, si svolse un singolare torneo, dove si sfidarosoggior-no abachisti e algo-ritmisti armati di carta, penna e pallottoliere che dimostra in via definitiva come con le tecniche di calcolo secondo il metodo appreso dagli arabi si potessero effettuare calcoli complessi più velocemente che con qualsiasi abaco. Fibonacci risolve il problema con una velocità tale da far persino so-spettare che la gara fosse truccata.

Il problema posto era il seguente: “Quante coppie di conigli si ottengono in

12 mesi posto che ogni coppia dia alla luce una nuova coppia ogni mese e che le nuove coppie nate siano in grado di riprodursi già al secondo mese di vita?”

La risposta si ricava semplicemente dalla famosa serie di Fibonacci: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233... dove ogni nuovo numero rappresen-ta la somma dei due precedenti.

Supponiamo di avere ancoppie di conigli dopo n mesi. Il numero di coppie

in n+1 mesi sarà an (in questo problema i conigli non muoiono mai) più il

numero di nuove coppie nate. Ma queste nuove coppie sono nate sola-mente a coppie che hanno almeno un mese, così ci saranno an-1 nuove coppie, cioè an+1 = an + an-1. Infatti:

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In seguito stata inoltre accertata un'attiva corrispondenza scientifica tra Federico II e Fibonacci. L'Imperatore Svevo lesse e dimostrò di comprende-re i testi di Fibonacci; al punto che gli sottopose una serie di quesiti, aven-do come risposta alcuni interessanti corollari intorno alla teoria delle fra-zioni. Federico II divento in seguito il suo protettore e non è escluso che colloqui ed il successivo epistolario fra l'imperatore e il matematico pisano abbiano esercitato una certa influenza nella progettazione di Caste del Monte.

Il decreto della Repubblica di Pisa gli conferì il titolo di "Discretus et

sa-piens magister Leonardo Bigollo" a riconoscimento dei grandi progressi

che apportò alla matematica. Fibonacci morì qualche tempo dopo il 1240, presumibilmente a Pisa. Anche al giorno d'oggi la fama di Leonardo è tale che esiste un'intera pubblicazione dedicata a questi argomenti: il Fibonacci

Quarterly, periodico matematico dedicato interamente all'aritmetica

con-nessa alla sequenza di Fibonacci.

La serie di Fibonacci è una successione di interi definita a partire dalla cop-pia 1, 1 in cui l'elemento successivo è calcolato come somma degli ultimi due.

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Si osservi che il valore della funzione anè definito in termini della funzione

stessa. Funzioni di questo tipo sono dette Ricorsive e vengono definite da equazioni dette Ricorrenti o alle differenze.

Proviamo a calcolare i primi numeri della serie a partire dalla definizione informale, in cui costruiamo l elemento successivo per somma degli ultimi due, iniziando dalla coppia 1, 1:

a0 =1 a1 =1 a2 =2= 1+1 a3 =3= 2+1 a4 =5= 3+2 a5 =8= 5+3

Si possono costatare una serie di proprietà e relazioni:

• Se dividiamo qualsiasi numero per il secondo che lo precede nella se-quenza, otterremo sempre due come risultato, e come resto il numero im-mediatamente precedente il divisore. Per esempio: 144/55=2 con il resto di 34;

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• Escludendo 1 e 2, ogni numero della serie, moltiplicato per 4, fornisce un risultato, che aggiunto ad un numero di una nuova serie, dà un'altra serie di Fibonacci.

Esempio: 3*4=12+1=13 5*4=20+1=21 8*4=32+2=34 13*4=52+3=55 e così via..

• La somma di tutti i numeri della serie di Fibonacci fino ad un punto scel-to, più1, è uguale al numero di Fibonacci situato due posti in avanti

Consideriamo la serie di Fibonacci A, B, C, D, E, G... Se si sommano due o più numeri consecutivi di tale serie, sempre a partire da A, e si aggiunge ulteriormente "1", si ottiene sempre un altro numero di Fibonacci che nella sequenza segue di due posti l'ultimo termine della somma

( A+B+C+1 = E ) Esempi:

1+1+2+3+5+1 = 13

In questo caso si sono sommati i primi cinque numeri di Fibonacci, si è ag-giunto uno e si è ottenuto il settimo numero della sequenza.

