Insegnare matematica attraverso dei problemi o delle situazioni reali: un percorso di matematica finanziaria in seconda e quarta SCC

CAIOCCA ALICE

DIPLOMA DI INSEGNAMENTO PER LE SCUOLE DI MATURITÀ

ANNO ACCADEMICO 2017/2018

INSEGNARE MATEMATICA ATTRAVERSO DEI

PROBLEMI O DELLE SITUAZIONI REALI

UN PERCORSO DI MATEMATICA FINANZIARIA IN SECONDA E

QUARTA SCC

RELATORE

Sommario

Introduzione ... 1

Motivazione della scelta ... 1

Contesto di riferimento ... 2

Quadro teorico ... 3

Origini del metodo basato su una didattica per situazioni problema ... 3

Didattica per situazioni problema ... 4

Confronto tra didattica tradizionale e didattica per situazioni problema ... 9

La metodologia didattica ... 10

Riferimenti disciplinari e impostazione didattica ... 10

Itinerario didattico in seconda ... 11

Introduzione ... 11

Costruzione e attuazione del percorso didattico ... 11

Itinerario didattico in quarta ... 14

Introduzione ... 14

Costruzione e attuazione del percorso didattico ... 14

La metodologia di ricerca ... 15

Fasi, strumenti e attori coinvolti nel monitoraggio ... 15

Analisi dei risultati ... 16

Fase preliminare ... 16 Questionario finale ... 18 Prospettive future ... 23 Conclusione ... 24 Bibliografia ... 26 Allegati ... 27  

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Introduzione

Motivazione della scelta

Questo lavoro di diploma ha come scopo quello di indagare se con metodologie didattiche specifiche (in questo caso la metodologia didattica basata sulla situazione problema, in inglese Problem-Based Learning) si possono migliorare alcune competenze negli studenti di scuola media superiore per la materia matematica e l’apprendimento di questa disciplina. All’interno del modulo IRE (Introduzione alla ricerca in educazione) si è quindi proposta una ricerca in due fasi. La prima, sottoposta agli studenti all’inizio del percorso, era volta a indagare la relazione che gli studenti di scuola media superiore hanno con la matematica, la visione che hanno di questa materia e il loro interesse e la loro motivazione verso questa disciplina. La seconda, sottoposta alla fine del percorso, era volta ad appurare i punti di forza e i punti di debolezza del “nuovo” metodo di insegnamento basato sulle situazioni problema in confronto al metodo tradizionale, ovvero la metodologia didattica secondo lo schema “teoria seguita da esercizi di consolidamento”.

Insegno matematica presso la Scuola cantonale di commercio di Bellinzona. Ogni giorno mi trovo di fronte ad allievi a cui la matematica apparentemente non piace. Nel peggiore dei casi la reputano anche un impiccio, una materia che sono obbligati a seguire perché da programma, ma convinti della sua non utilità. Inoltre, molti allievi che frequentano la SCC di Bellinzona, hanno scelto questa scuola al posto del liceo, perché si focalizza meno sull’ambito scientifico. Questi allievi sono quindi spesso e volentieri svogliati durante le ore di matematica. La mia sfida quotidiana è quindi quella di cercare di trasmettere il mio entusiasmo per la materia che insegno e cercare, nel migliore dei modi, di trovare un modo efficace per farli uscire dal loro stato di ostilità verso questa materia. Sono alla ricerca di nuovi metodi per fare in modo che gli studenti apprezzino, o almeno non odino, le ore che trascorrono assistendo alle lezioni di matematica.

La scelta del filo conduttore di questo lavoro è la matematica e le sue applicazioni nella realtà, con maggiore enfasi al campo finanziario. Senza trascurare i Piani di studio delle scuole medie superiori, per introdurre concetti e regole matematiche, si fa uso di esempi e problemi direttamente legati all’economia. Questa scelta è motivata dal fatto che lo scopo di questo lavoro è quello di capire se si possono migliorare le competenze trasversali e altre competenze grazie alla metodologia didattica, basata su situazioni problemi (meglio se direttamente legati alla realtà) in cui l’allievo è

implicato in modo attivo nel trovare una soluzione. Ho cercato quindi di creare situazioni il più possibile legate alla vita di tutti i giorni.

Contesto di riferimento

Ho scelto di sperimentare il mio lavoro di diploma all’interno di una classe di seconda della Scuola cantonale di commercio e all’interno di una classe di quarta. Ho scelto questi due anni del percorso liceale, perché è all’interno di questi anni (seconda e quarta) che si trattano gli argomenti di matematica finanziaria, filo conduttore del mio lavoro.

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Quadro teorico

Origini del metodo basato su una didattica per situazioni problema

“True learning is based on discovery guided by mentoring rather than the transmission of knowledge.” (John Dewey).

Nel Novecento il filosofo e pedagogista statunitense John Dewey critica l’educazione tradizionale basata su un sistema di apprendimento che viene “dall’alto e dal di fuori”, ossia dai libri e dagli adulti. Questo approccio tradizionale, come scrive Dewey in Esperienza e educazione “impone norme, programmi e metodi di adulti a individui che si avviano solo lentamente alla maturità. Il distacco è così grande che il programma e i metodi di apprendere e di comportarsi, che si esigono, rimangono estranei alle capacità riflessive dell’alunno.” L’educazione tradizionale è definita qualcosa di essenzialmente statico. L’allievo non è attivo, ma contrariamente, è passivo nell’apprendimento di nozioni. Dewey propone quindi un metodo di educazione chiamata progressiva o scuola attiva, in cui l’allievo è l’attore della propria formazione. Egli si forma quindi attraverso l’esperienza dalla quale ricava la propria conoscenza. “All’imposizione dall’alto si oppongono l’espressione e la cultura dell’individuo; alla disciplina esterna la libera attività; all’imparare dai libri e dai maestri, l’apprendere attraverso l’esperienza; all’acquisto di abilità e di tecniche isolate attraverso l’esercizio si oppone il conseguimento di esse come mezzi per ottenere fini che rispondono a esigenze vitali; alla preparazione per un futuro più o meno remoto si oppone il massimo sfruttamento delle possibilità della vita presente; ai fini ed ai materiali statici è opposta la familiarizzazione con un mondo in movimento.” (J. Dewey, Esperienza e educazione, p. 6).

Ci si rifà quindi anche al costruttivismo e alla psicologia cognitiva: “il costruttivismo è prima di tutto una teoria del soggetto il quale, sforzandosi di ottimizzare i suoi scambi con l’ambiente, si auto-costruisce integrando contemporaneamente i prodotti e i meccanismi del pensiero. Da questa teoria del soggetto creatore di conoscenza dovrebbe nascere un modello pedagogico dove l’acquisizione delle conoscenze è il frutto di un atto creativo, dove il soggetto, confrontato a dei problemi di adattamento al suo ambiente, è coinvolto in un processo di elaborazione attiva del suo pensiero.” (Crahay M., 1999).

“Le but d’une pratique pédagogique constructiviste est de faire surgir des conflits cognitifs internes dans la tête de chaque sujet et des conflits socio-cognitifs dans lesquels se confrontent les

conceptions de différents acteurs. Ces conflits sont les moteurs mêmes de la construction de la connaissance.” ((Se)former par les situations-problèmes, A. Dalongeville, p.87).

Se si guarda invece negli studi più recenti, un apprendimento basato su situazioni problema lo si trova in ambito sanitario grazie ai lavori di Barrows e Tamblyn (1960) presso l’università McMaster in Canada. Questo approccio (in inglese Problem-based learning- PBL) voleva favorire l’integrazione delle conoscenze fondamentali alle scienze cliniche, ponendo lo studente al centro del proprio apprendimento in maniera attiva, sviluppando quindi il senso di responsabilità, il ragionamento critico e una comprensione più approfondita delle situazioni, non quindi unicamente attraverso una sterile memorizzazione di conoscenze.

