Universit`a dell’Aquila - Facolt`a di Ingegneria Compito di Esonero di Fisica Generale II del 6/6/2013
Nome Cognome N. Matricola Corso di Studio CREDITI Canale ... ... ... ... ... ...
Problema In una spira quadrata di lato a e resistenza totale R `e presente una induttanza L. Essa `e posta ad una distanza a/2 da un filo rettilineo indefinito percorso da una corrente che varia nel tempo secondo la legge i(t) = i0t/t0 nell’intervallo di tempo che va da t1 = 0 a t2 = 2t0.
Determinare: a) la forza elettromotrice indotta nella spira dal filo, specificandone il verso; b) la corrente che scorre nella spira al tempo t3 = t0, specificandone il verso;
c) il valore massimo dell’energia magnetica accumulata nella spira; d) l’espressione della corrente che scorre nella spira a partire dall’istante t2 e l’istante tx in cui questa si riduce al
valore ix. (Dati del problema: a = 20 cm, R = 0.1 Ω, L = 10 mH, i0 = 100 A, t0 = 10 ms,
ix = 0.1 mA)
SOLUZIONE
a) Il flusso calcolato secondo la normale uscente dalla spira vale φ = − Z 3a/2 a/2 µ0i(t) 2πr adr = − µ0a 2π log (3) i(t). La forza elettromotrice indotta in verso antioratio vale pertanto
fi = − dφ dt = µ0a 2π log (3) i0 t0 ' 0.44mV
b) La corrente in verso antiorario ha l’espressione della corrente di carica di un circuito RL, iL(t) =
fi
R 1 − e
−t/τ ,
ove τ = L/R. Al tempo t = t0 la corrente vale iL(t0) = fi/R(1 − e−t0/τ) ' 0.42 mA.
c) La massima energia si ha in corrispondenza della massima corrente, essendo E = Li2 L/2.
Poich`e la corrente cresce nel tempo, la corrente massima scorre all’istante 2t0, quando vale
iL,max = fi/R(1 − e−2t0/τ) ' 0.8 mA, da cui Emax= 3.2 nJ.
d) A partire dall’istante 2t0 inizia la scarica dell’induttore. La corrente continua a scorrere
in verso antiorario con legge
is(t) = iL,maxe−t/τ,
ove il tempo si intende ”resettato” all’istante in cui nel filo rettilineo non scorre pi`u corrente. Invertendo si ottiene tx = τ log(iL,max/ix) ' 0.2 s.