1+1+2+3+5+8+13+21+34+55+89+1=233

In questo caso invece si sono sommati i primi undici numeri di Fibonacci, si è aggiunto uno e si è ottenuto il tredicesimo numero della sequenza.

• La somma partendo da 1, dei quadrati dei numeri della serie, fino ad un punto qualsiasi, è uguale all'ultimo numero considerato moltiplicato per il successivo:

Esempi: 32+52=34

In questo caso si sono presi il quarto e il quinto numero della sequenza, se ne è fatto il quadrato e la somma fra i quadrati è risultata essere il nono

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numero di Fibonacci. 82+132= 233

In questo caso si sono presi il sesto e il settimo numero della sequenza e la somma fra i loro quadrati ha dato il tredicesimo numero di Fibonacci. • Il quadrato di un numero di Fibonacci meno il quadrato del secondo nu-mero precedente è sempre un nunu-mero della successione

• Il quadrato di qualsiasi numero della serie è uguale al numero che lo pre-cede, per il numero che lo segue, più o meno 1. Il più o meno si alterna lungo la sequenza

• Il massimo comun divisore di due numeri di Fibonacci è ancora un nume-ro di Fibonacci

Facciamo ora alcune semplici considerazioni di teoria dei numeri. Mostria-mo come si determina il massiMostria-mo comun divisore di due numeri a e b, fa-centi parte della serie di Fibonacci. Dividiamo a per b ottenendo per quo-ziente q e per resto r. Ovviamente:

a = bq + r e 0<r<b

Prendiamo come esempio i seguenti numeri di Fibonacci:

6765 = 610 x 11 + 65

610 = 55 x 11 + 5

55 = 5 x 11

• Dalla somma dei numeri posti sulle diagonali del Triangolo di Tartaglia, si ot-tiene la successione di Fi-bonacci.

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La Successione di Fibonacci trova seguito anche nella musica, assegnando i numeri (da uno a otto) ai tasti corrispondenti alla scala di Mi Maggiore, ag-giungendo lo zero ed il nove, rispettivamente alle due estremità della sca-la, per la loro naturale estensione.

Conosciamo la successione di Fibonacci come 1; 1; 1+1=2; 2+1=3; 3+2=5; 5+3=8; 8+5=13; 13+8=21;… suonando quindi i tasti 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 3, 3, 2, 5, 5, 3, 8… (termini della successione e addendi per trovare i vari termini), si otterrà suono piacevole, rappresentazione: https://www.youtu-be.com/watch?v=IGJeGOw8TzQ

Sul piano compositivo la sezione aurea attraverso la serie di Fibonacci può, ovviamente, essere rapportata a qualsiasi unità di misura concernente la musica, cioè durata temporale di un brano, numero di note o di battute. Per esempio Paul Larson nel 1978 sostenne di aver riscontrato nei Kyrie contenuti nel Liber Usualis, il rapporto Aureo a livello delle proporzioni melodiche; medesime considerazioni sono sempre state fatte per le opere di Mozart, anche se recentemente John Putz, matematico all'Alma

Colle-ge, persuaso di tale teoria specialmente per quanto riguarda le sonate per

pianoforte, riscontrò un risultato soddisfacente soltanto per la Sonata n. 1

in Do maggiore.

Questo è quello che hanno fatto, per esempio, Béla Bartók (1881-1945) in alcune delle sue maggiori composizioni (come la Musica per Archi, Percus-sioni e Celesta) e Claude Debussy (1862-1918), il quale era particolarmen-te attratto dalla sezione aurea, citata da lui come le divin nombre nella rac-colta Estampes (1903) e usata, tra gli altri, nella composizione dei brani La Mer (1905) e Cathédrale Engloutie.

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La successione di Fibonacci ha portato ad approfondire moltissimi ambiti della matematica e delle scienze naturali. Tuttavia pur avendo scoperto questa importante successione, Fibonacci non ne colse molti aspetti. Solo quattro secoli più tardi, Keplero osservò che il rapporto tra due termini successivi, tendeva alla Sezione Aurea.