Tutte queste teorie pongono l’allievo quale autore del proprio apprendimento e questo processo di apprendimento viene definito come un auto-socio-costruzione del sapere. L’educazione è quindi incentrata sul soggetto che apprende e sulla sua attività di apprendimento.

Didattica per situazioni problema

La didattica per situazioni problema, in inglese Problem-Based Learning (PBL), in francese Apprentissage par problèmes (APP), si basa sul fatto che il punto di partenza dell’apprendimento è un problema (reale) che suscita interesse e voglia nell’allievo nel cercare di risolverlo: “The principal idea behind PBL is that the starting point for learning should be a problem, a query, or a puzzle that the learner wishes to solve.” (D. Boud, Creighton University)

Ci sono diverse definizioni di situazione problema. Qui di seguito ne elenco alcune tratte dal libro (Se)former par les situations-problèmes di A. Dalongeville.

“Une situation-problème serait un espace organisé de production de nouvelles représentations et de nouvelles capacités.”

“Tout l’effort de la pédagogie des situations-problèmes est d’organiser précisément l’interaction pour que, dans la résolution du problème, l’apprentissage s’effectue. Cela suppose que l’on s’assure, à la fois, de l’existence d’un problème à résoudre et de l’impossibilité de résoudre le problème sans apprendre.”

“La situation-problème est une situation d’apprentissage où un enigme proposée à l’élève ne peut être dénouée que s’il remanie une représentation précisément identifiée ou s’il acquiert une compétence qui lui fait défaut, c’est-à-dire s’il surmonte un obstacle. C’est en vue de ce progrès que la situation est bâtie.”

5 “Les élèves ne disposent pas, au départ, des moyens de la solution recherchée, en raison de l’existence de l’obstacle qu’ils doivent franchir pour y parvenir. C’est le besoin de résoudre qui conduit l’élève à élaborer ou à s’approprier collectivement des instruments intellectuels, qui seront nécessaires à la construction d’une solution.”

Sempre leggendo dal libro ((Se) former par les situations-problèmes, p. 16), secondo alcuni autori (G. De Vecchi e N. Carmona) una situazione problema dovrebbe:

avere un senso per chi apprende

essere legata a un ostacolo ben definito, ma considerato sormontabile fare nascere un interrogativo negli allievi

creare una rottura con i modelli di rappresentazione iniziali se inadatti o sbagliati corrispondere a una situazione complessa possibilmente legata alla realtà

aprire su un sapere d’ordine generale (nozione, concetto, regola, …).

Prendendo spunto dalla psicologia cognitiva, tramite le opere di J. Piaget, Vigotsky e H. Wallon, la quale afferma che “apprendre c’est comprendre: les connaissances sont acquises selon un processus de résolution de problèmes qui suscite une véritable dynamique du questionnement.” (A. Dalongeville, (Se)former par les situations-problèmes, p. 34), la situazione problema si basa su tre concetti chiave: la rappresentazione mentale, il conflitto cognitivo e il conflitto socio-cognitivo. Il primo è una rappresentazione momentanea della realtà che permette di dare un senso alla situazione utilizzando le preconoscenze in memoria o dovute all’ambiente. Il conflitto cognitivo è invece uno squilibrio rispetto alla percezione che ci sia una differenza con quello che crediamo di sapere e quello invece che dovremmo sapere. L’ultimo è invece uno squilibrio di conoscenza dell’allievo, rispetto però alla rappresentazione che si fa di una certa situazione un’altra persona. A. Dalongeville et M. Huber definiscono quindi un modello di dinamica della situazione problema: “Les représentations initiales d’un apprenant sont mises en crise (conflit cognitif) par la confrontation à une situation-problème le plus souvent illustrée par quelque(s) document(s) puis avec les interprétations et les propositions de résolution du problème des autres apprenants voire du formateur (conflit socio-cognitif). Cette mise en travail des représentations initiales produira de nouvelles représentations plus riches, plus complexes, en lien plus pertinent avec la réalité.”

Gli autori precisano inoltre l’esistenza di un contratto didattico, ovvero affinché una situazione problema abbia il massimo dell’efficacia è necessario che gli allievi possano esprimersi

liberamente. Ciò suppone quindi un buon clima di classe in cui l’errore non è visto come un’onta, ma qualcosa di utile per far progredire la conoscenza.

A. Dalongeville precisa che le situazioni problema possono avere degli effetti sull’intelligenza e sulla creatività di chi apprende. Attraverso questo tipo di approccio è anche favorito il confronto con il prossimo. Lo studente è confrontato con punti di vista differenti: “chaque sujet doit prendre en compte le point de vue de l’autre, sans pour autant abandoner le sien.” O ancora: “affronter l’autre c’est aussi se donner l’occasion d’une médiation d’une rencontre avec soi-même.”

Per la messa in opera delle situazioni problema gli autori citano le seguenti tappe: far sorgere e fare formulare individualmente le rappresentazioni inziali accompagnare ogni situazione problema con un compito

introdurre il compito con una consegna precisare i tempi

come insegnante avere in testa gli obiettivi disciplinari auspicati anticipare

far formulare individualmente agli allievi le nuove rappresentazioni far comparare le nuove rappresentazioni con quelle inziali.

Per quanto riguarda la didattica per situazioni problema in matematica, nel libro (Se)fromer par les situations-problèmes si citano cinque condizioni necessarie per fare in modo che la situazione problema sia operativa:

1. Gli allievi devono comprendere i dati a disposizione e investirsi nell’esplorazione con le loro conoscenze attuali. Possono concepire chiaramente se una risposta è possibile e pertinente rispetto alla domanda fatta.

2. La situazione problema deve portare su un campo concettuale che desideriamo effettivamente esplorare e dove si situano gli apprendimenti desiderati.

3. Le preconoscenze degli allievi devono essere insufficienti da non permettere loro di risolvere immediatamente il problema.

4. Le conoscenze oggetto dell’apprendimento devono fornire il miglior mezzo per ottenere la soluzione.

5. La domanda può essere formulata in più contesti in cui possono operare gli strumenti costruiti: algebra, geometria, etc.

7 La nozione di situazione problema vuole quindi appoggiarsi su nozioni già conosciute dagli allievi e favorire l’attività degli studenti e il loro spirito di scoperta.

Ancora meglio se i problemi si basano su situazioni tratte dalla realtà. Questo metodo è l’apprendimento basato su problemi reali (ABP). Nel libro Didattica per problemi reali di B. Fly Jones, si individuano tre livelli di applicazione: cognitivo, motivazionale e funzionale. Per il livello cognitivo viene affermato che gli allievi devono interagire in modo attivo con le idee in esame, cercando di capire il problema. Si afferma inoltre che imparare in maniera meccanica attraverso la memorizzazione non sia efficace. Nell’approccio ABP avendo un contesto simile alla realtà l’apprendimento sarà migliore. Ciò si dovrebbe verificare anche a livello motivazionale, poiché gli studenti sono coinvolti in prima persona, dunque il lavoro è coinvolgente e porta allo sviluppo delle capacità di ognuno. Il terzo livello è quello funzionale ovvero l’ABP “è in stretto rapporto con i bisogni del ventunesimo secolo, poiché è costituito da problemi e progetti ideati in modo da simulare contesti del mondo reale o da far partecipare gli studenti a situazioni e interazioni che sono effettivamente del mondo reale, così da far loro acquisire le capacità richieste dal lavoro in un’economia globale in continuo cambiamento.” (B. Fly Jones, p. 29).

