fuffa-11-12-09

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penalit`a

09 dicembre 2011 – tempo a disposizione : 30 minuti

totale

(Cognome) (Nome) (Numero di matricola)

Esercizio 1. PUNTEGGIO : risposta mancante = -4 ; errata = da -3 a +3 ; esatta = +4

• Sia V uno spazio vettoriale sul campo K e sia f : V → V lineare. v ∈ V , v 6= 0 `e autovettore se

Esercizio 2. PUNTEGGIO : risposta mancante = 0 ; risposta errata = -2 ; risposta esatta = +2

• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:

Proposizione Vera Falsa

f : R3_{→ R}2 _{lineare, dim Kerf = 1 =⇒ f surgettiva}

A, B matrici quadrate 3 × 3 =⇒ det(B2_AB−1_{) = det AB}

f : R4

→ R3 _{lineare =⇒ F non `}_{e surgettiva}

f : R4→ R4 _{lineare non ha autovalori reali =⇒ f iniettiva}

f : R2_{→ R}2 _{lineare, f (f (2v)) = 4v =⇒ v autovettore per f}

f : R3_{→ R}3 _{lineare iniettiva, v autovettore per f =⇒ λ}−1

f (v) = v per qualche λ ∈ R∗ f : R3→ R3 _{lineare, v, w autovettori di autovalore 3 =⇒ 2v + w autovettore di autovalore 9.}

f : R4_{→ R}4 _{lineare, con 4 autovalori reali distinti `}_{e diagonalizzabile}

Esercizio 3. PUNTEGGIO : risposta mancante = 0 ; risposta errata = −1 risposta esatta = +2

• Il polinomio caratteristico della matrice      1 2 1 0 1 2 −1 2 1      ` e • Si consideri V = C2

come spazio vettoriale su R e sia φ : V → V data da φ(z, w) = (z + ¯w, ¯z − w).

Rispetto alla base {(1, 0), (i, 0), (0, 1), (0, i)}, la matrice di φ `e          

• La molteplicit`a di 2 come autovalore di      1 0 −1 0 2 0 1 2 3      ` e

• Sia V = Span{e−x_{, xe}−x_{, x}2_e−x_{} e sia φ : V → V data da φ(f (x)) = f}0_(x).

Il polinomio caratteristico di φ `e

• La forma di Jordan dell’applicazione lineare da R3

a R3 data da F      x1 x2 x3      =      3x1+ 2x2− x3 −2x1+ 2x2+ 2x3 x1+ 2x2+ x3      contiene