La proprietà principale è quella per cui il rapporto F(n )/ F(n-1) al tendere di n all'infinito (limite) tende al numero algebrico irrazionale chiamato se-zione aurea, numero di Fidia o numero aureo.

Il rapporto tra un termine della successione ed il suo precedente tende ad approssimare sempre meglio il rapporto aureo ɸ, che corrisponde a 1.61803... un nume-ro che ha infinite cifre decimali. Si osservi come, per n molto grande, il rap-porto tende ad un valore limite.

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In geometria la sezione aurea di un segmento è quella parte del segmento che è medio proporzionale fra l’intero segmento e la parte di segmento ri-manente.

Sappiamo che il valore di SB è dato da AB-AS.

Nella proporzione sostituiamo ai segmenti le misure delle rispettive lun-ghezze:

AB:AS=AS: (AB-AS) AS2=AB(AB-AS) AS2=AB2-AB∙AS

AB2+AB∙AS-AS2, chiamiamo ab=l; as=x:

Pertanto il rapporto tra la sezione aurea di un segmento e il segmento stesso è:

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l rapporto tra un numero di Fibonacci e il suo successivo tende al reciproco della sezione aurea =0,6180339887…

Il rettangolo aureo è quella particolare figura in cui il lato maggiore e il mi-nore stanno tra loro in un rapporto pari a Φ. Se si prova a sottrarre dal ret-tangolo di partenza un area pari al quadrato generato dal lato minore, si otterrà un nuovo rettangolo ancora una volta in proporzione aurea; to-gliendo ancora un quadrato dal rettangolo “figlio” con lo stesso procedi-mento, si otterrà nuovamente un rettangolo rimpicciolito del fattore Φ. Proseguendo, si otterranno dunque una serie di rettangoli sempre più pic-coli, ma tutti simili.

Un modo per costruire questo tipo di rettangolo è quello di accostare in successione dei quadrati che abbiamo per lati i valori della successione di Fibonacci. In questo modo si creerà una successione di rettangoli sempre più vicini a quello aureo, ma è bene precisare che sarà sempre una appros-simazione che non diventerà mai esatta: perché il rapporto aureo è un nu-mero irrazionale, il che fa dei lati del rettangolo in esame due grandezze incommensurabili, per le quali, cioè, non esiste un sottomultiplo comune.

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Esiste una formula generale per ricavare il termine generico della succes-sione di Fibonacci, a partire dal rapporto aureo ɸ:

Per dimostrare la validità di tale formula si può ricorrere al principio di in-duzione sul decorso dei valori (anziché “indurre” da n a n + 1 si “induce” da tutti i predecessori di n + 1 a n + 1). Si verifica immediatamente che, per n = 1, si ha F(1) = 1. Supponiamo che la proprietà valga per i numeri minori di k + 1 e dimostriamola per k + 1.

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La spirale logaritmica è caratterizzata dal fatto che le distanze fra i bracci della spirale aumentano secondo una progressione geometrica; utilizzan-do i numeri di Fibonacci, si può ottenere dunque un particolare tipo di spi-rale logaritmica. Riconsiderando il rettangolo aureo e la sua suddivisione in figure minori e simili, è possibile ottenere la creazione di questa spirale: essa è generata da archi di circonferenza che hanno come raggi i lati dei quadrati costruiti sui lati minori.

La spirale si sviluppa intorno a un punto detto “occhio di Dio”, ossia il pun-to d’incontro tra le due diagonali che si intersecano in ciascuna coppia di rettangoli.

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Manifestazioni della spirale in natura

La successione di Fibonacci ha un ruolo fondamentale nella fillotassi, ossia la disposizione delle foglie nel gambo di fiori e piante. Nel regno vegetale, le foglie sui rami e i rami sul tronco tendono a disporsi in modo tale da avere una massima esposizione al sole: per questo motivo la loro succes-sione segue un andamento rotatorio e spiraliforme. Keplero, luminare del-la scienza del XVI e XVII secolo, fu il primo a scoprire intuitivamente il rap-porto tra fillotassi e numeri di Fibonacci; nei suoi scritti egli afferma: “E’ in modo paragonabile a questa serie che si sviluppa da sé [allusione alla natu-ra ricorsiva della successione di Fibonacci] che, a mio avviso, funziona la naturale facoltà di accrescimento.” In effetti analizzando le spirali formate dalle foglie nei rami di alcuni organismi vegetali, prima di completare un giro seguendo l’andamento rotatorio si contano un numero di elementi appartenente alla serie di Fibonacci.