Gli autori del libro Didattica per problemi reali affermano inoltre che l’apprendimento basato su problemi reali sviluppa in più modi le capacità sociali e intrapersonali. Questo è dovuto al fatto che in generale per l’applicazione di questa metodologia gli studenti lavorano a gruppi favorendo quindi la comunicazione tra pari e con il docente, la discussione critica delle idee proprie e altrui e la collaborazione. Bisogna inoltre “concentrarsi maggiormente sull’utilizzo di capacità e conoscenze esistenti, piuttosto che decretare la riuscita scolastica a partire da capacità imposte, incoraggiare la costruzione personale (che nasce dallo studente) di categorie, piuttosto che imporre sistemi di classificazione già esistenti e dare risalto all’informazione di tipo narrativo anziché espositivo.” In seguito ad un apprendimento basato su problemi reali gli autori del libro affermano che “l’apprendimento basato su problemi reali porta gli studenti a ricordare meglio quanto hanno imparato e a comprendere i concetti in maniera più approfondita, in confronto ai tradizionali approcci e alle esperienze di apprendimento individuale.”

L’ABP “rappresenta una buona occasione per le scuole che desiderano impartire un’istruzione al passo con le capacità che il mondo del lavoro richiede.” I metodi e i risultati di un approccio di questo tipo si conciliano molto bene con le necessità e richieste dei giorni nostri.

La situazione problema ripone la sua forza sulla sua complessità. Come sostenuto da A. Dalongeville “les représentations des individus ne sont pas circonscrites à des champs disciplinaires étroits, les ressources que la personne sollicite pour s’investir dans la situation-problème ne se limite pas à telle ou telle matière, mais aussi dans l’émotion, l’affect et plus encore. Soulignons avec Hanri Bassis que quand le savoir en question est construit, il donne un pouvoir sur le monde, un pouvoir car il peut être réinvesti dans d’autres situations, et donc un pouvoir sur soi.”

Prendendo spunto da Matematica per l’economia di Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi e Claudia Spezia “ogni argomento è introdotto in forma problematica, al fine di stimolare la curiosità dello studente e spingerlo ad approfondire le proprie conoscenze, costruendo una fitta rete di connessioni disciplinari e promuovendo una autonoma attività di scoperta della disciplina.”

Come suggerito da André Ross in Mathématiques appliqueées à l’administration “l’accent a été mis sur les applications pratiques pour favoriser un meilleur apprentissage et pour développer l’habilité à appliquer les notions mathématiques dans des situations pratiques.”

Sempre in riferimento a Mathématiques appliqueées à l’administration di André Ross “les mathématiques, on le sait, permettent un apprentissage progressif de la résolution de problèmes en proposant aux étudiants des situations qu’il faut analyser et comparer à des problématiques déjà rencontrées. Il faut alors faire une synthèse de l’information, adapter des procédures de résolution à la situation particulière, appliquer la procédure de résolution et en critiquer les résultats dans le contexte.”

Inoltre, in collegamento con quanto viene esposto nel Piano quadro degli studi per le scuole di maturità (Conferenza svizzera dei direttori cantonali della pubblica educazione (CDPE) Berna, 1994), in cui si afferma che ogni singola materia deve favorire allo sviluppo di un pensiero critico da parte dello studente, ci si può riallacciare alla tesi secondo cui “l’acquisition des habilités en résolution de problèmes constitue une contribution importante des mathématiques à la formation des étudiants.” (Mathématiques appliquées à l’administration, André Ross, 1999).

Questo lavoro di diploma si focalizzerà quindi sull’apprendimento da parte dell’allievo attraverso attività didattiche basate su situazioni problemi (possibilmente legate alla realtà) in cui l’allievo deve trovare un metodo di risoluzione adeguato che lo porti poi alla scoperta di nuove regole e concetti matematici.

9 Confronto tra didattica tradizionale e didattica per situazioni problema

Figura 1 – Confronto tra insegnamento tradizionale e Problem Based Learning, tratto da Supsi Agustoni S., Chiesa M., Meli G., Micheloni F., (2016-2017).

La metodologia didattica

Con questo lavoro, il mio scopo è quello di indagare i vantaggi e gli svantaggi di un approccio didattico costruito attraverso le situazioni problema. Per introdurre nuovi argomenti agli alunni oppure dove è necessario trovare una formula matematica al fine di, in seguito, utilizzare e semplificare le operazioni di calcolo, cercherò di mettere l’allievo di fronte ad un problema guidato, in modo che riesca a scoprire autonomamente quanto necessario.

Questo capitolo è suddiviso in due parti: nella prima esporrò il percorso didattico svolto nella classe di seconda SCC, mentre nella seconda parte quello svolto nella classe quarta SCC. Entrambi i percorsi didattici sono stati costruiti attorno all’argomento della matematica finanziaria, tema che viene trattato principalmente in seconda e quarta presso la Scuola cantonale di commercio di Bellinzona.

Per la valutazione dei percorsi didattici si rimanda al capitolo “Metodologia di ricerca”.

Riferimenti disciplinari e impostazione didattica

L’impostazione didattica del percorso che ho deciso di intraprendere, si fonda sulle situazioni problema. Il tema su cui ho deciso di lavorare è la matematica finanziaria. Gli argomenti vengono quindi introdotti gradualmente agli allievi attraverso dei problemi/attività iniziali.

Per la classe seconda vengono trattati la funzione esponenziale e logaritmica, la crescita e la decrescita esponenziale, le equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche, la capitalizzazione semplice e quella composta.

Nella classe di quarta si continuerà invece il discorso lasciato in sospeso dalla seconda. Si riprenderanno la capitalizzazione semplice e quella composta, i tassi equivalenti, le rendite posticipate e anticipate, temporanee e perpetue, e il valore attuale di una rendita.

Per le schede proposte agli allievi di carattere strettamente disciplinare si è preso spunto dai libri Matematica per l’economia di Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi e Claudia Spezia; Mathématiques appliqueées à l’administration di André Ross; Corso di matematica finanziaria e attuariale di Comei D.; Lineamenti di matematica finanziaria di Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi e Claudia Spezia e dalle dispense della Professoressa Sabina Scascighini.

11 Itinerario didattico in seconda

Introduzione

L’itinerario didattico in seconda coinvolge una classe della Scuola cantonale di commercio di Bellinzona nella quale insegno matematica. La classe di seconda è composta da 22 allievi provenienti da tutto il Ticino. Gli allievi hanno tra i 16 e i 18 anni.

Per quanto riguarda il tema su cui si focalizzerà il percorso didattico ho scelto l’ambito economico. Per introdurre concetti come la funzione esponenziale, la crescita e la decrescita esponenziale, argomenti che vengono trattati in seconda, userò esempi presi dalla matematica finanziaria. Ho operato questa scelta siccome presso la Scuola cantonale di commercio è messo l’accento sul settore economico. Trovo quindi interessante, quando possibile, proporre problemi in ottica matematica legati all’economia.

Questo percorso didattico occupa all’incirca due mesi (febbraio-marzo) per quanto riguarda le nozioni più teoriche che serviranno poi per svolgere esercizi di matematica finanziaria (definizione di funzione esponenziale e logaritmica, equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche) all’interno del quale farò già uso di esempi legati all’ambito economico per introdurre alcuni concetti matematici; e occupa due settimane (ad inizio aprile) per il programma puramente economico (capitalizzazione semplice e composta e tassi equivalenti). Settimanalmente, presso la Scuola cantonale di commercio per le classi di seconda si hanno 3 ore lezione di matematica (2+1).

