MC-10-fluidodinamica

Portata Q: volume di fluido che attraversa la sezione di un condotto nell’unità di tempo.

v

A

t

t

v

A

t

V

Q

₌

₌

⋅

₌

_⋅

PORTATA DI UN CONDOTTO

MOTO STAZIONARIO

Un moto si dice stazionario quando le principali

grandezze del fluido (velocità vettoriale, pressione, …) rimangono costanti nel tempo in ogni punto del fluido. Le traiettorie seguite dalle particelle possono non essere rettilinee, ma saranno comunque invariate nel tempo.

2 2 1 1

v

A

v

A

cost.

Q

₌

_⇒

_⋅

₌

_⋅

Di conseguenza, la velocità è inversamente

proporzionale all’area della sezione del condotto.

MOTO STAZIONARIO

In un moto stazionario la portata è costante in ogni sezione del condotto.

2

Il teorema di Bernoulli si applica ad un fluido ideale (cioè incompressibile e senza viscosità) in moto

stazionario in un condotto a pareti rigide.

TEOREMA DI BERNOULLI

Su una qualunque sezione del condotto:

2 2

_dgh

_p

1

_dv

_dgh

_p

dv

1

+

+

=

+

+

cost.

p

dgh

dv

2

1

=

+

+

Se il fluido è in quiete, si ricava la legge di Stevino:

CONSEGUENZE DEL

TEOREMA DI BERNOULLI

v

_{= v}

_{= 0}

dgh

_{+ p}

_{= dgh}

_{+ p}

In un condotto orizzontale si ha l’effetto Venturi:

Misurando le pressioni, note le aree delle sezioni, si ha una valutazione quantitativa

CONSEGUENZE DEL

TEOREMA DI BERNOULLI

cost

h

h

₌

₌

1

2

dv

+ p

=

1

2

dv

+ p

A

v

_{= A}

v

CONSEGUENZE DEL

TEOREMA DI BERNOULLI

Condotto orizzontale a sezione variabile: Condotto orizzontale a sezione costante:

A

v

_{= A}

v

1

2

dv

+ p

=

1

2

dv

+ p

A

_{= A}

_{⇒ v}

_{= v}

_{⇒ p}

_{= p}

A

_{> A}

_{⇒ v}

_{< v}

_{⇒ p}

_{> p}

A

_{< A}

_{⇒ v}

_{> v}

_{⇒ p}

_{< p}

CONSEGUENZE DEL

TEOREMA DI BERNOULLI

A

A

p

p

Stenosi

: restringimento di un vaso sanguifero.

CONSEGUENZE DEL

TEOREMA DI BERNOULLI

Paziente affetto da arteriopatia obliterante.

Il primo trattamento consiste nella angioplastica del vaso ristretto, cioè nella dilatazione per via percutanea ottenuta con un catetere a palloncino opportunamente posizionato in corrispondenza del

p

_A

A

p

CONSEGUENZE DEL

TEOREMA DI BERNOULLI

Aneurisma

: allargamento di un vaso sanguifero.

CONSEGUENZE DEL

TEOREMA DI BERNOULLI

Aneurisma

Viscosità: attrito interno fra le particelle del fluido che produce un caratteristico profilo delle velocità in un condotto (profilo parabolico in un condotto cilindrico).

A : area della lastra

gradiente di velocità

η : coefficiente di viscosità

COEFFICIENTE DI VISCOSITÀ

F : forza di attrito

F = η Δ

v

Δz

A

Unità di misura di _η nel C.G.S.

poise

10

s

Pa

1

_⋅

₌

Acqua a 20 °C:

_η

_≅

1 cpoise

COEFFICIENTE DI VISCOSITÀ

Unità di misura di _η nel S.I.

[ ]

η

₌

[

kg

_⋅

m

_⋅

s

]

₌

[

Pa

_⋅

s

]

MOTO LAMINARE E

MOTO TURBOLENTO

Moto laminare (bassa velocità): il fluido scorre per lamine

parallele.

Moto turbolento (alta velocità): all’interno del fluido si formano vortici.

Velocità critica

Il numero di Reynolds (Re) fornisce una regola empirica per valutare se un moto è laminare o turbolento.