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Un particolare mollusco chiamato Nautilus ha una conchiglia che assume la forma della spirale logaritmica. Il nautilus è classificato come “fossile vi-vente”. Questo animale nella sua conchiglia aumenta di grandezza e si co-struisce camere sempre più spaziose, sigillando le precedenti ormai inuti-lizzabili perché troppo piccole. Così, mentre la conchiglia si allunga, il rag-gio aumenta in proporzione, creando la particolare forma a spirale logarit-mica e facendo in modo di non mutare la forma del guscio.

Le manifestazioni della spirale di Fibonacci non mancano nell’arte, infatti il rapporto aureo sembra essere individuabile, assieme alla Sezione Aurea, nel mondo pre-classico, sia nei Megaliti di Stonehenge, sia in alcune Steli Babilonesi: È opportuno precisare che le misure raggiungono sommaria-mente questo rapporto e non vi è alcun documento che assicuri l’indivi-duazione della proporzione aurea in queste testimonianze antiche; tutta-via il fatto che popolazioni così antiche fondassero le loro opere d’arte su

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un canone apparentemente legato al rapporto aureo è un chiaro segnale di come questo sia indice di gradimento all’occhio umano in tutte le gene-razioni. Infatti, verso la fine dell’ottocento, verrà denominata “Sezione Au-rea” poiché le coppie di segmenti che lo genenerano producono insieme forme armoniose e proporzionate.

La Sezione Aurea nel mondo classico nasce nella civiltà classica greca, che si pose come scopo quello di unificare tutte le arti e le scienze secondo rapporti armonici. Gli antichi architetti dunque nei loro edifici dovevano ri-cercare l’accordo tra le misure” mediante la ripetizione di rapporti propor-zionali privilegiati. In particolare un celebre esempio di trionfo del rappor-to divino come modulo è il Partenone dell’Acropoli di Atene, progettarappor-to dall’architetto Fidia, da cui deriva il nome Phi del Rapporto.

Troviamo testimonianze della Sezione Aurea nel mondo Rinascimentale. In questo periodo una delle caratteristiche fondamentali che deve possedere un’opera è quella della proporzione, oltre alla prospettiva, tecnica che tro-va il suo massimo sviluppo proprio in questi secoli. Non solo architetti, ma pittori, scultori e matematici sono alla ricerca della perfezione formale. Esempi ne sono: Piero della Francesca con la Flagellazione di Cristo, andan-do a misurare il rapporto tra la distanza delle due colonne che reggono l’atrio e la distanza tra la colonna di sinistra e quella a cui è legato Cristo, si otterrà il numero Φ. Allo stesso modo la divisione tra spazio interno ed esterno è diviso secondo la sezione aurea.

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Leonardo Da Vinci, figura fondamentale del Rinascimento, afferma che “la pittura è la regina delle arti ed è strettamente legata alle scienze matema-tiche, cioè numero e misura, dette aritmetica e geometria, che trattano con somma verità della quantità discontinua e continua.” Questo discorso trova la sua rappresentazione migliore nel celebre Uomo vitruviano, in cui egli stabilì che la proporzione umana è perfetta solo quando l’ombelico di-vide l’uomo in modo Aureo.

Leonardo in ogni sua opera rimane legato al numero Φ; considerando dun-que la sua tela più importante, La Gioconda, si noti come il rettangolo au-reo è individuabile in più parti. E’ possibile inserire in questo particolare rettangolo la disposizione generale del quadro, le dimensioni del viso, l’area che va dal collo a sopra le mani e ancora quella che va dalla scollatu-ra dell’abito fino alla fine inferiore del bscollatu-raccio sinistro.