Costruzione e attuazione del percorso didattico

Si è trattato di pensare ad un percorso didattico in cui l’introduzione dei principali argomenti avvenisse tramite dei problemi iniziali, di modo da mettere l’allievo al centro del proprio apprendimento. Quando possibile, è stato anche utilizzato l’ausilio di Geogebra, così da comprendere appieno il concetto matematico attraverso la visione grafica. Il percorso didattico è stato suddiviso in tre capitoli: funzioni esponenziali e logaritmiche, equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche e capitalizzazione. Nella spiegazione del percorso didattico intrapreso che segue, mi limiterò ad esporre solo le parti che sono direttamente legate alle situazioni problema (scopo di questo lavoro di diploma).

Con il primo capitolo, ovvero quello riguardante le funzioni esponenziali e logaritmiche, si è iniziato con due esempi. Vediamo assieme il primo:

Figura 2 – Esempio introduttivo

È stato proposto questo problema agli studenti e si è chiesto di risolverlo a coppie o gruppetti di tre persone. Si è subito potuto notare come gli studenti, messi di fronte ad una situazione di tipo reale strutturata in domande ben mirate, fossero subito interessati nel trovare una soluzione. Questo esempio è introdotto all’inizio del capitolo “Funzione esponenziale e logaritmica” e attraverso le prime tre domande (a-b-c) si vuole guidare l’allievo a trovare un tipo particolare di funzione non ancora studiata fino ad ora (la funzione esponenziale), mentre con l’ultima domanda (d) l’allievo cerca di risolvere un tipo di equazione che non è ancora in grado di risolvere (equazione esponenziale). Attraverso quest’ultima domanda l’obiettivo della docente è anche quello di invogliare l’allievo nel proseguire il capitolo, ovvero ad imparare nuove nozioni che gli permetteranno poi di risolvere problemi di questo tipo.

Dopo una parte più strettamente teorica riguardante un ripasso sulle proprietà delle potenze e sulla definizione della funzione esponenziale e sulle sue proprietà, si è passati alla crescita e decrescita esponenziale. Per introdurre questo argomento si è potuto prendere spunto da esempi della vita di tutti i giorni, in questo caso particolare a problemi legati all’ambito economico. A livello di continuità con quanto fatto nel programma di prima SCC ho scelto di proporre esempi sia di crescita o decrescita esponenziale sia di crescita o decrescita lineare. È stata proposta una scheda nella quale veniva chiesto agli allievi di risolvere due tipi di problemi (allegato 1). Nel primo si è creato un problema economico di evoluzione di un capitale da risolvere in due modi diversi (la prima alternativa era una crescita di tipo lineare, mentre la seconda una crescita di tipo

13 sia lineare, con un problema di svalutazione di un’automobile. Gli allievi hanno quindi trovato le formule generali che permettono di risolvere questo tipo di esercizi e si è quindi passati alla formalizzazione matematica delle situazioni.

Il capitolo è stato continuato con l’introduzione del numero di Eulero attraverso un’ulteriore attività a coppie. L’attività è stata presentata sempre prendendo spunto dall’ambito finanziario più in particolare dalla seguente storiella (vedi allegato 2):

“La mattina di un Capodanno, tre amici trovano per terra una moneta da 1 franco. Il primo dei tre afferma: "Se la banca ci versasse il 100% di interesse annuale, fra 1 anno avremmo 2 franchi". Il secondo aggiunge: "Avremmo addirittura 2,25 franchi, se l’interesse venisse calcolato semestralmente". ”E se la capitalizzazione fosse trimestrale, avremmo 2,44 franchi”, conclude il terzo.”

Con questa attività guidata (allegato 2) è stato possibile introdurre il famoso numero di Eulero (la formalizzazione matematica sarà poi solo possibile più avanti quando gli studenti conosceranno il concetto di “limite”).

In seguito, è stato ripreso un esercizio in cui gli studenti sono chiamati a risolvere un’equazione esponenziale che non sono ancora in grado di risolvere, se non a tentativi. Grazie a questo esercizio si arriva quindi all’introduzione del concetto di logaritmo e della funzione logaritmica.

Terminato il capitolo riguardante le funzioni esponenziali e logaritmiche, si passa al capitolo riguardante le rispettive equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche. Per introdurre questo capitolo si inizia con un’attività legata alla biologia ed all’economia (vedi allegato 3). Gli studenti sono confrontati con la risoluzione di equazioni esponenziali e logaritmiche. In un secondo momento si formalizza matematicamente quanto visto con i problemi iniziali, ovvero si fa una generalizzazione sul metodo di risoluzione di un’equazione esponenziale o logaritmica e di una disequazione esponenziale e logaritmica.

Terminato anche questo capitolo, si passa al terzo e ultimo capitolo riguardante i processi di capitalizzazione semplice e composta. Questo capitolo è quindi più strettamente legato a qualcosa di reale (ambito economico-finanziario) all’interno del quale si riprendono i concetti visti nei due capitoli precedenti. Gli allievi vengono confrontati con problemi legati alla realtà economica grazie ai processi di capitalizzazione semplice (già studiata in prima SCC) e quello di capitalizzazione composta.

Itinerario didattico in quarta

Introduzione

L’itinerario didattico in quarta coinvolge una classe della Scuola cantonale di commercio di Bellinzona nella quale insegno. La classe è composta da 19 allievi. La provenienza degli allievi della classe è prevalentemente del Sottoceneri: Luganese e Mendrisiotto. Gli allievi hanno tra i 18 e i 23 anni.

L’itinerario didattico di quarta si basa sul tema delle rendite. Vengono studiati la capitalizzazione semplice e composta (argomenti già trattati in prima e seconda e ripresi in quarta), i tassi equivalenti, le rendite anticipate e posticipate di durata limitata (temporanee) o illimitata (perpetue) e il valore attuale delle rendite. Questo percorso didattico occupa all’incirca un mese (metà marzo-metà aprile) in cui ogni settimana gli allievi svolgono 4 ore lezione di matematica (2+2 ore).

Costruzione e attuazione del percorso didattico

Come per il percorso didattico in seconda, si è trattato di pensare come introdurre gli argomenti attraverso delle attività iniziali che coinvolgessero gli allievi in prima persona. Sono stati proposti tre momenti in cui gli allievi lavorano su situazioni problema. Il primo, all’inizio del capitolo, dove si è cercato di introdurre il tema delle rendite con un problema creato ad hoc (si rimanda all’allegato 4). Lo scopo dell’attività era quello di fare scoprire agli allievi una regola generale su come trovare il montante di una rendita dopo un certo periodo di tempo. Si trattava di trovare la formula generale di calcolo che si rifà alle progressioni geometriche. Si è anche puntualizzata l’esistenza di una differenza tra rendita posticipata a rate costanti, ovvero una rendita in cui le rate vengono versate alla fine di un dato periodo, e rendita anticipata a rate costanti, ovvero una rendita in cui le rate sono versate all’inizio di un dato periodo.

La seconda situazione problema è stata proposta per introdurre il concetto di valore attuale di una rendita (vedi allegato 5). Anche in questo caso è stato proposto un problema in cui gli studenti erano chiamati a trovare una formula generale che permettesse poi di risolvere altre situazioni simili.

La terza e ultima situazione problema è stata invece proposta per introdurre il concetto di rendita perpetua, ovvero una rendita in cui il numero di rate è illimitato (vedi allegato 6).

15

La metodologia di ricerca

In questo capitolo si espongono i metodi di ricerca con cui è stato affrontato il percorso didattico intrapreso, gli strumenti a diposizione e la valutazione dell’itinerario didattico.

Per i riferimenti di tipo teorico riguardanti il tipo di percorso didattico intrapreso, ovvero una metodologia didattica basata sulle situazioni problema, in inglese problem based learning (PBL), si rimanda al capitolo 2 (quadro teorico).