Regola empirica:

Re <1000 _⇒ laminare Re >1000 _⇒ vorticoso

NUMERO DI REYNOLDS

d : densità del fluido v : velocità del fluido r : raggio del condotto η : viscosità del fluido

η

⋅

⋅

=

d

v

r

Re

dr

1000

v

_≈

η

In regime laminare

per un fluido viscoso

vale la legge di

Hagen-Poiseuille

:

LEGGE DI HAGEN-POISEUILLE

r

l

8

R

⋅

π

⋅

η

⋅

=

Q

R

p

p

p

₌

₋

₌

_⋅

Δ

Resistenza del mezzo su di un corpuscolo sferico di raggio r per piccole velocità (formula di Stokes):

Forze agenti sul corpuscolo in moto all’interno di un liquido nel campo di gravità:

dVg : forza peso;

d₀Vg : spinta di Archimede; 6_πηrv : resistenza del mezzo.

FORMULA DI STOKES

v

r

6

F

₌

_π

_⋅

_η

_⋅

_⋅

Velocità di sedimentazione:

Quando si raggiunge l’equilibrio (_ΣF=0) la velocità resta costante:

Per rendere più rapido il processo di sedimentazione, si usano le ultracentrifughe:

VELOCITÀ DI SEDIMENTAZIONE

g

r

6

V

)

d

d

(

v

πη

−

=

R

r

6

V

)

d

d

(

v

ω

πη

−

=

ω

R

≈

10

g

Vg

6

r

v

d

dVg

₋

₌

_π

_η

Fra le molecole di un liquido si esercitano forze di

attrazione molto intense (forze di coesione) che hanno l’effetto di rendere minima la superficie libera del liquido, compatibilmente con le altre forze agenti.

TENSIONE SUPERFICIALE

La forma sferica è quella che presenta il minor rapporto superficie/volume.

TENSIONE SUPERFICIALE

Una goccia con bassissima bagnabilità assume una forma sferoidale, con un solo punto di contatto con la superficie solida.

TENSIONE SUPERFICIALE

La tensione superficiale

_τ

S

L Δ

=

τ

Telaietto ad "U" con cursore. La tensione superficiale

della lamina richiama il cursore verso sinistra.

TENSIONE SUPERFICIALE

La tensione superficiale coincide numericamente con la forza di contrazione per unità di lunghezza, parallela alla superficie libera del liquido.

x

F

L

x

2

S

L

⋅

=

⋅

τ

=

Δ

⋅

τ

=

ℓ

ℓ

2

F

=

τ

ℓ

Dimensioni nel S.I.:

[ ]

_⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

τ

m

J

m

N

Tracciando una linea sulla superficie libera di un liquido, le molecole che aderiscono ai due lati esercitano sulla linea forze uguali ed opposte, parallele alla superficie del liquido.

Si chiamano tensioattivi le sostanze che diminuiscono la tensione superficiale e consentono la solubilità di liquidi non miscibili.

TENSIONE SUPERFICIALE

Fluido (20 °C) _{τ (N/m)} Fluido _{τ (N/m)} Alcool etilico 0.017 Acqua (0 °C) 0.076 Soluzione saponosa 0.025 Acqua (100 °C) 0.059 Benzina 0.029 Azoto (-80°C) 0.020 Olio d’oliva 0.032

Acqua 0.073 Mercurio 0.427

All’interno di una superficie sferica con pareti elastiche la pressione è maggiore di quella esterna.

Condizione di equilibrio :

p

_{⋅ πr}

_{= p}

_{⋅ πr}

_{+ 2πr ⋅ τ}

LEGGE DI LAPLACE

r

2

p

p

p

₌

₋

₌

_τ

Δ

r

4

p

p

p

₌

₋

₌

_τ

Δ

Area della proiezione πr2

Per le membrane elastiche di forma cilindrica:

p_est p_int

LEGGE DI LAPLACE

p_int pressione intravasale

p_est pressione tissutale

Δp=p_int−p_est >0 pressione transmurale

Δ

p =

T

r

T è la tensione di parete, cioè la forza per unità di lunghezza, parallela alla superficie.

T r