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Nell’opera L’ultima cena il rapporto aureo viene utilizzato con una partico-lare funzione: essendo Gesù l’unica figura divina, Leonardo lo inscrive in un rettangolo dal rapporto dei lati pari a Φ.

Nell’ambito della fotografia, Jake Garn, fotografo americano con diversi riconoscimenti internaziona-li, dice:

"...e si vuole costruire una composizione in cui i punti principali siano collocati su linee utilizzate dalla natura in modi diversi seguite la Sezione Au-rea.

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Fibonacci Trading

I termini della successione di Fibonacci trovano un risvolto pratico anche nel campo del trading, infatti molti Trader utilizzano tale successione per impostare le frequenze degli oscillatori, così come l’ampiezza delle medie mobili.

In primo luogo bisogna introdurre delle definizioni con lo scopo di capire meglio il tutto. Il trading online è la compravendita di strumenti finanziari via Internet, questo significa che il trader, cioè chi esegue questa compra-vendita, può acquistare azioni, obbligazioni, titoli di Stato, futures o altri strumenti e rimetterli sul mercato in tempi brevissimi, guadagnando sulla differenza tra valore di acquisto e valore di vendita. Il trading online è re-golamentato dalla Consob (l’organismo che controlla la Borsa) attraverso il Testo unico dei mercati finanziari, anche se non tutti i mercati sono regola-mentati. I mercati che lo sono hanno un ingente flusso di denaro poiché reputati “affidabili”, mentre i mercati non regolamentati hanno meno de-naro in circolo, ad eccezione del mercato Forex, il più comune e intuitivo. Esistono diversi tipi di mercato: il mercato Forex tratta il trading delle valu-te (Es. euro-dollaro, svalu-terlina-yen), è possibile farlo con un qualsiasi capita-le, è il più comune tra i neofiti. Esiste il mercato delle Criptovalute: merca-to delle valute digitali, anch’esso molmerca-to comune, leggermente più difficile del Forex poiché le variazioni di prezzo sono forti e continue e serve un grande capitale. Infine il Commodity, ovvero il mercato dei beni fungibili (es. riso,cacao,gas), per la sua storicità permette facilmente al trader di ca-pire l’andamento del mercato ed il valore nell’anno, in compenso serve un capitale molto importante.

Si sceglie il mercato in base al tempo che si vuole dedicare al trading, al ca-pitale da investire. Più il caca-pitale è basso, maggiori rischi dovremo pren-derci per incrementarlo. Con un capitale elevato si possono valutare tutti i mercati e anche più mercati contemporaneamente, inizialmente è bene iniziare dalle piattaforme Demo, nelle quali si simula una compravendita con un credito fittizio, successivamente si passa ad investire una minuta percentuale del capitale (5%-10%), fino ad arrivare anche al 50%.

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Bisogna sempre ricordare che il trading è un rischio, infatti il bravo trader non è colui che non perde, bensì colui che vince sempre più di quanto per-de, gestendo il rischio e capendo l’andamento di mercato. Per non andare in negativo le probabilità a tuo favore devono essere sempre maggiori di quelle a sfavore, è possibile aumentare le proprie possibilità di vincita ca-pendo i segnali di mercato. I segnali di mercato sono degli indicatori che il trader ha nelle proprie mani utili per capire l’andamento del mercato e possono anche aiutare a posizionare Stop Loss e Take Profit, le Percentuali di Fibonacci sono uno dei diversi indicatori presenti nel mondo del trading, che ovviamente non deve essere utilizzato singolarmente, ma può aiutare a comprendere la ciclicità del mercato e come esso si muova in maniera armonica.

Abbiamo citato Take Profit e Stop Loss, ma cosa sono? Questi due indica-tori sono tra i più importanti elementi da considerare all'interno di un'ope-razione di trading. La corretta applicazione di tali concetti può infatti mi-gliorare la performance complessiva. Per stop-loss si intende il livello che, se superato dai prezzi, determina la chiusura della posizione prima che il target prefissato venga raggiunto, generando una perdita. Per take-profit si intende invece il livello che, se toccato dai prezzi, determina la chiusura della posizione in guadagno. I livelli di prezzo a cui fissare stop-loss e take-profit sono assolutamente determinanti nel tentativo di massimizzare la redditività delle diverse operazioni. In parole povere lo Stop Loss è quel va-lore prefissato sotto al quale non si perde, la compravendita si chiude in automatico, serve per non avere una perdita eccessiva, mentre il take pro-fit, anch’esso un valore prefissato, chiuderà la compravendita ad un deter-minato guadagno, questo è utile poiché può capitare di essere arrivati ad un livello di guadagno davvero alto e successivamente perdere interamen-te o parzialmeninteramen-te quel guadagno per un abbassamento repentino del prez-zo.