L’obiettivo principale della ricerca condotta è quello di indagare le potenzialità di un approccio basato sulle situazioni problema. Si vogliono quindi individuare i vantaggi e gli svantaggi di questo metodo non tradizionale di insegnamento confrontato con quello tradizionale, ovvero la metodologia secondo lo schema “teoria seguita da esercizi di consolidamento”.

Fasi, strumenti e attori coinvolti nel monitoraggio

La ricerca si è svolta all’interno di una seconda e di una quarta presso la Scuola cantonale di commercio di Bellinzona. È stata fatta una discussione iniziale (dati preliminari) con le due classi coinvolte prima di iniziare il percorso didattico ed è stato chiesto ad ogni allievo di definire il concetto di didattica per situazione problema. Con la discussione iniziale fatta all’interno delle classi sono stati rilevati i seguenti aspetti:

informazioni generali riguardanti la visione della matematica

rapporto con la matematica (vedi anche sentimenti ed emozioni durante le lezioni) studio della matematica

opinioni riguardo al metodo didattico “teoria seguita da esercizi di consolidamento” senso dell’apprendimento di nozioni matematiche

Questa indagine preliminare è stata guidata dalla docente nel senso che l’obiettivo della discussione era di avere delle risposte riguardanti gli ambiti sopra elencati. Gli studenti erano poi liberi di esprimere la loro opinione al riguardo. La discussione è stata arricchente sia per gli studenti sia per la docente. Un possibile limite in questo tipo di indagine è quello che gli allievi possano essere stati influenzati dalle risposte degli altri studenti o la non anonimità delle risposte. Alcuni allievi più timidi non hanno quindi magari osato parlare liberamente. In generale penso comunque che sia stata una discussione costruttiva e non mi sembra di aver colto una qualsiasi forma di diffidenza da parte

degli allievi nell’esporre i propri pensieri. In forma invece anonima è stato chiesto agli studenti, alla fine della discussione preliminare, se conoscessero il termine di didattica per situazione problema e in caso affermativo di cercare di darne una definizione.

Al termine invece del percorso didattico è stato proposto un questionario (allegato 7) agli studenti. Scopo di questo questionario era quello di fare un confronto tra la metodologia didattica della situazione problema e la metodologia “teoria seguita da esercizi di consolidamento”. Attraverso questo questionario si è quindi cercato anche di rilevare dei punti di forza e dei punti di debolezza di questa nuova metodologia, ovvero, attraverso il confronto delle due metodologie, si è cercato di osservare dove la nuova metodologia fosse migliore rispetto a quella “tradizionale”. Sono stati analizzati i seguenti elementi:

acquisizione delle competenze trasversali in relazione al Piano quadro degli studi liceali1 (competenze sociali, logico-formali, comunicative, concernenti lo sviluppo personale e concernenti i metodi di lavoro)

acquisizione di nozioni disciplinari utilizzo efficace del tempo

interessamento alle lezioni efficacia del metodo

Per rilevare questi cinque aspetti sono state formulate delle domande mirate. Il questionario finale è quindi più di tipo quantitativo che qualitativo.

Analisi dei risultati

Fase preliminare

All’interno di questo paragrafo si analizzano i risultati riguardanti la fase preliminare, ovvero prima dell’avvio dell’itinerario didattico attraverso la discussione iniziale avuta con le classi e con la loro definizione personale di didattica per situazione problema. Attraverso questa fase iniziale non si hanno dei dati numerici precisi, siccome non è stato fatto un questionario, bensì una discussione aperta. È stato quindi solo possibile cogliere solo le idee emerse senza una quantificazione precisa.

17 Si fa una distinzione tra i risultati della classe di seconda composta da 22 allievi e quella di quarta composta da 19 allievi, in quanto il livello di maturità degli studenti è diverso (minorenni rispettivamente maggiorenni) e dunque la gamma di risposte potrebbe variare molto.

Classe seconda

Alla maggior parte della classe non piace la matematica. La reputano una materia noiosa, inutile e “vecchia”. Sono emersi anche i seguenti aggettivi per definire la matematica: complessa, pesante e astratta. Ci sono anche una decina di allievi (8-9) che hanno detto di amare la materia definendola affascinante, divertente, utile e importante. Quasi tutta la classe è comunque concorde nel dire che questa materia è impegnativa. Il rapporto che gli allievi hanno con la matematica è quindi molto divergente. È emerso anche che la loro visione della matematica è dovuta al percorso individuale precedente, ovvero se alla scuola media il rendimento era buono o meno. Spesso l’alunno si è sentito demoralizzato, sfiduciato e ansioso nei confronti di questa disciplina. Lo studio di questa disciplina è quindi stato un ostacolo per gli allievi deboli che si sentivano inadeguati e avevano paura di sbagliare e fare “domande stupide”. Gli allievi invece che hanno affermato di apprezzare la matematica ed hanno confermato che lo studio di questa materia a livello medio non è stato particolarmente difficile.

Per quanto riguarda le opinioni relative al metodo di insegnamento tradizionale, ovvero una parte teorica in cui si espongono i principali concetti seguita da una parte più pratica in cui sono presentati esercizi di consolidamento, gli allievi hanno affermato che la matematica è sempre stata fatta così e non vedono un metodo alternativo. Hanno affermato che senza avere una parte teorica su cui basarsi per svolgere gli esercizi sarebbe difficile per loro sapere risolvere i problemi proposti. Buona parte della classe ha affermato che l’impostazione didattica tradizionale è noiosa e poco coinvolgente (“bisogna sempre ascoltare il docente e non sempre è di facile comprensione”).

Per quanto riguarda il senso dello studio della matematica buona parte degli allievi crede che non ci sia. Prendendo un’espressione emersa “serve solo per farti bocciare l’anno”. Alcuni invece (non per forza unicamente gli allievi che avevano affermato di amare la matematica) credono che questa disciplina sia importante nella vita, perché molte cose utilizzano la matematica come le statistiche, i sondaggi, eccetera.

Agli allievi è poi stato chiesto di rispondere alla domanda se fossero o meno a conoscenza del termine “didattica per situazione problema”. Il 59% degli studenti ha risposto negativamente alla

domanda. Gli allievi che hanno risposto affermativamente alla domanda hanno definito questo tipo di didattica come un insegnamento basato su problemi/esercizi, senza fornire maggiori dettagli.

Classi quarte

Il discorso per le classi quarte è più o meno lo stesso. Una differenza risiede nel fatto che gli allievi di quarta sono alla fine del loro percorso di scuola media superiore e quindi non reputano più la scuola media la causa della loro visione negativa della disciplina, ma la causa è piuttosto da ricercare nel fatto che è una materia che “o la si capisce oppure no”, perché è complicata e richiede molta astrazione e logica. Credono quindi che sia una materia “a parte” e molto lontana dalla realtà. Inoltre, gli studenti di quarta sono più consapevoli del percorso personale da intraprendere alla fine della scuola media superiore e quindi il loro rapporto con la matematica deriva anche da questo. Buona parte delle classe conferma di non voler continuare un percorso di studi o lavorativo legato alla matematica e quindi il loro scopo nei confronti della disciplina è unicamente quello di non aggravare ulteriormente una situazione già negativa.

Per quanto riguarda invece la domanda sulla conoscenza del termine “didattica per situazione problema”, il 36.8% ha affermato di non essere a conoscenza del termine. Gli allievi che hanno invece risposto affermativamente alla domanda hanno dato la stessa definizione degli allievi di seconda.

Questionario finale

Per il questionario finale si è deciso di non fare distinzioni tra classe seconda e classe quarta siccome i dati a disposizione non presentavano differenze sostanziali tra le due classi. Si riassume quindi tutto negli stessi risultati. Per ogni grafico si hanno quindi a disposizione un totale di 41 risposte. Nei risultati, per riferirsi alla metodologia tradizionale, ovvero un metodo basato su una parte teorica iniziale seguita da esercizi di consolidamento si abbrevierà con “T+E”, mentre per la metodologia basata su situazioni problema si abbrevierà con “SP”.

19 1. Acquisizione delle competenze trasversali in relazione al Piano quadro degli studi liceali (competenze sociali, logico-formali, comunicative, concernenti lo sviluppo personale, concernenti i metodi di lavoro)

Figura 3 – Risultati relativi alle competenze trasversali del metodo “teoria seguita da esercizi”

Figura 4 – Risultati relativi alle competenze trasversali del metodo basato sulle situazioni problema

Dall’analisi dei dati a disposizione possiamo notare come ci sia una grande differenza a livello di acquisizione delle cosiddette competenze trasversali del Piano quadro degli studi liceali tra le due metodologie. È evidente come il metodo sperimentale basato sulla presentazione di situazioni problema sia il più performante. Ci sono delle grandi differenze in tutti e sette gli ambiti analizzati (strategie di risoluzione autonome messe in atto, fiducia nei propri mezzi, senso di quello che si fa, comunicazione nella classe, stimolare la curiosità e la riflessione, livello di coinvolgimento e responsabilità, integrazione e collaborazione nella classe). Possiamo notare come tutti questi sette aspetti siano maggiormente stimolati nella metodologia sulle situazioni problema. Nel metodo

“teoria seguita da esercizi di consolidamento” si trovano diversi allievi che sostengono di essere stimolati in maniera insufficiente in questi ambiti. Con il nuovo metodo sono invece drasticamente diminuiti gli studenti che affermano di essere insufficientemente stimolati nelle aree sopra evidenziate. Si riscontra una sola eccezione nell’area di “senso di quello che si fa”. Qui la differenza è meno marcata. Infatti, ancora 15 alunni affermano che sia insufficiente.

La quantità di allievi che affermano che un certo ambito stimoli insufficientemente le diverse aree è diminuita dappertutto con la metodologia basata sulle situazioni problema, così come è sempre aumentato, anche se in maniera meno evidente, il numero di studenti che affermano che sia persino ottima. In generale, possiamo quindi affermare che la nuova metodologia risulti più performante per quanto riguarda l’acquisizione della competenze trasversali relative al “Piano quadro degli studi liceali”.

2. Acquisizione di nozioni disciplinari

Figura 5 – Risultati relativi all’acquisizione di nozioni disciplinari

Per i risultati riguardanti l’acquisizione di nozioni disciplinari non possiamo affermare quanto detto precedentemente sull’acquisizione di competenze trasversali. Infatti, i dati non sono statisticamente significativi, ovvero non possiamo affermare con certezza quale dei due metodi sia migliore. 8 persone affermano che il metodo T+E sia insufficiente contro le 7 del metodo SP; 16 affermano che sia sufficiente per il metodo T+E contro le 16 dell’altro metodo; 16 che sia buono per quello tradizionale contro le 16 di quello basato sulle situazioni problema e uno ottimo per quello T+E

21 3. Utilizzo efficace del tempo

Figura 6 – Risultati relativi all’utilizzo efficace del tempo

Anche per quanto riguarda l’utilizzo efficace del tempo in relazione alle due metodologie non ci sono differenze sostanziali. Possiamo comunque sostenere che il metodo basato sulle situazioni problema sia valutato in maniera leggermente migliore. Infatti, si riscontrano più buoni e ottimi rispetto al metodo tradizionale (14 contro i 12 rispettivamente 2 contro 1).

4. Interessamento alle lezioni

Anche per quanto riguarda l’interessamento alle lezioni il discorso è analogo a quanto fatto per i due punti precedenti. Ci sono alcune differenze seppur in maniera poco marcata. Possiamo notare che il numero di allievi che afferma che la nuova metodologia sia buona o ottima è leggermente maggiore rispetto alla vecchia metodologia (17 contro 16 rispettivamente 3 contro zero).

5. Efficacia del metodo

Figura 8 – Risultati relativi all’efficacia generale del corso

Per quanto riguarda l’ultimo punto analizzato, possiamo notare come non ci sia quasi alcuna differenza statistica tra i due metodi. L’unica differenza è da ricercare in un’unità: 17 allievi reputano il metodo T+E buono (contro i 16 buoni del nuovo metodo), mentre 17 allievi reputano il metodo T+E sufficiente (contro i 18 sufficienti del nuovo metodo). In generale quindi gli alunni non trovano che il metodo basato sulle situazioni problema sia più efficace del metodo basato su di una parte iniziale di teoria seguita da esercizi di consolidamento.

23

Prospettive future

È possibile potenziare maggiormente questa metodologia didattica basata sulle situazioni problema inglobando l’utilizzo delle nuove tecnologie. In questo caso particolare, siccome la disciplina su cui è stato svolto il lavoro è la matematica, si potrebbe integrare maggiormente l’utilizzo ad esempio di Geogebra per lo svolgimento delle attività. Così facendo si potrebbe svolgere un programma di studio anche a livello interdisciplinare.

Nei prossimi anni, si vuole introdurre la materia informatica nel piano degli studi liceali. Potrebbe quindi essere un buon motivo per integrare nei corsi di matematica un po’ di informatica in cui l’allievo è direttamente coinvolto nell’utilizzo delle nuove tecnologie.

Questo lavoro interdisciplinare potrebbe venir svolto anche con altre materie. La didattica per situazioni problema è originariamente pensata in scala più grande rispetto a come è stata proposta in questo percorso didattico (può occupare dalle 8 alle 10 lezioni in cui gli allievi svolgono un lavoro di scoperta a gruppi). Sarebbe quindi interessante creare delle situazioni problema in cui più materie e più docenti siano coinvolti.

Il percorso didattico proposto, può venir impostato anche in altro modo. In questo lavoro ci si è focalizzati all’ambito finanziario, ma la biologia o la fisica sono altri campi in cui si possono facilmente impostare delle situazioni problema per sviluppare argomenti matematici.

Conclusione

In questo lavoro di diploma si è attuato un percorso didattico in cui si è cercato di introdurre gli argomenti attraverso delle situazioni problema. Gli studenti sono quindi stati chiamati a lavorare a coppie o in piccoli gruppi in maniera attiva al fine di scoprire nuovi concetti e conoscenze matematiche. Scopo di tale lavoro era quindi quello di analizzare questo tipo di approccio metodologico in confronto alla metodologia didattica “teoria iniziale seguita da esercizi di consolidamento” in cui invece l’allievo ricopre un ruolo più passivo di ascolto e memorizzazione di nuove conoscenze, attraverso l’esposizione da parte del docente di disciplina.

Prima dell’attuazione del percorso didattico si è cercato di capire il rapporto che gli studenti intrattengono con la matematica. È emerso il difficile rapporto che molti studenti hanno con questa materia e il nonsenso che trovano in questa disciplina.

Il percorso didattico è stato costruito in modo che gli allievi potessero arrivare autonomamente alla scoperta di nuove nozioni matematiche, attraverso delle attività iniziali guidate e non attraverso la mera trasmissione passiva di conoscenze. Gli allievi hanno reagito bene a questo tipo di compito e hanno lavorato in maniera attiva sui problemi inziali quando richiesto.