Prima di passare alle percentuali di Fibonacci serve introdurre un grande osservatore dell’inizio del XX secolo: Ralph Nelson Elliott, il quale non si oc-cupò solamente del mercato azionario, bensì il suo approccio era volto a trovare una sintesi delle leggi che governano i fenomeni naturali, infatti

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coglierne i cicli più significativi, e la sua teoria delle “Onde di Elliott” nata alla fine del 1930, ne è la rappresentazione. Quando Elliott ha pubblicato il

Principio Wave, ispirato dalla successione del matematico Fibonacci,

dimo-strò che i mercati non si muovono in maniera casuale , ma seguono cicli ri-petuti di tendenza (in vendita o in acquisto), che sono influenzati dalla na-tura e dal comportamento umano. Questi movimenti dei mercati finanziari sono caratterizzati da fasi di cinque onde di tendenza e tre onde di consolidamento (numeri appartenenti alla successione di Fibonacci). Elliott ha definito le regole precise della sua teoria, utilizzando sentieri grafici sta-biliti, trovando inoltre relazioni di tipo simmetrico nelle onde, nonché “pattern” ripetuti nel tempo.

Caso particolare delle onde di Elliot sono le volte in cui vengono applicate le percentuali di rintracciamento ed estensione di Fibonacci, ottenute dal reciproco del numero aureo e dal rapporto tra numero aureo e reciproco:

 1/Φ= 0,618 à61,8%  0,618/1,618 à38,2%

Queste percentuali fungeranno da indicatori per il trader, poiché general-mente il prezzo tocca queste percentuali e cambia verso.

Per capire l’andamento del prezzo futuro si analizzano le onde precedenti, una volta notata una ciclicità nel mercato e constatato che le onde si muo-vo e rimbalzano sulle percentuali di Fibonacci, che fungono da “tetti” per il

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prezzo, non sarà difficile per il Trader capire dove rimbalzerà nelle succes-sive onde il prezzo, poiché continuerà l’andamento rimbalzando sulle me-desime percentuali e sui medesimi valori. Sfruttando questo principio il Trader può impostare Take Profit e Stop Loss sapendo dove andrà il prez-zo, riducendo al minimo il rischio e traendo il massimo profitto.

Bibliografia/Sitografia:

Successione:

http://webmath2.unito.it/paginepersonali/romagnoli/pellegri-no.pdf

http://www.dmi.unict.it/~muscato/Le%20successio-ni%20di%20Fibonacci.pdf

https://www.youmath.it/domande-a-risposte/view/5950-succes-sione-fibonacci.html

https://www.fisicisenzapalestra.com/matematica/successione-fi-bonacci-sezione-aurea/

http://forum.multiplayer.it/showthread.php?212177-Numeri-di-Fibonacci-curiosit%E0-e-applicazioni

https://www.mathone.it/successione-fibonacci-applicazioni/

https://www.mathone.it/successione-di-fibonacci/

- P. Baroncini; R. Manfredi, MultiMath.blu 2. De Agostini Scuola

SpA, Novara 2014, p.879

Trading:

http://www.traderpedia.it/wiki/index.php/Aderenza_alla_suc-cessione_di_Fibonacci

https://www.alfiobardolla.com/blog/come-fare-trading/

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G.P.Bazzani; I.Basso, Il broker e il campione. Saxo Bank, Italia

2015, p.104

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A. Aloisi, Forex trading online. Pubblicazione indipendente, Italia

2019, p.175

Gentilini Andrea (IIIB); Buffoni Eleonora (IIIB)

Liceo Scientifico Charles Darwin - Roma

figura

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Riferimenti

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