Alla fine del percorso didattico è stato sottoposto agli alunni un questionario in cui si chiedeva di fare un paragone tra le due metodologie didattiche (metodo “teoria seguita da esercizi di consolidamento” rispettivamente metodo basato sulle situazioni problema) sulla base di alcuni elementi (acquisizione di competenze trasversali in relazione al Piano quadro degli studi liceali, acquisizione di nozioni disciplinari, utilizzo efficace del tempo, interessamento alle lezioni e efficacia generale del corso). Da questo confronto è emerso che la metodologia sulle situazioni problema viene valutata migliore in quasi tutti e cinque gli ambiti, ma l’unico ambito che ha subito una differenza statisticamente significativa è quello riguardante le competenze trasversali. Infatti, per quanto riguarda le competenze trasversali si è potuto notare che le valutazioni sono migliorate di parecchio. Per gli altri quattro ambiti ci sono invece delle leggere differenze (di poche unità). Questi risultati possono essere motivati dal fatto che attraverso la metodologia didattica basata sulle situazioni problema lo studente viene coinvolto in modo attivo nel cercare una soluzione ad un problema. L’allievo deve quindi cercare in prima persona una soluzione al problema inziale attraverso un’analisi approfondita della situazione (riflessione). Il fatto di risolvere un problema a coppie o a gruppi favorisce sicuramente la comunicazione tra pari. L’allievo, messo di fronte ad un nuovo problema da risolvere (anche legato alla realtà) è quindi maggiormente stimolato nel cercare

25 una soluzione in quanto è lui stesso l’attore della propria conoscenza. Le competenze trasversali citate nel Piano quadro degli studi liceali sono fortemente sollecitate.

Per quanto riguarda invece gli altri quattro aspetti (acquisizione di nozioni disciplinari, utilizzo efficace del tempo, interessamento alle lezioni ed efficacia generale del corso) le differenze tra le due metodologie, come detto, sono più contenute. Credo che questi dati possano essere ulteriormente utilizzati per analizzare maggiormente il rapporto e le difficoltà che gli allievi hanno a priori con la matematica, cercando di potenziare ancora maggiormente l’insegnamento della disciplina con metodologie didattiche specifiche, così da poter cercare di migliorare in futuro anche questi aspetti.

In conclusione credo che questo percorso possa essere visto come un punto di inizio in vista di un’attività futura dove si potranno implementare altre componenti per migliorare l’insegnamento della matematica. Un esempio può essere quello di introdurre un maggior utilizzo delle componenti tecnologiche al fine di aumentare l’efficacia generale del corso.

Bibliografia

Comei, D. (1976). Corso di matematica finanziaria e attuariale, Volume primo. Città di Castello: Società editrice Dante Alighieri.

Ross, A. (1999). Mathématiques appliquées à l’administration. Québec, Canada: les éditions Le Griffon d’argile.

Re Fraschini, M., Grazzi, G., Spezia, C. (2006). Matematica per l’economia, tomo C1. Bergamo: Istituto italiano edizioni ATLAS.

Re Fraschini, M., Grazzi, G., Spezia, C. (2007). Lineamenti di matematica finanziaria. Bergamo: Istituto italiano edizioni ATLAS.

Dewey, J. (1984). Esperienza e educazione. Firenze: La Nuova Italia Editrice. Dewey, J. (1975). Scuola e società. Firenze: La Nuova Italia Editrice.

Fly Jones, B. (1999), Didattica per problemi reali: rendere significativi gli apprendimenti. Trento: Erickson.

Dalongeville, A., Huber, M. (2000), (Se)-former par les situations-problèmes: des destabilisations constructives. Lyon: Chroniques sociale.

Piano quadro degli studi per le scuole di maturità (Conferenza svizzera dei direttori cantonali della pubblica educazione (CDPE) Berna, 1994),

Salini, D., Cattaneo, A., Bernegger, G., Fraschini-Pecorari, M. (2008), Didattica per situazioni-problema. IUFFP (Istituto Universitario Federale per la Formazione Professionale). Web: http://www.scuolatancrediamicarellimontesantangelo.it/wp-content/uploads/2016/10/didattica-per-situazioni-problema.pdf

27

Allegati

Allegato 1: Funzioni esponenziali e logaritmiche: modelli di crescita/decrescita Allegato 2: Funzioni esponenziali e logaritmiche: la base e (numero di Eulero) Allegato 3: Equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche

Allegato 4: Matematica finanziaria (rendita) Allegato 5: Matematica finanziaria (valore attuale) Allegato 6: Matematica finanziaria (rendita perpetua) Allegato 7: Questionario finale

Questa pubblicazione, Insegnare matematica attraverso dei problemi o delle situazioni reali, scritta da Caiocca Alice, è rilasciata sotto Creative Commons Attribuzione – Non commerciale 3.0 Unported License.

Funzioni esponenziali e logaritmiche

Modelli di crescita/decrescita

Problema 1.

C’`e un mago che per il tuo compleanno ti propone come regalo due alternative. Ne devi scegliere una.

”Ti regalo 2 euro e ti propongo due alternative di scelta. La prima `e la seguente : oltre ai due euro iniziali, ti regalo in modo costante nel tempo 30 centesimi all’anno.

La seconda alternativa `e invece la seguente : sempre oltre ai due euro iniziali, ti verso il 10% all’anno. Supponi che questo 10% vada ad ag-giungersi ai due euro iniziali. Quindi, alla fine del primo anno, il 10% verr`a calcolato non a partire dai due euro iniziali, ma dalla cifra che avrai dopo quel periodo di tempo trascorso (capitale+interessi=nuovo capitale).”

Cosa scegli ?

Analizza le due alternative che il mago propone rispondendo alle seguenti domande : Parte A : alternativa numero 1

a) Quanto avrai dopo un anno ? E dopo 2 anni ? Dopo 3 anni ? b) Quanto avrai dopo 15 anni ?

c) E dopo un numero qualsiasi x di anni ?

Parte B : alternativa numero 2

a) Quanto avrai dopo un anno ? E dopo 2 anni ? Dopo 3 anni ? b) Quanto avrai dopo 15 anni ?

del 15% all’anno.

a) Quanto vale la macchina dopo 1 anno ? b) Dopo 2 anni ?

c) E dopo un numero x di anni ? d) Quanto vale dopo 8 anni e 6 mesi ?

e) Rappresenta graficamente la funzione che descrive il valore dell’automobile in funzione del tempo trascorso.

f) Quanti anni devono trascorrere da oggi di modo che la mac-china sia valutata a 900 Chf ?

a) Quanto vale la macchina dopo 1 anno ? b) E dopo 2 anni ?

c) E dopo un numero x di anni ?

d) Rappresenta graficamente la funzione che descrive il valore dell’automobile in funzione del tempo trascorso.

Funzioni esponenziali e logaritmiche

La base e (numero di Eulero)

La mattina di un Capodanno, tre amici trovano per terra una moneta da 1 franco. Il primo dei tre afferma: "Se la banca ci versasse il 100% di interesse annuale, fra 1 anno avremmo 2 franchi". Il secondo aggiunge: "Avremmo addirittura 2,25 franchi, se l’interesse venisse calcolato semestralmente"1_{. ”E se la capitalizzazione fosse trimestrale, avremmo 2,44}

franchi”, conclude il terzo.

a) Verifica le affermazioni dei 3 amici. Soluzione:

Sia c(t) il capitale al tempo t (in anni). - c(0) = ...

- Capitalizzazione annuale: tasso d’interesse annuo: 100% c(1) = ...

- Capitalizzazione semestrale: tasso d’interesse semestrale: 50% = 1₂ dopo 1 semestre: c (....) = ...

dopo 1 anno: c(1) = c (....) + ....c (....) = c (....) (...) = ... = ... = ...

- Capitalizzazione trimestrale: tasso d’interesse trimestrale: 25% = 1₄ dopo 1 trimestre: c (....) = ... dopo 2 trimestri: c (....) = c (....) + ....c (....) = c (....) (...) = ... = ... dopo 3 trimestri: c (....) = . . . . . . . . dopo 1 anno: c(....) = c (....) = . . . . . . . .

1_{cioè se il tasso d’interesse annuo fosse convertibile 2 volte all’anno, vale a dire se ogni semestre venisse}

Soluzione:

- Capitalizzazione mensile: tasso d’interesse mensile: c(1) = c (...) = ... ∼= ...

- Capitalizzazione giornaliera: tasso d’interesse giornaliero: c(1) = c (...) = ... ∼= ...

- Capitalizzazione ogni ora: tasso d’interesse orario:

c(1) = c (...) = ... ∼= ... - Capitalizzazione ogni minuto: tasso d’interesse ogni minuto:

c(1) = c (...) = ... ∼= ...

c) Quale sarebbe il capitale a fine anno nel caso di interesse annuo del 100% e capita-lizzazione istantanea (cioè continua)?

Soluzione:

Abbreviando sempre più l’intervallo dopo il quale si capitalizza, si nota che il capitale c(1) si avvicina alla costante di Eulero

e = lim n→∞  1 + 1 n n ∼ = 2, 718281828459045 .

Equazioni e disequazioni esponenziali e

logaritmiche

Risolvi i seguenti esercizi:

Esercizio 1. L’evolvere del capitale che possiede una certa persona è descritto dalla seguente funzione

C(t) = 100 · ek·t dove t è il tempo in mesi e k è un certo parametro reale.

a) Sapendo che dopo 4 mesi il capitale è di 150 franchi determina il valore del parametro k.

P

collega tra loro l’altitudine h (in metri), la temperatura T (in gradi Celsius) e la pressione P (in mm di mercurio). Nella formula P0 = 760 mm (=1 atmosfera).

a) Trova h dati P = 460 mm e T = 5◦.

b) Trova P dati h = 8848 m (Monte Everest) e T = −35◦.

c) Determina la formula che espime la pressione P in funzione dell’altitudine h e della temperatura T .

Matematica finanziaria (rendita)

Attività 1

Cloe versa, alla fine di ogni anno e per 4 anni, 10000 franchi in una banca che concede un tasso d’interesse annuo composto del 2%.

a) Rappresenta graficamente la situazione indicando con • le rate versate; b) Calcola il montante di cui potrà disporre Cloe al termine del quarto anno.

Risoluzione: a)

b) Montante della prima rata alla fine del quarto anno: M₁ = . . . . Montante della seconda rata alla fine del quarto anno: M2 = . . . .

Montante della terza rata alla fine del quarto anno: M3 = . . . .

Montante della quarta rata alla fine del quarto anno: M₄= . . . . Montante totale alla fine del quarto anno:

M = M1+ M2+ M3+ M4 =

Osservazione. Gli importi M₄= ..., M3 = ..., M2= ... M1 = ...

sono i termini di una . . . ... La loro somma vale quindi:

Attività 2

Oggi, Cloe fa un debito presso una banca. Per estinguere il debito, deve pagare alla fine di ogni anno e per 4 anni, 1’000 franchi, al tasso annuo del 2%. A quanto ammonta il debito?

a) Rappresena graficamente la situazione indicando con • le rate versate; b) Calcola il valore attuale della rendita, ovvero l’ammontare del debito.

Risoluzione: a)

b) Valore attuale della prima rata: A1 = . . . .

Valore attuale della seconda rata: A2 = . . . .

Valore attuale della terza rata: A₃ = . . . . Valore attuale della quarta rata: A4= . . . .

Valore attuale totale: A = A1+ A2+ A3+ A4 =

Osservazione. Gli importi A1 = ..., A2 = ..., A3 = ... A4= ...

sono i termini di una . . . ... dove ... è il primo termine e ... è la ragione della PG.

La loro somma vale quindi:

A = A1+ A2+ A3+ A4 = + + + = =

= = = S_4;2%· 1

Matematica finanziaria (rendita

perpetua)

Attività 3

Cosa possiamo dire riguardo ad una rendita perpetua, ovvero con un numero infinito di rate? È possibile calcolarne il montante? Ed il valore attuale?

Osservazione.

1. Calcolare il montante di una rendita perpetua non ha senso, poiché il numero delle rate è infinito (in che data si calcolerebbe?).

2. È invece possibile calcolarne il valore attuale. Questo, a differenza di quanto si potrebbe pensare, non è infinito: riflettendo un attimo si può intuire che il valore attuale di rate molto lontane sia piccolissimo.

Consideriamo una rendita unitaria (R = 1.−) posticipata immediata con tasso d’interesse annuo del 4%.

a) Calcola il valore attuale per un numero di rate n ∈ {10, 50, 100, 500}.

b) A quanto ammonta, a tuo avviso il valore attuale nel caso n → ∞?

c) Considera ora una rendita perpetua posticipata generica di rata R e interesse i. Come possiamo ricavare il suo valore attuale?

Risoluzione: a)

Valore attuale della prima rata: A1= . . . .

Valore attuale della seconda rata: A₂ = . . . . Valore attuale della terza rata: A₃ = . . . . Valore attuale della quarta rata: A4= . . . .

Eccetera...

Valore attuale totale:

Gli importi A₁= ..., A2 = ..., A3= ... A4 = ... e seguenti

sono i termini di una . . . ... dove ... è il pri-mo termine e ... è la ragione della PG. Il valore attuale è quindi la somma degli infiniti termini di una P.G. con ragione q = 1

1 + i < 1.

La loro somma (infinita) vale quindi:

A∞= A1+A2+A3+A4+... = + + + + ... =

= = = R

Questionario finale

1. Acquisizione delle competenze trasversali in relazione al Piano quadro degli studi liceali (competenze sociali, logico-formali, comunicative, concernenti lo sviluppo personale, concernenti i metodi di lavoro)

Confrontando la metodologia didattica tradizionale (teoria iniziale seguita da esercitazioni di consolidamento) con la metodologia didattica basata sulle situazioni problema, che valutazione faresti in relazione ai seguenti aspetti? Fai una crocetta nella casella che ritieni rispecchi maggiormente quanto chiesto con insufficiente-sufficiente-buono-ottimo.

Metodologia tradizionale (T+E) Metodologia con situazioni problema (SP)

insufficiente sufficiente buono ottimo insufficiente sufficiente buono ottimo

Integrazione e collaborazione nella classe Livello di coinvolgimento e responsabilità Stimolare la curiosità e la riflessione Comunicazione nella classe Senso di quello che si fa Fiducia nei propri mezzi Strategie di risoluzione autonome messe in atto

2. Acquisizione di nozioni disciplinari

Sempre confrontando la metodologia didattica tradizionale con quella basata sulle situazioni problema, come valuteresti l’acquisizione di concetti matematici?

Metodologia tradizionale (T+E) Metodologia con situazioni problema (SP)

insufficiente sufficiente buono ottimo insufficiente sufficiente buono ottimo

Sempre confrontando la metodologia didattica tradizionale con quella basata sulle situazioni problema, come valuteresti l’utilizzo del tempo durante le lezioni? Trovi sia stato efficace?

Metodologia tradizionale (T+E) Metodologia con situazioni problema (SP)

insufficiente sufficiente buono ottimo insufficiente sufficiente buono ottimo

4. Interessamento alle lezioni

Sempre confrontando la metodologia didattica tradizionale con quella basata sulle situazioni problema, come valuteresti il tuo interessamento alle lezioni?

Metodologia tradizionale (T+E) Metodologia con situazioni problema (SP)

insufficiente sufficiente buono ottimo insufficiente sufficiente buono ottimo

5. Efficacia generale del metodo

Sempre confrontando la metodologia didattica tradizionale con quella basata sulle situazioni problema, come valuteresti l’efficacia/riuscita generale dei due metodi?

Metodologia tradizionale (T+E) Metodologia con situazioni problema (SP)

insufficiente sufficiente buono ottimo insufficiente sufficiente buono ottimo